Bài toán M2838—M2841; F2845—F2848

Bài toán trong toán học và vật lý

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: [email protected] và [email protected], tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp cho bản gốc bài toán này, đến cùng các địa chỉ. Bài toán M2838–M2841 đã được cung cấp tại Giải đấu Thành phố XLVI. Bài toán F2845–F2848 đã được đưa ra ở giai đoạn cuối của Olympic toàn Nga LVIII dành cho học sinh môn vật lý.

Bài toán M2838–M2841, F2845–F2848

M2838. Có những bình nước ép có hình tròn, không nhất thiết phải có cùng kích thước. Từ bất kỳ bình nào, bạn được phép đổ bất kỳ phần nước trái cây nào (có thể không có hoặc toàn bộ nước trái cây) vào bình liền kề ở bên phải, để nó không bị tràn và độ ngọt của hỗn hợp trong đó trở thành 10%. Được biết, tại thời điểm ban đầu, việc truyền máu như vậy có thể được thực hiện từ bất kỳ bình nào. Chứng minh rằng có thể thực hiện nhiều lần truyền máu như vậy theo thứ tự nào đó (không quá một lần từ mỗi bình), sao cho độ ngọt của hỗn hợp trong tất cả các bình không rỗng bằng 10%. A. Shapovalov

M2839. Cho số tự nhiên k. Ở một quốc gia có tiền tệ là Tugrik, chỉ có tiền giấy có mệnh giá nguyên được lưu hành. Cả người mua và người bán đều có khá nhiều tờ tiền của cả hai, nhưng mỗi lần thanh toán họ chỉ được sử dụng không quá k tờ tiền lẻ (kể cả tiền lẻ). Được biết, bằng cách này, bạn có thể thanh toán cho bất kỳ số nguyên nào từ 1 đến n tugriks. Giá trị lớn nhất có thể có của n là bao nhiêu? A. Shapovalov

M2840. Các đường cao $AA_{1}, BB_{1}, CC_{1}$ của tam giác nhọn ABC cắt nhau tại điểm H (Hình 1). Phân giác của góc B và C

Hình 1

tam giác BHC cắt các đoạn CH và BH lần lượt tại các điểm X và Y. Chúng ta biểu thị giá trị của góc $XA_{1} Y$ bằng D. Tương tự, chúng ta xác định E và J. Tìm giá trị của tổng D E J. A. Doledenok

M2841*. Petya sơn mỗi ô của bảng 2 m u 2 n màu đen hoặc trắng sao cho các ô mỗi màu tạo thành một đa giác. Sau đó Vasya cắt bảng thành các quân domino (hình chữ nhật gồm hai hình vuông). Petya cố gắng đảm bảo rằng cuối cùng có càng nhiều quân domino hai màu càng tốt, và Vasya cố gắng đảm bảo rằng có càng ít quân domino hai màu càng tốt. Số lượng quân domino hai màu lớn nhất mà Petya có thể đảm bảo là bao nhiêu, bất kể Vasya hành động như thế nào? A. Gribalko

23

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

F2845. Từ điểm A, nằm bên bờ sông có chiều rộng l, một chiếc thuyền máy nhỏ được vận chuyển sang bờ đối diện (Hình 2). Bờ sông

Hình 2

song song với nhau. Vận tốc dòng sông ở mọi nơi đều như nhau và bằng u. Ở bờ đối diện của sông, trên cùng đường vuông góc với bờ có điểm A, điểm B nằm. Vận tốc của thuyền so với nước không đổi và bằng 2u, vectơ của nó trong suốt thời gian băng qua vuông góc với đường thẳng BC, trong đó C là tâm của thuyền. Tại một thời điểm nào đó $t_{1}$ tốc độ của thuyền so với bờ vuông góc với đường bờ. 1) Thuyền bắt đầu di chuyển từ điểm A theo hướng nào: thuận dòng hay ngược dòng? 2) Tìm góc ABC tại thời điểm $t_{1}$. 3) Thuyền sẽ cách điểm B bao nhiêu khi đến bờ bên kia sông? 4) Lúc $t_{1}$ thuyền sẽ ở cách điểm B bao nhiêu? 5) Tìm bán kính cong quỹ đạo của thuyền trong hệ quy chiếu bờ cho hai trường hợp: a) tại thời điểm xuất phát từ điểm A; b) tại thời điểm $t_{1}$. A. Shishkina

F2846. Trên một mặt phẳng nằm ngang có hai vật: một tấm ván dài có chiều cao h và một hình trụ đồng chất có bán kính R = 2h chạm vào nhau (Hình 3). Khối lượng của hình trụ là M. Hệ số ma sát giữa hình trụ và bề mặt là

Hình 3

“QUANTA”

và giữa các vật cũng bằng nhau và bằng P. Bảng chuyển động với gia tốc ngang không đổi a, hướng vuông góc với đường tiếp xúc với hình trụ. Gia tốc trọng trường là g. Tại những giá trị nào gia tốc a của tấm ván thì hình trụ sẽ không quay quanh trục nằm ngang nếu hệ số ma sát P có thể nhận giá trị nào lớn hơn 0? A. Ivshin, E. Vasenin, A. Vergunov

F2847. Một bình hình trụ đặt thẳng đứng trong trường trọng lực chứa một lượng khí lý tưởng đơn nguyên tử đặt dưới một pít-tông khổng lồ nằm ngang có khối lượng m = 100 kg. Phía trên piston có chân không. Piston ở trạng thái cân bằng và có thể di chuyển dọc theo thành bình mà hầu như không có ma sát. Pít-tông được cố định ở vị trí cân bằng này, sau đó đặt một vật nặng có khối lượng M lên nó. Sau đó piston được thả ra. Với chuyển động tiếp theo của pít-tông cùng với trọng lượng, khoảng cách tối thiểu của nó $h_{min}$ đến đáy bình bằng một nửa khoảng cách ban đầu $h_{0} = 1,0$ m. Xác định: 1) khối lượng của vật nặng M; 2) mô-đun tăng tốc tối đa $a_{max}$ của piston với trọng lượng trong quá trình chuyển động; 3) mô-đun tốc độ tối đa $v_{max}$ của piston với trọng lượng trong quá trình chuyển động. Sau một thời gian dài, piston dừng lại. 4) Tìm khoảng cách h đến đáy bình nơi pít-tông sẽ ở trạng thái cân bằng nhiệt động mới. Nhiệt dung của bình và piston không đáng kể, không truyền nhiệt ra môi trường. Khi piston di chuyển từ vị trí ban đầu đến điểm dừng đầu tiên, các quá trình trong chất khí có thể được coi là cân bằng. Khối lượng của khí nhỏ hơn nhiều so với khối lượng của piston. Xét gia tốc trọng trường bằng g 10 m $с^{2}$. A. Apollonsky

F2848. Trong một mạch điện vô hạn, một đoạn mạch được minh họa trên Hình 4, mỗi ô hình tam giác chứa ba nguồn có cùng công suất