Kvant 1970 年第 3 期 · 页面

科普物理和数学
量子
3
1970
杂志
学院
苏联科学
和
教育学院
苏联科学

主编-I.K.IKOIN院士
第一副主编 -
柯尔莫哥洛夫院士

社论
学院：

L.A.阿齐莫维奇，
M·I·巴什马科夫
V·G·博尔坦斯基 (V. G. Boltyansky)
I·N·布朗斯坦
N·B·瓦西里耶夫
I·F·金兹堡
V.G.祖博夫，
P.L.卡皮察，
V.A.基里林，
G·I·科索罗夫
V·A·列什科夫采夫
V·P·利舍夫斯基
A.I.马库舍维奇，
M.D.米尔尤尼特科夫，
N·A·帕特里克耶娃
N.Kh.罗佐夫
A.P.萨文
I.Sh.斯洛博德希
M·L·斯莫良斯基
Y.A.斯莫罗丁斯基，
V.A.法布里坎特，
J·E·施奈德

编辑部主任 L. I. Knyazeva
艺术编辑 I. P. 列昂诺夫
技术编辑 T. M. Makarova
校对员 O. A. Stsedal 和 I. B. Mamulova
《科学》出版社
主编室
物理和数学文献
莫斯科，V-71，列宁大街，15
电话。 234-05-49

1970 年 2 月 11 日交付
签名印章 2/1V 1970
纸质 70×100/16 物理量p.l. 4
有条件的烤箱l。 5.2 学术版。湖5.55
发行量206,500份。
价格30戈比。订单 196
契诃夫印刷厂
Glavpoligrafproma 委员会
苏联部长会议新闻部
契诃夫，莫斯科地区

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running_head:
folio:

深渊已裂开，布满星辰；
星辰无数，深渊无日。
M·V·罗蒙诺索夫

纽约·维伦金

秘密
无限

有限的人不敢将有限视为给定的、可以被他有吸引力的直觉所接受的东西。

卡尔·弗里德里希·高斯

无限 没有什么比这更能如此明智地感动人类的心灵了。

大卫·吉尔伯特

永恒的一刻

对大数的兴趣可以追溯到远古时代。埃及人为了表达某个非常大的事物，诉诸比喻的比较。艾神祭司（公元前十四世纪）的一座坟墓中的文字写道：

“愿他（上帝）奖励你周年纪念日，就像用铁测量的海边沙子的数量，像用贾耶特测量的大海的尺寸，或者用天平称重的山的重量，或者鸟的羽毛，或者树叶的重量。”

埃及人很难以不同的方式表达他们的思想，因为他们没有充分发展数字符号系统。但大约5000年前，古巴比伦出现了六十进制*，巴比伦数学家能够轻松处理大数。例如，一张古代巴比伦表格列出了数字 $60^8+10\cdot 60^7=195\ 955\ 200\ 000\ 000$ 的所有约数。

印度的佛陀传说中也提到了非常多的数字。据其中一位说，他在童年时就接受了数字的考验，从一种尺寸转向另一种尺寸，他必须达到用恒河等十万条河流（lakha = 100,000）的沙粒数量来表示的数字。然后出现了更大的数字，最后，“富人借助这个数字计算他们的产品，

*) 对古巴比伦数字系统感兴趣的读者可以在M. Ya的书中熟悉它。维尤斯基《古代世界的算术和代数》。

在另一个印度传说中，他谈到了一场有 1023 只猴子参加的战斗。如此数量的猴子不仅在地球表面上容纳不下，而且在整个太阳系中也容纳不下，即使整个太阳系都挤满了猴子！

显然，埃及人和巴比伦人已经有了永恒的观念——时间的流逝将永无止境。这个想法在东方寓言中得到了明确的表达：

“这里有一座一千肘高的钻石山。百年一次，一只鸟会在山上躺下来磨钥匙。当她磨损整座山时，永恒的第一个时刻就会过去。”

数沙粒

埃及和印度都使用相同的巨大数字符号——河岸或海边的沙粒数量。这个数字当然是非常大的。即使我们假设一块沙子的体积是1立方毫米（事实上，甚至更小），那么一立方米沙子就含有十亿粒沙子，一立方公里沙子就含有十亿粒沙子！一个人如果以每秒两颗沙子的速度缺席，每天做这项工作10个小时，持续80年，缺席的数量不会超过三十亿沙子。因此，很难通过直接经验来反驳沙粒的数量是无数的想法。无论如何，巴比伦石板中包含的数字不足以满足这一要求。

说出一个数字，上级

由于无论是有人居住的国家还是无人居住的国家都存在沙粒，因此有必要进一步开发一种数字系统，一种记录数字的系统。这个问题被伟大的古代数学家阿基米德解决了，据信他出生于公元前287年，并在公元前212年攻占他的家乡锡拉丘兹时被杀。阿基米德在物理和数学方面有许多发现，这些发现的发展随后导致了积分学、流体静力学和其他科学的创建。他的名字可以作为最伟大数学天才的象征。阿基米德的许多著作还没有传到我们这个时代。特别是阿基米德的论证性工作得到了认可。但幸运的是，有一本书被保存下来，其中他发展了他的数字系统。它被称为“Psammit”，即“计算与恒星球相等的空间中的沙粒”。

甚至在阿基米德之前，希腊人就已经使用了十进制，达到了千千万，即高达 10,000,000。阿基米德从无数万*）开始计数，即从 100,000,000 开始计数。他称这个数字为 okmada**)，或第二个数字的单位。然后是八度，他称之为三度单位。最后，他谈到了八进制数的八进制，即数

*) Myriad 是数字 10,000 的古希腊语名称（源自希腊语 μυρίσσ (mirios)，意思是“无数更大”）。
**) ohto (octo) - 八。

等于带有 8 亿个零的数字。他宣布这个数字是第二周期的单位。阿基米德完成了他的八进制数系统，即数字$10^{8.10^{16}}$。如果你在 1 米长的条带上写下 400 个数字，你会得到一条长度可以绕地球赤道约 5000 圈的条带。此外，如果火箭的速度为每秒 8 公里，则需要飞行大约 300 天才能沿着整个带子飞行。

尽管在阿基米德之前，科学家们就知道自然数的数量是无限的，最后一个自然数并不存在，但直到“顶峰”之后，他们才能够说出不仅超过海边沙粒数，而且超过“无水星阶”中沙粒数的数字； - 正如阿基米德所表明的，它小于一千八分之一，即小于$10^{63}$。无限数列的思想，一种反映时间永恒的数学模型，似乎在阿基米德微积分的八进制和周期中得以实现。

无限世界
在无限的宇宙中

因此，无限的观念首先作为永恒的观念而出现，即世界在时间中无限存在的观念。然而，在埃及和巴比伦，显然没有人考虑过空间的无限性。宇宙被认为仅限于地球上的一个固体球体，在这个球体之外，凡人无法接触到任何东西。但已经是公元前六世纪了。 e.在古希腊，出现了无限空间的想法。哲学家阿纳克西安德是第一个猜想无限宇宙中存在无限多个世界的人。希腊哲学家说：“无论战士站在哪里，他都可以将矛伸得更远。”*）。

世界模型就这样诞生了，四面八方无穷无尽，时间永恒。最大胆的思想家甚至认为世界没有开始，但他们却被斥为无家可归的人，否认富人创造了世界。

分享还是不分享？

因此，宇宙的“大”结构被澄清了（或者至少看起来是被澄清了）。但与此同时，哲学家和数学家也思考了整个可见世界是由什么组成的，以及它如何“在小范围内”运作。日常经验告诉我们，一条面包、一条野猪火腿或一壶酒可以在餐桌旁的人之间分配。在 *) Theler 的例子中，我们知道这个推理仅证明了空间的无界性，不存在有限的恒星球体，但并没有以任何方式证明它。无尽的。无限和无限之间的区别可以从圆的例子中看出——圆没有边界，尽管它的尺寸是有限的。读者可能会反对圆是弯曲的，但空间不是弯曲的。但在现代物理学中，引入了空间曲率的概念（这部分与引力场中光线的偏转有关）。当然，阿纳克西安德和其他古代哲学家都无法理解其中的微妙之处，他们坚信自己的推理证明了一切。

7

如果有必要，每个部分都可以再次分成多个部分。但如果你继续这种划分，那么迟早有一天，这些部分会变得如此之小，以至于进一步划分它们几乎变得不可能。为了表达如此小的“个体”数量，长期以来一直使用“一粒灰尘”、“罂粟籽”等图像。但如果一粒罂粟种子仍然可以分成几部分，尽管很困难，那么一粒在阳光下飘扬的尘埃也能分成几部分吗？日常经验并没有给出这个问题的答案，我们只能依靠推理，进行纯粹推测性的分析。

我们面前这个问题的附加答案之一属于生活在公元前 5 世纪的某个人。 e.希腊哲学家阿那克萨哥拉。他读到：

“少量之中没有最小的，但减少是持续的，或者现有的不可能不存在。”

他还说：

“万物（在奇迹之初）都在一起，它们无限多，无限小。”

因此，根据阿那克萨戈拉的说法，整个国家是由无数个无限小部分组成的。当然，在这种情况下，我们所说的无穷小并不是像现在数学中的惯例那样趋向于零的变量，而是一个没有维度的点。

但这与希腊数学普遍接受的两个基本原则相矛盾。希腊科学家将所有量分为扩展量和非扩展量。同时，他们相信：

1. 任何无限大的数量（即使是非常小的扩展数量）的总和也必然是无限大的。

2. 任何未扩展数量的总和（尽管无限大）始终等于零，并且永远不能等于某个预定的扩展数量。

事实证明，根据阿那克萨戈拉的观点，构成世界的无穷小既不能延伸，也不能不延伸，也就是说，它们不可能存在。

针对无限可分性的想法，还提出了其他可能性。阿那克萨戈拉·普鲁塔克写道：

“如果将两个量分成几部分可以​​无限期地继续下去，那么就没有理由认为一个量大于另一个量，不平等的本质就被破坏了。”

这个反对意见的意思是，除以后，这些量将由相同（无限）个相同（无限小）的量组成。

静止的世界

请注意，反对无限可分性思想的最有力的论据是由公元前 5 世纪中叶生活在意大利的哲学家埃利亚的芝诺提出的。 e.他“表明”无限分裂的假设导致……否认运动的可能性。芝诺把他的推理以一种生动的、矛盾的形式用尺度来表达。因此，在其中一篇文章中，他“证明”了速度快的阿喀琉斯永远无法完成速度慢的乌龟——毕竟，他首先必须到达A点，即乌龟爬行的地方，然后准确地到达A点。

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l 和更高的表面（具有最小厚度）。例如，根据德谟克利特的说法，圆锥体由厚度最小的圆组成，而金字塔则由相同的多边形组成。他想象球由金字塔形的针组成，其顶部位于球的中心。亚里士多德写道：

“根据德谟克利特的说法，球也会切割，因为它也是有角度的。”

这种方法使德谟克利特解决了几何学家面临的许多问题。所以，他是第一个计算出圆锥体和棱锥体的体积的人，他是第一个计算出球体的体积并计算出球体面积的人。这显然就是他处理金字塔的方式。

首先他证明了两个底等高的金字塔具有相同体积的定理。这里对他来说没有任何补充——根据德谟克利特的说法，相同高度的金字塔由相同数量的相应三角形组成，它们的体积是三角形“体积”的总和（毕竟，根据德谟克利特的说法，三角形是物质的，并且具有最小厚度）。由于金字塔底面的面积相同，因此两个金字塔中相应三角形的“体积”重合，因此金字塔的体积也重合。然后他将三棱柱分成三个金字塔，每个金字塔具有相同的高度和相等的底（见图）。这样，德谟克利特就“证明”了金字塔的体积等于同高同底的棱柱体积的三分之一。金字塔和圆锥体的体积相等，具有相同的高度和相同的底面积，其证明非常简单——它们由相同“体积”的相同数量的图形组成。

德谟克利特如何解决球体体积问题也很清楚。由于球由针状金字塔组成，因此球的体积等于这些金字塔的体积之和。他已经知道如何求出每个金字塔的体积。总结这些体积，他得出了答案：“球体的体积等于球体半径与球体表面积乘积的三分之一。”他无法计算这个面积。

粗糙金字塔

德谟克利特在确定几何体的体积方面取得了显着的成果。但他的大多数同时代人都用他的方法做出了回应。德谟克利特的思想与直接经验的结果相差太大。毕竟，在德谟克利特的几何学中，即使将线段一分为二也是一个非常困难的间隙。由奇数周债务组成的部分不能被分成两半：平均周债务流向其中一半，而这一半变得比另一半更大。本来是不可能分开的

lam 和circle：通过这种划分，圆的直径向其中一个极点移动，使其比另一个极点更大。此外，根据德谟克利特的说法，直线和圆都由相同类型的周组成。因此，圆和接触它的直线有一个共同的周、共同的边界。因此，只能绘制有限数量的切线到圆上。

而给德谟克利特带来巨大成功的普里米达，对他来说却是某种国家。毕竟，需要解决原体平行截面是否相等的问题。如果它们相等，则原虫在顶点处不存在，如果它们不同，则原虫具有阶梯形状（与 einige primids 相同）。

显然，德谟克利特未能构造出一致的几何学，尽管他的几何学并不像他的对手的图画那么天真。无论如何，德谟克利特的前辈最显着的成果之一——本质上是不成比例的片段——并没有在他的扩展中得到解释：根据德谟克利特的观点，所有片段都必须是相称的，以最小长度来衡量。几何学家拒绝了德谟克利特的观念，他们开始考虑没有厚度的理想表面、理想的物质线和没有长度的点。确实，当将线段分成两半时，仍然需要删除分割点，但这不再重要：它没有尺寸，也不会影响长度。

亚里士多德本人说过，“最小长度的引入破坏了数学最伟大的基础。”正如忠实追随者所说

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亚里士多德的瓦岱尔（Vatel）、中世纪的学者托马斯·布拉德瓦林（Thomas Bradvarin）认为，“所有科学体系只有在不基于连续状态由每周状态组成的假设的情况下才是正确的。”早在 17 世纪，巴黎议会就威胁要判处所有反对亚里士多德观点的人死刑。部分是对所有原子论的支持者。

耗尽法

因此，数学家必须对德谟克利特的周方法和无限过程做出回应——芝诺的批评破坏了人们对使用无穷概念获得的结果的信心。结果，出现了一个困难的情况——德谟克利特的方法，尽管通过松散的计算，提供了计算面积和体积的正确公式；现在有必要开发一种计算几何量的新程序，其中不会提及无穷大、无穷小或几周。这个程序创建于 4 世纪。公元前欧几里得的前身是数学家欧多克索斯，他提出了“穷举法”（或者说“穷举法”），许多人将其视为现代极限法的鼻祖。欧几里得在《几何原本》中广泛使用了这种方法。

