Kvant 1970 年第 2 期 · 页面

科普物理和数学
量子
2
1970
杂志
学院
苏联科学
和
教育学院
苏联科学

编辑集：

L.A.Artsimovich，院士
M·I·巴什马科夫
V. G. Boltyansky，苏联教育科学院通讯院士
（副主编）
I·N·布朗斯坦
N·B·瓦西里耶夫
I·F·金兹堡
V. G. Zubov，苏联教育科学院院士
P. L. Kapitsa，院士
V.A.基里林，院士
G·I·科索罗夫
（副主编）
V·A·列什科夫采夫
V·P·利舍夫斯基
A. I. Markushevich，苏联教育科学院院士
M. D. Millyunchikov 院士
N·A·帕特里克耶娃
N.Kh.罗佐夫
A.P.萨文
I.Sh.斯洛博德希
M·L·斯莫良斯基
是啊。 A. Smorodinsky，物理和数学博士。科学
V. A. Fabrikant，苏联教育科学院院士
（执行秘书）
J·E·施奈德

编辑部主任 L. I. Knyazeva。
艺术编辑 I. P. 列昂诺夫。
技术编辑 V. S. Nikiforova。
校对员 I. B. Mamulova 和 G. S. Smolikova
《科学》出版社
物理数学文献主编室

以 16/XII-69 套装形式交付。子。到炉子 6/111-70
纸 70×1001/16 物理量奥恩湖4.有条件的烘箱l． 5.2.
学术版。湖5.4 发行量205,500份。 T-00213
价格30戈比。订单 2520。

契诃夫印刷厂 Glavpolygraphprom
苏联部长会议新闻委员会
契诃夫，莫斯科地区

1

2
阿尔法杂志
2

什么是函数图
3

激光器
14

几何不等式
23

原子是如何翘起的
26

龙曲线
36

问题书«Kvant»
47

关于mexmate MSU笔试
50

您能为我们杂志的名称添加什么？
56

国家保费
1969年
58

如何解决问题
60

电子学概论
61

答案、方向、解决方案
62

混合物
35, 42, 54, 57, 59

填字游戏-
第三封面页

A·N·柯尔莫哥洛夫
N.V.卡洛夫，
A·M·普罗索罗夫

M·I·巴什马科夫

M·P·布朗斯坦
N.B.瓦西里耶夫，
V·L·古滕哈赫

N.S.巴赫瓦洛夫，
库兹涅佐夫

F·列昂尼多夫

B·A·列什科夫采夫

N.Kh.罗佐夫

D.雅。光

2

莫斯科

杂志编辑人员«Kvant»

在第十一届国际数学奥林匹克竞赛期间，我得知你们的杂志将于近期在莫斯科出版。我们的“Alpha”还很年轻，她还不到三岁。但他的朋友却远远地看到了他的朋友。因此，我们祝愿您有一个成功的开始，并期待真正的技术合作。

我谨代表我们的读者，热烈欢迎您的光临。

《阿尔法》杂志主编
I.莱曼，
高等学校教师、名誉教师

《Alpha》是东德中学生数学杂志，自1967年1月起出版，专为5-12年级学生设计。不同年龄段的孩子都会在其中找到有趣的内容。该杂志非常关注东德国家奥林匹克竞赛和国际数学奥林匹克竞赛：它出版了奥数题及其解决方案，并向读者介绍了获奖者。该杂志已成为国际奥林匹克竞赛德国获奖者在其页面上发表演讲的传统特色，他们在演讲中谈论自己、他们的数学研究以及他们对未来的计划。该杂志每一期都会发表各种主题的科普文章，例如集合论基础、集合运算、数学归纳证明等。除了理论之外，文章还包含应用其解决数学问题的示例。应该指出的是，所有文章都以易于理解、有趣的方式编写，并且采用的语言不仅可以被高中生阅读，也可以被年轻读者阅读。该杂志谈论不同国家的数学生活，简要报道致力于学校数学的会议和代表大会。

Volk und Wissen
Volkseigener Verlag
Berlin

3. Jahrgang 1969
   Preis 0,50 M
   Index 31059

3

什么是功能安排

柯尔莫哥洛夫

这里介绍一下新品
更普遍的观点
从学校理念中众所周知——
函数及其图形。
本次演讲的开头是文章
《什么是函数》
发表于《Quaent》第一期。
为了理解这篇文章
有必要掌握第一篇文章中定义的概念

1. 提醒和小补充

在该杂志第一期的“什么是函数”一文中，您了解了对函数这个词的现代一般理解：函数是某个集合 $E$ 到另一个集合 $M$ 的完美任意映射。集合$E$称为函数的定义域，集合$M$是其值的集合。要定义具有域$E$的函数，您需要指定该集合的每个元素$x$

1* 3

4

$$y = f(x).$$

无论采用哪种方式，我们都会得到一个域为 $E$ 的函数。如果集合$E$由你班上的学生组成，那么你可以，例如，对于任何学生$x$，将其名字的第二个字母作为$y = f(x)$（假设班上没有学生的名字由单个字母组成 - 尽管我认识一个女孩Olya，它只是“O”）。

当以这种方式指定一个函数时，其值的集合$M$将由其自身确定；这是所有对象 $y$ 的集合，其中至少有一个元素 $x$ 集合 $E$ 其中

$$f(x) = y.$$

波兹尼在描述术语“函数”的含义时，不必明确地谈论描述中的含义集。例如，简单地说“函数是一个法则，根据该法则，某个集合$E$的每个元素$x$都对应于对象$y = f(x)$的完整定义。”然而，我们支持最好不要认为所有这些描述都是由他们定义的。如果我们真的想通过“规律”的概念来定义函数的概念，那么我们就需要精确地定义“规律”等术语的含义。我们会认为函数的概念是数学的基本概念之一，它的含义只是解释性的，而不是通过形式定义给出的。

在学校你习惯只和数字打交道，数字的域由数字组成，其值也是数字。 “数值参数的数值函数”这一表述的含义尚未完全定义。毕竟，学校里的数字概念是被建构和概括的。我们将坚持他们和村庄的所有行动体系，这是小学生在九年级时熟悉的。实论证的实函数主要在高中学习。你可以在“数平面”上画出他们的图表。

在学校教科书中，他们写道“数字平面”是一个以新取向、确定的方式引入坐标的平面。如果你从字面上看课本，就会发现有很多数平面。黑板坐标轴上的导线，老师将黑板的平面变成“数平面”；学生在他们的地形页面上创建新的“数字平面”，有时在一页上创建多个！

在本文的第 3 段中，您了解了数学家实际处理的数字平面。但首先我想对“什么是函数”一文的介绍做一点补充说明。

在学校代数课程中，他们最常处理使用公式“分析”定义的函数。除非另有说明，这种函数的定义域被认为是参数的所有值的集合，对于这些值，所有规定的数字运算公式都是可行的。例如，按照学校的惯例，我们考虑

*）从第一篇文章中您知道函数的值不仅可以是数字，还可以是动力，男孩或女孩，一般来说任何对象，或者正如他们所说的“对象”。

5

表中符号$V$是“算术”平方根的符号。显然，公式

$$y = f(x) = (\sqrt{x})^2$$

(1)

仅当 $x$ 为非负数时，您才可以根据给定的 $x$ 计算相应的值 $y$（否则“不提取”平方根）。

对于非负 $x$

$$y = f(x) = x.$$

(2)

公式（2）比公式（1）更简单，我们希望将其视为定义我们的函数的公式。但式（2）给出的函数的定义域不仅仅由非负数$x$组成，而是由所有数$x$组成。如果我们想给公式（1）定义的函数一个新的定义，我们需要写

$$y = f(x) = \begin{cases} x \text{ при } x \geq 0, \\ \text{ не определена при } x < 0. \end{cases}$$

(3)

类似地，函数$g(x) = \frac{x^3 - 1}{x - 1}$可以写成如下：

$$g(x) = \begin{cases} x^2 + x + 1 \text{ при } x \neq 1, \\ \text{ не определена при } x = 1. \end{cases}$$

(4)

在学校和大学考试中，此类问题需要完全准确。

2. 活动日程

考虑以下值班表（参见第 1 «Kvant»，第 29 页）：

| | 周一 | 瓦 | 周三 | 星期四 | 周五 | 星期六 | 太阳 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| 彼佳 | | | | | | | |
| 科利亚 | | | | | | | |
| 萨莎 | | | | | | | |
| 沃洛达 | | | | | | | |

我们已经知道这是一个函数图：服务员的名字可以被认为是星期几的函数。由于网络中有一周中的几天，并且有四个男孩，所以我们画了

$$7 \times 4 = 28$$

细胞，但其中只有七个细胞被漆成红色。如果男孩们决定按字母顺序排列他们的名字，那么表格就会是第 6 页上显示的表格。它看起来不同，但显示了相同的职责分配 - 相同的功能。

6

在这两个表中，28 个单元格对应 28 个可能的对（星期几，男孩）。

这 28 对中，有 7 对已被识别
（周一，Petya），（周二，Kolya），（cp，Sasha），（周四，沃洛达），
（周五，Petya），（周六，Kolya），（周日，Sasha），

即星期几与这一天的星期几相连的所有对：
（星期几，这一天），

或抽象地：形式对
$(x, f(x))$.

只有这些对的选择对于指定函数来说是必要的。
看了这个例子，你可能认为这个定义没有必要：
函数 $f$ 的图是所有此类对 $*$ 的集合
$(x, y)$,

1. $x$对的第一个元素属于函数的定义域，
2. 该对的第二个元素
   $$y = f(x).$$

| | 周一 | 瓦 | 周三 | 星期四 | 周五 | 星期六 | 太阳 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| 沃洛达 | | | | | | | |
| 科利亚 | | | | | | | |
| 彼佳 | | | | | | | |
| 萨莎 | | | | | | | |

在我们的示例中，函数 $f$ 的图形：
$$\Gamma_f = \{(пн, Петя), (вт, Коля), (cp, Саша), (чт, Волода), (пт, Петя), (сб, Коля), (вс, Саша)\}.$$
对于表中指定的函数

| $x$ | $f_1$ | $f_2$ | $f_3$ | $f_4$ |
| :— | :— | :— | :— | :— |
| $A$ | $A$ | $B$ | $A$ | $B$ |
| $B$ | $A$ | $B$ | $B$ | $A$ |

*) 在本文中，我们指的是“有序对”。 (1,2) 与 (2,1) 不同。一对中的第一和第二元素可以重合：(1,1) 或(2,2) 也是对。

7

根据这些定义我们得到图表

$$\Gamma_1 = \{(A, A), (B, A)\}, \quad \Gamma_2 = \{(A, B), (B, B)\}, \quad \Gamma_3 = \{(A, A), (B, B)\}, \quad \Gamma_4 = \{(A, B), (B, A)\}.$$

显然，对于具有有限定义域的函数，图的元素数量（即图中包含的对的数量）等于函数定义域的元素数量。对于具有无限定义域的函数，所有对

$$(x, f(x))$$

无法写出。我们必须使用它们的属性来描述这些对。例如，对于函数

$$y = f(x) = \sqrt{1-x^2}$$

该图由满足两个条件的所有$(x, y)$对组成

$$x^2 + y^2 = 1 \text{ и } y \geq 0.$$

函数图的定义可以写为

$$\Gamma_f = \{(x, y) | x^2 + y^2 = 1, \ y \geq 0\}.$$

函数$f$的图形的非常一般的定义可以写成以下公式的形式*)：

$$\Gamma_f = \{(x, y) | y = f(x)\}.$$

通过将函数图定义为一组对，每个对由一个参数值和与该参数值对应的函数值组成，我们将图的概念从所有随机的事物中解放出来。在这种抽象理解中，每个函数都有一个图。

3. 数值平面

让我们转向学校里最常见的实变量的实函数。在学校里，您了解到这样一个函数$f$的图形是数平面上坐标$x$和$y$满足等式的点$P(x, y)$的集合

$$y = f(x).$$

这一表述与上面第 2 段中给出的时间表的一般定义相似，但略有不同。第 2 节讨论了对集合 $(x, y)$，以及在一般学校定义中 - 关于坐标为 $x$ 和 $y$ 的点集 $P$。但这两种表述是否有可能完全一致呢？

