Kvant 1970 年第 7 期 · 页面

科普物理和数学
量子
7
1970
杂志
学院
苏联科学
和
教育学院
苏联科学

主编-I.K. Kioin院士
第一副主编——柯尔莫哥洛夫院士

编辑集：

L.A.Artsimovich，院士
M·I·巴什马科夫
V. G. Boltyansky，苏联教育科学院通讯院士
I·N·布朗斯坦
N·B·瓦西里耶夫
I·F·金兹堡
V. G. Zubov，苏联教育科学院院士
P. L. Kapitsa，院士
V.A.基里林，院士
G·I·科索罗夫
V.A. Leshkovtsev（副主编）
V·P·利舍夫斯基
A. I. Markushevich，苏联教育科学院院士
M. D. Millyunitkov，院士
N·A·帕特里克耶娃
N.Kh.罗佐夫
A.P.萨文
I.Sh.斯洛博德希
M. L. Smolyansky（副主编）
是啊。 A. Smorodinsky，物理和数学科学博士
V. A. Fabrikant，苏联教育科学院院士
J.E.施奈德（执行秘书）

编辑部主任 L. V. Chernova。
首席艺术家 E. P. 列昂诺夫。
技术编辑 T. M. Makarova。
校对员 L. N. Borovina、V. P. Sorokina

《科学》出版社
物理数学文献主编室。
莫斯科，V - 71，列宁大街，15

交付给 23/1V—1970 Sub。用于印刷 15/VII—1970
纸 70×100 1/16。物理。奥恩湖4. 条件。奥恩湖5.2. T—09868
学术版。湖5.67。流通量169404
价格30戈比。订单 644
契诃夫印刷厂 Glavpo-ligrafproma
苏联部长会议新闻委员会
契诃夫，莫斯科地区

2

列宁的理论
知识
和数学概念

V.G.波尔坦斯基，
N.Kh.罗佐夫

早在中学时，数学与物理等学科相比的独特性就变得显而易见。所有物理定律都具有一定程度的准确性，并且经常被新物理定律所取代，而个人物理定律仅成为第一个近似值。问自己杆的长度是合理的还是非合理的是没有意义的。对于狭义理解的实践，不需要无理数。在数学中，正方形的对角线与边不可通约的定理被认为非常重要。在古希腊发现这一事实被认为是整个数学发展的转折点之一。

V. G. Boltyansky 和 ​​N. Kh 发表的文章。罗佐夫试图从辩证唯物主义哲学的角度来普及数学的独特性。也许你们中经验较少的人会掌握我在《伟大的苏联百科全书》第二版第 26 卷中专门讨论这些问题的文章“Matematika”的部分内容。

六、列宁，正如你从 I.K. 的文章中知道的那样。 Kikon（«Kvant»第4期），对物理学的主要哲学问题进行了详细分析。列宁并没有专门讨论数学中的哲学问题。但他对知识论问题的一般性陈述可以为数学家提供指导。

A·N·柯尔莫哥洛夫

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我们周围现实的意义、自然和社会的客观规律始终是并且仍然是人类活动不可分割的组成部分，是科学发展的目标和任务。知识论是哲学科学的分支之一，它研究复杂而多方面的认知过程，找出这一过程的客观规律以及人类关于物质世界的知识的形成。

创造性地发展辩证唯物主义认识论，V.I.列宁用新的、基本的规定丰富了它，并以非凡的深度、深度和清晰度，提出了与之相关的极其广泛的问题。这使我们能够有充分理由谈论列宁的知识论——哲学科学的分支之一。

我们周围都是物质世界，物质世界的运动和发展遵循不依赖于人而存在的客观规律。物质世界的属性和相互联系直接或间接地被人们感知，其感知反映在人类意识中。生活沉思是人在实践活动过程中与客观现实的直接感官联系，是知识的起点，使我们能够形成对周围现实的看法。

人类积累的经验数据是通过他的抽象逻辑思维来处理和概括的。思维使人能够脱离事实，认识感官无法感知的事物，使人能够洞察物体和现象的存在，识别它们之间的联系，发现物质世界的客观规律，并再现现实。

自然地，问题就出现了：思维所再现的画面是否对应于现实本身，我们的想法是否（以及如何正确）反映了事物的客观状态。只有在实践中，只有通过将预期结果与实际发生的情况进行比较，一个人才能评价自己的知识的正确性和价值。实践是这个或那个想法、假设、理论的标准。

六、列宁对认识过程有一个概括性的定义：“从生动的思考到抽象的思维，再到实践，这就是认识真理、认识客观现实的辩证路径”*）。

在我们周围的世界中，没有任何事物是人类思维无法理解、根本无法理解的。然而，物体和现象的整体意义只能由一般概念、定律等的无限总和来给出。从数学上来说，几乎一直掌握这整个知识总和，即世界的穷举位置，是可能的，只是到了极限。在历史发展的每一个阶段，我们对现实的认识只是相对的，同时也包含着绝对真理的一部分：科学概念或多或少正确、充分地反映了物体和现象的一个方面，其他方面只是近似甚至不正确，第三个方面仍然完全未知。

物质世界的运动、变化、发展以多种形式发生；客观现实的物体和现象具有适当的性质，并具有各种数量特征。

研究各个科学领域
*) V.I.列宁。完整收藏，卷。 29，第 152-153 页。

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物体或现象的某些特定的定性特征，探索物质运动的一种或多种与理论相关的形式。因此，生物化学研究与生物体有关的化学过程，地理学描述地球的图景并研究人类改造地球的规律，历史学的主题是揭示人类社会发展规律的具体表现，等等。

数学的特殊性在于它不考虑物体的具体材料，不分析物质运动的任何具体形式。 F.恩格斯写道：“纯数学以现实世界的空间形式和数量关系为对象……”*。换句话说，数学从一个特殊的角度研究物质世界：其研究的主题是多网络关系本身（在这个术语的一般哲学理解中），这些关系无一例外地固有于现实现实的所有对象中，并且“与定性对象相比，其特征仅在于它们对它们所连接的对象的特定性质采取冷漠的态度……” **）。

学科的这种特殊性决定了数学在其他科学中的广泛适用性。真实事物或现象的定性和定量特性的内在不可分离性为在生物学、地质学、语言等许多最重要问题的研究中使用数学方法提出了客观的建议。从这个意义上说，K.马克思说“……科学只有在设法使用数学时才能达到完美”***）。

*) K. 马克思和 F. 恩格斯，著作，卷。 20，p。 37.
**) A. N. Kolmogorov，数学，TSB，卷。 26，p。 476.
***) 周六。 《马基和恩格斯的回忆》，M.，1956 年，第 17 页。 66.

数学通常被认为是一门抽象的科学，这无疑是正确的。数学研究空间形式和数量关系的特殊性决定了其特殊的抽象性。 F.恩格斯提请注意这一点：“……为了能够以纯粹的形式探索这些形式和关系，有必要从内容上改进它们，而将后者作为无关紧要的东西放在一边……”*）。

换句话说，我们谈论的研究，其结果不是借助显微镜或化学试剂，而是仅依靠抽象的力量。

客观现实的每个物体或现象都具有无限数量的属性、品质，并且与其他物体和现象以及整个物质世界有着千丝万缕的联系。我们的思维无法立即接受所有这些属性和所有多样性的联系。因此，在进行科学研究时，我们被迫只关注所研究对象的一个​​或几个属性，只关注它与其他对象的一些联系。我们不关注所有其他属性和联系，也就是说，我们分心，从它们中抽象出来。

换句话说，所有知识都必然与抽象过程、抽象者相关联。 “思考，从具体上升到抽象，不是从真理中寻找——如果它是正确的……——而是接近真理……所有科学的（正确的、灰色的、不是胡说八道的）抽象更深刻、更准确、更全面地反映自然，”V. I. 列宁指出**）。

没有抽象也有它的弱点，首先可以看到这一点

*) K. 马克思和 F. 恩格斯，著作，卷。 20，p。 37.
**) V.I.列宁。人民。收藏集，卷。 29，p。 152.

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生产更大或更小的尺寸。因此，“房子”确实存在，但“物质点”并不存在。

“线段”的几何概念也是如此。在自然界中，我们观察到的并不是“纯粹形式”的又长又“直”的物体，而是“没有厚度”的物体。因此，这个概念并不是身份抽象化的结果，而是一种理想化的结果。

一般而言，理想化如下。我们心目中的真实对象被抽象模型所取代，抽象模型不仅是对非本质属性的抽象，而且还赋予模型理想化的属性，以夸张的形式反映了对象的本质属性。例如，如果我们研究一个距离我们较远的天体的运动，其距离是其大小的许多倍，我们可以建立一个夸张的模型，认为这个天体是一个质点。同样，“触摸”这个概念以夸张的形式反映了现实中物体相对位置的可能性。

当然，这并不意味着理想化而产生的概念完全脱离客观世界、没有实际意义。这些概念使我们能够特别深入、清晰地追踪物体最本质的属性，在数学的实际应用中具有众所周知的意义。

一种特殊类型的抽象，即理想化，是对局部可行性的抽象。它的特点是分散了我们建设性能力的真正界限，而这种能力受到我们有限的空间和时间的限制。

这种抽象形式使我们能够推理任何大数（例如，关于数字 $10^{10}$），并假设我们似乎有机会达到它，从 1、2、3、4 ……等开始。显然，这种可能性纯粹是潜在的：我们一生都没有足够的机会来实现它。

然而，我们从这项任务的实际不可行性和我们能力的限制中抽象出来，并认为考虑任何数字都是可以的，从而得出“自然数的无限级数”的概念。

由于使用这种类型的抽象，诸如“直线”（在两个方向上无限延伸）、“平面”等概念也随之出现。

现代数学涉及大量的概念，这些概念无法通过动物思考所获得的对数学世界中物体属性的非常强烈、直接的抽象来获得。这些概念是在多阶段分层抽象的过程中形成的。

原始的、初级的数学概念源于客观现实，反映了作用对象的数量关系和空间形式的抽象。但当这些概念出现时，它们似乎过着自己的生活，在人类的头脑中形成了自己的世界，它们本身也引发了进一步的反思和新的抽象概念。这些抽象概念反过来又产生了新的抽象，可以说是更高阶的抽象，等等。

为了理解所说的内容，让我们转向“数字”的概念。数字最初是计数对象的结果（识别抽象），然后被推广为自然数的概念（潜在可行性抽象）。然后引入分数的概念（标识抽象）。

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扣除额*)。下一个抽象是有理数（正数和负数），然后是实数。

抽象的多阶段性质在这里清晰可见。同样，“数”、“向量”、“几何变换”等一些抽象概念（非常印度，指的是现实世界的空间形式和数量关系）产生了“群”的概念，这是一种更高阶的抽象。

然而，人们不应该认为数学抽象的多阶段性质，不同阶抽象的存在，意味着数学与现实世界是分离的。在这方面非常有启发性的是，许多“精炼”的现代数学抽象概念和理论已经找到了重要的应用。因此，“群”的概念和群论的微妙问题在粒子物理学中找到了重要的应用。

数学理论的特定特征给所有数学留下了特定的印记。

例如，物理学家研究气体过程的图像，也就是说，他们研究“假设”气体温度不变的气体特性。物理学的另一个例子是对过冷液体的研究，即研究物质的性质假设它具有熔点，但（由于特殊的实验条件）不会结晶，而是保持液态。在这些条件下发现的定律将是某些假设下的唯一定律。

