Задачи М2818—М2825; Ф2825—Ф2832

18

КВАНТ 2024/№11-12

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2818–М2820, М2821а, М2822 предлагались на XLVI Турнире городов, задачи М2823, М2824 — на III Южно-Российской математической олимпиаде «Ассара», задача М2825 предлагалась на олимпиаде Sirius Mathematical Olympiad. Задачи Ф2825–Ф2832 предлагались на различных этапах олимпиады «Физтех» текущего года.

Задачи М2818–М2825, Ф2825–Ф2832

M2818. Натуральное число M представили в виде произведения простых сомножителей. Затем каждый из них увеличили на 1, и произведение стало равно N. Оказалось, что N делится на M. Докажите, что если теперь разложить N на простые множители и каждый из них увеличить на 1, то полученное произведение будет делиться на N. А.Грибалко

клетки более одного раза, то будет сделано не более 2024 ходов. А.Грибалко

M2819. У 10 детей есть несколько мешков с конфетами. Дети начинают делить конфеты между собой. Каждый по очереди забирает из каждого мешка свою долю и уходит. Доля вычисляется так: делим текущее число конфет в каждом мешке на число оставшихся детей (включая себя), если нацело не поделилось – округляем до целого в меньшую сторону. Может ли всем достаться разное количество конфет, если: а) мешков всего 8; б) мешков всего 9? А.Глебов

M2821. Дорогой на плоскости будем называть прямую, по которой можно двигаться только в одну сторону. а) Петя и Вася по очереди проводят дороги, начинает Петя. Разрешается проводить только горизонтальную или вертикальную дорогу; направление на дороге выбирает тот, кто проводит дорогу (при создании этой дороги). Всегда ли Вася может действовать так, чтобы после любого его хода можно было проехать по правилам от любого перекрестка дорог до любого другого, как бы ни действовал Петя? б) Пусть на плоскости проведены несколько (конечное множество) дорог, любые две из которых пересекаются. При каком наименьшем m всегда можно добавить m дорог и сделать так, чтобы можно было проехать от любого перекрестка до любого другого? А.Перепечко

M2820. Назовем ходы коня, при которых он смещается на две клетки по горизонтали и на одну по вертикали, горизонтальными, а остальные – вертикальными. Требуется поставить коня на одну из клеток доски 46 u 46, после чего чередовать его горизонтальные и вертикальные ходы. Докажите, что если запрещено посещать

M2822. На стол положили (с перекрытиями) несколько одинаковых салфеток, имеющих форму единичного круга. Всегда ли можно вбить в стол несколько точечных гвоздей так, что все салфетки будут прибиты, причем одинаковым количеством гвоздей? В.Дольников, П.Кожевников