Giai đoạn cuối cùng của Olympic toàn Nga LI dành cho học sinh môn toán

45

Thế Vận Hội

xác định tổng chiều sâu của giếng thế. Chúng tôi tin rằng thành phần van der Waals U không thay đổi, vì mật độ của nước thay đổi rất ít (4%). Ví dụ, ở nhiệt độ 0 q C, nhiệt bay hơi trên mỗi mol nước $Q_{0}$, theo bảng trên, bằng 45 kJ mol. Chúng ta hãy tính nhiệt bay hơi này $Q_{0}$ bằng cách sử dụng các công thức dẫn xuất trước đó:

0,857 42 U 4,5 R 273 K $Q_{0} 3 1 R$ 273 K, từ đó $Q_{0} | 45$ kJ mol. Cũng là một sự trùng hợp tuyệt vời! Bạn có thể thử áp dụng mô hình tương tự cho nước ở nhiệt độ gần tới hạn (374 q C), ví dụ: ở nhiệt độ 370 q C 643 K. Trong những điều kiện như vậy, mật độ của nước đã nhỏ hơn hai lần rưỡi so với ở 277 K. Điều này có nghĩa là sự đóng góp của thành phần van der Waals đã trở nên ít hơn $2,5^{2} | 6$ lần. răng hàm

nhiệt bay hơi (theo bảng) xấp xỉ 7,9 kJ mol. Như vậy,

x 42 1,6 0,5 R 643 K 7,9

0, từ đó tìm được phần x của liên kết hydro còn lại “đang hoạt động”: x = 0,21. Điều này có nghĩa là chỉ còn lại khoảng 1/5 số liên kết hydro trước đó (trong nước đá lạnh) trên mỗi mol phân tử. Nói cách khác, trung bình có ít hơn một liên kết hydro trên mỗi phân tử trong những điều kiện này (nhiệt độ tới hạn rất gần!). Việc phân chia thế năng tương tác của các phân tử thành hai phần được đề xuất trong mô hình mô tả tính chất nhiệt của nước, như có thể thấy từ các tính toán trên, có được sự thống nhất tốt giữa các dự đoán của mô hình và dữ liệu thực nghiệm trong một phạm vi rộng nhiệt độ từ rất thấp đến gần tới hạn.

Thế Vận Hội

Giai đoạn cuối cùng của Olympic toàn Nga LI dành cho học sinh môn toán

Giai đoạn cuối cùng của Olympic Toán học toàn Nga LI diễn ra từ ngày 16 tháng 4 đến ngày 22 tháng 4 năm 2025 trên Lãnh thổ Liên bang Sirius. Những người tham gia lưu ý rằng ban tổ chức, với sự hỗ trợ của các đối tác truyền thống của Olympic toàn Nga, đã đạt được chất lượng tổ chức Olympic rất cao. “Sirius” quy tụ khoảng 500 nhà toán học trẻ giỏi nhất đất nước; sáu học sinh đến từ Trung Quốc cũng tham gia Olympic trực tuyến năm nay ở tỉnh Tứ Xuyên. Đại diện của 29 khu vực của Nga, trong tổng số 221 người tham gia Olympic, đã được trao bằng tốt nghiệp cho người chiến thắng hoặc người đoạt giải. Ba bảng sau đây phản ánh sự thành công của lời giải bài toán (kết quả của tất cả những người tham gia Nga được tính đến; người tham gia đã đạt ít nhất 5 trên 7 điểm có thể cho điều này bài toán được coi là đã giải được bài toán).

lớp 9

lớp 10

46

lớp 11

KVANT 2025/№5–6

Phạm vi điểm cần thiết để trở thành người chiến thắng hoặc á quân được hiển thị trong một bảng khác.

ny hình tam giác không có một đoạn chung của đường viền? S. Berlov

2. Các đường chéo của tứ giác lồi ABCD cắt nhau tại điểm E. Các điểm tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE và CDE với các tiếp tuyến chung ngoài nằm trên đường tròn Z. Điểm tiếp tuyến của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ADE và BCE với các tiếp tuyến chung ngoài của chúng nằm trên đường tròn J. Chứng minh rằng tâm của các đường tròn Z và J trùng nhau. A. Tereshin