例如，以下是欧几里得如何证明两个圆的面积等于其直径的平方：

$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{d_1^2}{d_2^2}.$$

这可能不是真的。然后$$\frac{d_1^2}{d_2^2} = \frac{S_1}{S},$$，其中$S$小于或大于$S_2$。

我们首先假设$S < S_2$。让我们在直径为 $d_2$ 的圆内接一个正方形，并构造正内接多边形，依次将边数加倍。很容易证明，经过几步，圆的面积与内切多边形面积$P_2$的差

变得大于$S_2 - S$，即$S_2 - P_2 < S_2 - S$，因此$P_2 > S$。现在让我们在直径为 $d_1$ 的圆内接一个与直径为 $d_2$ 的圆内接的多边形类似的多边形；我们用$P_2$表示这个多边形的面积。由于相似正多边形的面积与外接圆直径的平方相关，因此

$$\frac{P_1}{P_2} = \frac{d_1^2}{d_2^2}.$$

但我们承认 $$\frac{d_1^2}{d_2^2} = \frac{S_1}{S},$$ 因此

$$\frac{P_1}{P_2} = \frac{S_1}{S}$$

或者，由于比例的特性，

$$\frac{P_1}{S_1} = \frac{P_2}{S}.$$

但是$P_1 < S_1$（内接多边形的面积小于圆的面积），而$P_2$，如刚刚所示，大于$S$。所以，等式（*）左边小于一，右边大于一，这是荒谬的。这意味着不等式$S < S_2$是不可能的。

同理，证明了不等式$S > S_2$是不可能的（自己证明一下！）。

因此，假设$S < S_2$、$S > S_2$已确定，并且仍然是唯一可能的：$S = S_2$，即$$\frac{d_1^2}{d_2^2} = \frac{S_1}{S_2}.$$

但如果对于一个圆来说，结果很容易猜到，而且计算也不是太复杂，那么计算圆锥体的体积或源的参数就是一件复杂而令人困惑的事情。然而，锥体和参数仍然是可能的——毕竟，答案在德谟克利特时代就已经知道了，而欧多克索斯只需澄清德谟克利特的信息，根据源方法将参数划分为每周给定的具有差异的三角形即可。

但是当需要寻找德谟克利特没有涉及的数据卷时

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例如，有一个垂直椭球体或垂直抛物面，情况就完全糟糕了——不知道用什么值来证明体积不能大于或小于该值。换句话说，模态演算方法只能证明已经找到的结果，而不能发现新的结果。

懒惰也是有用的

然而，欧多克索斯之后的数学家并不太热衷于发现新公式。此时科学思想的中心从希腊转移到埃及，在那里，在亚历山大博物馆托勒密王朝的指导下，科学家们研究天空，系统化以前积累的数学知识，写书以纪念科学的崇高赞助人，并抄写古代手稿。必须指出的是，亚历山大科学家所做的事情并不少，只是他们的工作更具追随者的特征。他们开发了以前可用的东西，而不是出售新的路径。

亚历山大科学家这个安静的家庭中为数不多的例外之一是锡拉库扎国王阿基米德的亲戚，他从遥远的锡拉丘兹来到这里进行研究。与当时的大多数科学家不同，他不仅对高深理论感兴趣，而且对科学的实际应用感兴趣，发明了螺杆泵，然后使用了多个世纪，制造了机械玩具，后来当他的家乡被罗马人围困时，他制造了军事机器。显然，阿基米德对力学、杠杆平衡、物体漂浮等产生了兴趣。而力学从柏拉图时代起就与纯科学分离，被认为是类似于手工艺的东西。因此，力学并没有仔细监控推理的严谨性，力学在研究中广泛使用原子论，将楔子分裂成原子——与整个楔子有共同顶点的楔子、出水口——分裂成许多厚度较小的“原子”圆，等等*）。

在阿基米德的许多作品中，他遇到了渗出方法与力学推理的奇怪结合。他学会了将重心和杠杆的概念应用到几何问题的解决中，从而获得了当时“纯数学”无法达到的新结果**）。由于力学的结果最终是基于原子论推理，那么实际上阿基米德在这些著作中依赖于原子论。但显然他没有写任何相关内容。当时良好的数学基调似乎要求科学家在展示他们的结果时不提及德谟克利特的被诅咒和巢穴。或许阿基米德还没有读过德谟克利特——他的著作中的一些细节表明了这一点。

从阿基米德流传到16-17世纪的伟大著作中，数学家们无法找出他是如何达成一致的，以及他需要证明什么结果。他们只需遵循阿基米德的思想，直到最后才确信他的正确性。但在赫伦和其他学者引用的一些段落中，提到了阿基米德给埃拉托夫梯尼的一些信息。在这条消息中，阿基米德写道“关于基于方法的推理，但这还不能证明阿基米德著作的文本。但为了确定这一点，有必要

*）奇怪的是，即使是现在，工程师和物理学家也更喜欢谈论基本平面、无限薄层等，而不诉诸数学家使用的精确但有些复杂的语言。
**) 请参阅 V. F. Kagan 的书《阿基米德》了解这一点。

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续集的全文就在你的手中。正如经常发生的那样，一次愉快的意外有所帮助。

1906 年，圣彼得堡大学的一位私人助理教授 Popadopulogo-Keramevs 在非鲁萨列姆修道院的图书馆中发现了一些博戈斯拉夫的论文。由于羊皮纸在中世纪非常昂贵，他们通常会拿走古书，清洗或擦除其中的异教文本，并写下一些神圣烈士的生平。波帕帕普尔感兴趣的那只手也有同样的起源。助理教授数​​学很弱，对被抹掉的文字残留物不太感兴趣（幸好写论文的和尚比较懒，只抹掉了文字，并没有抹去）。他只摘录了古代手稿的一小部分。但对于著名的丹麦数学源海伯格来说，这段摘录足以证明这位修道士洗掉了阿基米德的文本。在海伯格读过的众多作品中，埃拉托夫费努的最后一部作品是他读过的。

在这篇文章中，阿基米德赞扬了德谟克利特的功绩，称他是第一个建立圆锥体和普拉德体积定理的人，但没有给出适当的证明。阿基米德初步研究这个问题的方法与德谟克利特的方法很接近。他将圆柱体、圆锥体和球体分解成极细的圆，证明了其中一个圆的位置，并指出结论对于其余圆也一定成立，最后说：“由于整个身体是由这样的圆组成并完全充满它们，因此该命题对于整个身体也成立。”但这与原子论者的推理几乎一字不差！

阿基米德非常了解他的方法的价值，并希望借助这种方法“当前或未来的研究人员……将找到我尚未想到的其他定理”。

不幸的是，阿基米德的姿势对于那些最需要它的数学家来说却是未知的——无限马尔赫微积分的创造者、开普勒、加利尔、卡瓦列里。但他们通过个人的暗示，重建了阿基米德的思路。

原子论思想如何复兴以及现代数学分析如何创建的故事将出现在«Kvant»页上。

文学

1. 范德瓦尔登，《觉醒科学》。菲兹马吉兹，1959。
2. M.雅。维果斯基，古代世界的算术和代数。科学，1967。
3. I.A.盖伯格，古典时期的自然科学和数学。
4. V.F.卡根，阿里梅特。戈斯特克希达特，1951。
5. S.雅。卢里。古代原子论者的无限马尔赫理论。苏联科学院出版社，1935 年。
6. S.雅。卢里，阿里梅特。苏联科学院出版社，1935 年。

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希尔伯特第十题解法！

当数学界已经意识到苏联乃至世界（！）数学的杰出成就时，本期«Kvant»就已经出版了：列宁格勒大学刚毕业的二十岁研究生尤里·马蒂亚塞维奇（Yuri Matiyasevich）证明了希尔伯特第十个问题的符号的算法不可判定性。

于。马蒂亚塞维奇虽然年纪不大，但绝不是数学新手。在校期间，他就成为了国际数学奥林匹克竞赛的冠军，然后在学生时代，他在数理逻辑方面取得了重要而有趣的成果。就在第二年，即 1968 年，他出版了三本著作，实质上是对希尔伯特第十个问题的“攻击”的开始。这就是结果，明天它就会被纳入教科书。顺便说一句，在Nuka出版社去年才出版的《希尔伯特问题》合集中，有一篇专门讨论第十个问题的文章，其中甚至没有提到希尔伯特第十问题在算法上是无解的。

奇怪的是，尤里·马蒂亚塞维奇并不专门研究数论，其“部门”似乎包括丢番图方程的可解性问题，而是数理逻辑。他是 N. A. Shain 和 S. Yu 的学生。马斯洛夫——数理逻辑和算法理论“列宁格勒学派”的代表人物，坚持所谓逻辑和数学的建设性方向，以苏联科学院通讯院士A.A.马尔可夫为首。

问题的“传记”如下。

1900 年，在巴黎举行的世界数学家大会上，世界领先的数学家之一戴维·希尔伯特 (David Hilbert) 指出了二十年来数学各个领域的问题，他认为这些问题的解决方案对于这门科学的进一步发展特别重要*)。此后，这些“希尔伯特问题”不约而同地引起了全世界数学家的关注。有的已经解决了，有的却顽固地拒绝解决。

第 10 题的表述如下：“让一个具有任意数字的方程被给出

*) 参见 D. Hilbert，“数学问题”。努卡，1969。

未知数和整数有理系数（即$P(x_1, \dots, x_n) = 0$形式的方程，其中$P$是任意次数的多项式，未知数$x_1, \dots, x_n$中包含整数系数）；需要指出一种方法，通过使用有限数运算，人们可以找出方程是否可以整数解（即，是否存在一组整数$x_1^0, \dots, x_n^0$使得$P(x_1^0, \dots, x_n^0) = 0$）。

尽管第十个问题的表述简单且基本，但人们所追捧的“方法”（或者，正如现代数学中所说的那样，找不到算法，这自然表明它根本不存在。在我们学位的三十年代，精确的数学定义开始流行之后，就可以谈论寻找第十个问题的负解了。

恭喜于。为了表彰 Matiyasevich 和他的老师对科学的杰出贡献，«Kvant» 的编辑很快就会向您详细介绍这一杰出成果。

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笔画
到肖像

1792 年，法兰西共和国海军部长一职由一位现在主要以几何学研究而闻名的人担任。他的名字叫加斯帕德·蒙日。

上任后，他开始命令来巴黎出差的海军军官住在外交部大楼里。法国所有海港当局都收到了有关此事的警告。于是，这位部长在照顾下属的同时，也了解了法国海上边界上发生的一切。

这就是蒙日老师多年后的工作方式。当他敏锐的目光注意到观众席上最分开的长凳上有一个学生因为科目的难度或懒惰而变得沮丧时，蒙日立即开始重复他的推理，改变其中的措辞和顺序。如果这还没有成功，老师就会把所有的学生都打发走，除了那些打扰他的学生，坐在他旁边，只给他讲课。蒙日总是用这样一句话来介绍这样的“个人”讲座：“我，我的朋友，将从你不再理解我的那一刻开始教重复。”

蒙日在其他科学领域拥有大量常识。在他辞去部长职务后，事实证明，这位资源官急需弹药——火药不够。为了做到这一点，你需要硝石。革命前，法国从印度接收了它，但通往印度的路线现已被切断。公共安全委员会向科学家寻求帮助和建议。

这似乎令人惊讶，但找到解决方案的不是化学家，而是……数学家蒙日。他说：“硝石是在法国的土地上、马厩、地窖和墓地里获得的。你甚至无法想象那里有多少。我们会得到足够的硝石，三天后我们就会给所有的枪装上火药。”

起初他们并不相信蒙日，只是苦笑。但他们仍然听他的论点。老人、儿童和妇女日日夜夜地在地里捕鱼，几天之内，足够数量的硝石就运抵了火药厂。

但也许蒙日最显着的特征是他的谦虚。这是他为自己年轻的作品所作的序言：“我确信，想法在普通人手中往往是自由的，熟练的数学家可以从它们中发挥更大的作用。因此，我将我的研究转移到图里亚学院。”熟悉这项工作的人中有一位数学家，名叫拉格朗日。他在谈到年轻的蒙日时写道：“这位拥有‘表面起源’的射手正在走向不朽。”

V.B.

16

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folio:

惯性定律，
日心说
系统
与科学的发展
M·Y·阿兹贝尔
16

17

科学发展的本质是戏剧性的。但在漫长的历史距离上，即使是科学画布上的大面具也融合在一起，矛盾变得无形，科学的发展似乎是一致的、严格逻辑的、总是朝着一个方向发展的。从近距离来看，科学只有专业人士才能真正理解，但今天的法令似乎绝对正确。因此，为了看到科学发展的本质，它的繁荣和它的各个领域的消亡*)，为了看到它的戏剧性、它的特征、它的信念，我们必须努力研究已经成为历史并且最终可以理解的科学——它已经从节拍的舞台变成了学校的老生常谈。然后，也许你将能够以一种新的、更正确的方式想象当今的科学。

在这方面，追踪导致惯性定律发现的路径是非常方便的。在学校的演讲中，这条定律看起来非常简单和原始，而且还不清楚为什么需要伽利略、笛卡尔和牛顿的天才来发现它。

同时，惯性定律是最伟大的定律之一，因此也是最深刻的物理定律之一。

最伟大的之一，或者说它是普遍的，对电子和星系都有效。他没有被 20 世纪的任何自然革命所动摇：无论是相对论还是量子力学。

惯性定律如此稳定的原因在于它的深度。因此，它对所有对象都有效，无一例外，因为它与对象的特定属性无关，而是与空间和时间的基本属性相关联：

*) 例如，关于切割概念或代数方程的精确（基数）解的科学。

空间的同质性和制造性（即，任何地点的等价性和在空旷空间中的指向性）和时间的同质性（即，时间中任何时刻的等价性）。

事实上，如果一个通过惯性运动（即不与世界其他部分相互作用）的质点改变了其运动方向，那么只能知道一件事：空间方向的不等价性——该质点转动的方向将在某种程度上与其他所有方向不同。

对于惯性定律评价性质的支持者来说，有一个问题：物质体在不与任何物体相互作用的情况下如何运动？好吧，比方说，如果太阳的吸引力突然消失，地球会如何运动？它绕轴的旋转是否会保持？ *)

在回答这个问题时，值得记住的是，拉格朗日和欧拉等伟大数学家的工作成果已经对狼的自由运动这一更复杂的问题给出了许多答案。

难道即使在问了一个问题之后，惯性定律也开始显得不仅天真明显吗？为了将其付诸实践，有必要问我们惯性定律何时、在什么条件下（物理学家会问：在什么报告系统中）起作用。举例来说，想象一个台球躺在电车无摩擦的地板上。没有任何力作用在球上，但是观察到的驾驶员会注意到，根据惯性定律，球不时（何时？）开始在地板上不均匀地移动。这是怎么回事？