然而，在物理学中，只有当相应的条件和假设“真正可行”时，定律才有意义。实际上，

*) 将整体、单位分成部分，然后我们识别符号$1/3$、$2/6$、$3/9$、$4/12$等，认为它们代表相同的小数。

如果有人创造了一种关于物质在绝对零以下的温度下的行为的“理论”，那么物理学家很难接受它，或者它使用的假设与我们所知的现实世界的特性相矛盾。

在数学中，情况（至少在外部）有所不同。我们周围的物体具有三个维度，但数学家已经建立了 $n$ 维（甚至无限维）空间的理论。我们知道数字的乘法是可交换的：$ab=ba$，但在数学中，他们还研究其中$ab\neq ba$的数字系统。还可以举出与“常识”相矛盾的理论的其他例子。

但特点是，这些看似“疯狂”的理论在现实研究中却有着重要的应用！例如，只要回顾一下相对理论广泛使用四维空间就足够了。

影响整个数学的假设理论最引人注目的例子是罗巴切夫斯基的几何学。 NI.罗巴切夫斯基用自己的定理（通过给定平面上的给定点可以检验不与给定线相交的自由线集）取代了欧几里得的平行定理，然后根据这个公理（以及与克莱德的εν相一致的其他公理），他建立了一个逻辑的、结构化的、完整的几何学。

N.I.罗巴切夫斯基的发现在很大程度上表明了构建数学的公理化方法的彻底胜利。这种方法的本质是所有定理都是从相对少量的无法证明的公理中纯粹逻辑推导出来的。换句话说，数学理论的发展和建立是基于某些预先确定的公理成立的假设。

数学家在他的创造力过程中

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Chestava 处理抽象概念。每次他的推理都没有转向客观现实，而是转向现实。他“直接”探索的不是它，而是这个“可理解的世界”。为了证明某个特定的定理，不需要描述和系统化事实和现象，不需要建造繁琐且昂贵的装置，也不需要进行珠宝般精确的实验。

数学研究以纯粹推测的方式进行，遵循逻辑定律。数学家在其工作过程中仅代表对定理进行逻辑、严格、详尽的证明并构建一致的理论的目标。

但是，除了思维的纯粹逻辑活动之外，人类的创造力（例如想象力和直觉）在数学（实际上是任何科学）的发展中也发挥着重要作用。强调创造性想象、直觉的重要性以及认知过程中“幻想”的重要性，V.I.列宁写道：“认为只有姿势需要它是徒劳的。这是一种深深的偏见！即使在数学中它也是必要的；如果没有幻想，甚至微分和积分的发现也是不可能的”*）。

数学研究的纯粹思辨、心理路径允许广泛使用幻想和假设结构，创造了一种数学概念和理论独立于客观世界的感觉，缺乏在心灵“自由创造力”过程中出现的高阶抽象的真实内容。

事实上，“形式上”存在以下可能性：数学家提出他发明的任意公理，并使用理性逻辑定律从中推导出来。

*) V.I.列宁。全集引用，卷。 45，p。 125.

个人后果；如果他“幸运”并且结果是一致的理论，那么我们就可以谈论数学发现。换句话说，一个数学家，与任何真实的物体不一致，也不与大陆的任何表述一致，似乎只能在他的想象力的指导下，做出任何假设并在此基础上发展理论，只是为了得到逻辑上一致和“数学上有趣的”东西。

法国最伟大的数学家之一亨利·庞加莱（Henri Poincaré，1854-1912）也提出了类似的想法，他认为数学（甚至一般的科学）的基础是自由的、任意的，可以接受某种协议，是为了探索而发明的，对他来说很方便。他认为数学是自由的“纯粹理性”的产物，不依赖于材料、物体的存在，与人的实践活动无关。至于数学成果实际应用的可能性，这只是部分功能，我们无法解释*)。

V. I. 列宁在赞扬庞加莱的科学价值的同时，尖锐批评了他的哲学概念，称他为“一位非常困惑的哲学家”。应该记住的是，尽管理想主义的一切难以接近和开放，

*) 即使现在有时也能找到类似的观点。例如，一群化名尼古拉·布尔巴基（Nikolai Bourbaki）的外国著名数学家在谈到“实验世界与数学世界”之间的关系时写道：“实验现象与数学结构之间存在着一种联系理论，这一事实似乎已被现代物理学的最新发现以一种完全出乎意料的方式证实，但其全球性原因是我们完全意想不到的（如果这些词有任何意义的话），也许我们永远不会知道它们” （N. Burbak，《数学史论文集》，M.，1963 年，第 258 页）。

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由于这些观点的性质，不可能通过纯粹的逻辑论证来反驳它们。只有始终如一的辩证唯物主义观点，承认实践是正确的标准，才能给出正确的答案。

逻辑是数学的工作工具：根据逻辑规则从前提、公理和定义导出的陈述在数学中被认为是正确的。但这些逻辑推理步骤的“显而易见性”、“清晰性”和“令人信服性”并不是自己产生的；逻辑结构的有效性已在人类实际活动的数百年经验中得到证实。

正是这种经验证实了逻辑思维发展的内在规律与客观现实的发展规律是一致的。恩格斯在这个场合写道：“我们所有的理论思维都受到绝对力量的支配，因为我们的主观思维和客观世界都服从同一规律，因此它们的结果不能相互矛盾，而必须相互协调”*）。

由此可见，形式数学严谨性的要求，即定义的准确性、定理证明的完备性、理论的一致性等，是数学实践标准的具体体现的方面之一。

*) K. Marxy F. Engels，Soch.，卷。 20，p。 581.

然而，数学的严谨性本身并不能完全取代实践的标准，并不能穷举保证数学知识的真实性，即人对客观现实反映的正确性。

对于遵守理论中所接受的实际行动前提的问题也很重要。这个问题已经超出了逻辑的能力，只能在人们的公共自愿（包括科学）活动中得到解决。只有这种活动的经验才能区分建立在不切实际的、荒诞的假设和公理基础上的严格逻辑“理论”，与使我们更接近客观真理知识的真正科学理论。

科学和历史实践表明，初级数学和描述它们的公理取自生活，是真实物体客观属性的反映。由于理解的逻辑反映了事物的客观逻辑，即数学世界中对象的客观联系，新的概念和理论在技术上与现实世界联系起来，因此自然而然地，而不是偶然地，在人们的科学和实践活动中找到越来越多的新应用。

当前知识“数学化”的快速进程，更受到计算机技术发展的刺激，充分证实了数学方法的力量及其与生活的组织联系。

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肖像
地球

肖像、模型、地图
方案、图纸、平面图、fomo-
图形、肖像、执行
由艺术家和马匹制作
建设者-这一切都是时尚-
他们所描绘的主题是否是
mov（“oricenals”）。有一个模型
一种图像替代品
他想要的主题。每一种时尚
l，通过以下信息削弱我们
被描绘成他的“出身”
le”，同时，多张图是“起源——
la" 不会复制、省略它们，或者，如
他们说，他把自己从他们中抽象出来。是的，这是可以理解的：
“完整”模型，是“原始”模型的精确复制品
zienala”，从轻盈的角度来看不会有
与此相比，学习没有任何优势。
为了简化认知过程，就必须牺牲认知的完整性。一般来说，平面图像是
物体的陌生性扭曲了原来的形式。到号码
最重要的物体包括地球仪、插图方式
创作“肖像”，即简单的地理绘图
物理地图，本文专门讨论。方式
这些（取决于卡的用途）由于
很重。但由于其多样性
所有这些都以一种或另一种方式包括 varbi-
有两个主要的“动机”：设计-
旋转并在平面上展开。

V.N.贝雷津，
M·L·斯莫良斯基

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“地球半身像”——地球仪

在继续讨论在地图上描绘地球表面的各种方法（或者称为制图投影）之前，让我们先谈谈地球的“雕塑肖像”，这可以被认为是获得其他“肖像”的中间阶段 - 换句话说，关于众所周知的地球。

古希腊科学家主要基于水手和旅行者的观察，清楚地了解了我们的星球的形状接近球体的事实。当然，这些观察本身只能让我们断言希腊人所知道的地球部分，即紧邻地中海、黑海和大西洋东部的欧洲、亚洲和非洲部分，是一个凸起。毫不奇怪，考虑到希腊人高度发达的抽象思维文化，这些相当间接的数据使当时的科学家能够提出关于地球封闭表面的大胆假设。月食期间地球体在月球表面的形状（认识到这是地球的影子本身就是一项难以高估的成就），然后是推测性的论证，

以一种或另一种形式蕴涵对称性的观念，导致人们相信地球是一个球体。

希腊人如何想象地球的“面貌”可以从流传至今的最古老的地理地图（后来的拉丁文版本）来判断，该地图由著名的希腊科学家克劳迪斯·托勒密（大约公元前 150 年）编制。托勒密使用喜帕恰斯在他之前引入的坐标网格，试图将地球的球面扩展到一个平面（图1）。子午线用二维虚线表示，纬度圈用圆弧表示，其上半部分大致对应于极圈，下半部分对应于赤道，而将截头温带圆锥体与圆柱赤道圆锥体（纬度0°）分开的那一圈对应于北回归线。沿子午线保持恒定的比例（纬线的同心弧以相等的间隔每隔 10° 彼此分开）。了解赤道以南的纬线必须再次收缩，因此扫描的下半部分必须通过切口与他描绘的上半部分分开。托勒密并不想描绘南半球。他必须从南部继续非洲，从东部继续亚洲，假设印度洋以南的未知土地（Terra incognita）变成了“星空之地”（澳大利亚土地；这个名字后来被用来指代在同一地区发现的第五块大陆）。正如现代制图师所说，托勒密地图是通过“任意投影”制作的。更引人注目的是它上面绘制的许多城市和港口的坐标（尤其是纬度）的准确性。

托勒密还给出了另一种投影，从他的角度来看更美观、更正确，但实际构造起来不太方便。

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图 2.

让我们把发言权交给波勒麦本人*)：“……人们只能以直线的形式想象出中间子午线，与视轴重合的平面。位于中间子午线两侧的子午线似乎以其凹面面对着它，当它们远离它时又返回(图2)。

最后一张图传达了这一点，同时保持了曲线的正确对齐。此外，每条平行线的相互比例尽可能准确地传达了一条平行线与​​另一条平行线的真实关系……

由于这一切，第二种方法也许比第一种方法有优势，但在绘图执行的容易性方面不如第一种方法。在那里，可以仅绘制一条纬线，将其分成几部分，并通过应用和移动标尺在地图上绘制任何点。在这里，这种便利性不可用，因为线性子午线通过弯曲接近平均子午线，此外，需要绘制所有圆，并且必须通过计算从地图上绘制的点确定落在网格间隙上的点相对于正方形周围边的位置。位置_

*) 《古代地理》，教授编着。 M.S.博德纳尔斯基，地理学，1953。

图 3.