3. Xem bài toán M2848 “Bài toán Kvant”.

Theo truyền thống, vào cuối Thế vận hội, một cuộc khảo sát đã được thực hiện giữa những người tham gia, trong đó các chàng trai chỉ ra bài toán yêu thích của họ. Trong “cuộc thi sắc đẹp” dựa trên vấn đề này ở lớp 9 và 10, bài toán tương tự ở môn lý thuyết số (bài toán 3, tác giả - Taisiya Korotchenko) đã chiến thắng; ở lớp 11, bài toán môn lập thể (bài toán 2, tác giả - Alexander Tereshin) được công nhận là giỏi nhất. bài toán sau đây cũng chiếm các vị trí đoạt giải: ở lớp 9 – bài toán 4 (vị trí thứ 2) và 5 (vị trí thứ 3), ở lớp 10 – bài toán 7 (vị trí thứ 2) và 1 (vị trí thứ 3), ở lớp 11 – bài toán 4 (vị trí thứ 2) và 8 (vị trí thứ 3). Dưới đây là các điều kiện bài toán và danh sách những người chiến thắng ở chặng cuối của Olympic Toán học toàn Nga dành cho học sinh LI.

Lớp 9 1. Trên một tờ giấy hình chữ nhật vẽ các đoạn thẳng song song với các cạnh của tờ giấy đó. Các đoạn này chia tờ giấy thành nhiều hình chữ nhật, bên trong không có đường kẻ nào được vẽ. Petya muốn vẽ một đường chéo trong mỗi hình chữ nhật có vách ngăn, chia nó thành hai hình tam giác và tô màu đen hoặc trắng cho mỗi hình tam giác. Phải chăng anh ấy chắc chắn sẽ làm được điều này để không có hai chiếc cùng màu?

Điều kiện bài toán

4. Vua cờ vua được đặt trên một ô của bàn cờ 8 và 8 và thực hiện 64 nước đi sao cho vua đi hết các ô và trở về ô ban đầu. Tại mỗi thời điểm, khoảng cách từ tâm hình vuông nơi vua đứng đến tâm của toàn bộ bàn cờ đã được tính toán. Chúng ta hãy gọi một nước đi là dễ chịu nếu do kết quả của nước đi đó, khoảng cách này trở nên ngắn hơn so với trước khi di chuyển. Tìm số bước di chuyển dễ chịu nhất có thể. (Vua cờ di chuyển một nước đến ô vuông cạnh bên hoặc góc.) S. Tokarev

5. Đặt $P_{1} x$ và $P_{2} x$ là tam thức bậc hai rút gọn và đặt các điểm $A_{1}$ và $A_{2}$ lần lượt là các đỉnh của parabol $y P_{1} x$ và $y P_{2} x$. Gọi m g x là giá trị nhỏ nhất của hàm g x. Được biết, hiệu $m P_{1} P_{2} x m P_{1} x$ và $m P_{2} P_{1} x m P_{2} x$ hóa ra là những số dương bằng nhau. Tìm góc giữa đường thẳng $A_{1} A_{2}$ và đường thẳng chứa trục Ox. N. Agakhanov

6. Petya chọn 100 cặp số dương khác nhau nhỏ hơn 1 và sắp xếp chúng thành một vòng tròn. Sau đó, anh ta thực hiện các hoạt động trên chúng. Trong một thao tác, bạn có thể lấy ba số a, b, c đứng thành một hàng (theo thứ tự đó) và thay số b bằng a b c. Petya có thể chọn được các số ban đầu ở mức tối đa bao nhiêu và thực hiện một số

47

Thế Vận Hội

sao cho sau chúng có k số nguyên trong số đó? S. Berlov

7. Các số 1, 2, 3, …, 60 được viết trên dòng (theo đúng thứ tự đó). Igor và Ruslan thay phiên nhau đặt các dấu “+”, “-” và “u” giữa họ, Igor bắt đầu; Mỗi người chơi đặt một dấu hiệu mỗi lượt. Khi một dấu được đặt giữa hai số liền kề, giá trị của biểu thức thu được sẽ được tính. Nếu nó chia hết cho 3 thì phần thắng thuộc về Igor, ngược lại - thuộc về Ruslan. Người chơi nào có thể giành chiến thắng, bất kể hành động của đối thủ? I. Efremov