请注意，这样的结构绝不是经院哲学的练习。一个例子是概念

*) 文章中提出的所有数据问题的答案均​​位于杂志末尾。

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绝对和平和相对和平。每个人都知道，没有绝对的和平，但相互连接的气体的相对和平令人惊讶地决定了由于快乐气体的碰撞而以近光速飞行的任务。

但让我们回到惯性定律。这不仅仅是不明显。他是科学史上第一个疯狂的定律。来世者从未见过地球上没有外力作用的匀速运动。毫无疑问，所有实验无一例外地让我们相信：没有力就没有运动。在伽利略之前，人们相信速度与作用力成正比，这并非巧合。这对于当时的通常速度来说是正确的规律。但实在是太无拘无束了！其中的比例系数取决于什么？几代科学家可以努力（并且正在努力！）来研究这个系数，特别是因为随着速度的增加，定律本身受到限制，即运动速度和施加的力之间的依赖性。这并不奇怪：毕竟，严格来说，力超出了力学的范围（在摩擦过程中，身体被释放）。

但如何才能消除这种不断逼近的力量呢？如何放弃绝对价值和不断更新、更加微妙和复杂的实验的自然路径？

历史的答案是出乎意料的，也是得到的。惯性定律，就像所有力学的基本定律——牛顿定律一样，不是诞生在地球上，而是诞生在天堂。如果我们的天空像金星的天空一样总是被云彩覆盖，谁知道它什么时候会开放呢？而且，惯性定律是因错误而被发现的！发现该定律的伽利略认为，由于惯性，物体只能做圆周运动！

为了理解这是如何发生的，我们必须追溯长达25个世纪的日心说体系的形成历史，而日心说曾遭到亚里士多德和阿基米德等遗传学家的反对。让我们尝试用现代语言来呈现争论者的论点，因此不可避免地会有所改变。

早在公元前五世纪，地球就首次失去了静止性。这是毕达哥拉斯的学生之一菲洛劳斯完成的。他相信地球与太阳和行星一起围绕着某个中心火旋转。

一个世纪后，菲洛劳斯有了一位出色的对手——亚里士多德*)。他回应菲洛劳斯的假设与恒星的存在相矛盾。毕竟，如果地球在移动，那么对于地球上的观察者来说，所有恒星都应该看起来在移动！花了 23 个世纪才反驳这一反对意见——其中 3 个世纪是在哥白尼死后！

公元前3世纪。萨莫斯科的阿里斯塔克斯提出了一个与未来哥白尼体系相同的体系：地球和所有行星都围绕静止的太阳旋转。阿基米德和佩尔加的阿波罗尼乌斯成为阿里斯塔克斯的反对者，或者阿里斯塔克斯的系统与天文观测相矛盾——在公元前2世纪。这是喜帕恰斯严格证明的。阿里斯塔克斯和喜帕恰斯这两位科学家的观点既对又错：地球和行星绕着太阳旋转，但不是绕圆形，而是绕椭圆！这似乎是真的

*）古希腊人还试图回答为什么天体违反一般规则而不会坠落到地球上的问题。希腊人将它们附着在水晶球上，因为水晶球不可能落到自己的中心而不破裂！银河系水晶半球的接缝。这个想法看似幼稚，但值得记住的是，在二十世纪，诺贝尔奖获得者F.戴森提出了高级文明在中心光周围创建一个不透明球体的想法，以充分利用其能量。

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托勒密的世界体系。

还剩一步。但不仅是哥白尼，伽利略也未能迈出这一步。圆形作为行星轨道似乎是无可争议的：它们是唯一完美的曲线。安德烈·博纳德 (André Bonard) 在 1959 年出版的《希腊文明》中写道：“遗憾的是，反对阿里斯塔克斯的科学家没有接受开普勒的发现。但对圆周运动优越性的偏见却根深蒂固。”

古人关于轨道的必然性的说法似乎很荒谬。然而，让我们将这些话翻译成完美的语言。正如已经提到的，现代物理学的主导思想之一是空间的同质性和产生的思想。物理的基本定律源于这个想法。但如果行星的轨道不是圆形的，那么所看到的轨道最大伸长方向出现在太空中，结果与所有其他方向都不同！行星的运动是由它们的史前史决定的，这一事实仍然令人难以理解。

因此，托勒密（公元 2 世纪）从地心体系出发，引入了圆的复杂图景

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哥白尼世界体系。

gov 轨道，解释了所有观测事实。此外，他有机会想象行星的运动，甚至日食和月食。这极大地激发了古人的想象力，以至于他的作品被称为“Almagest”——最伟大的。托勒密成为历史上第一位成功将天文观测与其理论相协调的天文学家。伟大的成就！但是，也许正是这一点使许多世纪以来对行星真实运动的阐明黯然失色：毕竟，一切都那么美好，理论与实验如此完美地吻合！

17个世纪过去了，历史重演！弗劳森堡大教堂的教规尼古拉斯·哥白尼只想使托勒密体系符合他那个时代的观察并取代：如果我们假设地球和行星绕着太阳旋转，但仍然处于复杂的圆周系统中，托勒密体系可以稍微简化。和阿里斯塔克斯一样，哥白尼也有一个对手——有史以来最伟大的天文学家兼观察家之一第谷·布拉赫。他对哥白尼体系的回应与喜帕恰斯的理由大致相同

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开普勒最初提出的宇宙模型。

系统。经过多年完美的尝试，在包围行星轨道的正多面体系统中找到世界的和谐，开普勒得出了伟大的定律：行星绕太阳运动，但它们以椭圆运动！

这一定律不仅反映了开普勒愿意表达一个拒绝二十个世纪观点的疯狂想法。开普勒也非常幸运。由于行星（尤其是重行星）彼此之间的距离很大，它们的轨道接近椭圆形——当时众所周知的三种曲线之一（椭圆、双曲线、抛物线）。

开普勒是第一个建立行星运动定律的人。他如何得出第二定律：在相同的时间内，行星覆盖相同的面积——仍然几乎令人难以理解。毕竟，内部微积分还不存在，面积的计算不仅是一门科学，而且是一门艺术：每条曲线都需要自己的方法。创建不寻常区域的想法从何而来？也许，开普勒早期的热情也会产生影响——他在《论酒桶的立体测量》一书中发明的计算面积的具体方法（应用问题的天才是由科学创造的！），以及对统一自然法则的存在的近乎神秘的信念*)，相信吧，只是为了计算而计算的热爱，以及所谓的天才**)。

开普勒不可调和的科学对手是他同时代的伽利略。他是第一个提出是什么使行星运动、导致其轨道弯曲的问题的人。伽利略认为太阳在如此距离的影响是神秘的，而且潮汐与月球也有联系。行星如何知道在接下来的一个小时内它们必须覆盖与前一个小时相同的区域？

*）开普勒是一位虔诚的宗教人士，他把财富留给了天文学，他向自己保证“上帝不仅可以通过财富来荣耀”。但上帝从虔诚的开普勒写的天文学教科书中删除了这本书，这本书立即被编目员列入禁书清单。这是诚实地探究真理的常见结果。

**）不可能不提及开普勒的至少一些著作：继牛顿之后的行星运动第三基本定律，作为推导万有引力定律的基础（！）；潮汐解释；轻压的想法（！），创造彗尾；火星和小行星卫星的预测；建立了微分学最重要的规定之一——函数最大值的条件。

开普勒第二定律：$S_1 = S_2$。

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什么？ *）需要对问题进行全新的表述，因为嫁接的问题本身是不正确的。开普勒的回答：“行星是由世界灵魂移动的”，当然不能让伽利略满意。但伽利略推断，由于没有力作用在行星上，因此这种运动是行星的自然属性。伽利略称之为惯性，并非常令人信服地证明了错误的说法：行星自转的原因是惯性，惯性运动只能是圆周运动，圆周上的所有点都相等（！）。

伽利略认为直线运动被排除在外：随着时间的推移从一点到另一点的过渡是熟悉的，因为它们不等价；此外，在这种情况下，身体永远不会达到最终目标（用现代语言来说是平衡稳定状态），自然也永远不会为自己设定无法达到的目标（也就是说，平衡状态迟早会发生）。

这个推理不仅导致伽利略与开普勒矛盾，也与他自己矛盾：毕竟，他之前已经证明了圆周运动与作用于中心的力有关！这个矛盾似乎无法解决，笛卡尔通过证明惯性运动是直线运动，使情况变得更加戏剧化。

是什么在推动行星运动？

*）将此问题与卢瑟福·玻尔的问题进行比较是值得的：电子如何知道在跳跃到新轨道时应该发射哪部分光？

似乎没有出路。但在伽利略去世的那一年，牛顿诞生了。他回到了开普勒，回到了他的定律，并在此基础上创造了关于物体运动的精确科学。

到目前为止，它只是关于思想的演变，关于思想骑士之间的争论：菲洛劳斯和亚里士多德，萨摩斯的阿里斯塔克斯和喜帕恰斯，哥白尼和第谷布拉赫，开普勒和伽利略，在这些争论中，事实清楚地尚未诞生。但科学家也是活生生的人，他们有激情、骄傲、骄傲，甚至在小事上也有犯错误的能力。伽利略确信离开地球是不可能的，并且没有注意到他的公式给出了第一个宇宙速度*)。他通过地球围绕太阳的运动来解释潮汐（我非常想成为第一个指出证明这种运动的现象的人！），但潮汐的周期与他的计算结果相差两倍，并且与开普勒的结果一致。伽利略宣称开普勒的巧合是一场意外**），而他本人则天真而无助地向员工呼吁，马尾藻海某处的潮汐周期是“正确的”。但与此同时，他试图将地中海的不规则潮汐周期与其深度联系起来，并创造一个新的科学领域：表面波和封闭盆地波浪的研究！嘎-

*）顺便问一下，如何使用公式$S = \frac{gt^2}{2}$得到第一逃逸速度的表达式！

**）让我们记住玻尔：“愚蠢的理论与实验的巧合并不能证明任何事情；这样的理论有无数。”

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莉莉发现了摆的振荡周期与振幅的独立性，并立即失去理智，错误地将这一定律扩展到任何振幅；发现了地球加速度的恒定性 - 并立即得出结论，它与到地球的距离无关！这就是几乎所有力学领域的创始人所犯的错误*)。

因此，在发音和错误的严重混合中，没有对错，科学得以发展。但与此同时，我们谈论的每个人都是天才：他们的作品已经使用了几个世纪；他们的作品已经被使用了几个世纪；他们使人类进步了几十年（如果不是节省的人年数，又是什么决定了人才的水平？）；需要更多的时间来理解和掌握他们的想法——伟大的真理很少是生来简单和容易理解的**）。

当然，所呈现的科学发展史是极其简化的，并且是用粗糙的面具写成的，有时还带有流行的事实浓缩。但很明显，发展并不是沿着电线杆的直线进行，而是沿着科学树的复杂曲线进行，其树枝以不同的角度倾斜于真理，并逐渐伸直以产生新的知识语言。

*）关于天才的存在。牛顿出于科学的责任心，二十年没有发表他的万有引力定律，试图从中推导出开普勒定律，然后又花了很多年时间与胡克争论自然；没有发表他对微分和积分的发现，试图找到积分的一般公式，然后在与莱布尼茨的争论中证明了他的性质。因为牛顿只生活在科学中，他一生都是孤独的，无法牺牲他生命中唯一的乐趣——虽然很弱，但他的发现对许多人来说已经足够了。

**) 例如，这是来自 15 世纪手稿的乘法规则：7×8=？ 7+8-10=5，然后 5x10=50，现在 10-7=3，10-8=2 被定义，并且这些结果是可变的：3x2=6。最后，50+6=56，所以7x8=56。

给谁
什么
天气晴朗

俄罗斯杰出几何学家、教师A.K.弗拉索夫在解析几何的常规讲座中提出了由他的方程定义的两条线的相交问题，并补充道：

——两个第一次接触这个问题的学生正在互相交谈。

其中一个说：“现在我明白为什么两个具有两个未知数的一次方程组通常有一个解。这是因为两条线相交于一点。”

另一位回答道：“那时我终于明白为什么两条线相交于同一点了。”

另一位回答道：“那时我终于明白为什么两条直线相交于一点了。”

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由正多边形制成的镶木地板

柯尔莫哥洛夫

什么是实木复合地板

如果将平面分成相等的正方形，如 图 1, a 所示，则会获得最简单但也是最无聊的镶木地板。这里，两个正方形要么有公共边，要么有公共顶点，要么根本没有公共点。

我们将任何由正多边形覆盖的平面称为镶木地板，其中两个多边形要么有公共边，要么有公共顶点，要么根本没有公共点。

您可能应该看到由正八边形和正方形组成的镶木地板 (图 2, a)。美丽的镶木地板可以由正六边形、正方形和等边三角形 (图 2, b) 制成。

如果镶木地板足够对称，就会给人留下愉快的印象。如果一个图形可以以“非定语”方式叠加在自身上（即，没有准则，当所有点都保持在原来的位置上），则该图形被称为对称。

25

例如，在 图 2, 6 处，将构成六边形、正方形和三角形拼花的整个顶点和边网格围绕其中一个六边形的中心旋转 60°，我们得到相同的顶点和边网格。该镶木地板每个六边形的中心是“六阶对称中心”*）。

问题 1. 找到 图 2 所示镶木地板的所有 4 阶、3 阶和 2 阶对称中心，a。

什么是正确的实木复合地板
从对称的角度来看，我们对实木复合地板的定义并不算太遥远。它允许不具有任何对称性的镶木地板。采用常见的六边形拼花地板 (图 1, c)，您可以通过将一些六边形细分为六个三角形来“破坏”它。很容易理解，结果将再次是我们定义意义上的“镶木地板”。但可以证明（尝试一下！），例如，通过细分三个六边形（如 图 3 所示），并保留所有其余部分不分割，我们会得到完全不对称的镶木地板。为了安装丑陋且不够对称的镶木地板，我们使用以下定义：