因此，尽管我个人在这件事和本节中更喜欢更好和更困难的事情，而不是更糟糕和更容易的事情，但仍然有必要坚持这两种既定方法，并记住那些被差异所吸引而不是更容易的人……”

第一个已知地球仪的制造显然可以追溯到大约同一时间（公元前 2 世纪中叶）。这个由哲学家马洛斯的克拉特制作的地球仪没有幸存下来，人们从后来的描述中得知，其示意性性质使得在评估其准确性时有必要做出不可避免的考虑。这个时代的知识与欧库曼（Oecumene）大陆（“有人居住”）地球上的形象完全一致，该大陆由欧亚大陆和非洲组成（克拉特斯这样做当然是有原因的，因为苏萨渡口被运河切断了，事实上，是在稍后的一段时间）。通常的海岸线轮廓（特别是外围地区）的比例明显被打乱，但地中海、黑海、红海、白海、波斯湾、阿拉伯半岛和南欧半岛等特征地图元素的相对位置总体上正确传达。

克拉特斯的地球仪（与更详细的 Pto 地图相反）

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图 4.

Lemeya）在很大程度上主要起到了示范作用。它上面出现的一些奇妙的细节，例如相对于赤道与普世星对称的大陆，据说居住着“Anteks”，以及相反半球的北部和南部的大陆（“Perizki”和“Antipodes”的栖息地）可以用无意识的“对称”欲望来解释，顺便说一下，这是现代科学的一个非常特征。 (图3)

纽伦堡居民马丁·比海姆 (Martin Biheim) 制作的地球仪至今仍留存至今（请参阅文章的简介），该地球仪是在很久以后的 1492 年制作的，为了纪念哥伦布发现美洲，该地球仪开始被视为中世纪与现代之间的传统边界。在比海姆的聚合仪地球仪上，尤其是在该地球仪的帮助下制作的地图（参见图4）上，可以清楚地看到当时的地理学家超过了亚洲的大小，因此从西班牙到其东海岸（中国和印度）的路线估计几乎是现实的一半。

当然，错误就是错误，但客观上，这些想法无疑促进了哥伦布的乐观情绪，激励他制定了到达东部农田的大胆计划。

亚洲的统治者总是把他们的轻快帆船移向西方。

从“模特”到“肖像”
但既然地球仪正在做一波好事，那么当您需要地图时，是什么阻止您在所有情况下使用它们呢？或者它们是否也没有摆脱扭曲——例如，它们是否没有考虑到地球在条纹或其山区附近是否是平坦的？不，这在这里并不是很重要：地球的极地和赤道半径之间的差异不超过其中任何一个的0.3％，而最高峰珠穆朗玛峰的高度约为地球半径的0.1％（并且大致相同的量级 - 比海底的凹陷更大），因此在制造尺寸精度的限制内，这些因素通常实际上是不可见的；使用所谓的“水平线”在地图或地球仪上描绘浮雕要方便得多，为了清晰起见，用不同的颜色对它们之间的设计进行着色。问题的本质非常简单：地球仪不如地图方便 - 护照不会因所有者的半身像和浅浮雕而被削弱！

但是，有了一个地球仪，你就可以考虑“扩展”它——至少大约是这样。为了拍摄地球的肖像，我们需要一个它的微型模型。

了解了地球如何“展开”成地图后，顺便说一下，我们将了解一个同样有趣的反问题：如何使用通过航空摄影获得的地球表面碎片的平面图像来重建原始地球的真实面貌。

现在让我们回顾一下表面开发是如何进行的。例如，在多边形中，您可以切割几乎所有边，只在每个面上留下一条未切割的边，这样表面就不会变成碎片。圆柱体和圆锥体更容易部署。您将收到圆柱体的模型（更准确地说，圆柱面），

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图 5.

斯莱德是一张直纸的两个相对面，圆锥模型只是一个纸函数。根据图像切割任何这些模型并将所得的纸放在桌子上就足够了 - 开发已准备就绪！原始表面上绘制的线的长度也保留在开发中（除了该线 - 如果它与切割所沿的母线相交 - 将展开为两部分）。

但我们的地球是一个球。正如莱昂哈德·欧拉 (Leonhard Euler) 在 1777 年证明的那样，球面的任何部分（无论角度多么小！）都不能在保持所有距离的情况下转变成平面。欧拉证明背后的想法非常简单。无论我们占据地球球面的哪一小部分，我们都可以在其内部隔离出一个圆形“帽子”。由于球体的每个点完全相等（每个直径都是对称轴），我们可以认为这个“帽子”的中心是一条带，而边界是一条平行线（纬度圆）。当然，帽的点之间的距离必须沿着帽的表面改变。在某种程度上，从架子到帽子边界上任意点的距离将等于相应经线弧的长度$r$ (图 5)。这意味着，在不扭曲尺寸的展开中，该平行线应在平面上由半径为 $r$ 的圆描绘，因此长度为 $2\pi r$。但很容易证明（自己做！）事实上我们的圆的长度小于 $2\pi r$。由此产生的矛盾证明，即使是球体中部的最小盖（通常是球面的下部），也不可能精确地展开到平面上。

“微型卡”——计划

从欧拉定理的证明（以及简单地从“常识”的信息）可以清楚地看出，当我们谈论地球表面的非常小的区域时，用扁平的圆代替如此小的“帽子”会扭曲传输到地图上的尺寸，圆的直径越小，尺寸就越小。最终这取决于我们真正需要什么样的图像精度。估计误差幅度非常简单（参见第 25 页的问题），并且允许您在每种具体情况下以合理的方式回答这个问题。

让我们面对现实吧，规划城市发展的建筑师对地球的形状根本不感兴趣——一些峡谷当然让他担心，这远比这些“普遍”问题更重要！对特定矿床进行勘探的人很少关心地球的圆度和地质；他们只关心地球的圆度和地质情况。各种当地的斜坡和其他“不正确”的决定对他来说更为重要，这可能会影响越来越多的钻井地点的选择。简而言之，在绘制小区域地图时，我们可以放心地像古埃及人一样，五千年前，他们绘制了地球表面部分地图（通常称为“微型地图”），完全忽略了整个地球的凸度。该计划的唯一要求是

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图 6.

对于地球所描绘区域表面上的任意点$A, B, C$和$D$及其在平面图上的图像 - 点$A', B', C'$和$D'$，具有足够的精度，将满足上面的等式$\frac{A'B'}{AB} = \frac{C'D'}{CD}$。

比率$\frac{A'B'}{AB}$的大小自然称为区域$AB$的图像比例；因此，我们的条件表达了尺度不变的原理。当然，根据欧拉定理，地球表面的一部分不能以严格恒定的比例来描绘。因此，在每种具体情况下，都会建立允许误差的可接受值，并且如果误差不超过既定标准，则该计划被认为是“正确的”。

非常简单且直观的几何距离（参见图 6）使我们相信所有经线（恒定经度的线）彼此相等，并且所有平行线（恒定纬度的线）从赤道到极点从$2\pi R_{земли}$减小到零（“第90条纬线”退化为一个点 - 极点）。由此可见，地球上相邻经线之间的经线段是相等的，并且相邻经线之间的平行线段从赤道到两极的方向递减。

还可以轻松检查平行线和子午线在其交点处的所有角度（即这些曲线在这些点处的切线之间的角度）是否正确。

更多历史

这些著名的地理事件（十五世纪）的制图学如果发展起来，是相当自发的。幸存的中世纪地图甚至常常代表着与上述托勒密地图相比的重大倒退。一个例子是所谓的赫里福德地图（1280），这是一幅相当奇妙的圆形平坦地球图像，不需要特殊注释，仅具有历史意义（图7）。

然而，对于海员来说，当时已经编制了特殊的航海图（图8） - 所谓的portulans（或portolans），配备了坐标网格（除了纯粹的经验技术之外，他们是否使用它以及他们使用了什么，编译了portulans - 很难准确地说）和所谓的“风玫瑰” - 与cartushka（圆形）的划分相对应的“恒向线”的方向磁罗盘的刻度），与

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自 12 世纪以来欧洲发生了变化 (图 9)。他们可以使用所谓的导航标尺（顺便说一下，至今仍然存在）直接通过船舶的位置点，平行于相应的伦巴线（图10），在地图上绘制船舶的航线，而无需任何额外的计算。

当然，水手们有兴趣确保航线方向（偏离子午线一定度数）在地图上的任何点都相同。为此，有必要（当然，这还不够）将子午线和纬线直接绘制在地图上。杰拉德·墨卡托（Gerard Mercator）的名字常常与科学制图学的开端联系在一起，他是第一个满足这一要求并具有良好图像精度的人。 1569 年以 18 张单页形式出版的墨卡托世界地图至今仍具有重要意义。 （第 18 页上的图 显示了该地图的片段。）

地理知识的快速进步，尤其是制图学的快速进步是 16 至 17 世纪的特征：数学时钟的发明（X. Huygens，1675），

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图 12.

然后，天文钟使精确确定一个点的地理经度成为可能（纬度是由古希腊人明确定义的），出现了各种投影系统，适应不同的需求并基于不同的原理。一张地图可以追溯到那个时代（图11），以两个“半球”的形式描绘了整个地球表面（de Wit，1700）。下面我们就来认识一下几种比较简单的制图流程。当然，这些只是卡托夫的个人财富——与欧拉、高斯、切比雪夫、兰伯特等词相关的科学。

方形投影

让我们想象一个由规则球形球体制成的地球仪，其外壳由织物制成，该织物可以在一个方向上轻松拉伸，但在垂直于该方向的方向上完全不可拉伸。例如，我们可以假设水平螺纹是橡胶，垂直螺纹是钢，橡胶螺纹闭合并沿平行方向拉动球体，垂直于它们的细柔性钢棒沿着聚合物紧密贴合球体，彼此相邻，末端呈条纹。由于经线的末端彼此不相连，因此您可以将橡胶平行线拉伸到靠近条带的位置，然后将细硬的编织针插入孔中。不过，不一定要瘦。谁在阻止我们进一步拓展相似之处？让我们这样做，然后推入孔中，拉伸到赤道的大小，即“粗辐条”，它是一个与我们的球形地球仪半径相同的直圆柱体（图12）。

这样我们就“克服”了欧拉定理：最终，沿着正面半子午线切割得到的圆柱体（可以想象，橡胶平行线在切割前经过了特殊的热处理，使它们在切割前经过了特殊的热处理，剥夺了它们进一步压缩和拉伸的能力，从而使它们在这次操作后不会再次收紧），完美地展开到一个平面上！当然，这只不过是一个笑话——“克服”的奇迹并没有发生：毕竟，所有平行线（赤道除外）都被拉伸了，接下来的大陆和岛屿也被横向拉伸了。当然，这种拉伸在副极地地区尤其明显。

我们收到了一张直线树形式的地球图像，其底部（等于赤道），

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图 14.

当你接近极点时，地球上的菱形轨迹看起来像这样，它的“不断增长”的无限可能不再让你感到惊讶。

又是一次伸展。墨卡托投影

现在让我们想象一下自己扮演墨卡托的角色，不满地看着方形投影中斯堪的纳维亚半岛和加拿大的尴尬扁平轮廓（南极洲，上帝知道，他们还不知道 - 我希望他能欣赏谁的形象！）。但地图不美观的问题最终可能会被克服。沿平行线拉伸距离不会产生误导，因为我们已经知道获得真实距离的规则。可怕的不是扭曲的镜子，而是对其正确性的信心。

另一件更糟糕的事情是：方形投影的地图对于水手来说很不方便，他们对测量距离的准确性不太感兴趣，而是对在地图上轻松“绘制”恒定航线的能力感兴趣，换句话说，对等角航线的直线度感兴趣。 （让我们记住，即使在古老的“马齿苋”中，尽管他们有各种手工艺，但这一要求在实际用途中也得到了足够的准确性满足。）因此，图 14 上令人不安的不是地图的“连续性”，而是韵律的出现。

可以矫正吗？怎么结果就歪了？因为地图在纬度上拉伸了 $\frac{1}{\cos \varphi}$ 倍？——太棒了！谁能给我们放置一个方形坐标网格的拉伸经线，同样$\frac{1}{\cos \varphi}$次！？原来的坐标网格的正方形现在已经伸展成矩形，并且地图沿经线不再具有恒定的比例（参见图15，其上的所有圆圈都描绘了相等的截面；蓝线描绘了菱形）。但在墨卡托地图上，地球上相交的两条线之间的角度保持不变。 （尝试证明这一点！）地球表面的相当小部分“几乎”保留了相似性（例如，半径为 500 公里的圆在墨卡托地图上被描绘为封闭的椭圆形，在视觉上与圆形没有区别）。当然，斜向飞行也很简单。

当接近条纹时，墨卡托投影中垂直比例的拉伸无限增加，因此，该投影中的完整地球地图将是

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图 15.