8. Trên chu vi tam giác ABC, các điểm $D_{1}, D_{2}, E_{1}, E_{2}, F_{1}, F_{2}$ được chọn sao cho khi đi quanh chu vi các điểm gặp theo thứ tự $A, F_{1}, F_{2}, B, D_{1}, D_{2}, C, E_{1}, E_{2}$. Hóa ra là $AD_{1} AD_{2} BE_{1} BE_{2} CF_{1} CF_{2}$. Chứng minh rằng chu vi của các tam giác tạo thành bởi bộ ba đường thẳng $AD_{1}, BE_{1}, CF_{1}$ và $AD_{2}, BE_{2}, CF_{2}$ bằng nhau. K. Belsky

Lớp 10 1. Xem bài toán M2846 “Bài toán Kvant.

2. Bên trong tam giác ABC lấy điểm P. Điểm Q được đánh dấu trên đoạn AB và điểm R được đánh dấu trên đoạn AC sao cho các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác BPQ và CPR tiếp xúc với đường thẳng AP. Qua các điểm B và C vẽ các đường thẳng đi qua tâm ngoại tiếp tam giác BPC, qua các điểm Q và R - các đường thẳng đi qua tâm ngoại tiếp tam giác PQR. Chứng minh rằng có một đường tròn tiếp xúc với bốn đường thẳng đã vẽ. A. Tereshin, A. Kuznetsov

3. Xem bài toán M2848 “Bài toán Kvant”.

4. $10^{6}$ điểm được đánh dấu trên mặt phẳng, không có ba điểm nào nằm trên cùng một đường thẳng và tất cả các đoạn giữa chúng đều được vẽ. Grisha đặt trên mỗi đoạn được vẽ một số thực, mô đun không vượt quá 1 và với mỗi sáu điểm được đánh dấu, anh ta tính tổng các số trên

tất cả 15 đoạn kết nối chúng. Hóa ra mỗi tổng như vậy không nhỏ hơn số C về giá trị tuyệt đối và trong số các tổng đó có cả số dương và số âm. Ở mức C cao nhất thì điều này có thể xảy ra? G. Chelnokov

5. Cho số tự nhiên n. Các số tự nhiên 1, 2, …, n được viết thẳng hàng trên bảng theo thứ tự nào đó. Với mỗi hai số liền kề, GCD (ước số chung lớn nhất) của chúng được tính và GCD này được viết ra trên một tờ giấy. Số lớn nhất của các số khác nhau có thể có trong số n – 1 số được viết trên tờ giấy là bao nhiêu? I. Bogdanov

6. Tại mức k tối thiểu nào đối với bất kỳ đa thức f x bậc 100 nào có hệ số thực thì có đa thức g x bậc không cao hơn k với hệ số thực sao cho đồ thị của y f x và y g x có đúng 100 điểm chung? A. Kuznetsov

7. Chương trình thi đấu bao gồm 25 môn thể thao, trong đó mỗi môn thể thao sẽ xác định một người chiến thắng sẽ nhận được huy chương vàng. 25 vận động viên tham gia thi đấu, mỗi người ở tất cả 25 môn thể thao. Có 25 chuyên gia, mỗi chuyên gia phải đưa ra dự đoán xem mỗi vận động viên sẽ nhận được bao nhiêu huy chương vàng và trong dự báo của mình, số huy chương phải là số nguyên không âm có tổng bằng 25. Một chuyên gia được công nhận là có năng lực nếu đoán đúng số huy chương vàng của ít nhất một vận động viên. Với k lớn nhất mà các chuyên gia có thể đưa ra dự đoán là bao nhiêu để ít nhất k trong số họ được công nhận là có năng lực, bất kể kết quả của cuộc thi như thế nào? M. Fedotova

lớp 11

8. Xem bài toán 8 cho lớp 9.

9. 777 số phức phân biệt theo cặp được viết lên bảng. Hóa ra có đúng 760 cách để chọn hai số một