*）我们使用集合论中采用的标准符号。

$$\{x | A(x)\}$$

表示满足条件$A(x)$的所有对象$x$的集合。例如，$\{x | x^2 = 1\}$是所有$x$的集合，其中$x^2 = 1$，即两个数字的集合：$\{1, -1\}$。

8

事实证明这很简单。这个简单的解决方案已在现代科学文献中广泛传播。根据定义，数平面被认为是所有实数对的集合。数平面表示为$R^2$。它的定义可以用符号来写

$$R^2 = \{x, y \mid x \in R, y \in R\}.$$

稍加思考后，您会亲眼看到，通过数平面的定义，实变量实函数图的通常学校定义成为第 2 段中给出的一般定义的一部分。

坐标为 $x$ 和 $y$ 的点的符号 $P(x, y)$ 现在是多余的。新理解中数平面的点是简单的 сaml 数对 $(x, y)$。我们可以简单地谈论“点$(0, 0)$”（原点），点$(1, 2), (-2, -1)$等。

值得注意的是，“数轴”一词现在必须被赋予新的含义：数轴只是实数$R$本身的集合。当然，数轴上的点必须被视为简单实数。显然这在学校教科书中并没有直接说，而是在应用于数字时经常用几何语言来表示：一组数字

$$[a, b] = \{x \mid a \leqslant x \leqslant b\}$$

称为“段”，他们说“点”2属于“段”[1, 3]，等等。

我们将数平面上的任何点集称为位于数平面上的几何图形。例如，这是一个以 $(0, 0)$ 为圆心、半径为 1 的圆：这是一组点，即数对 $(x, y)$，其中

$$x^2 + y^2 = 1.$$

自然地，数平面上的点和几何图形可以在图中直观地描绘出来。为此，在真实平面（纸张或黑板）上选择坐标轴，并将数值平面 $(x, y)$ 的点描绘为坐标为 $x$ 和 $y$ 的真实点。当然，这样的图像只能是近似的。纸上或黑板上绘制的图形只是“真实”函数图的近似图像，在我们的理解中，函数图是数平面的简单子集。这些“真实”图表包括函数完全由其图表决定的陈述。

设有一组对

$$M = \{(x, y)\}.$$

例如，这样的集合是数平面上的任何“图形”。要使这组对成为某个函数的图形，还需要什么附加要求？

9

答案并不复杂：为此，在集合$M$中不可能找到具有共同的第一个元素$x$和不同的第二个元素$y_1 \neq y_2$的两对$(x, y_1)$和$(x, y_2)$是必要且充分的。 （自己证明一下。）在图1上，红色曲线是函数的图形，但黑色曲线不是函数的图形。

$(x, y)$的集合，其中不存在$(x, y_1), (x, y_2), y_1 \neq y_2$形式的两对，可以称为函数图。请注意，我们现在定义了“函数图”，但没有使用“函数”的概念。从这个角度来看，是否有可能对我们认为是基本的、即不受形式定义约束的函数概念给出一个公式化的定义？我不想在这里回答这个问题。这并不完全简单。在我们的期刊中，我们将有机会回顾关于函数概念的现代思想及其历史。

4. 几何变换

为了摆脱对“函数”一词的广泛普遍理解，让我们考虑一些更简单的几何变换。

要围绕点 $O$ (图 2) 旋转平面 funkru，可以将函数的轮廓转移到放置在绘图平面上的描图纸上，用大头针将描图纸固定在点 $O$ 处，然后旋转描图纸，将函数副本的轮廓从描图纸转移到绘图平面上（例如，使用复写纸）。旋转时，所有funcra点沿相同方向绕$O$旋转相同角度。

让我们表示

$$Q = R_0^\alpha(P)$$ (1)

逆时针旋转$\alpha$角度后点$P$的位置。如果给定点$O$和角度$\alpha$，则根据公式（1），每个点$P$对应于点$Q$的完整定义。很明显，根据我们的定义，$R_0^\alpha$是一个函数。它的定义域是平面$P$的多线点。

旋转角度用符号表示。在图，从点$P$转向$120^\circ$可得到3个点$Q_2$，通过转向$-120^\circ$（或转向$240^\circ$）可得到点$Q_1$。如果点$P$旋转$\alpha$度得到点$Q$，则$Q$旋转$-\alpha$度可以得到点$P$：如果

$$Q = R_0^\alpha(P),$$

10

$$P = R^{-\alpha} o(Q).$$

我们看到旋转$R_0^\alpha$始终是可逆函数。

当应用于旋转时，人们经常谈论“映射”。旋转$R_0^\alpha$的逆是旋转$R_0^{-\alpha}$。我们可以象征性地写：

$$R_0^{-\alpha} (R_0^\alpha(P)) = P,$$
$$(R_0^\alpha)^{-1} = R_0^{-\alpha}.$$

旋转将一组平面点映射到其自身上。如果我们假设一个平面只不过是其点的集合（这就是现代几何表示中所做的），那么我们可以说旋转是平面到其自身的可逆映射。

平面到其自身的可逆映射称为平面的几何变换。您在我们杂志的页面上多次遇到几何变换。现在，我们将再给出一个平面几何变换的例子。平行平移是将平面映射到其自身上

$$P \rightarrow Q = T(P),$$

其中所有点 $P$ 都沿相同方向移动相同的距离 (图 4)。

5. 载体

尽管事实证明您已经通过熟悉新概念和不寻常的解释而建立了您已经知道的概念，但我们将做出另一个成功的概念。让我们尝试理解什么是并行传输图$P \rightarrow Q = T(P)$。根据一般定义，这是所有此类点对的集合

$$(A, B),$$

为此

$$B = T(A).$$

12

3. 公式中应添加什么附加条件？
   $$f(x) = 1,$$
   获得某些功能
   $$f_4(x) = (\sqrt{x})^2 + (\sqrt{1-x})^2?$$

注 e.在问题1-3中，符号$V$被理解为“算术”平方根，即非负数。

2. 函数图

3. 域 1、2、3 中存在多少个函数，其图形是对集合的子集
   $$\{(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (2,3), (3,3)\}$$

(cm. 图 6)?
这些函数中有多少个有反函数？

5. 证明反函数 $f^{-1}$ 的图像由下式给出
   $$\Gamma_{f^{-1}} = \{(x, y) | (y, x) \in \Gamma_f\}.$$
   （当然，函数 $f$ 被假设有一个反函数。）

6. 数平面

7. 描述狄利克雷函数图的结构：
   $$D(x) = \begin{cases} 1, если x рационально, \\ 0, если x irrationalно. \end{cases}$$

7*) 段 [0; 中的数字 $x$; 1] 分解为无限轨道分数
$$x = 0, x_1 x_2 x_3 \dots (x_n = 0, 1, 2).$$

函数$y = C(x)$的值由双分数决定
$$y = 0, y_1 y_2 y_3 \dots (y_n = 0, 1)$$
如下：
如果$x_n = 0$则$y_n = 0$，
如果$x_n = 1$或$x_n = 2$，则：
$$y_n = 1$$，前提是$x_1, x_2, \dots, x_{n-1}$中没有数字，
$$y_n = 0$$ 前提是在数字$x_1, x_2, \dots, x_{n-1}$ 中已经遇到过一个单位。

尝试画出这个函数的图形。证明它包含无限多个水平线段。如果您熟悉可理解的函数连续性，请尝试证明我们的函数是连续的。

注 e.在这个问题中，我们并没有避免三元分数，其中从某些开始，所有符号都是二，以及双分数，其中从某些开始，所有符号都是一。比如我们在三元系中写
$$0,2222 \dots = 1; 0,1222 \dots = 0,200000 \dots$$

在双元体系中我们相信
$$0,1111111 \dots = 1; 0,01011111 \dots = 0,01100000 \dots$$

*) 这是一项艰巨的任务（参见书中第 15 节：S.V. Fomin “Number Systems”, 1968。

13

4. 几何变换

5. 用几何术语描述与公式问题类似的数平面变换：

a) $(x, y) \rightarrow (-y, x)$,
b) $(x, y) \rightarrow (x, -y)$,
c) $(x, y) \rightarrow (y, -x)$,
d) $(x, y) \rightarrow (x+1, y)$,
e) $(x, y) \rightarrow (x+a, y+a)$.

9. 证明绕中心$O$旋转的公式

$$R_O^\alpha [R_O^\beta (P)] = R_O^{\alpha+\beta}(P).$$

(1)

10. 证明对于任何中心 $O_1$ 和 $O_2$ 变换

$$F(P) = R_O^\alpha [R_O^{-\alpha}(P)]$$

将是并行传输。多远以及朝什么方向？

5. 向量

6. 证明公式

$$T_a [T_b(P)] = T_{a+b}(P).$$

(2)

12. 表明变换

$$F(P) = T_a [R_O^\alpha(P)]$$

是通过角度 $\alpha$ 的旋转。围绕什么中心？

评论。公式（1）和（2）简写为

$$R_O^\alpha R_O^\beta = R_O^{\alpha+\beta},$$

$$T_a T_b = T_{a+b}.$$

从函数中获取函数在很多方面与乘法类似。但这是一个特殊的话题，在这个国家它的发展并没有减少。我们将在问题 13 和 14 中使用这个简短的符号来表示函数的函数（映射的组合）。

13. 证明你总是

$$T_a T_b = T_b T_a$$

和

$$R_O^\alpha R_O^\beta = R_O^\beta R_O^\alpha$$

绕中心转动时。举例说明，一般来说，

$$R_O^\alpha R_O^\beta \neq R_O^\beta R_O^\alpha$$

当绕中心$O_1, O_2$转动时。

14. 彻底弄清楚什么时候的问题

$$R_O^\alpha R_O^\beta = R_O^\beta R_O^\alpha.$$

在。 V.卡尔洛夫和A.M.普罗霍罗夫

激光

大约两千二百年前，罗马军队占领了位于西西里岛的希腊城市锡拉丘兹。如果地球上最伟大的物理学家之一阿菲米德斯没有在攻占锡拉丘兹期间去世，这个事实可能只有研究罗马帝国形成历史的专家才知道。

许多传说都与阿菲米德的性格、他的发现以及他们的出生环境有关。

或它们的用途。这些传说大多数都有现实依据。但不幸的是，最美丽的一个关于罗马舰队被集中阳光摧毁的传说纯粹是幻想。

事实是，照射光源的几何光学定律表明不可能以束线的形式集中光能并聚焦

15

ee 的距离大于聚焦装置的尺寸。激光则是另一回事。在量子电子出现和激光器*)诞生之后，以束线的形式聚集强大的光通量成为可能。

激光一词是英文短语Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation的缩写，翻译过来就是：通过受激辐射放大光。让我们试着弄清楚这句话的意思。我们知道光是以波的形式传播并携带能量的电磁辐射。光波是一种在真空中传播的快速电磁波，速度为$3 \cdot 10^{10} \text{ cm/sec}$。波过程的主要特征是： 波长 - 行波的两个波峰之间的距离和频率 - 表示波峰每秒出现在空间中某个固定点的次数的值。光的波长$\lambda$及其频率$v$与光速$c$通过简单的关系$\lambda v = c$相关。