开发一个具有无限高度的圆柱体，并且需要无限张纸来显示其图像。因此，这些地图上没有描绘极地地区（当然，地图的上下边界纯粹是根据方便消息随意确定的；例如，图15从上方受到第85纬度和第30纬度的限制）。

还有两条评论。首先，我们对墨卡托思路的重建可能与他的推理的实际过程完全不相符；在我们看来，这是谈论它的最简单的方式。此外，应该指出的是，关于地图沿经线拉伸 $\frac{1}{\cos \varphi}$ 倍的结论，我们“在我们的手指上”获得，为了严格（尽管并不复杂）的论证，需要数学分析要素的知识，包括自然对数以及微分和积分的基础 *)。顺便说一句，墨卡托本人实际上并没有这样做——仅三十年后，理查德就获得了“拉直菱形”问题的严格解决方案

*) 例如，此信息可以在 P. Courantan G. Robbins 所著的《什么是数学？》一书中找到。 (M., 1967) 或 N. Ya。 Vilenkina S. I. Shvartsburg 和“数学分析”（M.，1969）。

来自剑桥的赖特（其编辑出版了我们所说的“墨卡托投影”的现代版本）。

兰伯特圆柱投影

让我们考虑另一个带有矩形网格的投影；事实证明非常简单。让我们描述一个围绕地球的正圆柱体（沿着赤道并以条纹接触它）并将地球表面（没有条纹！）投影到其侧面，以便该表面的每个点的投影射线都是垂直于地球轴（图16）穿过它的通道。

使用学校立体测量学的常用公式，很容易证明（尝试一下！）地球表面任何截面的面积及其在圆柱体侧面上的投影都是相等的，因此该圆柱体的展开（沿任何子午线切割）被称为等体积圆柱投影（或兰伯特投影）。正确传达区域时，兰伯特投影会极大地扭曲投影表面的小部分的形状（将 图 17 上的椭圆与 图 15 上相应的圆形进行比较）：此处，极地区域被固化

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图 17.
比方形投影更强，从中可以通过沿垂直轴压缩来获得朗伯投影。完美的经络和平行线图像的直线度是显而易见的。

直行属

到目前为止，我们几乎理所当然地认为，在地图上绘制航线的简单性对水手来说很重要，但他们对船只必须行驶的距离不太感兴趣。嗯，在帆船时代，抱歉，事情就是这样。但如今，当航行距离很长时，根本无法持续数月甚至数年，更不用说长途（包括跨大陆和国际）航空飞行，轨迹的最小化问题变得至关重要。

可以证明（我们在这里不会尝试这样做），在球的表面上，连接球的任意两个点的最短线（或者，正如数学中通常所说的，测地线）是穿过这些点的每个大圆中的较小者。 （对于球面上直径相对的点，穿过它们的大圆的两条弧相等，并且

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lokompnya 和 orthodrome 之间可能存在差异。当然，对于长途飞行，在温带地区旅行时差异可能会更大；例如，从莫斯科到纽约沿跑道机场的路径为 8500 公里，沿跑道机场的路径为 7500 公里。

心射投影

将正交点描绘为直线的投影是通过从地球球心进行中心投影获得的：在这种情况下，指向正交点（正如我们所看到的，是一个大圆）的点的所有光线都位于同一平面中，与任何投影平面以直线相交。如果投影平面接触在极点投影到其上的地球，则经线和纬线的网格在这种所谓的心投影 (图 19) 中看起来最简单。 （晷针是日晷的杆；如果我们把它插入到投影平面上，并将地球的半径视为晷针，那么投射光线的投影在我们看来确实就是这支晷针的影子。）

很容易证明（自己做），在这种类型的心轴投影中，经线被描绘为直线，平行线被描绘为同心圆。在 图 19 上（由于显而易见的原因，屏幕上没有图像：它“进入无限远”），日针投影中极点附近的螺旋形轨迹非常清晰。

适用于长途海运和空运

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日射投影非常方便。当然，这样的地图无法描绘出整个地球表面，因此必须选择不同的投影平面，投影平面的位置决定了其上描绘的坐标网格的形状。图 20,a 和 20,b 描绘了日针投影，其图像平面接触地球而不是在极点。

任务。通过将给定截面（形状像半径为 100 公里的“帽子”）投影到与中心（$R_{\text{земли}} \approx 6000$ km）与“帽子”相切的平面上来描绘地形平面图。求图像的准确性，即找出在“帽”的任意点绘制的经线和平行线的小段扭曲的百分比：

a) 心轴投影（从地球中心的中心投影）；
b) 正交投影（垂直于给定切面的方向的平行投影）。参见图21，a，b。

而不是下结论
这就是在地图上描绘地球表面的基本原理和具体方法的全部内容。对于任何想更深入、更详细、更系统地了解“地球肖像”科学——制图学的人，我们建议，首先仔细阅读一些大型地图集，特别注意其中使用的投影的差异，并尝试独立地理解（也许可以借助地图集中通常给出的相当简短的注释）这种差异的原因。确实，这样做时，你可能不会因为答案而变得丰富，而是因为新问题而变得丰富。但这样就更好了！

您会在最新版《苏联大百科全书》的“制图投影”一文中找到对该主题的系统（但非常丰富，因此比在这个国家困难得多）的报道。在“地理地图”一文中，历史资料非常丰富，您可以找到更多文献参考资料。

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金属不透明、有光泽且相对坚硬。金属很坚固，但可以通过锻造和轧制来改变其形状。它们也可以浮动和焊接。金属具有良好的电子传导性和导热性。这一切都归功于金属连接。这种联系的本质是，在金属中，每个原子都被大量相同原子的点包围，每个原子的外层电子壳层中只有几个电子，并且电子壳层重叠得太多，以至于弱保持的外层电子不再能够归因于任何一个原子。当原子（或者更确切地说是离子）保持在原位时，“电子气”在离子之间自由移动，将它们像胶水一样彼此粘合。

由于电子是自由的并且可以在电场中混合，因此金属是导体。由于自由电子吸收并重新发射大部分照射到它们的光，因此金属是不透明且有光泽的。由于自由电子可以传递热能，金属具有很高的导热率。

本文不讨论金属的热学、电学或光学性质。我主要讲一下它们的机械性能。

对于不同的金属，金属键的性质是相同的。它促进原子密集堆积的形成，这是

在借助不同显微镜获得的图像（参见屏幕保护程序）中，星座边界的厚度仅为几个原子。照片显示了放大约 500 万倍的钨针尖端。每个亮点对应一个钨原子。点的位置取决于游戏表面与晶面的相交方式。从图像的左下角到右上角，可以看到晶界处结构的破坏。

这种结构在抵抗滚动的同时，对金属块的阻力较小，这就是金属呈板状的原因。密集包装还需要金属具有高比重。因此，金属的机械性能由最适合自由电子进行金属键合的晶体结构决定。

早在 1665 年，罗伯特·胡克就使用成排放置的块对晶体的特征形状进行了建模，但仅仅 250 年后，人们发现他已经建立了已知金属晶体结构的精确模型，其中每个原子对应于热能；金属具有高导热性。

尽管几个世纪以来人们就知道某些物质具有晶体结构，但直到最近，普通金属是晶体的事实仍然存在疑问。熔体在特定温度下凝固以及断口表面出现闪亮晶粒等特性都说明了晶体结构，但其他事实似乎表明了非晶态：凝固后的熔融金属呈容器形状，固体金属呈板状，并且可以通过锻造改变其形状，金属的抛光表面看起来完全均匀。

阐明金属结构的关键是在 1864 年发现的，当时英国人 Henry Sorby 开发了一种使用反射光而不是透射光在显微镜下研究金属的方法。此外，他的成功还归功于除了抛光表面之外，他还检查了用弱化学物质处理过的金属表面。

*) 关于原子的密集堆积，参见 G. I. Kosurov 的文章“Crystals from balls”，«Kvant» No. 1。

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麦克风试剂。一些试剂沿晶粒边界蚀刻深槽，另一些试剂作用于晶粒本身，揭示晶粒的微观结构。

这是一个检测不规则边界网络的机会，该边界网络将金属分裂成小多面体 - 尺寸约为 0.25 毫米的晶粒 (图 1)。

在相同的光照下，一些颗粒显得更亮，另一些则显得更暗。光影的分布随照明角度的变化而变化，表明每个颗粒的蚀刻表面都是由小而平坦的反射台阶组成，这些台阶不均​​匀地向金属表面倾斜。很明显，每个晶粒尽管形状不规则，但都是一个单独的晶体，整块金属由许多这样的小晶体组成，它们沿不同方向取向并具有共同的边界。

索比发明的金相方法在确定晶粒的形状和尺寸方面非常富有成效，这对于研究金属的技术性能、检测杂质及其沿晶界的积累以及研究合金非常重要。然而，光学金相学无法给出

图 1.