如果镶木地板可以以其任何给定顶点可以叠加在其任何其他给定顶点上的方式叠加在自身上，则称为规则镶木地板。

任务 2. 证明图 1 和图 2 中显示的镶木地板是正确的，并自己构建尽可能多的正确镶木地板。

*) 如果某个图形绕 O 旋转 $\frac{360^\circ}{n}$ 时，它与自身重叠，则称 O 点为该图形的 n 阶对称中心。

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主要目标

事实证明，所有种类的正确镶木地板都可以被描述。如果给定镶木地板多边形的边长$h$，则存在有限数量的不同（不重叠）的常规镶木地板。我不想告诉你具体是多少。

将它们全部列出并回答有关其数量的问题是您必须解决的主要任务。

一些指导方针

解决自然问题从使用镶木地板开始。规则的 $n$ 边形有 $n$ 外角 (图 4)，其总和等于四个直角（您自己看看）。因此，正 $n$ 边形的每个角等于

$$\alpha_n = 2d - \frac{4d}{n} = 2\left(1 - \frac{2}{n}\right)d.$$

角度总和等于 4d 的多边形必须会聚在镶木地板的顶点处。所以，

$$\alpha_3 = \frac{2}{3}d, \alpha_4 = d, \alpha_6 = \frac{4}{3}d, \alpha_8 = \frac{3}{2}d$$

对于 图 1 和 2 中所示的镶木地板，我们有：

$$4\alpha_4 = 4d,$$

$$6\alpha_3 = 4d,$$

$$3\alpha_6 = 4d,$$

$$\alpha_4 + 2\alpha_8 = 4d,$$

$$\alpha_3 + 2\alpha_4 + \alpha_6 = 4d.$$

在一般情况下，用$m_n$表示对$n$边形顶点的应用次数，我们应该得到

$$\sum m_i\alpha_i = 4d,$$

(1)

在总和中，我们包括那些数字 $i$ 的项，其中 $m_i > 0$ 和 $\alpha_i = 2\left(1 - \frac{2}{i}\right)d$。

我们的第一个任务是找到方程（1）的所有解，其中整数$m_i > 0$。式（1）减少2d，可以方便地写成以下形式

$$\sum m_i\left(1 - \frac{2}{i}\right) = 2.$$

对于方程（2）的每个解，必须使用相应的

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与顶点相邻的多边形的位置。例如解$m_3 = 1, m_4 = 2, m_6 = 1,$
$$\left(1 - \frac{2}{3}\right) + 2\left(1 - \frac{2}{4}\right) + \left(1 - \frac{2}{6}\right) = 2,$$

对应于一个三角形、两个正方形和一个六边形相交的顶点。它们可以很容易地以两种截然不同的方式排列（图5，a和b）。但很容易证明（证明！）排列 6 不对应于任何常规镶木地板。

给出的指示就足够了。开始工作吧！

骗术

维亚切斯拉夫·希什科夫（Vyacheslav Shishkov）的小说《Strandiki》中有以下几行：

• 你想让我给你表演算术魔术吗？你会喘气。
• 哦！好吧，让我看看，米莉妮。
  伊凡·彼得罗维奇从笔记本上撕下一页，递给男孩，问道：
• 你有铅笔吗？写任意数字。
  男孩写道。伊凡·彼得罗维奇用粉笔看着这个数字，在一张单独的纸上写下了自己的数字，把这张纸放在稻草里，并用帽子盖住了它。
• 在下面写点别的东西。生气了？现在我自己写第三篇。现在所有三个数字加在一起。只是要更加小心，不要撒谎。
  两分钟后，经过验证的答案就准备好了。工程师沃什金提交了他的计算结果：

46 853
21 398
78 601
146 852

——十四万六千八百五十二，伊凡·彼得罗维奇。

• 你已经数了很长时间了。这是我的答案。当你写下第一个数字时我就已经知道了。这里。从帽子下面拉出来。
  男孩抓住了那张纸。上面写着：146,852。沃什金工程师惊讶的脸伸长了，脖子后面的汗毛都竖起来了。带着财富，带着惊讶，他盯着伊凡·彼得罗维奇
• 嗯…所以…怎么样？ ……一个？
  伊万·彼得罗维奇微笑着动了动眉毛，解释了两遍，又举了一个例子……”
  问题是，伊万·彼得罗维奇“微笑着动动眉毛”在解释什么？

这样的日历由两个立方体组成，放在我们编辑部的桌子上。想想它是如何制作的：什么数字以及如何将它们粘在立方体的表面上，以便日历可以显示一个月中的任何一天？显然，可能有几个答案。你觉得多少？

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反思
关于
景点
地球
站在极点
在赤道

V·I·莱万托夫斯基

众所周知，体重*) 根据地点的纬度而变化。然而，同一物体在极地的重量最大，在赤道的重量最小。在任何物理教科书中——无论是学校还是大学——你都可以读到这种情况的发生有两个原因。

首先，选择位于赤道的地球体描述一个圆，因此以小于地球引力的力压在水平支撑上

*) 即，它对固定支撑件的压力或作用在固定悬架上的力。

地球。这个简单解释一下。身体受到吸引力、朝向地球中心的方向以及支撑物的相反反作用力的作用。这两个力赋予物体一个等于$\omega^2 R$的向心加速度，其中$\omega$是角速度，$R$是地球的赤道半径。如果$m$是体重，$F$是吸引力，$N$是支撑物的反作用力，那么$F-N=m\omega^2 R$。因此$N=F-m\omega^2 R$，即支撑$N$的反作用力小于吸引力。但这种反作用力的大小与身体的重量相等。这意味着物体在赤道处的重量小于地球对该物体的吸引力。赛场上——

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相同的重量等于重力，因为物体不围绕地球轴描绘任何圆圈。

其次，他们通常说重力本身在全力时比在赤道处更大，因为在全力时，身体比在赤道时更靠近地球中心。而且距离地球中心越近，吸引力就越大：毕竟，根据牛顿万有引力定律，吸引力与距离的平方成反比变化。

作者必须向读者道歉，因为他在这里只是详细地介绍了所有这些众所周知的论点。他这样做是因为第二个参数的情况并不那么简单。我们没有逻辑依据断言同一个物体处于完全重力状态下，地球比赤道处更强。万有引力定律的提及是站不住脚的。该定律指出，两种材料相互吸引，其作用力与距离的平方成反比。地球不是一个点，而是一个由许多部分组成的物质体，根据与距离的平方成反比的定律，每个部分都吸引位于地球外部或内部的另一部分。

是否有可能取代吸引物体的质点，将物体的整个质量集中在其重心（质心）上？并非总是如此。事实证明，均匀立方体的吸引力与相同质量的均匀体（球形或圆柱形）完全不同，即使这些物体的重心（质心）在空间中占据相同的位置。然而，我们手中的同一块粘土，根据我们赋予它的形状不同，其吸引力也不同。

乍一看，这似乎出人意料。但让我们想象一下，一个无限薄的圆形材料烧瓶将如何吸引

因此，位于灯泡轴线上、垂直于其平面的任何材料点。如果这个点距离灯泡很远，那么它对灯泡的吸引力当然会很弱。当该点被灯泡吸引时，它的吸引力最初会增加，但从一定距离开始，它必然会减少，因为在灯泡的中心，来自相反粒子的吸引力是平衡的，因此，当灯泡位于其中心时，作为一个整体，它不会吸引物质点。数学计算表明，最大吸引力为

图 1.

位于距灯泡中心约 0.7 r 的点处。 图 1 显示了灯泡吸引力随吸引点距中心距离的变化而变化的图表。该图描绘了吸引力定律，至少在视觉上与距离平方反比定律不同。这意味着烧瓶的质量不能“集中在其重心”。

是否有一种身体形式可以让你在精神上将其质量集中在重心，并确保在这样的操作之后身体的引力场将保持不变？是的，它存在。然而，台阶会吸引任何物质点，就好像它的质量集中在中心一样。确实，这仅适用于位于球内的点。位于球内部的点是

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拉伸完全不同。在中心处，球的张力明显为零，靠近表面处张力最大，而在中心和表面之间则发生变化，正如数学计算所示，根据正比定律：离中心越远，张力越大。 （均匀球的张力随距中心距离的变化图如 图 2 所示。）

更奇怪的是中间有一个球形切口的球的情况。 V. A. Obruchev 的著名科幻小说《冥王星》讲述了进入地球内部的旅行，以及我们的普拉亚

事实证明，neta 是空心的。在旅行空腔的中心发现了一具烧红的尸体。与小说作者不同，我们假设地球中心没有物体，地球是一个具有空球核的均质球。可以证明，无论“切口”的半径是多少，腔体内任何点（而不仅仅是中心！）都完全不存在张力。这尤其表明失重应该在其中占主导地位，然而，这与太空飞行期间的失重不同。

图 3 显示了假想空心地球的重力随距中心距离变化的图表。在巨大的球状层内部，张力随着远离中心而恢复并在表面达到最大值。离地表场

重力与位于该空心球中心的质点的重力相同。

地球的形状非常接近于球体。但我们的星球并不是同质的：不同点的组成岩石的密度是不同的。地核的密度要高得多。假设距地心等距离处的地球岩石的密度是相同的，这是合理的。换句话说，地球可以初步近似地被想象成一个均匀的球形层相互排列的状态。据说这样的物体的密度分布具有球体对称性。可以证明

很明显，这样的球就像一个均匀的球一样，隐藏了其表面之外或表面上的任何粒子，就好像它的所有质量都集中在中心一样。

但真正的地球并不是一个球，而是一个所谓的球体。我们的星球可以被认为是一个附着在条纹上的球体，其半径等于地球赤道半径（图 4,a）。施加的震级为21公里。另一方面，同一个球体可以想象为一个半径等于地球极半径（6357 公里）的球，其质量添加到侧面 - 所谓的“赤道凸起”（图 4，b）。赤道处隆起的厚度为21公里。球体对任何物质粒子的吸引力可以被视为两部分的状态：来自半径为 6357 km 的中心球的吸引力，如 图 4,b 所示，

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并免受赤道肿胀的粘连。在许多情况下，例如在计算航天器的轨迹甚至轮一的轨道时，都必须考虑膨胀的存在。

现在让我们考虑地球表面上的两个相同的物体：物体$A$位于极点，物体$B$位于赤道。半径为 6357 公里的球对物体$A$的吸引力当然比物体$B$更强，因为物体

图 4.

$B$距离地球中心21公里。但是，除此之外，两个物体仍然受到赤道肿胀的吸引力的影响。如果不进行精确的数学计算，就无法说出最终结果是什么，以及整个球体的吸引力中哪一个更大：在点 $A$ 或在点 $B$。通过高等数学进行的分析表明，球体对极地物体的吸引力大于其对赤道物体的吸引力，但是，正如我们所见，事情并不像通常所说的那么容易区分。

物理学家如何证明毕达哥拉斯定理。

如果一个相邻三角形的斜边和锐角等于另一个相邻三角形的斜边和锐角，则这些三角形全等。这意味着斜边和锐角完全定义了三角形。

从尺寸信息可以看出，三角形$ABC$（参见图）的面积可以写成斜边$c$的平方乘以角度$\alpha$的某个函数：$c^2 f(\alpha)$。对于相似的相邻三角形$ACD$和$BCD$也可以进行类似的操作，其中斜边的作用由原三角形的类别来扮演。由于三角形$ABC$的面积等于三角形$ACD$和$BDC$的面积之和，那么

$$c^2 f(\alpha) = a^2 f(\alpha) + b^2 f(\alpha),$$

其中 $f(\alpha)$ 是角度 $\alpha$ 的相同无量纲函数。从这里

$$c^2 = a^2 + b^2.$$

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---

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有一次（事情发生在本世纪初），在大学学术委员会的一次会议上，神学系主任发言，他说物理系的学生对他的学科很不认真，听课不专心，还举了一个令人愤慨的例子。

”我在讲课时捡起一个，他自己没有推，也没有给别人，对他说：“年轻人，我只是在解释什么是神力。重复！他说道：“神力是神力质量和神力加速度的乘积，这个乘积将包括神力的平方，因此，要获得神力，合作者中必须只有一个是神力。

这个历史轶事很好地说明了一个众所周知的规律：在命名计算和变换时，如果方程（或不等式）左右两边的量纲不同，那么解法就有错误。

这条规则通常有助于记住写了一半的公式或物理定律的准确拼写。因此，知道数学矩阵振荡周期的公式包括长度（以厘米为单位）和重力加速度（以厘米/秒²为单位），我们可以同意，要获得以秒为单位的周期，我们需要将长度除以加速度并取平方根：

$$T = k \sqrt{\frac{l}{g}}.$$

我们不得不加上$k$，因为我们记不清公式了，而且无量纲系数并不能影响其正确性。 （当然，维度理论无法帮助你记住$k = 2\pi$。）

如果您想更详细地了解“维度的秘密”，我们建议您阅读 B. Yu 编写的小而易懂的小册子。 Kogan《物理量的维度》（Nayka 出版社，1968 年）

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对一本书的正面评论通常是这样写的。
首先简单复述一下作品内容，
注意它的优点和一些缺点
最后，他们建议阅读这本书。
但你可以用另一种方式做到这一点。
这是 G. I. Kopylov 所著书中的一章
“这一切都只是电影而已。”
我们不会赞扬这本书
并建议您阅读。
我们希望在阅读完以上摘录后
你会这样做，你必须这样做。

I·科皮洛夫先生

快粒子的能量和动量

当呈现新事物时，必须依赖
已经知道了。让我们假设公式
读者知道E=Mc²。

这个公式是爱因斯坦发现的。这
我们现在所知道的一切都归功于他，
如何计算快速部分的能量，我们知道即使在仰卧位置
比石头更吸引无数不锋利的人
所需的能量储备。他你——
很早以前就介绍过这个公式
她实际上是第一次被抓住
（早在 1919 年之前，当时
vye被核转化取代）。早在 1905 年，爱因斯坦
说能量和气势都很大
快体不能通过以下方式计算
接枝公式 E=mv²/2 或
P=mv。他证明了很多其他事情，
他简直把我们的原则颠倒了
所有章节中熟悉的想法 -
最终事物：运动、空间、
时间、光、质量。但现在我们
唯一重要的是他所说的话
能量和动量。

爱因斯坦发现的本质可以是
大致这样说。

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质量和速度

世界上没有什么比光更快。而且一盏灯不可能比另一盏灯快。任何光（在虚空中）总是同样快速地移动。因此，以光速为单位是比较方便的。任何其他运动，例如任何物体的运动，都不能比光的传播速度更快，也就是说，任何物体的速度总是小于1。但是，如果物体受到某种力的加速很长时间，该怎么办呢？毕竟，任何力都会产生加速度，而加速度会增加速度，被加速的物体的速度会不会超过这个量呢？但这是不可能的；这意味着随着速度的增加，加速度应该逐渐减小——减小得如此之快以至于没有时间使身体的速度达到一致。但是，当我们增强力的作用时，加速度会减小，这意味着什么呢？怎么会这样呢？

