Một cánh cửa khác của toán học

ĐÁNH GIÁ, THƯ VIỆN

Một cánh cửa khác của toán học

TOÁN HỌC LÀ MỘT KHOA HỌC PHỨC HỢP và con đường đến với toán học không hề dễ dàng. Ben Orlin, trong cuốn sách Trò chơi toán học với sự ngu ngốc $рисунками»^{1}$, đã mở ra cánh cửa cho độc giả đến với thế giới toán học thông qua các trò chơi. Tác giả thường chia các trò chơi được trình bày trong sách thành năm loại: trò chơi hình học, trò chơi số, trò chơi tổ hợp, trò chơi may rủi và trò chơi thông tin. Đồng thời, ông không đặt cho mình mục tiêu trình bày một cách có hệ thống bất kỳ ngành toán học nào. Orlin không giải thích nhiều về toán học bằng việc lôi kéo bạn vào nó. Anh ta

1 B. Orlin. Trò chơi toán học với những hình vẽ ngộ nghĩnh. - M.: Phi hư cấu Alpina, 2023.

thể hiện cách tiếp cận các chủ đề và vấn đề toán học khác nhau thông qua trò chơi. Tác giả cho thấy toán học bao quanh chúng ta theo đúng nghĩa đen và các trò chơi toán học có thể được tìm thấy ở hầu hết mọi nơi nếu bạn điều chỉnh nhận thức của mình một cách chính xác. Tác giả xem xét chi tiết một số trò chơi, mở ra những chân trời mới cho người đọc, trong khi những trò chơi khác chỉ được mô tả một cách khái quát, nhường chỗ cho nghiên cứu độc lập. Những hình ảnh minh họa trong sách đều do tác giả thực hiện và đáng được quan tâm đặc biệt. Nếu bạn đã quen thuộc với những cuốn sách khác của Orlin, chẳng hạn như Math with Wacky Pictures hay The Time of Variables, bạn sẽ nhận ra phong cách của ông. Những bức vẽ vui nhộn giải thích các vị trí chơi để giúp bạn hiểu rõ hơn về luật chơi và đôi khi dùng để giải thích những ý tưởng phức tạp. Lời kể được trình bày theo phong cách nhẹ nhàng, sự hài hước nhẹ nhàng và những bình luận nghịch lý của tác giả không chỉ thu hút sự chú ý mà còn khuyến khích tư duy. Bạn có thể làm việc với cuốn sách ở nhiều cấp độ khác nhau. Bạn có thể chỉ cần dành thời gian để giải trí hoặc có thể đắm mình vào trò chơi này hoặc trò chơi kia một cách lâu dài: nghiên cứu các kết nối, lịch sử, chiến lược của nó, đưa ra các biến thể mới hoặc so sánh nó với các trò chơi khác. Sách phù hợp với độc giả từ 9 đến 99 tuổi nhưng sẽ đặc biệt hữu ích cho học sinh trung học. Những trò chơi thú vị có thể là sự khởi đầu của nghiên cứu độc lập - cả nghiêm túc và không quá nghiêm túc. Học sinh, đặc biệt là trong các cuộc thi và kỳ thi, thường nghĩ rằng điều quan trọng là phải giải bài toán nhanh chóng. Nhưng toán học “người lớn” thực sự đòi hỏi một cách tiếp cận khác: chậm rãi, sâu sắc, đắm chìm trong chi tiết và nghiên cứu mối liên hệ giữa các vấn đề và các lĩnh vực khác nhau của toán học. Đây là cách tư duy toán học được hình thành. Và trò chơi mang lại cơ hội tuyệt vời cho việc này: chúng rất thú vị, bạn có thể chơi đi chơi lại, đạt đến cấp độ mới, tư duy, nghĩ ra các chiến lược mới. Đồng thời, chúng tôi cố gắng

45

ĐÁNH GIÁ,

các mô hình khoa học, nghiên cứu các trường hợp đặc biệt, khái quát hóa kết quả, đưa ra các giả thuyết và kiểm tra chúng, ngày càng đặt ra nhiều câu hỏi mới cho bản thân. Điều này cho phép bạn trải nghiệm cảm hứng, niềm đam mê và niềm vui thành công thực sự - những thành phần quan trọng của sự sáng tạo toán học. Dưới đây là hai ví dụ về trò chơi từ cuốn sách.