可见光对应于从$0,4 \text{ mk}$到$0,8 \text{ mk}$（$1 \text{ mk} = 10^{-4} \text{ cm}$）的波长和从$0,75 \cdot 10^{15} \text{ sec}$到$0,375 \cdot 10^{15} \text{ sec}$的频率（频率$1 \text{ sec}$ - 每秒一次振动）。

在光波中，电场和磁场会经历空间和时间的周期性变化，类似于无线电波中发生的情况。然而，与无线电波不同，普通光波不是单色的。当从不同源发出的辐射的电波和磁波的周期性变化通常可以重合时，波被认为是单色的。如果频率完全一致，一个波的波峰始终与另一个波的波峰重合，则所得波的振幅加倍。在这种情况下，波被称为同相累加。光之间的相位关系表征了分布

16

一个波峰相对于另一波波峰的位置。如果这种相对位置始终保持不变，则这些波称为相干波。 “连贯性”一词的字面意思是连贯性、关联性。相干性的概念在物理学中起着重要作用并被广泛应用。

整体光波不是单色的。事实上，我们看到的光——阳光、荧光灯或白炽灯的光——是由大量单独的独立发射体（原子）发射的，每个发射体都发射光，与其相邻的发射体是否发射光没有任何关系。由于这种混沌发射，构成我们观察到的辐射的光波彼此不相干，并且产生的光波不是单色的。光的非单色性和不相干性转化为光束中光能的集中（因此不可能构建“工程师加林的双曲线”）。

我们知道光是由原子发出的。我们刚才谈到的那些独立的发射体就是原子。在原子水平上，将光辐射表示为连续的光波是不公平的。原子只能以光能的某些部分（光量子）的形式吸收或发射光。量子能量值为$\varepsilon = hv$，其中$h = 6,6 \cdot 10^{-34} \text{ дж}/\text{сцц}$是普朗克常数，$v$是光的频率。

可见光量子的能量范围为$2,5 \cdot 10^{-19} \text{ дж}$到$5 \cdot 10^{-19} \text{ дж}$。虽然这种能量很小，但光的量子性质却显着地体现在光与物质的相互作用中。与此同时，光并没有失去其发光波的性质，这一性质在所有那些物理关系很重要的现象中表现出来（波的相加、光束的形成等）。因此，光具有其稳定的波动性和微粒性，即粒子固有的性质。

因此，光的微型接收器是原子，在正常条件下会产生非相干辐射量子流。很明显，辐射是由具有一些多余能量的原子（即所谓的受激原子）发射的。但受激发的原子是不稳定的；它可以在没有任何外部原因的情况下自发地发射辐射量子。自发辐射活性是偶然发生的。这种自发发射本质上是不规则且混乱的。这是不连贯的。但发射光能的可能性并不限于自发过程。必须记住，原子的内能只能呈现某些特定值。正如他们所说，原子只能具有一种能量或另一种能量。原子从一个能级到另一能级的跃迁伴随着其内能的变化。当从较低能级跃迁到较高能级时，原子会吸收能量；当原子从较高能级跃迁到较低能级时，会释放能量。因此，从能级 $E_1$ 到能级 $E_2$ 的跃迁期间，这些跃迁伴随着吸收或发射，由下式给出

$$v = \frac{E_2 - E_1}{h}.$$

除了原子从较高能级到较低能级的自发跃迁之外，还有爱因斯坦描述的一种令人惊奇的受激辐射现象。感应辐射过程与自发辐射的主要不同之处在于它不是单独发生的，而是在外部因素的影响下发生的。

17

与原子辐射有关。在这种情况下，次级量子与初级量子无法区分。它们精确地重复了初级量子传播的频率和方向。诱导辐射之所以称为诱导辐射，是因为其发射行为是由原子外部的辐射诱导（引起）的。因此，与许多原子的自发发射不同，受激发射是相干的。

因此，在光学中存在一种适合于获得核心辐射的现象。这是受激辐射。但对于一个原子来说，从高能级跃迁到低能级时受激发射的概率等于从低能级跃迁到高能级时吸收的概率。为了使感应发射战胜吸收，上能级的原子必须多于下能级的原子。但在热平衡条件下，情况恰恰相反：较低能级的原子比高能级的原子多（图1）。当辐射与这样的原子系统相互作用时，将会发生以下情况。部分辐射被吸收，部分原子将移动到较高能级（图2）。如果原子系统经过预先准备，使得上层原子的能量大于下层原子的能量，那么在辐射相互作用期间

图 1
图 2

18

在这样的原子系统中，由于有效的感应发射，初始辐射将被放大，如图3所示。由于感应辐射的特性，二次辐射放大了一次辐射，并且是其精确的副本。它们一起构成一个波，其幅度与感应发射行为的数量成比例增加（图4）。至少有两个能级存在高能级被低能级占据的原子系统称为粒子数反转系统。颠倒这个词的意思是颠倒，颠倒事物的正常顺序。

因此，量子电峰值作为一门科学的基础一般是感生辐射的放大，而激光器的主要内容是在具有粒子数反转的系统中使用感生辐射来正确放大和生成光波。

这里的差异应该由放大和生成来支持。光放大器用于增加到达其输入的光波的电场电压。放大器的输出必须产生更强烈但更准确的输入辐射。从这个意义上说，光放大器与其前身无线电放大器完全相似。光发生器必须是光辐射源，直接源自发生器并从发生器射入外部空间。

为了使光发生器运行，需要反馈。其执行如下。具有粒子数反转的原子系统位于两个严格平行的镜子之间。

图 4

19

在镜子之间的某个点，辐射自发地产生。它向镜子传播，并随着传播而增强。当光波到达镜子时，会被反射并折回。如果反射波的波峰与入射波的波峰重合，则波相互增强。为此，镜子之间的距离必须是整数半长的倍数。一般来说，镜子之间铺设有数十万个半身。发射的能量积聚在镜子之间的空间中并影响原子系统，引起受激发射。如果感应辐射的功率超过了加热镜子、散射以及进入外部空间的有用辐射所不可避免的损失的功率，那么就会产生微不足道的光波。由于受激辐射的特性，该波是高度单色的。所有原子同步工作。这就是它们通过反馈被迫工作的方式，反馈是通过镜子之间积累的辐射进行的。

对于激光的使用来说，非常重要的是，在受激发射过程中，二次量子不仅重复一次量子的频率，而且重复一次量子的传播方向。因此，激光辐射不仅具有高度的单色性，而且具有理想的方向性。因此，灯线的形成是自动的。

在继续描述激光器本身之前，让我们通过以下一组类比来完成对量子电子学基础知识的介绍。让我们想象一下一个大型体育场的看台上充满了数千个大量子的激情。比赛开始前，大佬们谈论什么，抛出什么，但各自独立。产生强烈、平滑的噪音。比赛开始了，所有人都愣住了。安静的。然后突然间，从某个地方开始，它增长并达到震耳欲聋的力量，发出一声“谢-嘘，谢-嘘”。大家齐声尖叫，同步尖叫，达到了激光般的效果。

第一个激光器使用红宝石——一种氧化铝（Al2O₃）单晶。在红宝石晶体中，一些铝原子被铬原子取代。浓度约为 0.05% 时，铬杂质赋予红宝石特有的粉红色。

红宝石中的粒子数反转是利用三个能级和辅助泵浦辐射来实现的。在三能级方法中，为了增加较高能级的原子数量或（等效地）减少较低能级的原子数量，使用强大的辅助辐射，它将工作能级之一与第三辅助能级连接并将原子向上泵送。

目前，创纪录的能量和脉冲功率是由红宝石激光器和掺钕玻璃激光器产生的。因此，它们是最受关注的。

红宝石激光器的主要元件是高度均匀的合成红宝石晶体。晶体通常呈圆柱体形状，直径为0.4÷2厘​​米，长度为3÷20厘米。激发源是闪光灯。按如下方式提高产量。由于吸收了闪光灯辐射中包含的绿光或蓝光，铬原子在闪光之前处于较低的未激发态，从而进入激发态（图5）。处于上激发能级的原子的寿命很短（小于 10⁻⁷ 秒）。它们迅速移动到较低的激发能级，向晶格释放多余的能量，即加热晶体。在新的兴奋水平下，时间为 10⁻3 秒。因此，这个能级被称为亚稳态。

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它的原子进入基态非激发态，并发射光谱红色区域的光量子。

当足够强大时，将足够数量的粒子转移到亚稳态以产生强反转。

使用大功率气体放电灯作为泵浦灯。最初，它们被制成包围晶体的螺旋形式。如今，通常使用与水晶平行安装的更强大的棒状灯。灯以脉冲模式运行。闪光脉冲的持续时间大约为不到一秒 (1 ms)。闪光灯由高达 10,000 微法的电容器电池产生，充电电压高达数千伏。当通过灯放电时，电容器在一个脉冲中分离出数十甚至数十万焦耳的能量。每个脉冲的泵浦功率可以超过一千万瓦。

只有部分闪光灯辐射能量（到达光谱的绿色和蓝色部分）会激发铬离子。其余的都变成热量。

使用脉冲模式有两种情况。首先，高功率泵浦光源难以连续工作。其次，晶体在长时间激发过程中会急剧升温并失去光学均匀性。

当然，在脉冲泵浦过程中，发电本质上也是脉冲的。在这种情况下，晶体中获得的反转可以通过两种方式实现。让我们考虑一下这两种可能性。

让反射镜调谐至共振并牢固固定。然后，一旦足够数量的粒子在亚稳态积累，生成就开始，只要泵浦有效，生成就会持续下去。一般来说，这种所谓的自由生成在闪存启动后 100÷300 ms 开始，持续 1 ms。

在自由发电模式下，具有强大泵浦功能的大晶体每个脉冲可产生高达 1000 焦耳的能量。这对应于高达数百万瓦的脉冲功率。

另一种模式是通过在反转达到最大值时打开共振镜来实现。然后，所有在亚稳态积累的粒子几乎立即发射出去，发生器产生一个非常短的辐射脉冲，长度非常短，为 10⁻⁸÷10⁻⁹ 秒，能量相对较低（大约三焦耳）。但由于这种能量在很短的时间内释放，

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那么叶轮的最大功率达到3亿-30亿瓦。

这里出现了关于激光效率（efficiency）的问题。从上面的估计可以清楚地看出，只有一小部分泵浦能量被转换成激光辐射。在自由产生模式下，红宝石激光器的效率不到1%，在巨脉冲模式下则更低。

那么激光给出的增益是多少呢？

事实是，虽然我们损失了辐射能量的数量，但我们却获得了不可估量的质量。这种新的品质——单色性和方向性——是由于受激发射效应的特性而产生的。

红宝石激光辐射的波长为6943 Å = 6.943·10⁻⁵ cm。而在该波长附近，宽度为 0.1 Å 量级的非常窄的区间内，包含了所有的激光功率。可见光热源的辐射光谱宽度约为 3000 Å，即 30,000 倍。

最强大的热光源之一 - 我们的太阳 - 在可见光中从一平方厘米的表面发出 8·10³ W/cm² 的功率。在这种情况下，0.2 W/cm² 相当于 0.1 Å 的波长间隔。卢布激光器在此范围内产生 10⁶ ÷ 10⁹ W/cm²！

电子场对应值为3·10⁴÷10⁶ W/cm²。相同波长范围内的太阳会产生 12 W/cm² 的场。

激光辐射的新质量可以如下说明。原则上，太阳辐射不能将任何物体加热到6000°C以上的温度。比太阳更亮的气体放电灯发出的光辐射无法将人体加热到 10,000°C 以上的温度。但是，当来自气体放电灯的相同辐射，即使能量损失很大，转换成光谱能量密度比原来大数十亿倍的激光单色辐射时，也可以将身体加热到几百万度。