运动的另一个特性是已知的：加速度与物体的质量成反比——物体越重，用相同的力加速它就越困难。这意味着我们可以得出结论，由于质量增加，加速度减小。那么两端就相遇了：随着速度的增加，身体变得越来越重，之前的力已经无法再给它同样的加速度了。加速度下降，速度几乎保持不变。艾施斯坦推导出了当物体速度 $v$ 接近 1 时质量增加的公式：

$$M = \frac{m}{\sqrt{1-v^2}}.$$

这里$m$表示物体静止时，即$v=0$时的质量。以速度$v$，它们接近统一，替代品会越来越少，而分数本身会越来越多。

质量与能量

现在让我们从另一个角度来探讨这个问题。毕竟，这么长时间作用在身体上的力量，一定是由某人或者某种发动机施加的。以发动机为例。他工作了只要

36

一段时间以来，我为此花费了燃料和精力。众所周知，能量不可能免费消失。它显然被传输到加速的身体，发动机必须作用得越多，身体吸收的能量就越多。但如果身体的速度还不能超过一的话，去哪里吸收呢？答案很简单：很多时候，能量都花在了增加体重上。质量增长是στα能量的反映。一切又重新聚集在一起：力量确实作用于身体，削弱了它的能量；能量在体内不断积累，不断削弱其质量。著名的公式$E=Mc^2$的出处就变得很清楚了，我们把它写成$E=M$的形式，因为我们把光速$c$当作一。只是不要以为我们推导出了公式$E=Mc^2$。它是根据完全不同的消息得到的，我们用最简单的方法来理解它的含义。

现在让我们总结一下刚才所说的内容，但以不同的方式表达。为什么我们在快速移动时需要新的质量和能量公式？如果物体的质量在加速时不增加，那么它的速度就会增加，最终物体会被光追上，这与经验相矛盾。如果物体在加速过程中能量不增加，那么加速时做的功到哪里去了呢？

问题解答

“这一切都很好，”你说，“但是为什么没有人注意到物体在加速时会变得更重呢？”

这确实很难注意到：我们周围的一切都移动得太慢了。与光速相比慢一。毕竟，只有当物体的速度接近最大值时，物体内的质量积累才会变得明显，而最快速度的速度小于0.0001——也就是光速。现在，如果光速是 10 公里/秒，那么设计者就必须在计算中使用爱因斯坦的公式，并考虑到当速度接近这个速度时惯性的恶化。如果光速更低，例如1公里/秒，那么世界上很多现象的流动方式将完全不同，爱因斯坦的力学对我们来说就像现在的牛顿力学一样自然。

“但是，”你问了更多问题，“考虑到我们的想法和嫁接速度，它们不是互相矛盾吗？”不，这并不矛盾。爱因斯坦进行深思熟虑的方式是，在低速时，他不需要牛顿反复检验的定律。如果速度$v$很小，则分数$\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}$可以很好地精确地转化为$1+\frac{v^2}{2}$（通过代入检查，例如$v=0,0001$），质量增长公式变为公式

$$M = m + \frac{1}{2} mv^2.$$

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当包裹以 30 公里/秒的速度飞行时，这意味着$v = 0,0001$，即质量会增加大约百分之二十万。注意到这一点是不可能的。

如果您还记得物体的质量与其能量储备是相同的，您可以编写一个等效公式来代替最后一个公式：

$$E = m + \frac{1}{2} mv^2.$$

这意味着，在低速下，任何自由移动物体的能量由两部分组成：$m$部分，与速度无关，以及$\frac{mv^2}{2}$部分，其随着速度的平方而增长……等等，但是$\frac{mv^2}{2}$是物体的动能！这意味着爱因斯坦发现动能（我们通常认为是物体在不受任何力的影响下自由运动的能量）只是物体所拥有的总能量储备的一部分。而且是很小的一部分。主要能量包含在术语$m$中——即不受速度影响的质量，即使在静止状态下也存在于体内。这就是所谓的存在能量。

如果某个地方出现了一种新的物质颗粒，那么在它的创造上就花费了一些工作，其他一些物体必须均衡或从某种来源储备能量来构建这种物质颗粒，并且这种供应已经在其中，即使颗粒不移动。对于由原子构成的普通大型物体来说，这听起来令人难以置信：毕竟，我们总是用现成的建筑材料（原子）来创造它们，并且不会在创造原子上浪费能量。这意味着在这种情况下，存在的能量似乎并不特别重要：所需的一切都已经存在。在那里，根本不存在物质相互作用的问题。

最小粒子的转变是另一回事。实际上，从先前种类的粒子和它们所积累的能量，甚至仅从光中创造出新种类的粒子。就像维布森的纽扣制造者一样，所有的旧东西都被融化得无影无踪，没有人会允许我们忽视能量$m$。

如何不跟大象说话

餐桌能量公式中$m$项的存在很重要，因此值得更详细地讨论它。为什么我们没有注意到这个词呢？为什么爱因斯坦没有注意到“我们脚下”的这种储量，比当时可用的所有能量大数百万和数十亿倍？这是否意味着爱因斯坦错了？不，他不。问题是我们注意到的不是能量本身，而是它的变化。将动能转化为势能 - 我们会立即注意到这一点，因为速度会下降。它变得温暖——我们再次注意到：身体会变热。如果能量没有变化，你怎么能注意到它呢？就说地球吧。她的动能

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化学能巨大；它以30公里/秒的速度绕太阳运行，质量为6·10²⁷ e——这是超出我们想象的惊人能量供应。但谁会取代她呢？它是如何体现出来的？是否应该将其考虑在内并将其纳入地球实体发生的转变的平衡中？当然不是：在这种转变过程中它不会改变，它是死资本；它进入平衡的方式就是它出来的方式。

同样的情况也适用于能量m；它不发生机械、电学、化学变化，它默默地存在于能量平衡方程的两个部分中，并且从中既不热也不冷。现在，如果有可能找到某种力量，能够从m身上至少“撬开”一块，那么m就会立即显现出来。但一开始他们对这些力量一无所知。好处是公式

$$E = m + \frac{mv^2}{2}$$

建议寻找这样的权力是值得的。许多年后，他们被发现了；这些就是核力量。在核电站或船舶中，这种力的作用是使小部件漂浮远离 m 并将其转化为电能或机械能。

在基本粒子的变换中，性质相似但强度大得多的力不再一块一块地从静止质量m上飘走。它们的活动径向地将一块物质重新排列成其他物质，有时与第一块物质完全不同——无论是属性还是目的。

冲动和速度

但我们偏离了我们的直接目标。所以，我们知道体重如何取决于速度：

$$M = \frac{m}{\sqrt{1-v^2}}.$$

物体的能量还取决于速度：

$$E = M = \frac{m}{\sqrt{1-v^2}}.$$

现在如何处理 P=Mv（称为物体动量）值？也许它也需要更换一些东西？

事实证明并非如此。模式的脉冲由以下公式给出

$$P = Mv,$$

但现在只有 M 的大小取决于速度。这意味着动量，就像物体的质量及其能量一样，会随着物体的加速而变得更大。这仍然是由于牛顿的断言，即在力的影响下动量的增长与力本身的大小及其作用的持续时间成正比。如果力作用的时间足够长（并且方向正确），则冲量可以达到任意值。

因此，动量公式可以写成三种形式：

$$P = Mv, P = Ev, P = \frac{mv}{\sqrt{1-v^2}},$$

并使用您选择的 immi。

这是变形后的形式

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为0.94GeV。这意味着质子在 3 秒内质量会增加 10 倍以上（这就是加速持续的时间）。大型电磁加速器的消耗功率在加速结束时会增加很多倍。如果你想验证爱因斯坦公式的有效性，看看分布式屏蔽的瓦特表，无功负载如何返回到它们。

• 等等，等等！ ——细心的读者一定会惊呼。 - 这是什么意思？在发电厂，电子颗粒消失，加速器中出现木质质子。那么，在你看来，能量变成了质量？！

• 为什么这让你这么烦恼？

• 因为这是一个错误的哲学论文……而你自己也说过能量和质量只是同一物理概念的两种不同形式。

——在物理学中，是的。但在日常生活中，能量的增加并不意味着质量的增加。加热水壶不会使其变重。因此，在日常意义上，能量和质量之间的差异是巨大的。当你突然目睹加速器输入端的能量如何在输出端变成异常重的质子时，你有权惊讶地说：“电已经传递到质子的质量中了！”

• 或者在他的能量中……
• 或者进入它的能量，如果我们想强调的不是质子的“不妥协”，而是它的“力量储备”、“创造力”……我们必须习惯这样一个事实：粒子的“不妥协”和“创造力储备”是同义词。当我们习惯了这一点时，我们甚至会产生一种根深蒂固的愿望，想要抛弃其中一个词——“能量”或“质量”——而只用一个词。在现代物理学的服务书籍中，他们试图这样做。但在我们的书中，公式的缺乏将通过口头表达来弥补，

杜宾斯基同步相加速器。

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ness，我们将同时使用si-
nonima：能量和质量。

• 哲学家呢？
  ——哲学家与哲学家不同。
  为什么要在不存在问题的地方寻找问题，为什么要监控词语的使用，真正的含义不在词语中，而是在确切的关系中……
  务实的人关心的是另外一件事：基本粒子衰变释放的能量真的比核能大得多吗？
  是的。例如，为恒星提供能量的核反应周期之一与四个质子转变为凝胶核同时发生。它们的质量为0.94·4=3.76 GeV，凝胶的质量为3.73 GeV，因此，释放了0.03 GeV——不到总能量的1%。在 π° 介子衰变成光子的过程中，介子的全部质量（100%）都转化为能量。

• 那么，我们面前有一种比热核反应更强大的能源？

• 一点也不。这种机制的稀有性和不稳定性是一个障碍。在加速器旁边，它们的数量至少比质子少 1019 倍。此外，它们会立即死亡；它们无法累积。最重要的是，它们必须被创造出来，所花费的能量恰好等于它们衰变期间释放的能量；质子总是准备就绪——它们是氢原子核。在热核反应中，我们转移自然界积累的能量储备； π°介子的衰变充其量只能将其产生所消耗的能量返还给我们。

“那它们有什么用呢？”
— 另一个来自中子、超子等的故事：它们提供了世界结构的线索……

任务

1. 如果已知质子的动能是 500 MeV，则计算质子的动量，单位为 MeV/c，其中 c 是光速。
2. 计算电子沿 E = 25 kV/cm 的均匀电场方向进入加速器时的加速度，此时其动能 T = 0.5 m₀c²，其中 m₀ 是电子的静止质量。
3. 20兆吨氢弹爆炸时，多少质量的氢气会转化为能量？三硝基甲苯的当量为 10³ cal/2。
4. 100 瓦灯泡在一年内发出多少质量（以光和光的形式）？
5. 如何确定运动粒子系统的静止质量？它等于静止粒子的质量总和吗？
6. 一个人需要骑乘多久才能将其转化为能量？当一个人尽其所能地转动老师时，他会产生 0.5 净马力 (373 bhp)。人体的效率约为25%，即75%的食物被燃烧，转化为热量，只有25%的食物进入有用功。
7. 如果垂直于太阳光线方向的每平方米表面有 1.4 公里的光能到达，一年中地球会以光的形式从太阳接收到多少质量？
8. 什么是声子冲量？根据能量和动量守恒定律表明，自由电子不能吸收声烷。

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我们为什么这么说？

sinus
chorda

1. 这个词是从哪里来的？
   “窦”

“正弦”一词源自拉丁语。如果我们查一下拉丁语-俄语词典，我们会看到这个词的以下含义：1）曲率，曲率，弯曲，凸度； 2）胸前的宽松、口袋、褶皱（古罗马服装）； 3）礼服、服装； 4）乳房、拥抱； 5）温柔的爱、关怀；

6. 中间，中心； 7) 避难所，避难所； 8) 海湾，海湾； 9) vladina，深化，失败。 “sinus”一词众所周知，意思是“窦”、“腔”。然而，这些含义都与三角学中的正弦没有任何关系。这个术语是从哪里来的？

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三角学最早出现于公元一至二世纪的亚历山大，出现在亚历山大著名天文学家的著作中，其中最伟大的是克劳迪斯·托勒密。然而，在托勒密的三角学中，主要概念不是正弦，而是和弦。在托勒密的《数学体系》一书中，有一些表格，列出了弦的长度对所对的原点长度的依赖关系，弧以度、分和秒为单位进行测量，弦以半径的部分来测量：这里半径被认为等于 60 部分，弦以半径的这些分数来测量，以它们的“分”（第 60 份）和它们的“秒”（第 60 份）来测量。 “分钟”）。巴比伦的亚历山大天文学家采用了这种弧线和弦的“六绝”划分。

“和弦”一词源自希腊语“horde”——“肠”、“弦”（在古希腊，弦是从牛肠中提取的）。在古希腊和亚历山大学派中，这个词与和弦无关。欧几里得、托勒密和其他亚历山大学者都将弦称为“圆中直”，意思是圆内接的直线段（他们也将圆内切的三角形称为“圆中三角形”）。

公元5世纪，亚历山大科学学派被“圣”西里尔领导的基督教狂热分子摧毁。这时，一位名叫保罗斯的亚历山大天文学家逃到了印度，他在那里用印度人的科学语言梵文写下了亚历山大天文学家的成就。这本书被印第安人命名为“Paulisa-siddhanta”——“Paulisa 的教义”，印第安人对 Paulos 的称呼。在这本书中，弦被梵文单词“jiva”称为“jiva”，它也表示弓的弦，弧——与弓同一个词，由弧和由它收缩的弦所包围的线段的高度——与箭同一个词。

后来的印度天文学家和数学家，其中最大的是工作于7世纪的婆罗门笈多，用半线，即正弦线代替了和弦。他们首先将这些线条称为“ard-jiva”——“半弦”，然后为了简洁起见，他们开始简称为“jiva”。

8世纪，印度学者的一位“siddhantas”被翻译成阿拉伯文，名称为“Sindhint”（“siddhanta”一词的变形受到印度阿拉伯语“Hind”的影响）。在这本书中，“jiva”一词不再表示和弦，而是表示一条正弦线，并用阿拉伯字母书写。但是，由于阿拉伯语没有“v”的发音，只有“b”和一个短的“u”，所以阿拉伯语译者写的不是“jiva”，而是“jiba”。但阿拉伯语只表示长元音，省略短元音，长“i”与半元音“y”用同一个字母表示，而“jiba”一词中“i”音长，“a”音短。因此，“jiba”这个词用阿拉伯语写得和“jaib”一模一样，很快他们就开始读“jaib”。 “jaib”一词的意思是“sinus”、“vladina”，即拉丁语中的“sinus”一词。因此，当12世纪阿拉伯天文学和数学书籍开始被翻译成拉丁文时，表示正弦线的“jaib”一词被翻译为“sinus”一词。

在“jiva”一词表示和弦的情况下，阿拉伯人将其翻译为“batar”一词。

“batar”这个词不仅表示弓弦，还表示一根绳子，被翻译成拉丁语“chorda”——我们已经知道的希腊词“chord”的转录。

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running_head:
folio:

2. 从哪里来
   数学术语
   “根”

“根”这个词是一个俄语单词，但这个词的数学意义有着非常悠久而有趣的历史。

古希腊科学家——毕多哥拉斯学派（公元前5世纪）将几何概念与数字联系起来，并以矩形和长方体的形式描述了两个和三个因子的乘积，其边和边等于一些因子。因此，他们将相应的“平”数和“立体”数的两个和三个索因数的乘积，以及两个和三个相等索因数的乘积分别称为“平方”和“立方”数。欧几里得《几何原本》（公元前 3 世纪）的变数书中使用的正是这个术语，这个术语的残余是我们用于表示 $n^2$ 和 $n^3$ 形式的数字的术语“平方”和“立方体”。

根据毕氏学术语，“平方”数的根称为“side”（希腊语“pleeura”），也有“壳”的意思，“胸膜炎”是肺膜的炎症，还有“base”（希腊语“basis”），我们的单词“base”就来自于此。

当公元 5 世纪时亚历山大科学学派灭亡，亚历山大天文学家保罗斯逃往印度，“基地”一词被翻译成梵文“pada”，意思是基地，以及植物的根。

8世纪，印度学者将“siddhantas”翻译成阿拉伯语时，译者将“pada”理解为“根”，并译为阿拉伯语“jizr”，表示根。与此同时，在阿拉伯数学文献中，还有另一个表示数根的术语——“dill”（“边”或“边”），是希腊语“pleevra”的翻译：如果“jizr”一词用于平方根和二次方程的根，那么“dill”一词则用于微积分幂的根：用阿拉伯语写作的数学家将立方根称为“立方体的边”，将四次方根称为“边” square-square”，5次根是“正方形-立方体的边”，6次根是“立方体-立方体的边”，等等。

12世纪，在将阿拉伯语术语翻译成拉丁语时，“jizr”一词被翻译为“radix”一词，也表示根（从这个词而来，它也表示“根类蔬菜”，我们的“萝卜”一词由此而来），“dill”一词被翻译为“latus”一词，也表示侧面和肋骨。在马格尼茨基的《算术》中，“radix”这个词没有翻译——“radix”，“latus”这个词被翻译成了“side”，但后来这两个术语都是由“radix”这个词的俄语翻译——“root”这个词创造的。然而，有时“radical”一词也与这个词一起使用，它也来自拉丁语术语“radix”。

B·A·罗森菲尔德

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M11。围成一圈的 44 棵树上，栖息着 44 只欢快的黄雀（每棵树上有一只黄雀）。有时，两只黄雀会同时以相反的方向飞向邻近的树木（一只顺时针，一只逆时针，参见图1）。证明黄雀永远不会聚集在一棵树上。

如果有黄雀和树木$n$怎么办？
莫斯科国立大学高等医学院*)

M12。哪些四边形可以用直线截成两个相似的四边形？

*) 请参阅本期杂志第 61 页。

读者提交的问题的最佳解决方案将在期刊上发表。我们将能够在相应期刊出版后一个半月内考虑编辑将收到的决定。

M13。证明如果最大和最小$n$实数$a_1, a_2, \dots, a_n$之差为$d$，并且这些数字的所有$\frac{n(n-1)}{2}$成对差值的模型之和

$$\sum_{i<j} |a_i - a_j|$$

等于$s$，则

$$(n-1)d \leqslant s \leqslant \frac{n^2}{4}d.$$

M14。凸白色多边形的一些面显示为黑红色，因此没有两个黑色面具有公共边 ​​(图2)。证明如果至少满足下列条件之一：
a) 一半以上的黑人面孔；
b) 黑边的面积大于多边形半表面面积的一半，

那么球不能内接于这个多边形。

46

M15。一张方桌，充满了$n \times n$非负数，使得每一行的数字之和以及每一列的数字之和都是1。证明从表格中你可以选择$n$正数，其中任何一个列或行中都不会出现两个正数。

F12。两个相同的重钢球在长度为$l$和$2l$的轻质棒上绕点$O_1$和$O$旋转，其之间的距离为$3l$（图3）。初始时刻，球位于$A$和$B$，速度分别为$v$和$2v$。在时间$t$中，球会碰撞多少次？球碰撞 $k$ 次需要多长时间？球的冲击被认为是绝对弹性的。

G·L·科特金

F13。两个相同的带活塞的气缸通过管子 (图 4) 连接。气缸内有水。装有等量水的相同圆柱形玻璃被放置在活塞顶部。然后，将质量体$m$放入其中一个玻璃杯中，将不下沉的质量体$M$放入另一个玻璃杯中。

当系统达到平衡时，活塞末端和玻璃杯中的水位彼此之间的距离是多少？太阳眼镜的面积为$S_1$，活塞的面积为$S_2$。

F14。将截面为$S_1$和$S_2$的两根管道相互连接，并用质量为$m_1$和$m_2$（图5）的活塞塞住。活塞之间的空间发生爆炸后，活塞飞出管道。其中一架以$v$的速度飞了出去。如果：a）管道是固定的并且不能混合，b）管道不是固定的并且它们的总质量为$M$，那么第二个以什么速度飞出？忽略活塞与管壁的摩擦力。

F15。一小时内透过冰箱壁的热量为$Q = 190$千卡。冰箱内温度$T_1 = +5^\circ\text{C}$，房间内$T_2 = +20^\circ\text{C}$。从网络上看这款冰箱最低功耗是多少？

V·N·科皮洛夫

图 3

图 5.

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F16。一辆重量为 $P$ 的汽车，其两个车轴都被驱动，开始移动。自动发动机以$W$恒定功率运行，车轮与路面的摩擦系数为$k$。找出自动速度对时间的依赖性并绘制该依赖性的图表。忽略机构中的空气阻力和摩擦。

A·T·德罗兹多夫

F17。将具有电荷$q$的极板放置在短路扁平电容器的极板之间。板以 $x$ (图 6) 的距离平行于自身移动。如果电容器极板之间的距离为 $d$，则电容器的外部电路会流过多少电荷？

三个问题
在物理学中

1. 湿漉漉的雪落了下来。如何确定其中水的百分比？

2. 一块黑板沿着光滑的水平桌子以速度$v$移动。粉笔应该留在上面什么公式，以一定速度水平投掷并垂直于板的运动？

3. 圣诞树花环由灯泡制成的手电筒。当这个花环打开时，每个灯泡上都会施加三伏电压。为什么在拧下一个灯泡后将手指插入插座会很危险？

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入学考试
数学方面
在数学系
莫斯科州
教育学院
他们。列宁
V·多罗菲耶夫先生

一个师范学院的学生，必须走过现代数学高楼的许多层楼，才能成为一名知职的好老师。但它应该研究这座建筑物的陡峭楼梯，该建筑物完全没有电梯，也许只有那些在学校已经牢固地扎根在地基中的人才能使用。

这样的申请人是有的，而且数量还不少。这其中很大一部分人已经了解了数学的吸引力，并认识到它对现代生活的重要性和意义。但是，数学条件的令人自豪的特性（不幸的是，太多了）决定了他们人生的唯一目的是成为职业数学家或物理学家。

与此同时，现在生活的各个领域都需要优秀的数学专家。为了让他们做好准备，我们只需要经验丰富的新教师。反过来，教师本身的资格取决于进入教育机构的人的数学素养，取决于他们对未来职业的兴趣和热爱。

去年，在莫斯科国立师范学院数学系。六、 Lenin 收到了 175 个名额的 475 份申请——每个名额大约有 2.7 份申请。为了进行比较，我们注意到，绝大多数人想成为非数学教师和非教师数学家：例如，在我们学院的俄语语言文学学院，有 8.3 名申请者，而在莫斯科国立大学力学和数学学院，有 6 名申请者。

在1969年的笔试中，考生有多个选项，每个选项包含5个问题。所有工作都给了4个小时。 “测试”，一——

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然而，它并不是针对所有问题，而是针对解决得最好的四个问题。

这项任务的选择方式是，一个不想费心进行任何形式计算的几何爱好者可以获得A，但为了证明他忽视技术改造的“正确”——这也是数学艺术的组成部分之一——他必须克服特殊的几何困难。同样，不喜欢几何的“代数学家”或“分析家”可以省去理解相对复杂的几何构型的麻烦，但“作为回报”，他必须解决形式性质的非标准问题。

要获得“3”分，解决两个问题就足够了。尽管这个标准不是很强，但第二个结果是内部的 - 224*）。不幸的是，一些不成功的作品是由奖牌获得者和数学学校（包括莫斯科数学学校）的毕业生撰写的。

但尤其令人不快的是，大多数糟糕的作品都包含着丑陋的错误。此类作品的作者们的想象力实在是太丰富了，无法一一列举所有这些“珍珠”。然而，我们仍然会提到一个甚至令经验丰富的审查员感到惊讶的问题：在我决定两个圆的公共弦的问题绘图的一幅作品中，这些圆（不同的！）也有一个共同的弧线，在这条弧线之外，它们可以向不同的方向发散。

所有这些都意味着，并不是所有的大学申请者都懂数学，即使是初级水平的数学。其中许多在数学处理方面存在重大问题。与其说是关于知识的广度，不如说是关于知识的深度，请注意，莫斯科人和非居民申请者在数学考试（笔试和口试）方面的表现大致相同。

选项

1. 解方程
   $$\sqrt{1 - \log_2 x^2} \cdot \log_2 x = -1.$$

2. 解决不平等问题
   $$2 \cos x (\cos x - \sqrt{8} \mathrm{tg} x) < 5.$$

3. 由边 $a$ 和 $2a$ 构成的矩形 $ABCD$ 位于矩形的底边，其所有侧边都等于 $\sqrt{3}$。求穿过底$BD$对角线与边$AS$平行的直线的横截面积。

4. 通过两个圆的公共弦$AB$的端点$A$画一条直线，与第一个圆相交于点$C$，与第二个圆相交于点$D$。证明通过点$C$到第一个圆和通过点$D$到第二个圆所画的切线的交点与点$B$、$C$和$D$位于同一圆上。

5. 证明如果
   $$3x^2 - 31x + 80 < 0,$$
   那
   $$\cos \frac{3}{6-x} < 0.$$

解决方案

任务 1. 由于给出了 $\log_2 x^2 = 2 + \log_2 x$ 和 $\log_2 x^4 = \frac{1}{\log_2 x^2} = -\frac{1}{4 + \log_2 x}$，方程简化为以下形式
$$\sqrt{3 - \log_2 x} = -4 - \log_2 x.$$
用$y$表示$3 - \log_2 x$，我们得到方程
$$\sqrt{y} = y - 1.$$

令人惊讶的是，即使是这样一个简单的方程的解也不是

50

很多申请者都可以做到。大家都同意两边都平方，得到一个根为$y_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$的二次方程，但随后却出现了不同的“观点”；有些人甚至没有想到，有了这样的解决方案，根可能会出现；其他人知道这种情况可能发生，但不知道为什么，并且通常有信心构建那些不包含在允许值范围内的根；还有一些人尝试通过直接代入方程来检查根——这种方法原则上是正确的，但只方便检查“好”根，而$y_1$和$y_2$不是很“好”。

然而，绝对不可想象的是，由于等式()的左边是非负的，那么$y_1$和$y_2$的根将只是右边也是非负的数。因此，方程()的唯一根是$y = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$，找到$x$我们得到方程$\log_x 2 = \frac{-(9 + \sqrt{5})}{2}$，这意味着$x = 2^{-\frac{2}{9 + \sqrt{5}}}$。

我们强调：求解时，我们完全不用求原方程的ODZ。与此同时，最近申请人中普遍存在一种偏见，认为任何方程或等式的解都必须从计算 ODZ 开始给出。然而，这种观点没有理论依据，而且在实践中也是有害的：走这条路的人不仅要解这个方程，还要解他自己发明的对数方程$-1 - \log_x 2x^2 \geq 0$——这个问题同样困难。一般来说，在决策之初是否有必要找到ODZ并没有严格的规定，而且在选择路径时，申请人已经可以表现出他能够具体和独立思考的程度。

问题2.我们不会详细解决这个不平等问题。打开括号，我们很容易得到 sin $x$ 的二次不等式：

$$2\sin^2x + 4\sqrt{2}\sin x + 3 > 0,$$

求解我们得到最简单的三角不等式 $\sin x > -\frac{\sqrt{2}}{2}$。但是……这正是大多数申请者未能应对的。我们不会分析通常完全没有意义的数据和答案，而只是吸引未来申请者对此类任务的注意。解决方法在教科书和很多手册中都有充分的描述，你只需要了解它即可。我们还需要注意的是，即使那些正确解决了最简单的不等式的人也并不总是记得，从最终的解决方案中，有必要丢弃这些值 $x$，对于 tg 来说没有意义 $x$.

