Bài toán M2818—M2825; F2825—F2832

18

KVANT 2024/№11-12

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: [email protected] và [email protected], tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Bài toán M2818–M2820, М2821а, M2822 đã được đưa ra tại Giải đấu các thành phố XLVI, bài toán M2823, M2824 - tại Olympic Toán học Nam Nga lần III “Assara”, bài toán M2825 đã được đưa ra tại Olympic Toán học Sirius. Bài toán F2825–F2832 đã được cung cấp ở nhiều giai đoạn khác nhau của Phystech Olympiad năm nay.

Bài toán M2818–M2825, F2825–F2832

M2818. Số tự nhiên M được biểu diễn dưới dạng tích của các thừa số nguyên tố. Sau đó, mỗi số tăng lên 1 và tích trở thành N. Hóa ra N chia hết cho M. Chứng minh rằng nếu bây giờ chúng ta phân tích N thành thừa số nguyên tố và mỗi số chúng tăng lên 1 thì tích thu được sẽ chia hết cho N. A. Gribalko

các ô nhiều hơn một lần thì sẽ không thực hiện quá 2024 bước di chuyển. A. Gribalko

M2819. 10 em có vài túi kẹo. Trẻ em bắt đầu chia sẻ kẹo với nhau. Mọi người lần lượt lấy phần của mình trong mỗi túi rồi ra về. Phần chia được tính như sau: chia số kẹo hiện có trong mỗi túi cho số trẻ còn lại (bao gồm cả bạn), nếu không chia hết thì làm tròn xuống số nguyên gần nhất. Liệu mỗi người có thể nhận được số kẹo khác nhau không nếu: a) chỉ có 8 túi; b) chỉ có 9 túi? A. Glebov

M2821. Đường trên máy bay là một đường thẳng mà bạn chỉ có thể di chuyển theo một hướng. a) Petya và Vasya thay phiên nhau dẫn đường, Petya bắt đầu. Chỉ được phép đi đường ngang hoặc dọc; Hướng đi trên đường do người vẽ đường chọn (khi tạo đường này). Liệu Vasya có thể luôn hành động theo cách mà sau bất kỳ hành động nào của mình, anh ta có thể đi theo quy tắc từ ngã tư này đến ngã tư khác, bất kể Petya hành động như thế nào? b) Cho có một số đường (tập hữu hạn) trên mặt phẳng, hai đường bất kỳ giao nhau. Với m nhỏ nhất là bao nhiêu, bạn luôn có thể thêm m đường và làm cho nó có thể lái xe từ bất kỳ giao lộ nào đến bất kỳ giao lộ nào khác? A.Perepechko

M2820. Hãy gọi các nước đi của hiệp sĩ, trong đó hiệp sĩ di chuyển hai ô theo chiều ngang và một ô theo chiều dọc, chiều ngang và phần còn lại theo chiều dọc. Bạn cần đặt quân mã vào một trong các ô 46 và 46 của bàn cờ, sau đó luân phiên di chuyển theo chiều ngang và chiều dọc. Chứng minh rằng nếu bị cấm tham quan

M2822. Một số khăn ăn giống hệt nhau có hình tròn đơn vị được đặt trên bàn (chồng lên nhau). Có phải lúc nào cũng có thể đóng nhiều chiếc đinh nhọn vào bàn sao cho tất cả khăn ăn đều được đóng đinh và có cùng số lượng đinh không? V. Dolnikov, P. Kozhevnikov