晶体激光器也可以在连续模式下运行。但是，当然，脉冲激光可以提供更大的功率。

气体激光器有些与众不同。目前，使用电子放电产生的气体的激光器的工作频率范围很广——从紫外线辐射到远红外线。气体激光器的主要结构元件是气体放电管，即在气体中维持电子放电的管子。一般气体被稀薄至低于大气压100÷1000倍的压力。管材为玻璃或石英。根据用途，管的长度范围为 5 cm 至 50 m。气体激光器的气体放电管与霓虹灯广告灯管非常相似。激光镜要么直接安装在气体放电管的末端，要么安装在外部，但在任何情况下都严格垂直于管轴。

目前最常见的现象是氖氦激光连续作用于

波 6328 Å（红光）。在它的帮助下，可以获得非常高稳定性和高单色性的光振动。尽管这种激光器的效率极低（约0.01%），但其辐射的高度单色性和方向性，特别是由于其气体活性介质的均匀性，使得该激光器对于各种光束和水准测量工作是不可或缺的：铺设地铁、水准大型机场跑道等。

一项伟大的成就是创造了强大的连续激光器，其工作流体是二氧化碳、氮气和氦气的混合物。它产生波长 λ = 10.6 µm 的红外辐射。人们对这种激光器的兴趣主要是因为它的效率达到 30%，超过了目前所有在室温下工作的现有激光器的效率。现在，借助该激光器，可以在连续模式下获得 10 千瓦的功率。

这种激光器的单色性、方向性和高功率使其在许多技术应用中都非常有前景。 图 6 显示了 CO2 激光器的红外光束如何在岩石中回放。

图 6

该行业现在生产各种类型的激光器。它们被用作科学研究、解决各种实际问题、医疗（贝克存储）和技术（耐火材料的精密加工、切割纺织材料）的有效工具。

激光束测量到月球的距离比无线电测量的精度更高。在月球上安装了特殊的反射器后，测量到月球的距离的精度达到了四米。

激光最广泛的用途是在物理学中。它们提供了进行独特物理实验的机会。例如，借助以巨脉冲模式工作的激光器，进行光波电场的暴露。该线穿过透镜的焦点，将激光束的能量收集成一个点。单色性和高提取功率使得将集中激光聚焦在非常小的体积内成为可能（原则上，聚焦光斑的大小可以根据波长进行调整）。在探测过程中，激光“火花”几乎立即“泵入”了几乎所有脉冲能量。 “火花”等离子体变得非常热。获得了几百万度的温度。已经确定激光火花会发射 RENTen 射线。已经获得了在这种加热过程中产生的热核反应产生的第一批中子。

世界各地的实验室都在进行激光工作。已经做了很多工作，但仍有许多未解决的问题。毫无疑问，量子电子学将继续快速发展。

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几何不等式

M·I·巴什马科夫

数学研究从我们杂志的页面开始。他的研究主题主要适合八年级学生，但我们希望所有读者都能感兴趣«Kvant»。
krupka 的第一课专门讨论几何不等式。

在学习几何学的一开始，我们就知道一个重要的事实：三角形的边小于其他两条边的总和（图1）。然而，称为三角不等式的不等式使我们能够解决许多有趣的几何问题。

问题1. 证明三角形内任意点到其顶点的距离之和大于该三角形周长的一半。

解决方案。考虑三角形 AOB、BOC 和 COA (图 2) 并写出三个不等式

三角形：
$$AO + OB > AB,$$
$$BO + OC > BC,$$
$$CO + OA > CA.$$

将这些不等式相加并除以两半，我们得到
$$AO + BO + CO > \frac{1}{2}(AB + BC + CA),$$

Q.E.D.

尝试自己解决更多证明不等式的问题。有必要明智地选择三角形，写出它们的边的不等式，并将这些不等式转换为所需的形式。

证明：
问题2.凸五边形的对角线之和小于周长的两倍。
问题3. 凸五边形的对角线之和大于周长。

图 1
$$AC < AB + BC$$

图 2

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问题 4. 三角形的中线小于三角形所围边之和的一半。

问题5.三角形的中线之和小于周长，但大于周长的四分之三。

您可能注意到，在每个问题中，您都必须以自己的方式选择如何以及向哪个方向进行评估（建立不平等）。然而，并不总是能够立即获得期望的结果。例如，在最后一个问题中，很容易发现中位数之和大于楼层和周长。 （考虑图 3上的三角形ABD、BCF和CAE就足够了。）同时，从其他三角形可以得到问题所需的更准确的估计。问题出现了：最准确的估计是正确的吗？

$$k_1 p < m_a + m_b + m_c?$$

（这里$m_a, m_b, m_c$是边$a, b$和$c$的中线，$p$是三角形的周长）。以同样的方式，从另一侧获得精确估计是很有趣的：找到不等式的最高常数 $k_2$

$$m_a + m_b + m_c < k_2 p$$

对于任何三角形都成立。

问题6. 证明在比较三角形中线之和时，我们还可以考虑，例如，等距三角形，ver-

25

轮胎接近底座（图4）。很明显，它们的周长接近底边的两倍，中位数之和接近底边的$\frac{3}{2}$。当顶点落在底面上时，就会出现相等，并且三角形“退化”为双线段。

一般来说，对于区间中的任何数字 $x$
$$\frac{3}{4} < x < 1$$

可以指定一个等边三角形
$$\frac{m_a + m_b + m_c}{p} = x.$$

这使我们能够解决问题 6。

问题3 7. 证明三角形内任意点到其顶点的距离之和小于周长。

问题 3 8. 比较问题 1 和 7、2 和 3；提出并研究一个与我们讨论的有关中位数的问题类似的问题。

问题3 9. 考虑所有可能的凸$n$边形（$n$是某个数字）。让我们在这样的多边形内取一点，并计算其到顶点的距离之和与周长的比率。这种关系有什么意义？ *)

在下面的问题中，除了三角不等式外，还需要用到一些其他简单的不等式，例如三角形的两条边的不等式、大角对面的不等式、部分直角三角形的斜边大于边等。

问题 3 10. 证明对于所有直角三角形

*) 周三。第一期«Kvant»第59页第4题。

以下不等式成立：
$$0,4 < \frac{r}{h} < 0,5, где r — радиус вписанного кругга, h — высота, опущенная из вершины прямого угла. Являются ли написанные границы точными?$$

问题3 11. 在三角形$ABC$ 的外角$C$ 的二等线上，取一点$M$，与$C$ 不同。证明它到顶点$A$和$B$的距离之和大于点$C$到相同顶点的距离之和。

问题3 12. 为了使三角形$ABC$中的角$A$为锐角，从顶点$A$引出的中线必须大于边$BC$尺寸的两倍。

问题3 13. 在锐角三角形$ABC$ 中，最高高度（我们用$AH$ 表示）等于中线$BM$。证明角$ABC$小于$60^\circ$。

问题3 14. 在三角形$ABC$的最长边$AC$的延长线上，线段$CD=BC$不同。证明$ABD$是钝角。

问题3 15. $A, B, C, D$ 是凸四边形$ABCD$ 的连续顶点。证明如果
$$AB+BD \leq AC+CD,$$
那
$$AB \leq AC.$$

文学

V. Delaunay 和 O.zhitomirsky，几何问题。菲兹马吉兹，1959。

3. A. Skopet，V. A. Zharov，几何问题和定理。平面测量法。乌赫里吉兹，1962。

I. E. Sivashinsky，问题中的不平等。

到本世纪末，它在物理和化学领域建立起来，正如他们当时所说的那样，
关于原子和分子的假设 - 构成的最小粒子
我们周围世界的所有物体。在化学中，原子假说使我们能够理解
并且描述化学反应非常方便：每一个反应——
它只是原子结合成分子，或者相反，分子分解
成原子或原子团。从各种分子的组成分析
化学家发现不同元素的原子具有不同的质量。
他们甚至设法找出一个原子比另一个原子重或轻多少倍；
到了 19 世纪下半叶，所谓的
当时发现的所有化学元素的原子量，
也就是说，数字显示给定化学元素的原子出现了多少次
比最轻的原子——氢更重。俄罗斯著名化学家
D. I. Mendleev，按升序排列化学元素
原子尺度，1869年表明它们形成了一个特定的系统，
其中重复周期元素的属性（周期系统）。
在物理学中，原子和分子的假设发挥着同样重要的作用。
它使物理学家能够清楚地了解该集合
各种各样的现象。她帮助理解了什么是热和冷，为什么身体
受热膨胀，为什么任何物质都可以是固体或液体？
和气态等等。为了理解这一切，有必要
另外想象一下原子和分子是连续的

原样
称重
原子

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并随机移动，并且它们之间存在吸引力和排斥力。

但尽管如此，原子仍然只是人们头脑中的一个特定概念。不仅没有人看到它们，因为它们非常小，而且没有人知道它们有多小，原子的质量是多少，这个或那个物体中有多少个原子。不能说没有尝试以某种方式找出这一切。

但这些尝试并没有带来令人信服的结果。一些科学家甚至确信，我们对原子和分子一无所知，因为它们并不真正存在。这些科学家认为，原子就像地理地图上的经线和平行线：它们使用起来很方便，但实际上它们在自然界中并不存在。

然而，物理学家并没有失去证明原子和分子的真实性、称重它们、计算它们的数量、确定它们的大小的希望。

在杰出的苏联理论物理学家马特维·彼得罗维奇·布朗斯坦所著的《原子、电子、原子核》一书中的摘录中，他谈到了如何首次测量原子的质量，甚至计算原子的数量。这本书于 1935 年以小版出版（仅 10,000 册），早已成为书目珍品。

该出版物由 A.K. 教授编写。 Kiko 和他所做的添加都放在直括号中。

……最后，原子真的被留下来衡量了。这得益于 19 世纪上半叶发现的一种非常奇怪的现象，物理学家一度没有对此给予应有的关注。这种现象称为布朗运动。

1828年，英国著名植物学家罗伯特·布朗做出了一项极其有趣的观察。罗伯特·布朗在测试刚刚寄给他的带有消色差透镜的新型改进微铜时，决定使用这种微铜来检查含有微小植物花粉颗粒的微不足道的液体滴。这种液体总是含有大量的微观固体颗粒。当布朗看到这些粒子没有停留在原地，而是在移动，连续移动，精确地移动时，他感到多么惊讶

29

他的解释简单明了，如下：微观粒子之所以移动，是因为它们受到周围看不见的分子和液体的影响。通过观察布朗粒子的运动，我们可以了解液体中看不见的分子是如何运动的，这与我们站在岸边看到一艘船被海浪抛向各个方向时的摇晃所猜测的海上意志完全相同。因此，布朗运动是将不可见的原子和分子世界与借助我们的感官可感知的世界连接起来的地方。

为什么只有在粒子非常靠右的情况下才能观察到布朗运动，结果总是约等于仅从左边获得的数字，而数字上的微小差异将完全不足以将一个又大又重的粒子从其位置移走。如果粒子的质量和尺寸微不足道，那么在液体分子运动的混乱中，总是可以看到，在给定时刻，粒子的一侧偶然会比另一侧多，因此容易移动的粒子沿其分子所在的方向移动。经过一段非常短的时间后，多余的分子只会在不同的方向上合并布朗粒子，再过一段很短的时间 - 第三次，依此类推。

如果卡博内尔提出的这个解释是正确的，那么粒子越轻越小，布朗运动应该越强烈。现实就是如此——布朗已经注意到了这一点。另外，我们知道，温度越高，液体分子运动的速度就越快；温度越高，液体分子运动的速度就越快。事实上，古伊发现，随着温度的升高，布朗运动变得越来越剧烈。当齐格蒙德发明超显微镜并能够观察溶液中的微小金颗粒（颗粒直径小于百万分之一厘米）时，这些颗粒的布朗运动非常快，从而产生了某种连续的细度。齐格蒙德这样描述他的第一印象：“这是某种连续的跳跃、漂浮、驰骋、碰撞和飞散，所以很难理解这种混乱。”