问题3：对于那些习惯于只在正则几何体上解决问题的申请人来说，事实证明这太“危险”了。他们无法拒绝模式并错误地想象了给定的几何配置。因此，许多人“出于习惯”认为$\triangle BKD$的高度就是线段$KO$（图1）。

但大家都知道，几何方程只是解决问题的辅助手段，图中“看到”的事实还需要严格确认。

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展示。但不幸的是，许多人纯粹抽象地知道这一点，但在实践中却忽略了证明，有时甚至在完全不清楚我们正在谈论哪些垂直线的情况下，仅限于诸如“根据三垂线定理这是正确的”之类的短语。

与此同时，证明$KO$和$BD$垂直的一个小尝试立即导致了反对。事实上，如果是这样，那么对角线 $BD$ 将垂直于 $SO$ 和 $KO$，即垂直于平面 $ASC$，因此也垂直于对角线 $AC$。但从条件中可以清楚地看出，底面的对角线不是垂直的。

并正确构造高度 $\triangle BKD$ 需要从点 $K$ 画一条垂直于 paramid 底面的平面，证明它的底面 $O_1$ 位于 $AC$ （之前已证明 paramid 的高度经过该点 $O$ 对角线的交点），并从点 $O_1$ 垂直于执行 $BD$。部分 $KL$，根据三垂线定理，高度为 $\triangle BKD$。为了完成任务，还会遇到一个语句——并行 $OK$ 和 $AS$，而且还需要证明。此后，问题的计算部分就毫无困难地进行。

问题 4. 在平面学提出的问题中，这对申请者来说是最困难的问题之一：在 93 名解决了相应选项的人中，只有 3 人完全解决了它。同时，在 D. Polya 的两本替代书中《如何解决问题》中有一个非常简单、最重要的是完美的自然解决方案。

事实上，点 $K$ (图 2) 位于指定的圆上是什么意思？这意味着圆可以外接四边形 $BCKD$。什么时候可以围绕四边形画圆？当其直角之和等于$180^\circ$时。因此，有必要从问题的条件中提取一些关于角度相等的陈述。

与这个问题相关的关于角度相等的定理是什么？只有切线和弦之间的角度以及内切角的定理。根据这些定理，图 2 上相同标记的角是相等的。现在我们不禁要报告，四边形$BCKD$在顶点$B$和$K$处的对角之和等于角$\Delta CKD$的和，即$180^\circ$。当然，由此可知另外两个对角之和也等于$180^\circ$，所要求的命题得证。

大多数解决这个问题的人的失败显然可以简单地解释为九年级和十年级的学童很大程度上忘记了最简单的平面定理，并且在直接准备考试的过程中懒得填补这一空白。八年级毕业生很可能比具有一般知识的申请者更成功地应对这项任务。

问题 5。事实证明，此类任务具有中等难度，大多数接受其解决方案的人或多或少都正确地完成了任务。然而必须要说的是，很多人并没有承担这个任务，尽管它比其他人简单。显然，这里“心理准备不足”仍然表现出来。

52

尽管最近在针对学童的文献中已经考虑了相当多的此类问题，但“这种问题的特殊性”却以这种不寻常的形式出现。

这是这个问题的解决方案：如果 $x$ 满足第一个不等式，则$5 < x < \frac{16}{3}$，因此$\frac{2}{3} < 6 - x < 1$，因此，$3 < \frac{3}{6 - x} < \frac{9}{2}$。由于$\frac{\pi}{2} < 3 < \frac{9}{2} < \frac{3\pi}{2}$，角度$\frac{3}{6 - x}$位于第二或第三象限，因此其余弦为负。

因此，我们提出了解决问题的方案，有些困难，有些简单。您可以通过解决以下两个选项中的问题来评估他们的难度，进而评估您的优势。

选项

1. 解方程
   $$\log_{x+3}(3 - \sqrt{1 - 2x + x^2}) = \frac{1}{2}.$$

2. 解决不平等问题
   $$6\sin^2\frac{x}{2}\mathrm{ctg}^2x \leqslant 2\cos^2x + 3\mathrm{ctg}^2x.$$

3. $SABC$ 的底部有 $\Delta ABC$，有角度 $C=90^\circ$ 和锐角 $30^\circ$。棱边的侧边与底座平面倾斜$45^\circ$角，棱边的高度为$H$。通过平行于 $AB$ 的点 $C$ 并将面 $ASB$ 分成相等面积的部分，求出棱柱的横截面积。

4. 证明如果连接内接四边形的相对顶点的直线经过在另外两个顶点绘制的切线的交点，则对边的乘积相等。

5. 证明如果$\frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 11x + 30} < 0$，则sin$x$和cos$x$有不同的符号。
   （MGPI以V.N.列宁命名）

6. 在正三角形中，取底边等于$a$，其顶点处的边之间的角度等于$\alpha$（$\alpha \leqslant 90^\circ$）。确定通过垂直于相对侧边缘的底座侧面绘制的截面面积。

7. 解方程
   $$\lg^2 x + \lg^2 (x + 10) = 2\lg 11.$$

8. 解方程
   $$\sin 3x \cdot \sin x + 1 = 0.$$

（伊万诺沃教育学）

团结就是力量

“虽然代数和几何各自以自己的方式发展，但其进展缓慢且应用有限。

但当这些科学结合在一起时，它们就相互大力支持，并迅速走向完美。”

拉格朗日
不是敌人，而是朋友

“认为证明的严格性是简单性的敌人是错误的。例如，你可以应用这样一个事实，即严格的方法同时更简单、更容易且更容易获得。在严格性方面的一切努力都旨在寻找最简单的证明方法。”

吉尔伯特
4、5 和 6

可以放置 4 个相同的球，使每个球都接触其他三个。

可以放置 5 个相同的球，使每个球都接触其他四个球。

是否可以排列 6 支相同的未削尖的铅笔，使每一支都接触另外 5 支？

53

关于 RADICALAX 的一些事情

A·G·莫德科维奇

“现在，”考官说，“我想再给你一项任务，一项非常简单的任务。”这里是：

已知一个卡梅特在青门线上的投影是 6 厘米，另一个卡梅特的投影比这个卡梅特的长度小 1.5 厘米，求直角三角形的边。

…几分钟后，申请人一起去见审查员。

• 嗯，你是怎么解决这个问题的？ - 考官问道。

• 是的！ - 参赛者回答。

• 发生了什么事？
  ——问题没有解决办法。

• 你能证明这一点吗？

• 当然！考虑三角形 ABC（参见 图）； C是直角的顶角，CH是高度。令AC = x，则由条件AH == x—1.5，且BH = 6。

54

我们使用已知的关系
$$CH^2 = BH \cdot AH$$ 或 $$CH^2 = 6(x - 1,5).$$

将勾股定理应用到直角三角形$ACH$，我们得到

$$\sqrt{AC^2 - CH^2} = AH,$$

那是

$$\sqrt{x^2 - 6(x - 1,5)} = x - 1,5.$$

“嗯，到目前为止一切都是正确的，”审查员指出，“尽管我们必须说所选择的解决方案路径并不是最合理的。”

“然后，”参赛者继续说道，“剩下简单的计算：

$$\sqrt{x^2 - 6x + 9} = x - 1,5; \quad \sqrt{(x - 3)^2} = x - 1,5;$$

$$x - 3 = x - 1,5; \quad -3 = -1,5.$$

由于最后一个等式是假的，所以问题无解。

“不幸的是，我一定让你失望了，”主考官说道，“这个问题是有解决办法的。”例如，可以这样解决：从已知关系$AC^2 = AB \cdot AH$我们有$x^2 = (x + 4,5) (x - 1,5), 3x = 4,5 \cdot 1,5$和$x = 2,25$，即$AC = 2,25$cm。然后是$AB = 6,75$厘米，然后是$BC = 4\sqrt{2}$厘米。

并且，注意到申请人困惑的表情，审查员补充道：

• 你显然对你的推理中的错误所在感兴趣。好吧，让我们弄清楚一下。

错误在哪里？

“你记得，”考官开始说道，“我虽然有所保留，但还是认可了你的几何推理。”所以错误只可能发生在你所谓的“简单计算”中。更准确地说，在提取平方根时出现了错误。你没有教说，根据问题的意思，数量$\sqrt{(x - 3)^2}$必须是正数。一般来说，在实数领域，符号 $\sqrt{}$ 表示算术的、非负的根值。所以，$\sqrt{16} = 4$，你不能写$\sqrt{16} = -4$或$\sqrt{16} = \pm 4$。因此，不能说$\sqrt{a^2} = a$总是：对于$a \geq 0$来说这个等式是正确的，但是数字$a$也可以是负数！化简，例如 $\sqrt{(-3)^2}$：

申请人写道：

$$\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3.$$

• 正确的。换句话说，

$$\sqrt{(-3)^2} = -(-3).$$

一般来说，如果$a < 0$，则$\sqrt{a^2} = -a$。

因此，

$$\sqrt{a^2} = \begin{cases} a, если a \geq 0, \\ -a, если a < 0. \end{cases}$$

“我明白了，”申请人感叹道，“这可以简单地写成：$\sqrt{a^2} = |a|$，因为模型$a$的定义方式完全相同：

$$|a| = \begin{cases} a, если a \geq 0, \\ -a, если a < 0. \end{cases}$$

• 完全正确。这与你的问题完全相同：你不能写

55

$$\sqrt{(x-3)^2} = (x-3), \text{ потому что } (x-3) \text{ может быть и отрицательным числом.} \text{Если воспользоваться тем, что } \sqrt{(x-3)^2} = |x-3|, \text{ то приdem к управлению } |x-3| = x-1, 5.$$

接下来我们应该考虑两种情况：1）$x-3 \geq 0$； 2）$x-3 < 0$。你只考虑了第一种情况，所以过早地得出了问题无解的结论。在第二种情况下$|x-3| = -(x-3)$。然后从方程$-(x-3) = x-1, 5$我们得到$x = 2, 25$，即$AC = 2, 25$厘米。

“一切都清楚了，”参赛者说。
在这种情况下，我们将认为我们的谈话结束了。恳请您原谅，我给您以下建议：

别忘了$\sqrt{a^2} = |a|!$

我们将与申请人和审查员讨论这个问题，但我们会考虑审查员的建议。特别是，我们将在解决以下示例时使用它。

示例 1：简化表达式

$$\sqrt{\frac{a+x^2}{x} - 2\sqrt{a}} + \sqrt{\frac{a+x^2}{x} + 2\sqrt{a}}, \text{ если } x > \sqrt{a}.$$

解决方案。我们有

$$\sqrt{\frac{a+x^2-2x\sqrt{a}}{x}} + \sqrt{\frac{a+x^2+2x\sqrt{a}}{x}} =$$

$$\frac{\sqrt{(V\bar{a}-x)^2}}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{(V\bar{a}+x)^2}}{\sqrt{x}} = \frac{|V\bar{a}-x|}{V\bar{x}} + \frac{|V\bar{a}+x|}{V\bar{x}}.$$

因为根据条件$x > \sqrt{a} \geq 0$，则$|V\bar{a}-x| = -V\bar{a} + x$，$|V\bar{a}+\bar{x}| = \sqrt{a} + x$，这个表达式变换如下：

$$\frac{-V\bar{a} + x + \sqrt{a} + x}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x}.$$

关于自由基性质的几句话

在解决带有部首的动作示例时，必须使用部首的各种性质。因此，在示例 1 中，我们相当随意地使用了众所周知的属性：

$$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{b}.$$

然而，应该考虑到这种相等仅发生在$a \geq 0$和$b > 0$的情况下。如果$a$和$b$是负数，那么符号$\frac{\sqrt{a}}{b}$在实数领域没有意义。在示例 1 中，就我们而言，由于 $(V\bar{a}-x)^2 > 0$、$(V\bar{a}+x)^2 > 0$ 以及条件 $x > 0$，因此没有发生错误。但是，无论如何，从上面我们可以得出以下结论：在揭示乘积或分数的（次数）根时必须非常小心。一般情况下，当$a$和$b$的符号未知时，建议进行如下推理：

$$\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{|a|}{|b|}} = \sqrt{\frac{|a|}{|b|}}.$$

56

因此，如果数字 $a$ 和 $b$ 具有相同的符号，则

$$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{|a|}}{\sqrt{|b|}}$$

和类似地

$$\sqrt{ab} = \sqrt{|a|} \cdot \sqrt{|b|}.$$

示例 2：简化

$$\sqrt{\frac{a-\sqrt{x}}{a+\sqrt{x}}} + \sqrt{\frac{a+\sqrt{x}}{a-\sqrt{x}}} - \sqrt{\frac{16}{a^2-x}},$$如果$x = 4(a-1)$。

解决方案。相反，让我们表达$a$到$x$：$a = \frac{x+4}{4}$，并将其代入这个表达式。它是这样转换的：

$$\sqrt{\frac{x-4\sqrt{x}+4}{x+4\sqrt{x}+4}} + \sqrt{\frac{x+4\sqrt{x}+4}{x-4\sqrt{x}+4}} - \sqrt{\frac{16^2}{(x+4)^2-16x}}$$

$$= \frac{|\sqrt{x}-2|}{|\sqrt{x}+2|} + \frac{|\sqrt{x}+2|}{|\sqrt{x}-2|} - \frac{16}{\sqrt{x^2}-8x+16}$$

$$= \frac{(x-4\sqrt{x}+4) + (x+4\sqrt{x}+4)}{|(\sqrt{x})^2-4|} - \frac{16}{|x-4|} = \frac{2x+8}{|x-4|} - \frac{16}{|x-4|} = 2\frac{x-4}{|x-4|}.$$

另请注意，如果$a > 2$则为$x > 4$，如果$1 \leqslant a < 2$则为$x < 4$。

最终答案：

2 如果$a > 2$，

• 2 如果$1 \leqslant a < 2$。

我们使用了 - 这通常很有用 - 模块的以下属性：对于所有 $a$ 和 $b$

$$|a| \cdot |b| = |ab|, \quad |a|^2 = a^2.$$

现在我们将详细讨论根的一个更重要的属性。

示例 3：简化

$$\sqrt[10]{\frac{1}{2}(19+6\sqrt{10})} \sqrt[5]{3\sqrt{2}-2\sqrt{5}}.$$

解决方案。人们常常这样想。利用根的众所周知的性质，您可以通过乘以 2 并同时对从属表达式进行平方来显示第二个因子的根；我们得到

$$\sqrt[10]{\frac{1}{2}(19+6\sqrt{10})} \sqrt[5]{3\sqrt{2}-2\sqrt{5}}$$

$$= \sqrt[10]{\frac{1}{2}(19+6\sqrt{10})} \sqrt[10]{(3\sqrt{2}-2\sqrt{5})^2}$$

$$= \sqrt[10]{\frac{1}{2}(19+6\sqrt{10})} \sqrt[10]{19^2-(6\sqrt{10})^2} = \sqrt[10]{1} = 1.$$

但这里有一个错误！正确答案是负一。重点是$3\sqrt{2}-2\sqrt{5} < 0$因为$(3\sqrt{2})^2 = 18 < (2\sqrt{5})^2 = 20$。

因此，$\sqrt[5]{3\sqrt{2}-2\sqrt{5}} = \sqrt[10]{(3\sqrt{2}-2\sqrt{5})^2}$不成立，$\sqrt[5]{3\sqrt{2}-2\sqrt{5}} = -\sqrt[5]{2\sqrt{5}-3\sqrt{2}} = -\sqrt[10]{(2\sqrt{5}-3\sqrt{2})^2}$成立。

示例 4：化简 $\sqrt[8]{(\pi^2-10)^4}$。

57

在这里，简单地将根和部首表达式的指示符除以 4 也是不正确的：

$$\sqrt[8]{(\pi^2 - 10)^4} = \sqrt{\pi^2 - 10}$$

（结果没有意义，因为$\pi^2 < 10$）。以下等式成立：

$$\sqrt[8]{(\pi^2 - 10)^4} = \sqrt{10 - \pi^2}.$$

结果，我们得出以下结论：

在不确定根包含正数的情况下，使用根式的基本属性，首先需要确保获得的结果有意义（如果需要，模符号将帮助我们），其次，获得的结果与第一个类似表达式具有相同的符号。

任务

1. 列出以下等式成立的条件（$k$和$n$是自然数）：

a) $$\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a};$$
e) $$a \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^n b};$$
6) $$\sqrt[n]{a^n} = a;$$
g) $$\sqrt[n]{a} = \sqrt[n]{a^k};$$
b) $$(\sqrt[n]{a})^n = a;$$
h) $$\sqrt[k]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[k]{a};$$
d) $$\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b};$$
我）$$(\sqrt[n]{a})^k = \sqrt[n]{a^k};$$
e) $$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{n \sqrt[n]{b}};$$
j) 如果$a < b$，则$$\sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b}$$。