Trò chơi “Thống trị”

Trong trò chơi này, hai người chơi lần lượt đặt quân domino lên một bảng hình chữ nhật. Một người đặt quân domino theo chiều dọc, người kia đặt theo chiều ngang. Nếu một người chơi không thể di chuyển, anh ta sẽ thua. Kích thước trường không được chỉ định, điều này ngay lập tức đặt ra câu hỏi. Sân đấu phải rộng bao nhiêu để trò chơi không quá dễ cũng không quá khó? Có chiến lược chiến thắng không? Cái mà? Chúng có thay đổi tùy thuộc vào kích thước của trường không? Bạn nên chơi một vài trò chơi trước để cảm nhận về trò chơi. Bạn nên bắt đầu với các ô nhỏ, ví dụ 2 u 2, 2 u 3 hoặc 3 u 3. Bạn nên chú ý đến chiến lược và chiến thuật được sử dụng, theo dõi số lần di chuyển, đặc điểm của trò chơi khi bắt đầu và kết thúc trò chơi. Nó cũng đáng để xem xét

THƯ VIỆN

mẹ ơi, làm thế nào để chuyển những hiểu biết đã học về trò chơi trên sân nhỏ sang trò chơi trên sân lớn. Để khám phá sâu hơn, bạn có thể thay đổi số lượng người chơi hoặc thêm chướng ngại vật vào sân. Có rất nhiều chỗ cho sự sáng tạo.

Trò chơi “Con lợn”

Trò chơi này có thể được chơi bởi hai đến tám người. Trong lượt của mình, bạn có thể tung một cặp xúc xắc bao nhiêu lần tùy thích, mỗi lần cộng tổng điểm vào điểm của bạn. Bạn có thể dừng lại bất cứ lúc nào. Người đầu tiên ghi được 100 điểm sẽ thắng. Có một số phần thưởng: nếu cả hai viên xúc xắc lăn cùng một số thì tổng sẽ tăng gấp đôi (ví dụ: 5 + 5 có giá trị 20 điểm) và hai viên xúc xắc có giá trị 25 điểm. Nhưng hãy cẩn thận: nếu một con xúc xắc ra một con còn con kia không ra (xác suất xảy ra kết quả này là khoảng 28%), thì tất cả số điểm ghi được trong lượt sẽ được đặt lại về 0 (điểm ghi được ở lượt trước sẽ được lưu) và lượt đó thuộc về đối thủ. Bạn sẽ tiếp cận việc nghiên cứu trò chơi này như thế nào?

N. Shikhova

ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN, GIẢI PHÁP

«Kvant» cho học sinh nhỏ

(trọng lượng do trọng tài lấy được in đậm):

1. Đáp số được hiển thị trong Hình 1.

10 + 11 = 21, 10 + 12 = 22, 10 + 13 = 23, …

(xem «Kvant» số 3)

…, 10 + 19 = 29.

Hình 1

2. 580753. Hãy lập bảng tương ứng giữa các số trong mẫu và số dòng:

Lưu ý rằng chỉ một vật nặng có khối lượng 10 g mới có thể cùng với chín quả nặng khác nhau tạo ra khối lượng của một số vật nặng khác. Điều này có nghĩa là kết quả của những lần cân này sẽ cho phép trọng tài tìm ra quả cân nào có khối lượng 10 g và 20 g (quả cân đầu tiên có trong tất cả các lần cân của loạt bài này và quả cân thứ hai không được sử dụng), đồng thời chia các quả cân còn lại thành các cặp có chênh lệch khối lượng là 10 g và trong mỗi cặp sẽ biết quả cân nào nhẹ hơn. Khi trọng tài chọn quả cân có khối lượng từ 22 g đến 29 g, người giám định thực hiện như sau:

10 + 11 < 22, 10 + 12 < 23, 10 + 13 < 24, …

…, 10 + 18 < 29.