我们现在继续谈谈法国物理学家让·佩兰（Jean Perrin，1908）所做的经典工作。这些工作最终验证并确定了液体中的布朗运动是由分子运动引起的，从而为分子和原子的活跃存在提供了决定性的证据。

佩兰拿起一块橡胶树脂，用手在水中摩擦，直到变成亮黄色。之后，佩伦在显微镜下取了一些这种液体。在微索普下，它在水中的奈拉斯托利的帮助下出现，并分解成许多球形小颗粒，分散在整个水中。这些颗粒的大小差异很大。佩林想要一种液体，其中含有大小完全相同的口香糖颗粒。为了做到这一点，他使用了一台“离心机”（离心机），这种机器在大型奶牛场中用于从牛奶中分离奶油，或者在医学实验室中用于从血液中去除血球，然后留下均匀的液体 - 血浆。 Perren 的离心机转了 2500 转

30

每分钟，产生的离心力将口香糖颗粒从液体中抛出。装有口香糖乳液（所谓的水中悬浮有口香糖颗粒）的玻璃管垂直于离心机轴放置。

重的粒子首先落下，轻的粒子随后落下。这使得可以按重量（因此也按尺寸，因为所有颗粒均由相同材料制成，因此它们的质量越大，它们的尺寸越大）将颗粒彼此分离。

这是一项非常细致和艰苦的工作：你必须更加努力才能从一公斤口香糖中得到十分之几甚至百分之一克的所需大小的圆粒。因此，Perrin 能够获得几份粒径分别为 0.5、0.46、0.37、0.21 和 0.14 微米的乳液

胶乳中颗粒沿高度分布。

借助这种乳液，Jean Perrin 进行了许多替代实验，我们将在这里讨论。他将一滴具有一定粒径的乳液放入深度为0.1毫米的平盘（比色皿）中。然后用一块薄薄的涂层玻璃覆盖比色皿，玻璃的边缘充满石蜡：因此将液滴涂抹在密封的容器中，因此不可能蒸发。

佩伦首先将夹克翻到一侧，开始通过显微镜观察。显微镜视野中出现一薄层垂直水墙，水墙内分布着参与褐色运动的树胶颗粒。起初，颗粒的分布是均匀的，但随着时间的推移，分布发生了变化，最终变成这样：底部有很多颗粒，向上移动，颗粒越来越少（见图）。一立方微米内的晶粒数量随着高度的增加而减少，而且是按照一定的波、一定的规律减少。

佩伦想要研究乳液密度随高度降低的规律。为此，他将幼体放在底部，将颗粒按照与垂直站立的幼体相同的方式排列高度后，他开始通过视野深度很小的显微镜从上方观察幼体：在显微镜中，在一微米的薄薄的胶层中发生的一切都是可见的。 Pervedigra microsop 上下，可以将该层放置得更高或更低。佩伦开始这样工作：他将显微镜放置在一定的高度，开始计算在这个高度下视野中有多少颗粒，然后他将显微镜移动到一个新的高度，再次计算颗粒的数量

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请注意，在这种情况下，颗粒数量被认为是几次观察的平均值，因为颗粒完全无序地移动，因此，根据具体情况，它们在显微镜颗粒场中的数量要么太大要么太少。因此，在同一高度，佩伦对谷物进行了多次计数，然后计算出每个高度的数值特征。

J. Perrin 通过显微镜拍摄的口香糖乳液照片。

让我们展示佩兰的一项实验的结果。正如我们已经说过的，比色皿的深度为 100 微米（即 0.1 毫米）。在距比色皿底部水平 5、35、65 和 95 微米的高度处进行读数。事实证明，35 微米的平均零件数量是 5 微米的一半，65 微米的零件数量是 35 微米的零件数量的一半，95 微米的零件数量是 65 微米的零件数量的一半。

所以：如果高度形成算术切割，那么颗粒的数量就形成几何切割。

这种颗粒密度随高度减小的定律应该让佩兰感到非常惊讶和感兴趣：毕竟，根据同样的定律，当在我们的大气层中上升时，密度会减小。暴雪·帕斯卡（Blizzard Pascal），17世纪法国著名科学家，最早

佩兰的实验结果。

这就是空气分子数量随高度变化的方式。

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意大利人托里拆利发明的气压计，应用于大气研究，发现了大气密度随海拔高度增加而减小的规律。这个定律，称为气压公式，说明了同样的事情：构成大气的每种气体的密度随着几何投影高度的增加而死亡。

[这个定律也可以用数学公式的形式来表达。

假设在地球上方的某个高度$h_0$，每立方厘米包含$n_0$某种气体分子。当然，在其他更高的高度$h$，一立方厘米内相同的分子会更少，例如$n$。那么气压公式可以写成如下：

$$\lg \frac{n_0}{n} = A mg (h - h_0)^*.$$ (1)

这里 $A$ 是某个常数值，对于所有气体都相同（在给定温度下），$m$ 是

*) 如果$k$是我们上升到高度$h$的“台阶”数，$\Delta h$是“台阶”的高度，则$h = h_0 + (k - 1) \Delta h$和$n = n_0 \left( \frac{1}{q} \right)^{k - 1}$，其中$\frac{1}{q}$是级数的分母，即气体的密度（$q > 1$）。由这两个公式，消去$k$，我们发现

$$\lg \frac{n_0}{n} = \frac{\lg q}{\Delta h} (h - h_0).$$ (*)

对于另一种气体可以写出类似的公式；我们用素数提供相对于它的数量：

$$\lg \frac{n'}{n'} = \frac{\lg q'}{\Delta h'} (h' - h_0').$$ (**)

事实证明，如果第一气体和第二气体的密度减少相同的次数，即$\frac{n_0}{n} = \frac{n'}{n'}$，那么发生这种情况的高度差之比$\frac{h - h_0}{h' - h_0'}$恰好等于该气体分子质量的反比$g$——重力加速度，这一点非常重要。

很明显，等式的左边是单位体积的零件数之比（尽管在对数符号下），右边是高度差。这意味着，如果高度形成论证级数，那么零件的数量就形成几何级数。

让我们选择一个高度差 $h$ - $h_0$，使得高度 $h$ 处的部件 $n$ 的数量是高度 $h_0$ 处的部件 $n_0$ 的数量的一半。那么式(1)的形式为

$$\lg 2 = A mg (h - h_0).$$ (2)

在对数表中很容易发现$\lg 2 = 0,30103$，所以

$$0,30103 = A mg (h - h_0).$$ (3)

如果已知常数$A$的数值，那么通过计算$h$和$h_0$处单位体积的份数$n$和$n_0$，就可以很容易计算出分子的质量$m$，即称重。确实，数数

*) 如果$k$是上升到高度$h$所需的“台阶”数，$\Delta h$是“台阶”的高度，则$h = h_0 + (k - 1) \Delta h$和$n = n_0 \left( \frac{1}{q} \right)^{k - 1}$，其中$\frac{1}{q}$是级数的分母，即气体的密度（$q > 1$）。由这两个公式，消去$k$，我们发现

$$\lg \frac{n_0}{n} = \frac{\lg q}{\Delta h} (h - h_0).$$ (*)

对于另一种气体可以写出类似的公式；我们用素数提供相对于它的数量：

$$\lg \frac{n'}{n'} = \frac{\lg q'}{\Delta h'} (h' - h_0').$$ (**)

事实证明，如果第一气体和第二气体的密度减少相同的次数，即$\frac{n_0}{n} = \frac{n'}{n'}$，那么发生这种情况的高度差之比$\frac{h - h_0}{h' - h_0'}$恰好等于该气体分子质量的反比$g$——重力加速度，这一点非常重要。

立即可以看出，等式左边是单位体积中$n$和$n_0$在高度$h$和$h_0$处的零件数之比；很容易计算出分子$m$的质量，即称重。确实，数数

$$\lg \frac{n_0}{n} = A mg (h - h_0).$$

33

我们也不能做分子，但我们不需要分别知道$n$和$n_0$中的哪个数字。你只需要知道他们的态度。用气压计改变$h$和$h_0$海拔高度的压力，很容易发现：压力比正好等于单位体积的商数之比。但事实是，佩伦时代还不知道$A$的值（正是佩伦的实验才使得确定它成为可能）。因此，佩伦姆可以这样推理：众所周知，举个例子，升高5公里，每立方厘米所含的氧气量就会减少一半；升高5公里，每立方厘米的含氧量就会减少一半。当上升到下一个 5 公里时，它会再减少一半，等等。这与每立方厘米乳液中的口香糖颗粒数量随着高度而减少的规律相同，但只有这里的比例不同 - 总共 30 微米，我们有 5 公里。为什么他们在这里有不同的比例？

一层100微米的口香糖乳液本质上是同样的气氛，只不过不是氧或氮分子的状态，而是口香糖颗粒的状态，这些颗粒已经足够大，可以在显微镜下看到。由于这些颗粒的质量较大（与气体分子相比），密度随高度下降的速度将比地球周围的正常大气更快，即（对于直径为 0.21 微米的口香糖颗粒而言）密度随着高度的增加而减少一半。佩林说：“乳液是一个微型大气层，对地球有引力。在这样一个大气层的尺度上，所有的高度将是几微米，而单个孔将等于分子。”对我们来说最重要的是，这种微型“大气”——口香糖颗粒——的分子可以被称重，这使我们能够计算出普通气体分子的质量。所以佩林能够按照他所说的去做

称量分子和原子的重量是绝对不可能的。

[从公式（3）可以清楚地看出，在所有情况下（即，对于任何颗粒），分子质量$m$与高度c心差的乘积，其间每单位体积的分子数变化两次，都等于相同的值$\frac{0,30103}{A}$。

因此，如果对于口香糖颗粒而言，大气中氧气的高度差为 c 心，那么这是因为口香糖颗粒的质量大于氧分子的质量，并且正好是 5 公里大于 30 微米的因数。]

让我们做一些硬计算……5 公里比 30 微米大 1.66 亿倍。这意味着直径为0.21微米的口香糖颗粒的质量超过氧分子质量的1.66亿倍。

这样的口香糖球有多重？如果你首先改变一立方厘米口香糖的质量，这并不难计算。在这个计算中，我们不要忘记，在Perrenn的实验中，口香糖的颗粒是在水中的，这意味着根据阿基米德定律，每立方厘米的口香糖损失的重量相当于一立方厘米水的重量，即1$e$。这意味着每立方厘米的口香糖在水中比在空气中轻一克。所有计算（我们跳过）的结果表明，颗粒的质量（根据阿基米德定律修正）等于 $8,5 \cdot 10^{-15}$ $e$。而且是氧分子质量的1.66亿倍。这意味着氧分子的质量为 $5,1 \cdot 10^{-23}$ $e$。由于氧分子比氢原子重 32 倍（氧的分子量为 32），因此氢原子（所有原子中最轻的）的质量等于 $1,6 \cdot 10^{-24}$ $e$。因此，一克氢含有 $6 \cdot 10^{23}$ 个原子。

34

[所以原子和分子不仅被翘起，而且还能被计数！]

佩林发现的这些数字允许当时使用每克原子量单位（氢原子的质量）。氢原子的质量（以克为单位）被证明是如此之低，以至于无法想象，但尽管如此，它仍然是完全确定的。原子被翘起。原子物理学最重要的问题已经解决。