泽仁铝在光照下的显微照片。蚀刻样品。如右图所示，一些颗粒经过定向，因此显得明亮，而另一些颗粒则显得较暗。放大60倍。

有关晶界结构的信息。渐渐地，研究人员得出这样的想法：当金属冷却到其熔点以下时，相邻的晶粒会捕获尽可能多的原子，将晶粒之间的边界缩小到只有几个原子厚的层，在该层中，晶体取向从一个晶粒到下一个晶粒急剧变化。

最近，美国人欧文·穆勒发明的inon显微镜的使用证实了这一观点。在该装置中，金属针的尖端在真空中保持在高正电势，因此电场线从针开始并在荧光屏处结束。允许少量氦气进入腔室。当氦原子与针状原子碰撞时，它会变成带正电并沿着排水管飞向屏幕。当从屏幕上移开时，就会形成可见的图像。尺寸比例使得针尖处的一个原子的面积大约相当于屏幕上的一平方毫米；正是在这个意义上，我们“看到”了针的原子结构（见文章开头的照片）。

1900 年，詹姆斯·尤因 (James Ewing) 和沃尔特·罗森海因 (Walter Rosenhein) 发现

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如果样品发生变形，例如将其面朝不同方向移动，则其表面会布满线条。它们通常在每个晶粒内彼此严格平行，并且在不同晶粒中它们的方向不同（图2）。仔细观察发现，这些线条是晶体薄层相互滑动时形成的台阶痕迹。进一步的研究（特别是对于大型理想金属晶体）表明，这种滑动沿着某些平面和某些晶体方向发生。因此，金属的临时塑性变形与流动的液体和气体非常不同。塑性变形是晶体结构的特有特征。它的发生方式是这样的：滑移面一侧的原子与平面另一侧的先前邻居分离并移动，携带着晶体的某一部分，最终占据一个位置，在该位置中它们与新的邻居一起形成柱状规则结构，就像以前一样。在这种情况下，晶体的原始特性和内部结构都得到了恢复。

如果塑料剪切是痕迹

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将一个致密、紧密堆积的扁平结构缝合在另一个之上。平面内每三个相邻的球形成一个孔，可以放置顶层的球。

有两种方法可以选择此类孔。如果第一层球的位置用字母 A 表示，后续两层分别用字母 B 和 C 表示，则如果将层放置在序列 ABCABC 中，则获得面心立方晶格，并且采用 ABABAB 放置六方密堆积。

在金属晶体中，滑动沿着原子最密集的方向发生，因为在这种情况下层相对于彼此移动的阻力较小。此外，正如我们稍后将看到的，沿着密排行移动的原子更经常占据源位置。因为它们更加对称，所以立方结构包含许多这样的方向，其中原子行紧密堆积，原子平面可以在多个方向上相互滑动。这极大地影响了平整度。单个晶体可以采取这样的形状，即相邻晶粒彼此紧密贴合，而不留下间隙或裂缝，因此，整个晶体也可以采取任何形状而不会破裂。具有六方结构的晶体更脆弱并且不太适合机械加工。

正如我们所见，晶体的塑性特性通常由发生熔合的密排方向和平面的起源决定。为什么会形成这样的晶体结构？要回答这个问题，我们必须转向金属的电子结构。

1900年，德国物理学家帕维尔·德鲁德提出，金属中含有自由电子，在电场的影响下可以在金属的整个体积内移动，这就是金属具有高导电性的原因。该理论随后通过量子力学的应用得到了改进，但基础仍然相同：移动电子的气体，如液体胶水，由于该气体的电吸引力而将金属的正离子保持在一起。电子气体离子相互弯曲，试图形成致密的质量，其结构和体积主要由密排球的几何形状决定。如果球是相同的，就像纯金属一样，那么就会出现简单的晶体结构，

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我们之前讨论过。在某些合金中，由于球的尺寸不同，可以形成不同的结构，甚至更致密的结构。

由于电子气的行为就像粘合非离子的胶水，因此金属的化合价不会影响其晶体结构，就像非金属的情况一样。金属晶体可以通过自由电子气体紧密地互连，以至于它们之间的边界几乎看不见。沿着晶界破坏冷金属是非常困难的，除非晶界被杂质削弱。金属结合的这种“混杂性”导致两块金属只需按压干净的表面即可相互连接。金属键合使得能够以非常不同的组合和比例获得各种金属的合金。

自由电子的存在如何影响金属的强度和延展性？我们已经考虑过一种效应：金属（以及某些合金，其中原子的大小彼此相差不大）中形成简单的晶体结构，这些结构具有密集填充的平面和线条，沿着这些平面和线条发生滑动。金属的可塑性也可以用以下事实来解释：原子之间并不直接相连，而是由于自由电子气体而相互吸引。因此，很容易发生一层相对于另一层的滑动。

如果层的滑动发生在完全没有阻力的情况下，那么材料根本就不具有任何刚性。然而，实体具有明确的刚度，其衡量标准是剪切模式，它决定了非常小的变形所需的加固。

考虑两个融合平面 (图 4)。在一个筏 (a) 中，每个方向上的原子排列得更密集，因此，垂直方向上平面之间的距离比筏 b 中的更小。很明显，相同的变形在筏 a 中比在筏 b 中需要更少的力。为了清楚起见，我们可以说“爬升”需要更少的 xmlns（实际上，这意味着使电子壳变形所需的力更小）。换句话说，沿着密集的平面，剪切模式较小。

金属的强度还可以通过引起其流动的变形量来表征 -

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图 5.
具有规则晶格的晶体可以被视为平行原子平面的集合 (a)。如果一个或多个平面在晶体内部旋转，则“额外”平面的边缘会在晶体中形成刃位错 (b)。另一种最简单的缺陷类型是螺旋位错。这里，没有一个原子平面是原子的滑动。在滑动平面的情况下，当上层原子接近不稳定平衡位置时，即当倾向于使原子返回的电力与将其向前推到下一个“孔”的电力之间的差异最大时，塑性变形开始。很明显，在 a 的情况下，该变形较小。由于这两个原因：较小的剪切阻力和达到屈服点所需的变形较小，因此更有可能沿着紧密堆积的平面滑动。这些报告解释了为什么具有立方结构的金属（例如铜和铝）特别具有延展性，但强度问题仍然悬而未决。基于这些报告的计算表明，金属在发生屈服之前必须弹性变形 3-10%。然而，纯金属的变形量已经达到 0.01%。

一千倍的差异具有科学和技术意义。当这种差异第一次被发现时，整个理论最初似乎是错误的。但这并不完全正确，或者以细“晶须”形式生长的金属晶体的强度接近计算值。骨头不会在晶体内部滚动，但线性位错附近的平面本身不再平行，而是彼此闭合，因此所有晶体似乎都由单个内部弯曲原子平面 (b) 组成。当绕过线位错时，该平面上升（或下降）一个等于面间距的节距。

大晶体强度较低的原因是晶体中出现位错——违反规则结构，这使得原子平面比理想晶体更容易相对于彼此滑动。

假设我们需要编织一块更大、更重的地毯。如果你试图将整块地毯拉到一起，阻力就会太大。但您可以在地毯上折叠并移动它。这个动作不需要太多的能量，结果，地毯的重量被拉到了一起。

在这种情况下地毯的运动与错位引起的塑性剪切非常相似。然而，晶体不会完全地而是部分地滑过另一个晶体。在这样的滑动过程中，必然会出现一条边界线（位错），将已经熔合的部分与尚未熔合的部分分开。

“边缘”位错和“螺旋”位错之间存在区别 (图 5)。在第一种情况下，线位错垂直于滑动方向，在第二种情况下，线位错平行。大多数位错是这两种类型的组合，并且形状像弹簧。

晶体中的位错几乎是不可避免的，如果只是因为晶体生长过程的不均匀性和晶粒的存在，晶粒的边界

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图 6.
位错沿着晶体移动。该图或将在密堆积晶体中构造塑料斯维尔的过程。在扭转力（箭头）的作用下，原子平面（黑球）混合（2）并结合（虚线）。

额外的平面（黑球）继续移动，连接断开然后恢复（黑线）。当位错（断裂键的区域）穿过整个晶体时，它就会变形（6）。

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图 7.

点缺陷，如位错，会破坏晶体的结构。精确缺陷分为三种类型（从左到右）：空位（缺少原子）、取代（包含异物原子）。

结果实际上是位错的集合。施加到晶体的剪切力导致位错沿着滑移面移动。如果晶体中只有一个位错，则在剪切过程中它会离开晶体 (图 6)。实际上，晶体通常包含相互连接的复杂位错网络，这还不包括其他结构扰动和杂质的存在。由于位错的末端要么固定在其他位错上，要么固定在杂质上，因此当剪切时，晶体不会摆脱其结构中的干扰。事实上，位错的数量随着剪切而增加。

由于样品拉伸、滚动或扭转过程中产生的“剪切力”，位错沿着滑移面移动。移动脱位所需的力量是多少？该问题包含两个问题：1）关于理想晶体中位错运动的自然阻力；2）在真实晶体中发现的干扰（杂质和其他障碍物）的影响。

让我们考虑理想晶格中位错运动的阻力。位于位错正前方的原子排斥它，因为它倾向于成为间隙原子（额外的原子）。这些缺陷中的每一个都以自己的方式破坏晶格（红线）。细微缺陷常常与位错相互作用。

将它们从稳定平衡位置移开。位于位错后面的原子将其向前推动，因为它们努力占据新的稳定位置。位错受到大小相等且方向相反的力的作用，因此其穿过晶体的运动阻力为零！如果位错面积足够大，就会出现晶态的这种奇怪特性。在这种情况下，位错两侧都有如此多的原子，但它们的作用完全相互平衡。否则，必须施加力来移动位错。在位错厚度不超过原子尺寸的限度内，这个力几乎等于材料的可读性。

窄位错可能出现在金刚石等晶体中，因此即使存在位错，此类材料也可以通过刻度尺读取。宽位错解释了铜、金和铝等金属的柔软性。这些金属的实际问题不是使它们变软，而是使它们变硬。冶金学家通过在位错运动路径中放置各种障碍来实现这一点（图9）。

杂质原子的引入导致局部扰动

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图 8.
镉晶体中的单位错。 simok是使用电子显微镜和特殊的摄影方法获得的。

晶体结构。这些扰动抵抗位错的运动。当杂质原子聚集时，其效果会增强。这可以通过热处理来实现。由于位错集中在晶界处，因此可以通过减小晶粒尺寸来简化金属。

如果有很多位错，那么当它们沿着滑移面移动时，它们就会相互干扰——任何在交通繁忙的街道交叉口不得不停下来的人都可以很容易地想象到这种效应。

我们看最后一个问题。当金属试图快速切割时会发生什么？显然，金属中含有各种脆性物质的杂质，如果这种物质的频率被揭示出来，那么裂纹就会迅速延伸到夹杂物之外。经验表明，具有面心晶格的金属（例如铜）具有更好的抗裂性。它不会扩散到整个玉米，而是由于塑性变形而“淡出”。

图 9.
杂质可以固定位错，导致位错弯曲并穿过不同的平面，从而干扰位错的运动。使用电子显微镜获得的显微照片显示了附着在镉晶体中的杂质上的位错。放大90,000倍。

具有体心晶格的金属（例如铁）在加热时的行为类似于铜，但在冷时很容易打开。

如果楔块移动缓慢，那么金属中已经存在的位错会在楔块移动时空气中出现的方向的影响下发生移动，其能量被浪费在塑性变形上。如果楔子快速移动会发生什么？

凯利、泰森和我最近讨论了这个问题。我们计算出，紧邻楔子锋利边缘的地方，倾向于破坏原子键的力比倾向于引起剪切的力大 5-6 倍。随着楔形物的接近，这两种力都会增加，但它们的比率保持不变，直到达到原子键断裂或剪切强度的极限。

如果拉伸强度与剪切强度之比大于撕裂力与引起原子位移的力之比，则破坏将具有滑动变形的形式。如果相反，材料就会破裂。

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图 10.
使用肥皂泡模拟三个位错。 （一层气泡模拟一层原子。）每个位错都包含一行额外的位错，从左下角到右上角对角线延伸。

图 11.
高速穿过金属的楔子要么简单地破坏原子之间的键，要么导致原子相互滑动。在脆性材料中（上图），化学键会提前断裂，裂纹迅速扩展，金属就会破裂。在 vz 材料中（下图），当楔块移动时，会发生剪切。键断裂并在原子位移后恢复。克林敬意。

可以评估各种材料的拉伸和剪切粘合强度。如果这样做的话，就会发现像金刚石这样的材料一定是脆性的。具有体积立方晶格的金属可以是脆性的，也可以是脆性的。在具有光栅晶格的金属中，剪切粘合强度称为

E. M. Dijur 的删节译本（A. H. Cottrell，《金属的性质》。《科学美国人》，1967 年 9 月，第 90 页）。

A·H·科特拉尔

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数学归纳法的案例

有一天，一位老师给十年级的学生布置了以下家庭作业：

尝试用数学归纳法证明对于任意自然数$n$不等式成立

$$P_n = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \dots 2n} < \frac{1}{\sqrt{n+1}}.$$