Tanya có số dòng sau: 5, 7, 6, 3, 5, 4. Lưu ý rằng chỉ có số 8 có bảy dòng trong mẫu, vì vậy số thứ hai trong chỉ mục của Tanya là 8 và nó được viết đúng. Ngoài ra, chỉ có sáu dòng được sử dụng khi viết số 0, có nghĩa là số thứ ba là 0 và Tanya đã mắc một lỗi trong đó. Chữ số cuối cùng trong chỉ mục có thể là 2, 3 hoặc 4, nhưng trong trường hợp số 2 và 4, Tanya sẽ mắc ba lỗi mỗi chữ số. Do đó, chữ số cuối cùng là 3 và có một lỗi trong đó. Như vậy, có hai lỗi xảy ra ở ba hình còn lại. Bây giờ thật dễ dàng để kiểm tra xem chữ số đầu tiên và thứ năm của chỉ số có bằng 5 và chữ số thứ tư bằng 7 hay không. 3. Một hình tam giác. Cấp. Hãy biểu thị độ dài của que màu đỏ là $r_{1} d r_{2} d r_{3}$, que màu vàng là $y_{1} d y_{2} d y_{3}$ và que màu xanh lá cây là $g_{1} d g_{2} d g_{3}$. Vì ba que có màu khác nhau tạo thành một hình tam giác nên $r_{1} y_{2}$! $g_{3}, y_{1} g_{2}$! $r_{3}$ và $g_{1} r_{2}$! $y_{3}$. Cộng ba bất đẳng thức này, ta được $r_{1} r_{2} y_{1} y_{2} g_{1} g_{2}$!! $r_{3} y_{3} g_{3}$. Do đó, ít nhất một trong các bất đẳng thức $r_{1} r_{2}$ phải được thỏa mãn! $r_{3}, y_{1} y_{2}$! $y_{3}$ hoặc $g_{1} g_{2}$! $g_{3}$, tức là chắc chắn có thể gấp được ít nhất một hình tam giác que cùng màu. Ví dụ. Cho ba que màu đỏ có chiều dài 3 và các que màu vàng và xanh có chiều dài 2, 2, 4. Khi đó một bộ ba que có màu khác nhau có thể có độ dài {2, 2, 3}, {2, 3, 4} hoặc {3, 4, 4}. Hình tam giác được làm từ tất cả các bộ này. Trong trường hợp này, hình tam giác một màu chỉ có thể được làm từ que màu đỏ. 4. Có thể. Khi giám khảo chọn quả cân có trọng lượng từ 11 g đến 19 g, chuyên gia sẽ tiến hành cân như sau:

Các trọng số này sắp xếp các cặp thu được sau chuỗi đầu tiên. Do đó, dựa trên kết quả của chúng, trọng tài sẽ xác định khối lượng của tất cả các vật nặng có trong chúng. Trọng tài cũng sẽ chọn những quả nặng có khối lượng 10 g, 20 g và 21 g - trong những trường hợp này chuyên gia có thể làm bất cứ điều gì mình muốn. Bình luận. Trong lời giải này có ba lần cân, kết quả của chúng không có ý nghĩa quan trọng trong việc xác định khối lượng của tất cả các quả cân. Có một thuật toán đã biết trong đó có chín lần cân “bổ sung” như vậy.

Cuộc thi mang tên A.P. Savin

(xem «Kvant» số 2)

21. Hãy nhẩm di chuyển hình tam giác trên xuống vectơ tương ứng với một trận đấu. Bằng cách đặt các que diêm vào hai trong số ba đoạn mới, chúng ta thu được cấu trúc như trong Hình 2. Mỗi phần được tạo thành từ một hình tam giác đều trong Hình 2 và một hình thoi với $углом^{30q}. 22.$ a) Có; b) có. a) Nếu có hai trẻ chơi cùng một cặp đồ chơi hai lần thì hai trẻ còn lại cũng chơi cùng một cặp đồ chơi đó. Điều này có nghĩa là bạn có thể cho hai đứa trẻ đồ chơi đầu tiên trong số hai đứa trẻ còn lại và ngược lại - bằng cách này mọi người sẽ có một món đồ chơi mới. Nếu tất cả trẻ đã chơi với các cặp đồ chơi khác nhau thì hãy để trẻ đầu tiên chơi với vịt con và voi con. Rồi có một đứa trẻ chơi với một con vịt con nhưng không