[我们在此注意到，佩兰获得的数字当然不是很准确。结果，找到了确定原子和分子质量的其他方法，现在我们有了更正确的质量值。根据现代数据，例如，氢原子的质量为$1,673 \cdot 10^{-24} \text{e}$，氧分子的质量为$5,314 \cdot 10^{-23} \text{e}$。正如你所看到的，这些数字与佩兰最初获得的数字没有太大不同。]

这是佩兰研究谷物分布得到的结果

棕色运动。

口香糖乳液中的棕色运动发生得异常快。没有办法追踪单个胶粒的运动。因此，佩兰并没有试图这样做，而是进行了如下操作：他以一定的间隔，例如每30秒，在图上标记出口香糖颗粒的头部，并将所得的点用直线连接起来（尽管实际上这段时间的口香糖颗粒并不是沿直线移动，而是沿着一条奇异的折线移动）。所获得的图使得判断布朗运动的无序性、随机性成为可能。但佩兰所做的这些图不仅仅是为了获得布朗运动的视觉说明。他对问题的数量方面感兴趣。著名的阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein）当时还是个年轻人，在（1905-1906 年）写下了非凡的著作，其中他开发了一个公式，可以确定在给定时间内口香糖颗粒相对于其在生命中的原始位置的平均混合情况。我们不会在这里介绍这个奇妙的公式；我们只会注意到这个公式包括一个等于一克氢原子数的值。因此，通过比较爱因斯坦的公式和佩兰的绘图（确定粒子在30秒内的运动），可以计算出这个值。佩林就是这么做的，结果证明一克氢原子的数量等于$6 \cdot 10^{23}$，也就是说，结果和之前的数字是一样的。

35

通过完全不同的方法得到的两个数字的重合，是所有假设正确性的最好证明。这意味着分子和原子确实存在，而不仅仅是化学家的虚构。即使是那些长期以来顽固地不愿承认原子存在的人也被迫得出了这个结论。

……原子论各方与反对派之间由来已久的争论就这样以原子论支持者的胜利而结束了。现在我们可以自信地说，世界上的所有事物——水、石头、植物、动物、空气、铁等等——所有这些都是由肉眼看不见的微小原子组成的。

本文的目标
“如何称量原子的重量”

1. 使用文章中给出的数据，找出压力在什么高度下降一半。空气比氧气轻，比例为 28.8:32。

2. $P_0$ - 海平面气压，$P_1$ - 海拔$h$。 $2h$、$3h$、$nh$ 海拔高度的气压是多少？假设气温和重力加速度不随高度变化，因此常数$A$不依赖于高度。

3. 求气压为 0.25 和 0.125 个大气压时距地球表面的高度。绘制气压与海拔高度的曲线。

逻辑问题

我们按照惯例假设，一个人七日不食，七日不眠，就会死。让一个人一周不吃不睡。到第七天结束时，他首先应该做什么：上床或睡觉以维持生命。 （尽管其本质是幽默的，但这个问题有一个严格而独特的解决方案。）

问题
在物理学中

1. 为什么大热天去游泳，入水后感觉水比空气冷，但出来时却感觉相反？

2. 冰箱为什么会时不时来一会解冻？

3. 装有鼠标的盒子垂直向上抛出。如果没有空气阻力，鼠标什么时候处于失重状态？

4. 将两个相同的平底锅和等量的水放在相同温度的炉子上。一段时间后，将水壶中的沸水倒入一个锅中。水先在哪个锅里烧开？

4a.从装有更多水的平底锅中，向第二个平底锅中添加足够多的水，使它们再次含有等量的水。水先在哪个锅里烧开？

36

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曲线
龙

从这篇文章
你会学到有趣的事情
个人家庭，
其中之一
画在这里
和其他几个 -
第 42 和 43 页。

N. B. 瓦西里耶夫、V. L. 古登马赫

37

什么是曲线和破碎
龙

取一条长纸条，再次对折。将折叠的条带边缘朝上放在桌子上，然后展开，使每次折叠的角度为 90° (图 1)。如果从上方看，您可以看到图 2、a 或 6 中所示的虚线。

当条带对折三次时，根据条带的折叠方式，会获得显着不同的折线（图2、英寸或2）。如果将条带折叠四次或更多次，然后将其棒条展开至直角，则可以得到许多不同的折线。 图 3 显示了五次对折所产生的虚线之一。

实际上，你无法将一张纸折叠超过七次 - 毕竟，即使折叠第八次，你最终也会得到$2^8 = 256$层！然而，我们很快就会学会如何在没有条带的情况下绘制相当长的折线。第 38 页（下）已画出一条折线，将条带折叠 12 次即可获得该折线。它由 $2^{12} = 4096$ 个链接组成。

很容易看出，如果将一条条对折超过三遍，那么在其中一些展开后，它的角肯定会相互“接触”（图2，in和图3）。由于多次这样的接触，沿着断裂的长度在一些地方获得了网格。要弄清楚折线的走向，您可以将其转角（如 图 3 条彩色线所示）。如果您对 图 3 下显示的折线执行此操作，您将得到上一页上绘制的复杂线条。这个图向美国物理学家约翰·海威提出了“龙曲线”这个名字。任何见过龙的人都可能会相信它长得就是这个样子。

38

这种折线（“主龙线”）是从一段线段开始，每次向同一方向转动前一条折线即可得到。 （这对应于对半折叠的方法，如图 2 a、c 所示；这里，条带每次都是“从右上到左”折叠。）在 图 3 上，显示了这条折线的起点（32 个链接），在这个 图 上，有 4096 个链接。如果折线继续以同样的方式继续下去，那么它将慢慢绕着原点转一圈，每 8 个“双打”转一整圈。红点位于对数螺线上（对于熟悉极坐标系的人来说，我们可以写出它的方程：$\varphi = \log_a r$，其中$r$、$\varphi$是极坐标；$a = a^{2:\pi}$）。

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如何画长
破碎的龙？

我们将把一张纸对折$n$次，展开$90^\circ$所得到的任何折线称为龙折线$n$。让我们看看破碎的龙是如何排列的，以及如何将它们画得足够大$n$。

第一种方式

破碎的龙伤口$n$由$2^n$个链接组成，因此有$2^n-1$个顶点（不计算末端）。因此，它在 $(n>0)$ 上也有一个中间顶点，因为顶点数量是奇数。在 图 2 和 3 上，每条虚线的中间顶点偏移一个绿色圆圈。可以注意到，每条折线都由两个相同的部分组成，通过旋转 $90^\circ$ 获得。事实证明，这是一个普遍的模式。

定理1.如果继续任何破损的龙伤 $n$ 结束于点 $O$ 也可以是通过旋转获得的折线 $90^\circ$ 围绕点 $O$，然后你会得到破碎的龙伤 $n+1$，又回来了，爱断龙伤 $n+1$ 来自一些破损的伤口 $n$ 这边走。

事实上，假设我们要折叠一条条带 $n+1$ 倍。首先，将其对折一次。然后它的两半重合，进一步折叠后，它们将完美地弯曲成一半（图 4).现在让我们扩展到 $90^\circ$ 最后的 $n$ 斯蒂布条。让我们得到两个匹配的破碎龙伤 $n$;剩下的就是将他们分开 $90^\circ$ - 我们得到了破碎的龙伤 $n+1$ (图 5）。思考如何从这些消息中导出定理 1 的两个陈述。

利用定理1，很容易画出长的多边形龙线。

由于龙的绘制遵循方格的线条，因此在方格纸上绘制龙很方便。

让我们取任何短龙线（例如，只是一段）。让我们一致认为，它的一个极值点是开始，另一个极值点是结束。让我们继续使用相同的折线，相对于其末端顺时针（或逆时针）旋转 $90^\circ$。我们以同样的方式从末端继续得到新的折线；我们会尽可能多次地这样做。如果您手头有描图纸，或者更好的是，有稍微透明的格子纸，则可以自动快速完成此操作。 （想想如何！）

显然，用同样的方法我们可以立即画出龙的两侧和脖子：每次只需要把中间的蘑菇修圆即可。

所有龙曲线的显着特性是它们不相交，或者相同的是，龙曲线永远不会沿着同一线段两次。因此，虽然龙的破坏者可以通过同一点（网格的顶点）两次，但它击中同一点的次数不会超过两次。

40

从定理1来看，如何证明龙线不会沿着同一条线段经过两次并不是显而易见的——相反，你画的折线或曲线越长、越复杂，它们的“突起”和“山谷”的配合程度就越令人惊讶（参见第43页的“机车”龙曲线）。

然而，证明这一点并不困难*)，使用另一个关于龙多边形“加倍”的定理，顺便说一下，它给出了一种绘制长多边形的方法。

第二种方式

在 图 6 上，黑色龙线的顶点由红色线段相互连接。我们看到红色的部分再次组成了龙的折线。事实证明，这也是一个普遍的模式。

为了精确地表达它，那么每个红色线段也是一个等腰直角三角形的斜边，其腿是原始折线的链接（在图处，三角形有轻微的阴影），并且每两个相邻的这样的三角形是通过围绕它们的公共顶点旋转90°而获得的；换句话说，如果你沿着龙的红色折线走，那么这些

*) 请参阅文章末尾的问题 9。

三角形将交替出现在右侧，然后出现在左侧。

定理2.如果在龙的折线n的每个环节上，作为zinotenuse，构造一个直角等腰三角形，并且对于两个相邻的环节，这些三角形相对于公共顶点旋转90°而成为两个三角形之一，那么所构造的三角形的石子就构成了龙的折线n+1。反之亦然，每条折线n+1都可以通过这种方式从一些折线n获得。

事实上，让我们按照最后一个步骤，将条带对折。为了方便起见，我们将参考条件图7。我们要将条带对折n+1次。我们先将它折叠n次并画出它的轮廓（图7处的红线）。然后再次将其对折，并将最后的折叠旋转 90°（同一图* 上的黑线）。纸张从蘑菇 A 到蘑菇 B，然后再返回，不是沿着斜边，而是沿着等腰直角三角形 ABC 的边。让我们展开所有其他折叠

图 6

线段为等边直角三角形的斜边，直角边为原折线的连线（图处三角形有轻微阴影），每两个相邻的直角三角形绕顶点旋转90°得到；换句话说，如果你沿着龙的红色折线走，那么这些

最大 90°（在 图 8 处，显示了如何展开单独的折叠）。那么长方形的石子就形成了龙折线n+1，斜边就形成了n。

使用这些消息，很容易证明定理 2 的两个陈述。您可以尝试给出另一个证明：从定理 1 导出定理 2。

*）在我们的图上，黑线比红线长$\sqrt{2}$倍，但这并不重要，因为我们感兴趣的是折线的形状，而不是它的大小。

41

利用定理2，从每条龙的等级$n$的折线可以得到两条不同的等级$n+1$的折线：这完全取决于第一个连杆的哪一侧来完成三角形。

请注意，当我们根据定理1从$n$等级的折线移动到$n+1$等级的折线时，折线的长度变为原来的两倍，而每个链接的长度不变；如果我们用定理 2 来“加倍”，那么折线的长度就会增加$\sqrt{2}$倍，而连线的长度就会减少$\sqrt{2}$倍。

现在练习使用定理 2 绘制多边形龙线。

字

如果我们从稍微偏蓝的角度来观察龙线（或者，如果你愿意的话，折叠一张纸的方式），定理 2 中讨论的性质可以得到非常简单的解释。

让乌龟沿着龙的折线（图9）爬行。每次她到达山顶时，她都必须向左或向右转$90^\circ$。从海龟的角度来看，它的路径将由一系列转弯决定。例如，对于 图 2、$a$（从红点开始）处的折线，此序列将如下所示：左、左、右。