Kolya V. 在家里找到了以下解决方案；

a) 对于$n = 1$，不等式成立，因为

$$P_1 = \frac{1}{2} < \frac{1}{\sqrt{2}}.$$

6. 让我们证明不等式 $P_{n+1} < \frac{1}{\sqrt{n+2}}$ 的有效性源自条件 $P_n < \frac{1}{\sqrt{n+1}}$。要做到这一点就足以表明

$$\frac{P_{n+1}}{P_n} < \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}},$$

或者

$$\frac{2n+1}{2n+2} < \sqrt{\frac{n+1}{n+2}},$$

或者

$$(2n+1)^2(n+2) < 4(n+1)^3.$$

或者

$$4n^3 + 12n^2 + 9n + 2 < 4n^3 + 12n^2 + 12n + 4,$$

或者

$$0 < 3n + 2,$$

这显然是正确的。因此，从数学归纳原理可以得出一个相当可证明的不等式。

然而，在学校讲述这个解决方案时，Kolya 忘记在分母中加上一个，并开始证明一个更“严重”的不平等：

$$P_n < \frac{1}{\sqrt{n}}.$$

这是他得到的：

a) 对于$n = 1$，不等式成立，因为

$$P_1 = \frac{1}{2} < \frac{1}{1}.$$

6. 让我们证明条件 $P_n < \frac{1}{\sqrt{n}}$ 蕴涵 $P_{n+1} < \frac{1}{\sqrt{n+1}}$。要做到这一点就足以表明

$$\frac{P_{n+1}}{P_n} < \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}},$$

或者

$$\frac{2n+1}{2n+2} < \sqrt{\frac{n}{n+1}},$$

或者

$$(2n+1)^2(n+2) < 4(n+1)^3n,$$

或者

$$4n^3 + 12n^2 + 9n + 2 < 4n^3 + 12n^2 + 12n + 4,$$

或者

$$0 < 3n + 2,$$

这显然是正确的。因此，从数学归纳原理可以得出一个相当可证明的不等式。

对于那些理解这个问题的人，我们建议证明两个不等式：

1. $P_n < \frac{1}{\sqrt{3,1n}}$.

有趣的是，在这个不等式中，系数 3.1 不能用 3.2 代替。保持正确的最大系数是 π（周长与直径的比率）。

2. $\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \dots + \frac{1}{n^3} < \frac{1}{4}$.

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希尔伯特十个问题解答作者的几句话

尤里·弗拉基米罗维奇·马蒂亚塞维奇 1947 年 3 月 2 日出生于列宁格勒。第一个关注这个男孩出色的数学能力并鼓励他从小培养数学兴趣的人是列宁格勒255学校的数学老师Sofya Grigorievna Generson。从课堂开始，尤里就参加了城市数学乐观赛，并始终获得第一名，并且在 1961 年至 1964 年的全俄和莫斯科数学赛中，他也是获奖者之一。 （尤里·马蒂亚塞维奇毕业于莫斯科国立大学第 18 寄宿学校 10 年级）。从七年级到九年级，尤里在LOMI员工（苏联科学院斯捷克洛夫数学研究所列宁格勒系）N.M. Mitrofanov的指导下，在列宁格勒先锋宫数学圈学习。

马蒂亚塞维奇作为苏联代表队参加了第六届国际数学优化赛（莫斯科，1964 年），并获得了一级文凭。

1964年至1969年。尤里·马蒂亚塞维奇 (Yuri Matiyasevich) 是列宁格勒大学数学与力学学院的学生。

在大二的时候，马蒂亚塞维奇就完成了两部关于数理逻辑的著作，这些著作随后发表在《苏联科学院报告》上。这些工作的主要成果由余补充。 1966 年，马蒂亚塞维奇在莫斯科举行的国际数学大会上。

目前，马蒂亚塞维奇是列宁格勒数学学院数学系的研究生。于的数学创造力。马蒂亚斯维奇是科学传统连续性的一个引人注目的例子。马蒂亚塞维奇在大学和研究生院的导师是一位年轻但已是著名的数理逻辑专家谢尔盖·尤里耶维奇·马斯洛夫（Sergei Yuryevich Maslov），在他的建议下，马蒂亚塞维奇于 1965 年 12 月转向希尔伯特第十个问题。 S. Yu 老师。马斯洛娃教授尼古拉·亚历山大罗维奇·沙宁是苏联科学院通讯院士安德烈·安德烈耶维奇·马尔科夫最亲近的学生。

因此，尤里·马蒂亚舍维奇是以杰出的苏联数学家马尔可夫为首的所谓逻辑和数学建设性方向的“第四代”的代表。

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《关》第三期报道了列宁格勒年轻数学家余的杰出成就。 V. Matiyasevich 最近成功迈出了最后一步，解决了 1900 年提出的“希尔伯特问题”的含义之一。Yu 的工作。 V. Matiyasevich 发表在苏联科学院的报告中*)。而很少发生的是，一个有思想的学生能够独立理解这项工作的主要内容，这对于现代数学科学来说很重要。事实是Yu的原始部分。 V. Matiyasevich 的工作致力于定理的证明，该定理的表述非常简单，在我们发表的文章中给出。证明方法也是初级的。用小学生可以理解的语言解释这些规则更加困难，为什么这个关于斐波那契数的定理对服务器端数学科学如此重要。从其表述和证明方法来看，它很像一个巧妙的优化问题。

1. 斐波那契数定理

在接下来的内容中，我们将只处理整数。考虑一对数字 (a, b) 的以下属性：

“b 能被 a 整除。”

一对数的这一性质可以表示如下：

“存在一个数字 x，使得 ax—b=0。”

我们通过方程解的存在性来表达数字对 (a, b) 的性质

ax—b=0

（让我们再次回忆一下，我们只处理整数，因此只处理整数解）。其方程为

P(a, b, x) = 0,

其中 P 是三个变量 a、b、x 的多项式。

现在让我们介绍一个一般定义；如果在 m + n 个变量中存在这样的多项式，则有限数序列 (a₁, a2, …, aₘ) 的性质称为丢番图

P(a₁, a2, …, aₘ)，序列 (a₁, a2, …, aₘ) 具有我们的属性

*）这是文章的标题和确切的“地址”：Yu。 V.马蒂亚塞维奇。所列集合的丢番图属性，DAN SSSR，1970 年，第 191 卷，第 1 号。 2.

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仅当有数字 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 对应 $P(a_1, a_2, \dots, a_m, x_1, x_2, \dots, x_n) = 0$ 时。

马蒂亚斯维奇的主要成就正是证明了数对$(a, b)$的某个特殊性质的丢番图性质。

你们中的许多人都熟悉斐波那契数列。

$$\psi_0 = 0, \quad \psi_1 = 1,$$
$$\psi_2 = \psi_0 + \psi_1 = 1,$$
$$\psi_3 = \psi_1 + \psi_2 = 2,$$
$$\psi_4 = \psi_2 + \psi_3 = 3,$$
$$\psi_5 = \psi_3 + \psi_4 = 5,$$

由循环公式确定的无限序列

$$\psi_{n+1} = \psi_{n-1} + \psi_n.$$

Matiyasviči 处理的数字对 $(a, b)$ 的性质是：

“$b$是斐波那契数

数字为$2a$”，即$b = \psi_{2a}$。

很明显，pairs 具有这个性质

$(0,0), (1,1), (2,3), (3,8)$

等等。马蒂亚斯维奇性质是丢番图的说法意味着存在一个多项式

$$Q(a, b, x_1, x_2, \dots, x_n)$$

当且仅当存在数字 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 时，$b$ 将是一个带有数字 $2a$ 的斐波那契数

$$Q(a, b, x_1, x_2, \dots, x_n) = 0.$$

原则上，具有整数系数的多项式$Q$可以明确地写出。 Matiyasvich 没有这样做，甚至没有指出附加变量的数量 $n$ 是多少。

至于公式化定理的证明，正如已经说过的，这是相当初级的。马蒂亚斯维奇提到了 N. N. Vorobyov 的书《斐波那契数》中证明的一个引理，该书是为小学生编写的，而 A. I. Maltsev 的一本更科学的书中证明了一个结果，但也是初级的。在马蒂亚斯维奇的著作本身中，给出了十九个引理，但没有证明，但单独证明每个引理并不比小学生的典型问题更困难。困难只是找到实现最终目标的基本建议的特定组合。

2. 为什么这一切如此重要？

如果数学家确实需要多项式 $Q$ Matiyasvich 来进行任何计算，那么相信 Matiyasvich 不会懒得将其明确地写下来。但实际上，斐波那契数列的吸引力在于可以依次写出所有拥有此属性的对

$(0,0), (1,1), (2,3), (3,8), (4,21), (5,55), \dots$

由于这些对的多项式是无限的，因此将它们写出来的过程永远不会结束。但是我们有一个规则，根据这个规则，我们的对可以被放大地一个接一个地写出来

1. 只有具有 Matiyasvich 属性的对才会被写出，
2. 任何拥有马蒂亚斯维奇财产的人迟早都会被解雇。

有限数字序列$(a_1, a_2, \dots, a_m)$的属性（用更科学的语言来说，是“谓词”）被称为枚举，如果存在一条规则，允许通过机械地应用该规则，获得一个又一个始终具有给定属性的序列，而且，以这样的方式，任何序列

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拥有这个属性的房产迟早会得到。

从现代的角度来看，马蒂亚斯维奇斐波那契数定理最重要的结论是

定理 1. 有限数序列的任何枚举性质都是丢番图。

在 1961 年之前，这个定理看起来会非常令人惊讶。但戴维斯、普特南和罗宾逊于 1961 年证明的一些较弱的结果使这一假设不再那么令人难以置信。她花了相当多的努力来证明她的数学能力。可以说，马蒂亚斯维奇利用了将问题“简化”为更特殊问题的优势。但将一切归结为斐波那契数列属性的想法在 1970 年发展起来的情况下也是出乎意料的。

因此，马蒂亚斯维奇的重大成功需要将对现代数学重大问题的理解和他所在领域的博学与寻找意想不到的、完全基本的方法来解决特殊问题的艺术结合起来。

3. 马蒂亚斯维奇在什么意义上解决了希尔伯特第十个问题？

在希尔伯特的第十个问题*）中，他解决了以下形式的方程

$$P(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0,$$

其中 $P$ 是具有整数系数的多项式。这种方程的次数称为多项式$P$的次数。当被问到如何找到整数解时，这些方程被称为“丢番图”。例如，方程

$$x^2 + y^2 = 1$$

有偶数解

$$x = \pm 1, \quad y = \pm 1,$$

*) 有关希尔伯特问题的更多详细信息，请参阅 D. Hilbert, “Mathematical Problems”, “Science”, 1969 一书。

和方程

$$x^2 + y^2 = 3$$

无整数解。

现在让我们请希尔伯特本人发言：

“给定一个具有任意数量的未知数的任意丢番图方程……；我们需要指出一种通用方法，可以使用以下过程在有限数量的步骤中找出我们是否有给定的整数解方程……”。

希尔伯特显然确信他正在寻找的通用方法是存在的，唯一的问题就是找到它。为了寻找这种方法花费了很多努力，但没有获得令人鼓舞的结果。

任意方程的整数解问题可以很容易地简化为自然（整数非负）解问题。此外，不难证明将我们限制在不高于四次的丢番图方程就足够了。对于阶数不高于二阶的丢番图方程，找到了所寻求的通用方法，但三阶方程不再输入任何数字。