55

ĐÁP ÁN,

HƯỚNG DẪN

với một chú voi con (gọi là chú voi thứ hai), có một đứa trẻ chơi với chú voi con nhưng không chơi với vịt con (dù chú ấy là chú voi con thứ ba), và đứa trẻ thứ tư không chơi với cả voi con lẫn vịt con. Sau đó, bạn có thể cho người thứ tư một con voi con, người thứ ba một con vịt con, người thứ hai bạn có thể đưa đồ chơi từ hai người còn lại mà người đó chưa có, và người thứ nhất bạn có thể đưa đồ chơi còn lại (mà người thứ hai đã chơi rồi). b) Vì vậy, ba lần đầu tiên giáo viên đã đưa cho mỗi em một món đồ chơi mà em chưa có, tức là mỗi em chỉ còn một món đồ chơi mà em chưa chơi. Giả sử có hai đứa trẻ chưa chơi cùng một món đồ chơi - chẳng hạn như với một con vịt con. Sau đó, ba lần đầu vịt con đã đến tay hai đứa trẻ khác - điều đó có nghĩa là một số trong chúng đã có được nó hai lần, một điều mâu thuẫn. Vì vậy, bạn có thể tặng mọi người một món đồ chơi mà họ chưa có và mọi người sẽ nhận được một món đồ chơi. 23. 42. Đánh giá. Cho hình cắt chứa x góc mỗi loại. Vì góc lớn bao gồm 48 ô, góc giữa - gồm 12 và góc nhỏ - gồm 3 ô, nên chúng ta có

48 x 12 x 3 x

63 x

$n^{2}$.

Ta thấy rằng $n^{2}$ chia hết cho $на^{63} 3^{2} ˜^{7}$, do đó n chia hết cho $на^{3} ˜^{7} 21$. Trường hợp n = 21 là không thể. Hãy chứng minh điều đó. Giả sử n = 21 và do đó, $x = 7. Отметим^{11} 2^{121}$ ô $квадрата^{21} u^{21}$, như trong Hình 3. Góc lớn chứa 12 ô được đánh dấu, ô ở giữa - 3, ô nhỏ - 0 hoặc 1. Do đó, không còn ô được đánh dấu nào nữa

Hình 3

GIẢI PHÁP

7 12 3 1 112 121. Mâu thuẫn. Số n là bội số của 21 nên $n t^{42}$. Ví dụ. Hãy cho một ví dụ về cách cắt một hình vuông có cạnh n = 42. Đầu tiên, chia hình vuông thành ba hình chữ nhật $2 u 42,^{40} u^{6},^{40} u^{36}$. Chúng tôi sẽ chỉ ra cách chúng tôi chia chúng thành các góc. 1) Chia hình chữ nhật 2 u 42 thành $42 : 3 14 прямоугольников^{2} u^{3}$, mỗi hình chữ nhật được chia thành hai góc nhỏ. $Получим^{14} ˜^{2} 28$ góc nhỏ. 2) Chia hình chữ nhật 40 u 6 thành $40 : 4 10 прямоугольников^{4} u^{6}$, mỗi hình chữ nhật được chia thành hai góc ở giữa. Chúng ta có 10 2 20 góc ở giữa. 3) $Прямоугольник^{40} u^{36}$ chia cho 40: 8 36: 12 15 hình chữ nhật 8 u 12; Chúng ta sẽ chia 14 góc thành hai góc lớn và một góc thành 8 góc vừa. $Получим^{14} ˜^{2} 28$ góc lớn và 8 góc vừa. Tổng số góc của mỗi loại là 28. 24. 3. Như đã biết, bất kỳ đa giác nào cũng có thể được cắt thành hình tam giác bằng các đường chéo không giao nhau (ví dụ, xem cuốn sách của V.V. Prasolov “Bài toán về phép đo mặt phẳng”, chương “Đa giác lồi và không lồi”). Chia bảo tàng thành các hình tam giác theo cách này, chúng ta thấy rằng bất kỳ điểm nào trong bảo tàng đều nằm bên trong hoặc trên đường viền của một hình tam giác như vậy, có nghĩa là có thể nhìn thấy ít nhất ba đỉnh của hình thập giác tạo thành bảo tàng từ đó. Vì vậy, có thể nhìn thấy ít nhất 3 tác phẩm điêu khắc từ mỗi điểm. Hãy đưa ra một ví dụ khi có một điểm bên trong bảo tàng mà từ đó chỉ có thể nhìn thấy ba tác phẩm điêu khắc. Hãy xem xét một “căn phòng” hình tam giác, từ đó có ba “hành lang” hẹp phân nhánh (Hình 4). Các hành lang có thể được làm đủ dài để không nhìn thấy quá ba tác phẩm điêu khắc từ chấm đỏ.

Hình 4