我们将用字母$R$表示向右转弯，用字母$L^*$表示向左转弯）。那么整条断线就会被写成下面的“字”：

LLR

（数学和逻辑的许多分支中的“单词”仅指任何字母序列）。以同样的方式，您可以将字母$L$和$R$写成一个单词。

要从折线$\delta$（图2）得到折线$a$，您需要将纸片“向左”再折叠一次（参见图2、$\delta$和10）。在这种情况下，在虚线$a$的每两个顶点之间都会多一个转弯，并且在图10处可以清楚地看到这些新的转弯将通过

*）我们选择了英语单词right（右）和left（左）的第一个字母，因为俄语字母P和L彼此太相似（顺便说一下，德语Rechts和链接以相同的字母开头）。

42

从该段开始，将“加倍”过程重复12次，并顺时针和逆时针旋转，就得到了这条曲线。为了更好地展示这条曲线的走向，我们每次旋转的不是90°，而是95°（黑线）；如果将角度减小到 90°，就会得到龙曲线，它描绘在同一条 图 彩色线上；它用均匀的图案填充一个等边直角三角形。

43

这条十二级龙曲线有一个特殊的名字“父、母、子”。找到它的中间。您能想象曲线从这一点开始发展成两个完全相同的部分，通过旋转 90° 形成彼此吗？为了相信这一点，我们必须用彩色铅笔从头到尾忠实地描绘曲线。

在这里，两半之一，即曲线（“它被称为“机车”），被绘制在彩色背景上，以显示这两条曲线如何相互“舞台”。其中一半绕中点旋转 90° 后，将与另一半重合

44

屈服；因此我们得到
$$L L R \rightarrow L L R L R R,$$

即，记录断线 6 的单词。再向左弯曲一次，我们将得到一条以单词为特征的断线

$$L L R L L R R \rightarrow L L R L R L R R,$$

画出这条虚线。这是四阶龙的主断线。如果你愿意，可以按照黑伟的建议，扭转它的角。

如果再次对收到的最后一个单词继续进行相同的操作（再次以$L$开始交错字母序列），您将得到31个字母的单词 - 5级主龙线的记录，如图3所示。

当然，相交的字母序列可以不以 $L$ 开头，而是以 $R$ 开头 - 这将导致其他断线。

很容易看出，我们从等级$n$的折线单词构造等级$n+1$的折线单词的方法完全对应于定理2中讨论的几何加倍方法（新字母对应足够的动词）。一般来说，断龙线的整个“理论”不能以几何方式构建——使用旋转、获得三角形等，而是“代数”——使用两个单词的运算

图 10

字母$L$和$R$，破碎龙的“记录”*)。

读者将能够部分地遵循这条路径，并熟悉单词所具有的许多有趣的模式——龙曲线的记录，并解决以下问题。

任务

1. 您需要取一条长条多长时间，才能将其对折 30 次后，相邻折叠之间的距离为 1 厘米？地球到月球的距离是大还是小？

2. 如果把纸条的另一边放在桌子上，龙的线条会发生什么变化？写断线的字会发生怎样的变化？

3. a) 有多少条不同的（彼此不相似的）4 级破龙？把它们都画出来。写出字母$L$和$R$对应的单词。

6. 等级$n$的不同折线有多少条？

4. 假设乌龟沿着龙的断线爬行，并从字母$L$和$R$中找到了单词。如果她沿着这条断线向相反的方向爬行，她会读到什么词？

5. 令 $s$ 为字母 $L$ 和 $R$ 中的某个单词。让我们用$s$表示从$s$获得的单词，如果我们以相反的顺序重新排列其中的字母，然后将$L$放在$R$上，将$R$放在$L$上。 （例如，如果 $s=LLR$，则$s=LRR$）。

令$s$和$t$是字母$L$和$R$的一些单词。如果单词 $s$ 和 $t$ 并排书写，我们将用 $st$ 表示获得的单词。 （例如，如果 $s=LLR$、$t=RL$，则$st=LLRRL$）。

证明：

a) 对于任何单词$s$和$t$

$$\overline{st} = \overline{t} \overline{s}.$$

6. 如果$s_{n+1}$是对应等级$n+1$的龙系的单词，则

$$s_{n+1} = s_n x \overline{s}_n,$$

其中$s_n$是对应于等级$n$的龙折线的一些单词，$x$是对应于一个字母的单词。

*) 加拿大数学家高德纳 (Knuth) 和戴维斯 (Davis) 正是从他们的手稿《数字表示和龙曲线》(Ch. Davis, D. E. Knuth) 中选择了这种表示方法，文章的作者首先认识了弯曲的龙。该手稿还研究了一系列图长度的龙曲线。

45

c) 如果$s_n$是对应龙纹的单词，则$s_n$与$s_n$仅相差一个中间字母。

d) 写出等级$n$的龙折线的单词，可以通过任意指定该单词中应该出现在数字$2^k$的位置的$n$字母，其中$k=0,1,2,...,n-1$（即在第一，第二，第四，第八，…，$2n^{-1}-m$位置）以独特的方式构造；之后，要查找第$m$位是哪个字母，需要将$m$表示为$m=2^k(2l+1)$，其中$k$和$l$是整数；如果$l$是偶数，则第$m$位与第$2^k$位具有相同的字母，如果$l$是奇数，则相反的字母。

e) 两个单词 $s_n'$ 和 $s_n''$ 定义相同形状（相似）的断龙，当且仅当在划掉中间字母后，这两个单词重合，或者通过用 $R$ 替换 $L$ 和用 $L$ 替换 $R$ 来获得一个。 （例如，单词 LLRLLRR、LLRRLRR、RRRLRRLL 定义相同的虚线。）

6. 让我们得到一条等级为$n$的龙的折线。使用定理1（将折线的一端或另一端作为点$O$）或定理2（沿一个方向或另一个方向延伸三角形），您可以从中获得两条等级为$n+1$的折龙线。这两种情况都会产生相同的两条$n+1$级破龙，还是一般来说会产生不同的破龙？如何从给定的$n$断线的单词中获取他们的单词？

7. 给定平面上的两点 $A$ 和 $B$。画一个正方形，中心位于线段的中间 $AB$，其中一侧相等 $2AB$ 并平行于线段 $AB$。证明任何端点为点的龙折线 $A$ 和 $B$ 位于这个广场之内。证明对于任意点 $M$ 在这个正方形内和任何正数 $e$ 你可以找到这样一条有末端的断龙线 $A$ 和 $B$，从点经过 $M$ 在更远的距离 $e$ （用数学语言来说，“一条龙的所有断线的并集，其端点为点 $A$ 和 $B$”).她的第一个 $2^n$ 链接形成损坏的排名 $n$.

证明：

a) 这样一条等级$n$的折线的末端将在点处

$$\left( \frac{n}{2} \cos \frac{\pi n}{4}, \frac{n}{2} \sin \frac{\pi n}{4} \right)$$

（第 38 页图 上的红点）。

46

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6. 记录下这条断线的单词可以这样快速写下来。首先，我们通过数字写出字母$L$和$R$，并在它们之间为缺失的字母留出空格：

L_R_L_R_L_R_L_R_L_R...

然后我们进行如下操作。我们用左手的手指指向第一个字母，用右手将其写在第一个间隙中，然后用左手指向第二个字母，用右手将其插入第二个间隙，用左手插入第三个……依此类推，依次遍历所有字母（不遗漏新的字母），然后用右手将每个指示的字母插入第一个空闲间隙。

$$LLRLLRLLLRRLRLLLRL$$

c) 如果像问题 10 一样，我们从一个点释放 4 条等级为 ∞ 的主折线，那么沿着网格的每一段，这些折线之一的一个链接将会通过 (图 11)。

（这是一个困难的定理；它首先由 D. E. Knuth 证明。）

图 11.

文学

M. Gardner，数学游戏，《科学美国人》216，1967 年，3 月 (124-125)，Appel (118-120)，7 月 (115)。

前一天
奥林匹克运动会

对于那些参加全俄中小学生奥林匹克运动会最后部分的人来说，四月是“炎热的”。活动将在这个地方举行：年轻数学家 - 辛菲罗波尔（从 23 到 29），物理学家 - 斯维尔德洛夫斯克，化学家 - 沃罗涅日（从 8 到 15）。来自各个地区、地区和资源奥林匹克竞赛的四名代表、八名莫斯科人、六名列宁格勒人、在上届奥林匹克竞赛中获得第一名和第二名的人以及四名来自特殊物理和数学实习生的代表将来到这里。

奥林匹克竞赛隆重开幕的第二天，其业务部分就开始了——所有参赛者都将被收取其“专业”书面作业的费用。他们每人必须解决 4-5 个问题。此外，物理学家和化学家将于 4 月 12 日进行实验之旅。

最愉快、最轻松的一天是奥运会闭幕式和颁奖典礼。

十三名毕业生——八名数学家和五名物理学家，在全联盟奥林匹克竞赛中取得了成功，将获得今年夏天下一届国际奥林匹克竞赛的门票。

杂志«Kvant»将不断向读者通报这些现代人身上发生的一切。

47

在本节中，我们从一个问题到另一个问题，布置了几项任务，这些任务通常非常困难。读者提交的这些问题的最佳解决方案将在几个月后发表在期刊上。

在数学方面

M6。你面前有一个时钟。除非知道哪只手是时针、哪只手是分针，否则有多少指针位置无法用来确定时间？

（人们相信每个箭头的位置都可以准确确定，但无法根据箭头的移动方式确定。）

M7。 a、b、c 是三角形的边。证明

$$\frac{a}{b+c-a} + \frac{b}{c+a-b} + \frac{c}{a+b-c} \geq 3.$$

S·贝尔科莱科

M8。两个人玩这个游戏。从一堆 25 根火柴中，每个人轮流拿一根、两根或三根火柴。获胜者是在游戏结束时（在所有比赛都已解决之后）结果证明只有比赛的人。

如果比赛正确，谁会获胜——先发球员还是他的搭档？他应该怎样打才能获胜？如果我们假设赢得奇数场比赛的人获胜，答案会如何变化？

在一般情况下探索此游戏，即有 2n+1 场比赛，并且您可以参加从 1 到 m 的任意数量的比赛。

M9。考虑四面体的以下属性（我们将任意三角形参数称为四面体）：

a) 所有面的大小相同；
b) 每条边都等于相对的边；
b) 所有面都是平等的；
d) 外接球和内接球的中心重合；
d) 四面体每个顶点的平面角和相等。

证明所有这些性质都是等价的。

尝试找到四面体的其他等效性质。

M10。以凸四边形的顶点为圆心的四个圆完全覆盖该四边形。证明可以从中选择三个圆来覆盖一个三角形，并且顶点位于这些圆的中心。

G·加尔佩林

48

F7。长度为 $l$ 的水平杆 $O_1A$ 绕垂直轴 $O_1$ 旋转（参见 图 1）。半径为 $r$ 的轮子安装在连杆$O_1A$ 末端的轴上。轮轴水平，与杆成$\alpha$角$O_1A$。轮子在轴上无摩擦地旋转并沿地面滚动。车轮与土壤之间的摩擦力更大。当杆$O_1A$绕垂直轴转一圈时，轮子会转多少圈？

G·科姆金

F8。将末端带有螺纹孔的长杆$AB$拧到垂直螺丝上（参见图2）。杆被释放。螺杆和杆之间的摩擦力可以忽略不计。杆脱离螺钉后将如何移动？

物理和数学奥林匹克 MIEM

图 1

图 2

F9。在水平桌子上，有一个使用长弹簧连接到桌子上的重物。起初弹簧没有被拉伸。然后重物从其平衡位置移动 20 厘米并释放。重物开始沿着弹簧摆动。由于摩擦，其每个周期的振荡幅度减少 7%。重量在停止前会振动多少次？它会在距平衡位置多远的地方停止？