由于在这个方向上的失败，人们怀疑希尔伯特公式应该找到的一般方法根本不存在！类似性质的许多其他问题也出现了类似的情况。然而，找到所需的通用方法是一回事——这里只要提出这个方法并直接验证它是否满足希尔伯特提出的条件就足够了。

但为了证明解决一系列问题的某种方法不存在，就必须对这个通用方法是什么、如何以及通过什么手段来实现给出一个准确的定义。

三十年代初，相应的定义得到扩展

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美国科学家丘奇和英国科学家泰里格著作中的书呆子。这些定义为算法理论奠定了基础。回顾所走过的道路，数学家们应该感谢希尔伯特十个问题，因为它成为了这一理论创立的动力之一。

在算法理论的框架内，得到了我们在上一段中使用的“可枚举属性”概念的精确定义。

事实证明，根据有限数列的任何枚举性质的丢番图性质，它遵循

定理 2. 不可能有一个通用方法（算法）可以让我们确定任何给定的丢番图控制是否有整数解。

Matiyasevich 来自他关于一对数 (a, b) 特殊性质的丢番图性质的定理

$$b = \psi_{2a}$$

推导了定理 1 的证明，众所周知，从中得出定理 2，即希尔伯特十个问题的负解。

为了最终理解所说的一切，你只需要清楚地了解什么是“算法”（解决无限系列问题的通用方法）和什么是“可枚举属性”（枚举谓词）。但这已经是一个困难得多的话题了。

4. 算法理论的定义和事实

5. 在自然数集合 N 上定义并取自然值的函数中，原始递归函数的类别区分如下。

考虑函数 S(n) n+1 和 q(n)=n-p，其中 p²≤n<(p+1)²。从函数 f(n) 和 q(n) 中切出函数 h₁(n)=f(n)+q(n) （加法运算）、$h_2(n)=f(q(n))$（替换运算），以及一个函数 f(n) - 一个由等式 h₃(0)=0、h₃(n+1)=f(h₃(n)) （迭代运算）定义的函数。原始递归函数类由函数 S、q 以及所有可以通过有限次数的加法、替换和迭代从它们获得的函数组成。

例如，让我们证明函数 φ(n)=2n 和 φ(n)=2n+1 本质上是递归的。让我们首先对函数 S(n)=n+1 进行迭代运算。那么h(0)=0，h(n+1)=S(h(n))=h(n)+1。因此，h(n)=n，通过对两个函数进行加法运算得到φ(n)，每个函数都等于h(n)：φ(n)=h(n)+h(n)=n+n=2n。最后，通过对函数S(n)=n+1和φ(n)=2n应用代入运算来获得函数φ(n)： φ(n)=S(φ(n))=S(2n)=2n+1。

2. 如果自然数集合 M 与某个原始递归函数的值集合一致，则该集合 M 称为枚举集合。

例如，偶数集合是可枚举的，因为它是原始递归函数 φ(n)=2n 的值集合。奇数的集合与原始递归函数φ(n)=2n+1的值的集合重合，并且也是可枚举的。

3. 如果集合 M 与其补集 N - M 一起可枚举（其中 N 是所有自然数的集合），则该集合 M 称为可判定的。

特别是可解的数字集，因为它及其补码（奇数集）是可枚举的。

4. 存在可枚举但不可判定的集合。

可以给出这样一个集合的具体示例，但是相应的构造在技术上太复杂，无法在该评论的框架内执行。

现在令其为一组 M 个自然数。人们可能会问是否存在一种通用方法，给定每个正整数 n，在有限数量的步骤中确定该 n 是否属于集合 M。算法理论（Church 理论）的主要立场指出，当集合 M 可解时，任何方法（算法）都存在，模型和模型。

为了获得希尔伯特代理问题的负解，只要证明每个枚举集是 diffant 就足够了，即，对于每个枚举集$M$，必须构造一个 diffantian 方程 $P(y, x_1, \dots, x_h) = 0$，对于属于 $M$ 的所有 $y$，并且仅对于这样的 $y$，该方程具有自然解 $x_1, \dots, x_h$。

事实上，如果可以做到这一点，那么，将$M$视为不可解的集合（其中列出了这样的集合，请参见第4项），我们将得到，对于相应的方程$P(y, x_1, \dots, x_h) = 0$，没有通用方法（算法）可以对每个自然数$y$给出关于该方程是否存在自然解的问题的答案。毕竟，如果这个方法存在，那么就可以在有限的步骤中找出方程$P(0, x_1, \dots, x_h) = 0$是否有解（即数字1是否属于集合$M$），方程$P(1, x_1, \dots, x_h) = 0$是否有解（即数字1是否属于集合$M$），等等。事实证明，有一个通用的方法，对于每个自然数$y$ 在有限的步骤中确定这个$y$是否属于集合$M$。那么，通过丘奇的测试$M$，选择这个集合的问题就可以解决了。

5. 做了什么以及马蒂亚塞维奇做了什么。

五十年代，一群美国数学家（R.罗宾逊、H.普特南、M.戴维斯、J.罗宾逊）获得了许多重大发现。

日本可枚举集差异证明的最新结果。 （可枚举集是差分的猜想是由马丁·戴维斯提出的。）

美国科学家看重能够简化问题的重要条件是证明关系式$y = z^u$的差异性。 Julia Robinson 甚至更进一步，表明构造一个特定方程 $R(u, v, x_1, \dots, x_h) = 0$ 就足够了，该方程不承认 $v > u^u$ 的解，但对于每个 $n$ 都有一个 $v > u^n$ 的解。是 Yu.V.马蒂亚塞维奇（Matiyasevich）能够构造这种方程并且能够构造它，提出了一个完全基本的，但非常机智和原创的构造。与此同时，我们必须解决一个对于传统数论来说不常见的问题。事实上，在数论中，对于给定的方程，通常会研究其解的性质，但在这里，相反，在给出解的某些性质后，有必要搜索所需的方程。

转向斐波那契数列的考虑，马蒂亚塞维奇注意到，如果$u$取为数列偶数项的一半，而$v$是该项本身，那么不等式$v > u^u$将始终为假，并且对于任何$n$都可以找到这样一个数列的单元项。

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可以肯定的是，不等式$v > u^n$为真。这种情况可以在第43页给出的表格中构建。（它突出显示了数字$u^k$小于相应数字$v$的单元格）。

在验证了所指示的属性后，马蒂亚塞维奇“纠正”了斐波那契数列，删除了其中的奇怪项。也就是说，他考虑了相应的序列：$\varphi_0 = 0, \varphi_1 = 1, \varphi_{n+1} = 3\varphi_n - \varphi_{n-1}$。结果正好是第一个序列的四个成员的序列：$\varphi_0 = 0, \varphi_1 = 1, \varphi_2 = 3, \varphi_3 = 8, \varphi_4 = 21, \varphi_5 = 55, \varphi_6 = 144, \varphi_7 = 377$等。将$u$作为序列成员的编号，将$v$作为编号为$u$的序列成员，即$\varphi_u$，我们发现$u$和$v$再次满足所需的属性。 Terer 只需构造方程 $P(u, v, x_1, \dots, x_k) = 0$，当且仅当 $v = \varphi_u$ 时，该方程才有自然解 - 其余部分基于 Julia Robinson 的结果！为此，只需构造一个变量 $u, v, x_1, \dots, x_k$ 的微分方程组 $P_1 = 0, \dots, P_n = 0$，当且仅当 $v = \varphi_u$ 时，该方程组才有解 - 该方程组与唯一的方程 $P_1^2 + \dots + P_n^2 = 0$ 具有完全相同的解。

这是 Matiyasevich 获得所需方程组的形式：

1. $u + (a - 1) = v$,
2. $v + b = l$,
3. $l^2 - lk - k^2 = 1$,
4. $g^2 - gh - h^2 = 1$,
5. $l^2c = g$,
6. $ld = r - 2$,
7. $(2h + g)e = r - 3$,
8. $x^2 - rxy + y^2 = 1$,
9. $lp = x - u$,
10. $(2h + g)q = x - v$.

为了证明该系统的自然解的存在性等价于相应的$v = \varphi_u$，Matiyasevich 使用了序列$\{\varphi_k\}$的以下特征属性：

一对条件$x < y$和$x^2 - 3xy + y^2 = 1$相当于存在$k$使得$x = \varphi_k$和$y = \varphi_{k+1}$。

我们建议感兴趣的读者尝试证明这种等价性。

让我们在结论中指出，所找到的十个问题的解决方案具有许多有趣的后果，其中，也许最有效的是：您可以指定一个特定的线性多项式，其正值的集合与所有素数的集合一致！

数学科学创下了服务器和光荣的成就。

任务1

1. 证明对于任意 $k$，数字 $\varphi_k$ 和 $\varphi_{k+1}$ 互质。
2. 证明合规性：$\varphi_{k+1} = \varphi_k + 1$。
3. 证明微分方程 $P(y, x_1, \dots, x_k) = 0$ 有正数解当且仅当方程有这样的解

$$Z = (1 - (P(z, x_1, \dots, x_k))^2) - y.$$

由于印刷厂的错误，«Kvant»第5期（第64页，任务1226）中，除法公式输入错误。它应该看起来像这样：

$$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$$

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在我们这个世纪，物理学家对一件伟大的事情产生了兴趣——中央加速器、磁铁、数十万个场、量子电子设备。只有建造巨大的相机来观察微观世界的过程，物理学家才能将数据渗透到自然现象的本质。但不久前，在本世纪初，物理学家自己建造了小型装置，缩小在他的桌子上并做出了伟大的发现。原子核、放射性、RENTen射线、无线电波——所有这些都是在19世纪借助自然体可以使用的简单手段发现的。如果数据仍然缺失怎么办？现在很难相信，在 18 世纪，即使是皇家医生也无法相互交流国王的脉搏频率，因为他们的时钟运行不同。没有人测量血压，甚至只是体温。温度计的出现引起的热情不亚于今天激光的发现。 1730 年，Reaumur 如此兴奋地描述了这项发明。

Y.A.斯莫罗丁斯基

“论温度计的构造”，1730

雷奥穆尔

毫无疑问，温度计是现代物理学的伟大发明之一，而它又包含着许多重要的信息。他为我们提供了更多有趣的知识，如果没有他的帮助，这些知识是无法获得的。在许多情况下，如果没有温度计，我们如何知道混合在一起的液体（某些）正在加热？如果没有温度计，我们永远不会发现已知盐溶解过程中会发生什么冷却，以及在什么情况下这种冷却最明显。我们也不知道一块冰可能比另一块更冷。我们也无法发现沸水有一个温度，超过该温度水就根本无法被加热（在常压下）。

所有物理学家都知道，只要手中有温度计，就可以进行无数的实验。但这个装置需要不止一名物理学家；它的用途不仅限于实验室 - 我们通常通过温度计知道空气温度是多少……

Doix por（即 1730 年之前）温度计几乎从未用于确定不同气候下的最冷和最热 - 大半区和跨萨斯州的问题。同时，通过这种方式也很容易知道一个人能承受多少度的热或冷。同样重要的是，了解需要在什么温度下种植那些能够适应这里环境的植物和树木。

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本期所有数学题均取自上届莫斯科数学奥林匹克竞赛的题目；一些措辞应该改变。

