Решения задач М2806—М2809; Ф2813—Ф2816

20

КВАНТ 2024/№11-12

Ф2830. Заряд Q распределен равномерно по площади непроводящей сферы радиусом R. В первом опыте на расстоянии 2R от центра сферы поместили маленький шарик с зарядом q. Сила, с которой поле заряженной сферы действовало на шарик, равнялась $F_{1}$. Во втором опыте шарик удалили, а такой же заряд q равномерно распределили по длине тонкого непроводящего стержня длиной R. Этот стержень расположили на прямой, проходящей через центр заряженной сферы. Ближайшая к центру сферы точка стержня находилась на расстоянии 2R от центра сферы. Найдите силу $F_{2}$, с которой поле сферы действовало на заряженный стержень. Все опыты проводились в вакууме вдали от других тел. Все силы, кроме кулоновских, считайте пренебрежимо малыми. В.Плис

Ф2831. Приводное колесо велосипедной динамо-машинки прижимается сбоку к шине колеса велосипеда. Диаметр этого приводного колеса d. Якорь динамо-машинки, содержащий N витков каждый площадью S, вращается в однородном магнитном поле с индукцией B. С какой по величине скоростью v должен ехать велосипедист, чтобы лампочка в фаре велосипеда, рассчитанная на действующее значение напряжения U, светилась нормальным накалом при работе динамо-машинки? Сопротивления проводов ротора и лампочки (при номинальном напряжении на ней) одинаковы. В.Плис

Ф2832. Три когерентных монохроматических синфазных излучателя расположены в вакууме вдали от других тел в вершинах равностороннего треугольника со стороной а. Излучатели работают на частоте Q 100 МГц. При какой наименьшей длине стороны треугольника в дальней зоне на продолжении любой стороны треугольника волны трех источников гасят друг друга? Скорость электромагнитных волн в вакууме c 3 ˜ $10^{8}$ м с. С.Варламов, В.Плис

Решения задач М2806–М2809, Ф2813–Ф2816

M2806. Можно ли нарисовать на плоскости замкнутую 20-звенную ломаную и пронумеровать ее звенья числами 1, 2, 3, …, 20 в порядке обхода так, чтобы для каждого натурального i = 1, 2, 3, …, 10 звенья с номерами i и 10 + i пересекали друг друга и не пересекали остальные звенья?

Ответ: нельзя. Предположим противное, и пусть $A_{1} A_{2}$ … $A_{20}$ – данная ломаная. Пусть A – точка пересечения звеньев $A_{1} A_{2}$ и $A_{11} A_{12}$. Из условия следует, что первые 10 звеньев ломаной не имеют общих точек, кроме концов, тогда у нас образуется замкнутая несамопересекающая ломаная $AA_{2} A_{3} A_{4}$ … $A_{11} A$, назовем эту ломаную C (рис. 1). При этом

Рис. 1

вершины $A_{1}$ и $A_{12}$ окажутся либо одновременно внутри, либо одновременно снаружи контура C. Далее, звено $A_{12} A_{13}$ пересекает контур C ровно один раз, значит, вершины $A_{12}$ и $A_{13}$ лежат в разных частях плоскости относительно контура C: одна внутри, другая снаружи. Аналогично рассуждаем с парами вершин $A_{13}$ и $A_{14}, A_{14}$ и $A_{15}$, …, $A_{20}$ и $A_{1}$. Получается, что $A_{12}, A_{14}$, …, $A_{20}$ лежат в одной части плоскости относительно контура C, а $A_{13}, A_{15}$, …, $A_{19}, A_{1}$ – в другой. Но это противоречит нашему предыдущему выводу о том, что $A_{1}$ и $A_{12}$ находятся в одной части плоскости относительно C. Этим завершается решение. Приведем схему другого решения. Воспользуемся следующей известной теоремой о раскраске областей (в которой фактически обобщаются понятия «вне» и «внутри» для самопересекающихся ломаных).