1967年重量级函授物理数学奥林匹克竞赛

F10。如何用四个电阻分别为 10 欧姆、20 欧姆、30 欧姆和 40 欧姆的细螺旋线构造一个尽可能高功率的加热器，如果有一个电流源，每个螺旋线的功率不超过 2 W。华盛顿特区20V，内阻20欧姆？ B·布霍夫采夫

F11。三个开口桶装满水并安装在不同高度（见图3）。从每个桶中，毛坯被向上输送并连接在一起。重物中也充满了水。如果$K_1$、$K_2$、$K_3$同时打开，水会流向哪里？

49

许多男孩和女孩都关心与入学考试有关的问题，尤其是数学和物理方面。毕竟，这些考试在所有技术类型、大学和教育机构的许多院系（包括人文学科！）中举行。入学考试期间等待申请者的是什么？它们是如何进行的？如何最好地为他们做好准备？这一切无疑让读者感兴趣«Kvant»。

我们会在杂志上定期刊登“申请者实习”——数学、物理入学考试材料信息，提供一些教育困难的话题咨询，以及专门针对大学申请者的书籍讨论。

本期将包含有关数学笔试的信息。通常，这些考试主要测试使用在学校学到的技术解决问题的能力。考试中提出的任务不需要超出“苏联高等教育机构入学考试计划”范围的知识。

当然，与大多数大学相比，数学、物理和其他一些大学院系的申请者提出了更高的要求。然而，这并不意味着未来的物理学家需要具备一些超出该计划范围的额外知识。他们只需要更流利地掌握材料，表现出一定的思想独立性，并能够解决更复杂的问题。

要学习如何自信地解决入学考试问题，您需要仔细重复理论学校课程并获得足够的解决类似问题的练习，使用专为大学申请者编制的数学常见问题集之一。

当您开始准备入学考试时，请不要拖延，尤其是如果您将在六个月后参加考试！

社论。

50

N.S.巴赫瓦洛夫、N.N.库兹涅佐夫

数学笔试是莫斯科国立大学力学与数学学院申请者的主要考试。经常出现这样的情况，即考试难度过高，只有莫斯科数学学校的毕业生才能在这项考试中获得“C”。

这些案例完全没有根据*)。笔试中提供的任务（所谓的“变体”，由 4 个问题组成）的构成方式是，每个变体都有一个任务

*) 1969 年，在 922 名莫斯科申请人中，有 469 人（约占 50%）在笔试中获得了积极的分数（三分或更高），而在 2,356 名非居民中，有 912 人（约占 40%）。

对于那些受过平均数学训练的人来说是很容易理解的。解决这样的问题就已经保证了三。因此，要成功通过笔试，你只需要对学校的数学课程有扎实的了解，只有那些没有做好充分准备以顺利在学院学习的申请者才会获得不令人满意的成绩。

当然，我会解决简单的问题；该版本还包括其解决方案需要足够的数学文化的任务（但不需要超出程序范围的额外知识）。因此，这次考试不可能拿高分。

选项1

1. 点 A 和 B 位于以 ACB=60° 角相交的道路上。您可以乘坐巴士从 A 点前往 B 点 - 首先沿着一条路到达交叉路口 C，然后沿着另一条路行驶 - 花费 11 分钟。如果从A到B方向正确的话，需要1个小时。 10分钟，如果先走最短路线到B点所在的路，然后再坐公交车，那么时间就更长了，即使马上就有公交车。

如果行人速度为 3 公里/小时，公交车速度为 30 公里/小时，从 A 点到交叉路口的距离是多少？ （道路被认为是直的。）

2. 在三角形ABC中，画三边形AD和BE，交于点O。已知线段OE的长度为1，顶点C位于经过点E、D、O的圆上。求三角形EDO的边和角。

3. 找出同时满足以下条件的所有 x 值：

$$\cos 13x = \cos x,$$
$$\cos 2x + \sin 5x = 1,$$
$$|x| < 3.$$

4. 一个平面四边形变成两个相互垂直的平面的本初过程是边长为 2 的正方形。已知四边形的一条边等于 $\sqrt{5}$，求该四边形的周长。

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这需要特殊准备和使用适当的文献*)。

在这里，我们将考虑 1969 年 MEXMATH 笔试版本中的一组典型问题（第 50 页的变体 1）作为示例。他有 4 个小时的时间来做出决定。要获得“3”分，就足以解决至少一个问题；如果其中任意三个问题有完整的解决方案，则得分为“5”，其中四个属于主要解决方案。

我们将详细分析这些问题，并记录那些到达解决问题的人所犯的典型错误，最后我们将为 Kvanat 的读者提供另一种独立解决方案的选择。

任务分析

任务1

让我们画一幅画（图1）。 $D$ 是线$BC$ 靠近$A$ 的点。请注意，点$B$相对于$D$的位置事先是未知的（图中显示了两个位置选项）。设$x=AC$、$y=CB$（这些距离以公里为单位）。写下问题的条件，我们得到两个方程组：

$$\begin{cases} x+y=5,5 \\ x^2+y^2-xy=12,25 \end{cases}$$

和不平等：

$$10x\sqrt{3}+|2y-x|>70$$

*) 作为合适的问题书，我们指出，例如，E. B. Vakhovsky 和 ​​A. A. Ryvkin 的书《难度增加的初等数学任务》（关于它，请参阅本期《Kvanat》第 60 页的文章“如何解决问题”），N. Kh. Rozov、M.K. Potapov、G. V. Dorofeev，“大学申请者数学手册”，V. B. Lidsky、P. V. Ovsyannikova、A. N. Tulaikova 和 M. I. Shabunna，“初等数学任务”。

方程组（1）有两个解：a）$x=4$，$y=1,5$； 6) $x=1,5$，$y=4$，我们必须从中选择满足附加条件（2）的一个。该条件的第二个解不满足，即$15\sqrt{3}+6,5<30+6,5<70$。第一个决定让他很满意。要验证这一点，您需要检查$40\sqrt{3}+1>70$或$40\sqrt{3}>69$。通过对最后一个不等式进行平方，我们得到$4800>4781$，从而验证它的正确性。所以，问题的解是$x=4$公里。

让我们看看申请人在解决这个问题时所犯的典型错误。

他们中的大多数人都成功地编译并求解了方程组（1）；然而，对于许多人来说，使用附加条件（2）选择所需的解决方案是一个难以克服的障碍。请理解顺序的最方便的方法是点 $B$ 和 $D$ 相对位置的错误视觉表示，因此，检查的不是不等式 (2)，而是不正确的不等式

$$10x\sqrt{3}+2y-x>70.$$

与此同时，审查员常常仅限于检查找到的解决方案之一。例如，在确定系统（1）的第二个解（$x=1,5$；$y=4$）不满足不等式（3）后，他们会在此基础上自动满足

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结论是第一个解就是我们要寻找的解（尽管很容易看出它也不满足不等式（3）。让我们注意一个相当多的构造者所犯的错误：在检查条件（2）时，值$\sqrt{3}$被替换为近似有理数，例如1.7，并且不正确地检查了等式

$$17x + |2y - x| > 70$$

（很容易检查方程组（1）的两个解也不满足它）。

问题2

让我们连接点 $C$ 和 $O$（参见 图 2）。线$CO$是角$C$的平分线，或者穿过平分线$AD$和$BE$的交点。这就是为什么

$$\angle ECO = \angle DCO$$

(1)

圆内切角 $OECD$

图 2.

$DEO$ 和 $DCO$ 相等，就好像它们位于同一条弧上。对于角度$EDO$和$ECO$也是如此。根据（1）我们得出结论

$$\angle DEO = \angle EDO,$$

即三角形$EDO$是等边三角形。

内切角$ECD$和$EOD$由附加圆弧支撑；因此它们的总和是 $180^\circ$。另一方面，我们有一个整数相等：

$$\angle EOD = \angle AOB =$$

$$= 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) =$$

$$= 180^\circ - \frac{1}{2} (\angle A + \angle B) =$$

$$= 180^\circ - \frac{1}{2} (180^\circ - \angle C) =$$

$$= 90^\circ + \frac{1}{2} (\angle C).$$

因为

$$180^\circ - (\angle C) = 90^\circ + \frac{1}{2} (\angle C),$$

在哪里

$$\angle C = 60^\circ.$$

从上面给出的推理可以看出

$$\angle DEO = \angle EDO = 30^\circ,$$

$$\angle EOD = 120^\circ,$$

所以三角形$EDO$的边是1、1和$\sqrt{3}$。

Nibaulier 在这个问题上的典型错误是“证明”$\triangle ABC$ 是等边的。一些考生基于几何错觉，假设圆心$OECD$位于直线$CO$上。由此可见，角$OEC$和$ODC$是直角，因此平分线$AD$和$BE$同时是高，这只有在等边三角形中才有可能。

另一部分证明三角形$ABC$等边的人，基于以下推理：让我们从点$O$分别垂下垂线$OE'$和$OD'$到边$AC$和$BC$。距离是点$D'$和$E'$相对于点$D$和$E$的位置的两个选项（参见图3）。在情况 a) 中，$CDO$ 和 $CEO$ 是钝角，在情况 b) 中，它们都是锐角。因此，只有当点$E'$与$E$重合，$D'$与$D$重合时，点$C$、$D$、$O$、$E$的向量才能描述圆。

由此得出$AD \perp BC$和$BE \perp AC$的结论。

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我们想把它留给读者作为练习，以找出上述推理中的错误。

值得注意的是，正确解决该题（以及其他选项的类似题）的考生数量相对较少：大约九分之一的人解决了它。

任务3

该系统第一个方程的解：

$$\cos x - \cos 13x = 0$$

或者

$$2\sin 7x\sin 6x = 0$$

给出两个系列的值

a) $x = \frac{1}{7}n\pi$ ($n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$),

6. $x = \frac{1}{6}m\pi$ ($m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$).

从这些值中选择那些满足不等式$|x| < 3$的值，我们发现：

a) $x = \frac{1}{7}n\pi$, $|n| \leq 6$,

6. $x = \frac{1}{6}m\pi$, $|m| \leq 5$.

现在我们必须选择那些满足系统第二个方程的$x$值。该方程可以表示为：

$$1 = \sin 5x + \cos 2x = \sin 5x + \sin \left(\frac{\pi}{2} + 2x\right) = 2\sin \left(\frac{7x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\cos \left(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}\right).$$

让我们首先将系列（a）代入其中。由于 $7x = n\pi$ ($|n| \leq 6$)，必须满足等式：

$$\sin \left(\frac{n\pi}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\cos \left(\frac{3n\pi}{14} - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}$$

因为$\sin \left(\frac{n\pi}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = \pm \frac{V^2}{2}$，所以$\cos \left(\frac{3n\pi}{14} - \frac{\pi}{4}\right) = \pm \frac{V^2}{2}$，因此，$\frac{3n\pi}{14} - \frac{\pi}{4}$ 必须与$\frac{\pi}{4}$ 相差$\frac{\pi}{2}$ 的初始倍数。但是，$\frac{3n\pi}{14} = \frac{3n}{7}\cdot \frac{\pi}{2}$，所以$\frac{3n}{7}$一定是整数。在约束 $|n| \leq 6$ 下，这种情况仅发生在 $n = 0$ 处。将值$n = 0$代入式(1)，确保满足式(1)。因此，从系列 (a) 中，只有 $x = 0$ 是一个解。

现在让我们检查系列 (6)。该系统的第二个方程的形式为：

$$\sin 5x = 1 - \cos 2x = 2\sin^2x,$$

我们注意到$\sin 5x$必须是非负的，即角度$5x = \frac{5}{6}m\pi$（$|m| \leq 5$）包含在前两个四元组中。将$-5$到$+5$可能的整数值​​$m$代入表达式$\frac{5}{6}m\pi$，我们确定只有六个需要验证