2. 化简下列表达式：

a) $$(\sqrt{\frac{a+1}{a-1}} + \sqrt{\frac{a-1}{a+1}}) \cdot (\sqrt{\frac{a+1}{a-1}} - \sqrt{\frac{a-1}{a+1}});$$
6) $$\sqrt{\frac{3y+x^3}{2x}} + \sqrt{3xy} - \sqrt{\frac{3y+x^3}{2x}} - \sqrt{3xy};$$
b) $$\frac{(4a^2m^{-2} + a^{-2}m^2 - 4)^{-1/2}}{2ma (m^2 - a^2)^{-1/2}} \cdot \left(2 \sqrt{m^4 - \frac{a^2}{m^{-2}}} - \frac{2a^2}{\sqrt{1 - a^2}m^{-2}}\right);$$
d) $$\frac{a + \sqrt{2 + \sqrt{5}} \cdot \sqrt[12]{(9 - 4\sqrt{5})^3}}{\sqrt[3]{2 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt[6]{9 + 4\sqrt{5}} - \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a}}.$$

58

写作

考试
物理学在全国许多大学进行，
但只有其中三个，
除了口头的
还有笔试。
完成了
在莫斯科物理技术学院，
以及物理系
莫斯科大学和新西伯利亚大学。
书面作业通常包含 4-5 个任务。
它将响应其执行
在物理技术研究所
5点钟
在莫斯科国立大学和新西伯利亚国立大学 - 4 小时。
以下是选项，
去年向申请人提供
物理技术研究所和 NSU。
选项
莫斯科国立大学物理学院
将被出版
在杂志的下一期中。

选项 1（MIPT）

1. 两个粒子 - 一个质量为 $m$，以 $v$ 的速度飞行，另一个质量为 $2m$，以 $2v$ 的速度飞行，方向垂直于 $v$ (图 1) - 在一段时间内受到大小和方向相等的力的作用。当力停止时，右侧转动并开始以$2v$的速度向相反方向移动，如图所示。第二部分开始移动的速度是多少？

2. 体积为 1.1 升的容器含有 100 $e$ 吸附剂和温度 $t = -193^\circ$ C 和压力 $P = 0,2$ am 的氢气。在此温度下吸附剂吸收的氢气量等于吸附剂本身重量的$\frac{1}{50}$。如果容器被加热到​​ $t_1 = 31^\circ$ C，当所有氢分子离开吸附剂时，确定容器中的压力。吸附剂密度$1 \frac{e}{cm^3}$。

3. 如果已知每个立方体中金属的电阻率，请确定金属的电阻率

59

4. 观察者使用天文望远镜（开普勒望远镜）检查远处的物体。焦距为$F_1 = +30\text{ cm}$和$F_2 = +5\text{ cm}$的透镜用作望远镜的物镜和目镜。如果物体与瞄准镜目镜之间的距离在 $L_1 = 33\text{ cm}$ 和 $L_2 = 34,5\text{ cm}$ 之间，则观察者会看到物体的清晰图像。在 $L_1 = 33\text{ cm}$ 到 $L_2 = 34,5\text{ cm}$ 之间的距离范围是多少？

选项 2（MIPT）

1. 半径为 $R = 20\text{ cm}$ 的飞轮安装在半径为 $r = 2\text{ cm}$ 的固定轴上。最大车轮与车轴之间的摩擦力恒定，等于100公斤。为了更容易地将最大轮从轴上拆下，向其轮缘施加力 $F = 8\text{ kГ}$，从而产生相对于轴的扭矩 (图 2)。您需要用多大的最小力 $N$ 沿轴拉动最大轮才能将其卸下？

2. 压力表由三个玻璃管（图3）组成。压力表底部有一根管子，管子上方的左弯头里有油。如果细开口管中的油位上升$\Delta h = 10\text{ mm}$，由压力表监测的压力$P$会变化多少？管材与油的密度之比为$\frac{\rho_1}{\rho_2} = 14$，管材的横截面之比为$\frac{S_3}{S_2} = 2$、$\frac{S_2}{S_1} = 50$。

3. 具有水平板的扁平电容器连接到具有电动势的电池。和。 $U$ 并放入容器中，逐渐填充煤油 ($\varepsilon = 2$)。将其写成公式并绘制电容器中心场强与其内部煤油层厚度的关系图。电容器极板之间的距离为$d$。

4. 物体与其使用薄透镜获得的直接放大两倍图像之间的距离为$L$。找到镜头的光焦度并找出图像的性质（真实或最小）。

选项 3（NSU）

1. 统一布线的方形网格由四个相同的方形房屋（图4）组成。电池一侧的电阻为$r$。电流进入网格的一个角并离开对角。求整个电网的电阻。

2. 在活塞和充满空气的圆柱形容器的外壳之间，有一个隔板，隔板上有一个用塞子封闭的孔（图5）。隔膜右侧的压力相同。当活塞移动时，塞子因压力差而飞出

图 5.

尼亚$\Delta P$。此时活塞停止了。求稳态压力。整个过程中温度没有变化。

3. 质量块$m_1$和$m_2$沿着光滑的桌子移动，由长度为$l$的不溶性线固定。在某个时刻，质量$m_1$的速度为零，质量$m_2$的速度等于$v$，且垂直于零。找出黑鬼们的紧张情绪。

4. 在半径为 $b$、电荷为 $q$ 的带电球体内部，有一个半径为 $a < b$ (图 6) 的接地导电球体。球体的中心重合。求大球体外部距中心 $r$ 处的电场方向。

选项 4（NSU）

1. 两个相同的球通过长度为 $l_0$ 的固定杆连接。该系统位于水平面上并旋转。每个球的初速度为$v_0$，平面摩擦系数为$k$，重力加速度为$g$。系统在停止之前会转多少圈？

2. 必须做多少功才能诱导氢原子，即驱动电子（$e=1,6 \cdot 10^{-19}$冷$=4,8 \cdot 10^{-10}$CG SE）远离质子到很远的距离？氢原子的直径为$d \approx 10^{-8}$厘米。将结果表示为电子伏特（$1 \text{ Эθ} = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Эж}$，SI 系统中真空介电常数$\varepsilon_0 = 8,8 \cdot 10^{-12} \text{ ф/m})$。

3. 将$P$克水倒入玻璃杯中，将加热的薄壁玻璃杯放在上面，翻转过来。必须将玻璃加热到最低温度$T_1^\circ \text{K}$，以便在将其阻挡到环境空气温度$T_0^\circ \text{K}$后，所有水都会被吸入其中（图7）？大气压$p_0$，玻璃截面积$S$，高度$l$，水密度$ρ$。水的体积小于一杯水。忽略蒸发、表面张力和玻璃本身的膨胀。

4. 一根重量为 $P$、长度为 $l$ 的水平杆沿着两根垂直杆无摩擦地滑动，这根垂直杆通过电容器 embone $C$ (图 8) 向下连接。均匀磁场 $H$ 垂直于棒的下降平面。求棒的加速度，忽略所形成电路的电阻。

61

莫斯科国立大学（MSH）力学与数学学院的夜校数学学校已经运营了第七个年头。其主要目标是促进中小学生的数学发展，拓展他们的数学视野。 VMS延续了莫斯科大学三十多年来数学界的传统，本质上本身就是一个自由的数学圈，覆盖了800多名小学生。所有 VMS 课程的入场都是免费的，您可以全年参与学校的工作。

6-9 年级的学生每周一次聚集在 26 个 VMS 小组中。课程由研究生、大学力学和数学学院的学生、莫斯科师范学院的学生分组授课。六、列宁钢铁学院等大学。除了解决有趣的问题外，课程还涵盖超出高中课程范围的各种数学问题。课程通常以游戏的形式进行。机器人示例。经理说：“一个牛仔走进酒吧要水。店主没有回答，而是抓起他的紧身衣并向天花板开枪。牛仔谢过他后就离开了。怎么了？你丢失了数据吗？好吧，我准备好如实回答你的一些适用于本案的问题。请记住，问题应该以这样的词开头：“是真的吗……”我只会回答“是”或“否”。经过二十分钟的询问和探究，有人恍然大悟：“牛仔喉咙里有一根骨头卡住了，吓得跳了起来！！！”

每周，顶尖的莫斯科人都会为 8 至 9 年级的学生举办有关现代数学问题的讲座。

VMS的工作形式之一就是“主场奥运会”。每周会给孩子们4-5个问题的条件，并给予两周的时间来解决。书面决定将与集团领导层共享以供审查。在由 20 个任务组成的周期结束时，从小组领导中选出的评审团总结比赛结果。在比赛中（有分数！），所有孩子都必须表现出对解决竞争问题的方法的理解。

高等音乐学院的课程对学生的学习有很好的影响。因此，作为苏联代表队参加 1969 年国际数学奥林匹克竞赛的莫斯科分部，他们都是高等音乐学院的学生。莫斯科国立大学和物理技术学院的许多机械工程和物理专业的学生都曾在高等医学院学习过。 VMS 的前学生中有化学家、生物学家、经济学家、心理学家……

最后，我们提出了夜校数学8-9年级的一些竞争问题。其中大部分也可供 6 至 7 年级的学生使用。

任务

1. 一模一样的硬币有 7 枚，但其中 5 枚是真币，2 枚是假币。真币重 10 e，假币重 9.8 e。为了确保识别假币，在没有蘑菇的杯秤上最少称重多少次？

2. 莎莎画了一个平行四边形ABCD，标记M点——BC边的中点，N点——CD边的中点，然后出去散步。有害的莉拉接近了图画，抹掉了除了A、M、N点之外的所有东西。帮助萨沙恢复图画，即找到B、C和D点。

3. 房间里有10个人、狗和苍蝇。每个人有 2 条腿，每只狗有 4 条腿，每种面粉有 6 条腿。房间里的每个人都有 46 条腿。怎么会这样（找出所有的可能性。）。

4. 还求两个平方和为 16,000 的自然数。 （指出所有解决方案。）。

5. Resolventa 国家拥有一个城市网络。任意两个城市之间都有铁路直达，从任何一个城市到另一个城市都可以直线行驶，无需经过其他城市。画出这个国家的铁路交通图，使道路交叉口尽可能少。 （一处不能有两条以上的道路相交。）

6. 给定平面上的点 A 和 B。求平面上 C 点的轨迹，使得三角形 ABC 为锐角。

7. 证明 2 的幂中没有四个相同的数字。求以相同数字结束三角形的数字 2 的幂。

8. 戈尔尼奇蛇有 2000 个头。这位神话般的富翁可以一击击落 33、21、17 或 1 个头，但同时蛇也会失去相应的 48、0、14、349 个头。如果所有的头都被砍掉，就不会再长出新的头。财主能满足蛇的要求吗？

A.A.奥尔洛夫、A.L.罗纳尔多

62

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running_head:
folio:

到文章
“惯性定律，
以凝胶为中心的系统
和科学的发展”

1. 如果对太阳的接受消失了，
   地球的重心将开始沿轨道切线方向移动。地球绕其轴的旋转将被保留。

2. 当加速度出现时，球开始在电车的地板上滚动。

3. 一个物体以$v$的速度从地球上方$h$的高度水平抛出，在短时间内$t$将沿速度方向和垂直方向$\Delta h=\frac{gt^2}{2}$移动距离$x=v \cdot t$，最终到达地球上方的某个高度$h_1$。如果$h=h_1$，则物体绕地球沿圆形轨道旋转。通过计算$h_1$并代入$h=h_1$，我们发现$v$一定等于$\sqrt{gR}$。

到文章
“快粒子的能量和动量”

1. $p=\frac{1}{c}\sqrt{T(T+2m_0c^2)}=$
   $=1090\ M_3\mathrm{/c}$.

2. $a=\frac{eE}{m_0}\frac{1}{\left(1+\frac{T}{m_0c^2}\right)}=1,3\cdot 10^7\ m/\mathrm{cek}^2$.

3. $0,93\ \mathrm{k2}$.

4. $3,6\cdot 10^{-5}\ e$.

5. 零件系统的静止质量定义为坐标系中它们的能量（而不是静止质量）的总和，其中系统的动量（即零件的动量总和）等于零。

6. $4\cdot 10^6$ 年。

7. 太阳与地球的距离为$1,4\cdot 10^{11}\ m$。这意味着 1.4 kW 的能量分布在 $\frac{1\ m^2}{2\cdot 10^{22}\ m^2}=5\cdot 10^{-23}$ 立体度的球面角中。太阳在 1 秒内总共释放出能量 $1,4\ \mathrm{kw}\frac{4\pi}{5\cdot 10^{-23}}=3,5\cdot 10^{23}\ \mathrm{kw}$，或质量 $4\cdot 10^{11}\ e$。

8. $p=\frac{E}{c}=\frac{hv}{c}\left(h-\text{постоянная Планка}, v-\text{частота фотона}\right)$.

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《数学入学考试》
选项一

1. $x_1=\frac{9-\sqrt{29}}{2},\ x_2=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$;

2. $2k\pi<x\leq 2k\pi+\frac{2\pi}{3}$;
   $-\frac{2\pi}{3}+2l\pi\leq x<2l\pi$;

3. $H^2\left(1-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$.

选项二

1. $\frac{a^2}{4}\sqrt{4\cos^2\frac{\alpha}{2}-1}$;

2. $x_1=-11,\ x_2=1,$
   $x_3=-5+\sqrt{14},\ x_4=-5-\sqrt{14}$;

3. $x=\frac{2k+1}{2}\pi$.

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“关于径向的一些事情”

1. a) – b) 如果 $n$ 是奇数，则对于任意 $a$；
   如果 $n$ 是偶数，则 a) 对于 $a=0$； b) 在$a\geq 0$。
   d), e) 如果 $n$ 是奇数，则对于任意 $a$ 和 $b$；如果 $n$ 是偶数，则对于 $a\geq 0$，$b\geq 0$。
   d) 如果$n$是奇数，则对于任何$a$和$b\neq 0$；
   如果 $n$ 是偶数，则对于 $a\geq 0$，$b>0$。
   g), h) 如果 $kn$ 是奇数，则对于任意 $a$；
   如果 $kn$ 是偶数，则对于 $a\geq 0$。
   i) 如果$n$是奇数，则对于任何$a$；如果 $n$ 是偶数，则对于 $a\geq 0$。
   j) $n$-任意，$a\geq 0$。
2. a) $a$（与$a<-1$或$a>1$）；

6. $\frac{\sqrt{6xy}}{x}$如果$x\sqrt{x}\geq \sqrt{3y}$；
   如果$x\sqrt{x}<\sqrt{3y}$，则$x\sqrt{2}$；