48

KVANT 2025/№5–6

và b, được viết trên bảng, sao cho đẳng thức $a^{2} b^{2} 1 2 ab$ giữ nguyên. Các phương pháp khác nhau trong việc sắp xếp lại các số được coi là giống nhau. Chứng minh rằng có thể chọn được hai số c và d viết trên bảng sao cho $c^{2} d^{2} 2025 2 cd$. A. Kuznetsov

tăng mỗi người lên 1. Các chàng trai thay phiên nhau, Petya bắt đầu. Chứng minh rằng Vasya có thể hành động sao cho sau mỗi nước đi của anh ta có ít nhất 5 số dương trong số 100 số được viết ra, bất kể Petya chơi như thế nào. S. Berlov

2. Xem bài toán M2847 “Bài toán Kvant”.

3. Tứ giác ABCD không có cạnh song song nội tiếp trong đường tròn: Các đường tròn $Z_{a}, Z_{b}, Z_{c}, Z_{d}$ lần lượt nội tiếp các tam giác DAB, ABC, BCD, CDA. Chúng ta vẽ các tiếp tuyến chung ngoài của các đường tròn $Z_{a}$ và $Z_{b}, Z_{b}$ và $Z_{c}, Z_{c}$ và $Z_{d}, Z_{d}$ và $Z_{a}$ không chứa các cạnh của hình tứ giác ABCD. Một tứ giác có các cạnh liên tiếp nằm trên bốn đường thẳng (theo thứ tự đó) thì nội tiếp đường tròn *. Chứng minh rằng các đường nối tâm của các đường tròn $Z_{a}$ và $Z_{c}, Z_{b}$ và $Z_{d}$,: và * cắt nhau tại một điểm. A. Kuznetsov

4. Ta gọi một cặp đa thức F x, y và G x, y là quan trọng nếu từ khả năng chia hết cho 100 của cả hai hiệu F a, b F c, d và G a, b G c, d, trong đó a, b, c, d là các số nguyên, suy ra các số a – c và b – d đều chia hết cho 100. Có cặp đa thức P x, y, Q x, y quan trọng nào mà cặp đa thức P x, y xy và Q x, y xy cũng quan trọng phải không? A. Golovanov

5. Xem bài toán M2849 “Bài toán Kvant”.

6. Xem bài toán 5 cho lớp 10.

7. 100 đơn vị được viết trong một vòng tròn. Petya và Vasya chơi một trò chơi, mỗi người thực hiện $10^{10}$ nước đi. Với mỗi nước đi của mình, Petya chọn được 9 số liên tiếp và giảm mỗi số đi 2. Với mỗi nước đi của mình, Vasya chọn được 10 số liên tiếp và

lớp 9

8. Cho f: ¡ o ¡ là một hàm liên tục. Dây cung là một đoạn có độ dài nguyên song song với trục hoành, các đầu của nó nằm trên đồ thị của hàm f. Biết rằng đồ thị của hàm f có đúng N dây, trong đó có dây có độ dài 2025. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của N. A. Kuznetsov

người chiến thắng Olympic

Elizaveta Aksenova – St. Petersburg, Maxim Glavatskikh – Cộng hòa Tatarstan, Kirill Rovinsky – Moscow, Nelly Burovik – St. Petersburg;

lớp 10

Kravchenko Roman - St. Petersburg, Shishko Andrey - Moscow,

Sokolov Anatoly – vùng Moscow, Prokudina Arina – vùng Chelyabinsk;

lớp 11

Chasovskikh Ivan - Vùng Moscow, Koptilin Ratibor - Vùng Novosibirsk, Grishko Dmitry - Moscow, Patrushev Vasily - Lãnh thổ Primorsky, Zamotorin Ilya - St. Petersburg.

Ấn phẩm được biên soạn bởi N. Agakhanov, I. Bogdanov, P. Kozhevnikov, A. Kuznetsov, O. Podlipsky, K. Sukhov