F36。一滴液体位于半球形玻璃板的平坦一侧。展示如何通过观察全内反射来确定液体的折射率。堆叠的折射率也是未知的并且需要确定。

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F37。在两个垂直放置的气缸中，其横截面积为$S_1$和$S_2$，有两个不可逆活塞，通过长度为$l$（图1）的细不可逆螺纹连接。活塞之间的空间充满了水。如果容器末端与大气相通，求出线的张力。水的密度为$\rho$。

F38。 U 形水银压力计的宽弯头的直径比窄弯头的直径大。压力测量报告秤应安装在哪个弯头上才能确保更高的测量精度？

F39。半径为$R$、质量为$M$的行星被由分子量为$\mu$的气体组成的同样稠密的大气层包围。如果大气层高度为$H$，那么行星表面大气层的温度是多少？

莫斯科国立大学物理奥林匹克竞赛，1967 年

F40。如果氖气的电离能是 $I=21,5$ eV，并且电极与气体原子连续两次碰撞之间的平均距离是 0.4 mc，那么氖气灯泡在电极之间的电势差是多少时会发光？电极看起来像大板，彼此之间的距离为 $d=3$ 毫米。

F41。在月亮和太阳距地平线高度相同的情况下，满月期间月夜的安全性比晴天少多少倍？假设被照亮的鹞将光均匀地散射到空间中。月球半径取2000公里，月球到地球的距离为40万公里。

M31。将一张正方形纸直接切成两部分。将所得部件之一再次切成两部分，并且此操作要进行多次。为了使所得零件中的上述尺寸数量相同，必须进行的最小切割次数是多少？

I·伯尼斯坦

M32。表 $100 \times 100$ 的所有单元格都包含加号。允许同时改变一行或一列所有单元格中的符号。继续运算几次，是否可以得到正好是1970分钟的表？

A·泽列文斯基

M33。存在一个自然数$n>1000$。让我们取数字 $2^n$ 除以数字 1, 2 3,… 的余数。 。 。 , $n$ 并求出所有这些余数的总和。证明这个和大于$2n$。

A·库尼连科

M34。证明如果一个自然数能被 10 101 010 101 整除，那么在其十进制表示法中至少有六位数字不同于零。

A·托尔皮奥

M35。在半径为 10 的球体附近描述了某个 19 面。证明您会在其表面上找到两个点，它们之间的距离大于 21。

A·库尼连科

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从本期开始，我们将开始印刷《量子问题书》的解答。
期刊这一部分提出的大多数问题都相当困难，其中一些问题的讨论应该专门针对更大的雕像。其中许多引发了关于一整类问题、关于处理某些现象的方法、关于在实践中使用各种现象的讨论。有时我们会在杂志上发表这样的对话。但通常读者自己应该思考如何推广给定的解决方案，或者如何简化它，作业中提到的现象应用在哪里等等。

第七期已准备在三月底印刷，因此，我们后来收到的带有决定的信件自然不在此考虑。未来预计将在问题发布后六个月左右发布解决方案。同时，我们成功地“按时”熟悉了最新的解决方案——不晚于相应问题发布后的一个半月。当然，我们无法回复所有给我们来信的读者。最佳解决方案将发布在杂志上。那些提出与已发布的解决方案截然不同的解决方案的人必须自己弄清楚它是否正确，如果不正确，那么错误是什么。

最后一件事。提出问题通常比解决问题更困难。这更困难，但也更有趣。尝试提出问题并将其发送给我们。我们将在量子问题书中发布最好的问题。

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M1。在总统米拉弗洛雷斯统治的安丘里亚国家，新的总统选举即将到来。该国大约有2000万选民，其中只有百分之一（安丘里亚正规军）支持米拉弗洛雷斯。米拉弗洛雷斯自然希望当选，但另一方面他也希望选举显得民主。米拉弗洛雷斯所说的“民主投票”是这样的：所有选民被分成几个平等的群体，然后每个群体又由若干个平等的群体组成，最后这些群体又被分成平等的群体，等等；在最小的团体中，选出选举人团体的代表，然后选举人在更大的团体中提交投票，等等；最后，最大群体的代表根据自己的意愿选择一名代表，并指示其政党如何投票。他能否组织“民主选举”，从而当选总统？ （如果票数相等，反对派获胜。）

回答。是的，我们可以。

首先，我们来看看，拥有少数票的候选人如何才能在“多阶段”选举中获胜。 （顺便说一句，许多资本主义国家都是按照这种制度投票的。）这种情况最简单的例子就是图1：这里九个选民——四个“黑人”和五个“蓝色”——被分成三组，每组三个选民，这样黑人在两组中获胜，因此，通过这种“两阶段选举”，黑人候选人将当选，尽管他一方的人数只占选民总数的$\frac{4}{5}$。 （不难报道，在选民众多的两阶段选举中，足以获胜的票数比例可能会更少，但一切都完成在25%以上。）显然，在三阶段选举制度中，这个比例可以更低。例如，如果我们将一百个人中的每个选民替换为 图 1，这样投票组中所有这些选民都在投票，而黑人组中有 51 名黑人和 49 名蓝裔，那么我们就会得到一个例子，即黑人只占选民总数的$\frac{4}{9} \cdot \frac{51}{100} = \frac{17}{75}$，但仍然获胜。

在这些初步消息之后，问题的解决方案就出现了。

让我们将所有选民分为 5 组，每组 400 万人，这样两组将完全由米拉弗洛雷萨的反对者组成（我们称这些组为“蓝色”，其他三个组为“黑色”）。每一个

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这些“第一等级”组将再次分为5个第二等级组，组成第一等级黑色组的五个组中，有三个是黑色的，依此类推，如表所示。

显然，这样的划分，米拉弗洛雷斯要想获胜，人们投票给他就足够了

$$\frac{3^{11}}{2^8 \cdot 5^7} = \frac{177 \cdot 147}{20 \cdot 000 \cdot 000} < \frac{1}{100}$$

全体选民的一部分。因此，既然军队构成了选民的$\frac{1}{100}$部分，并且支持米拉弗洛雷斯，那么他就能获胜。

一些读者试图解决以下更普遍的问题：如果选民总数为$N$，米拉弗洛雷斯最少需要多少支持者才能赢得“民主选举”？当然，这个问题的答案并不取决于数字$N$的大小，而是取决于它是如何因式分解的。比如说，如果 $N$ 是素数，那么选民就不能以任何方式分成相等的组（除了简单的方法：$N$ 一组，每组一个人），并且要获胜，您需要有一个简单的更大的工具。我们将向您展示如何回答任何 $N$ 的问题。

让我们考虑将 $N$ 人分成几组（第一、第二等），其中米拉弗洛雷斯获胜，并且他一方的人数尽可能少。显然，可以假设，在投票反对他的群体中，没有一个人站在他一边，并且所有同一级别的黑人群体的划分完全相同。使用通讯方便$[1]$——“整数部分”（$[x]$——最大整数，不超过$x$；例如$[2] = 2$、$[3\frac{1}{2}] = 3$）。显然，如果一个非正统黑人群体由$k$个下一级群体组成，那么其中至少有$[\frac{k}{2}] + 1$个黑人。将每个$r$等级（$r = 1, 2, \dots, m-1$）的小组分为$k_r$等级较低的小组，并让最后$m$等级的小组由1人组成。那么要获胜你必须至少有

$$B = \left( \left[ \frac{k_1}{2} \right] + 1 \right) \left( \left[ \frac{k_2}{2} \right] + 1 \right) \dots \left( \left[ \frac{k_m}{2} \right] + 1 \right)$$

黑人的声音。我们的任务归结为：将给定的 $N$ 分解为最大值 $k_1, k_2, \dots, k_m$ 的乘积，使得乘积 $B$ 最小。

让

$$N = k_1 k_2 \dots k_m$$

• 这样的分解。正如下一个引理所示，我们可以提出，在这个扩展中，不存在$k = pq$形式的因子$k$，其中$p$和$q$大于2（如果存在这样的因素，我们可以在不增加$B$的情况下检查进一步的扩展）。

引理。

$$\left( \left[ \frac{p}{2} \right] + 1 \right) \left( \left[ \frac{q}{2} \right] + 1 \right) \leq \left[ \frac{pq}{2} \right] + 1$$

对于所有大于 2 的整数 $p$ 和 $q$。

证明。如果$p$和$q$都是偶数，则不等式可以重写为：

$$\left( \frac{p}{2} + 1 \right) \left( \frac{q}{2} + 1 \right) \leq \frac{pq}{2} + 1,$$

$(p + 2) (q + 2) \leq 2pq + 4,$

$pq - 2q - 2p + 4 \geq 4, \quad (p - 2)(q - 2) \geq 4,$

这对于 $p > 2$ 和 $q > 2$ 显然是正确的。

当其中一个数字$p, q$（例如$p$）为偶数而另一个为奇数时，我们有：

$$\left( \frac{p}{2} + 1 \right) \left( \frac{q}{2} + 1 \right) \leq \frac{pq}{2} + 1,$$

$(p + 2) (q + 1) \leq 2pq + 4,$

$pq - 2q - p + 2 \geq 0, \quad (p - 2)(q - 2) \geq 0.$

$p$和$q$为奇数的情况也同样进行分割。引理已得证。从这里开始，奇数 $N$ 必须“一直”分解为质因数。剩下的就是处理平局了。

我们可以假设展开式不包含$2q$形式的因子，其中$q$是奇数，因为$2$是有秩的

$$2 \left( \left[ \frac{q}{2} \right] + 1 \right) = \left[ \frac{2q}{2} \right] + 1.$$

52

颈穿过圆心和球心。事实上，两个圆相对于平面$P$对称，如果它们在平面$P$的一侧有一个公共点，那么它们在另一侧$P$上也必须有一个对称的公共点，但它们只有一个公共点。如果这些圆的半径相同$r$，那么它们的“中心”之间的距离就等于$2r$，因为在球体与平面$P$（图 2，$\theta$）相交所形成的大圆上，圆的直径（黑色线段）和连接它们“中心”的线段（红色）收缩的弧相等。

令$A_0, A_1, A_2, \dots, A_n$为圆$\gamma_0, \gamma_1, \dots, \gamma_n$的“中心”，这将在问题的条件中讨论。那么$A_0A_1 = A_0A_2 = \dots = A_0A_n = A_1A_2 = A_2A_3 = \dots = A_nA_12r$，换句话说，$A_0A_1A_2 \dots A_n$是一个正则$n$角形参数，内接于半径为1、顶点为$A_0$的给定球体，其所有侧面都是边长等于$2r$的等边三角形。因此，构造一个满足这些条件的paramid就足够了，那么点$A_0, A_1, \dots, A_n$将是半径为$r$、“中心”$A_0, A_1, \dots, A_n$的某些圆，这显然满足问题的条件。

由于顶点为 $A_0$ 的凸 $n$ 面角的平面角之和小于 $360^\circ$：
$$n \cdot 60^\circ = A_1A_0A_2 + A_2A_0A_3 + \dots + A_nA_0A_1 < 360^\circ,$$
然后$n < 6$。对于$n = 3, 4$和5，构造必要的paramid并不困难。

设 $O$ 为球体中心。帕拉酰胺的高度$h$及其边缘的长度$2r$是根据以下考虑得出的：帕拉酰胺底部的半径$KA_1$是腿$\Delta A_0KA_1$和边$\Delta A_1KA_2$，其中$\Delta A_1KA_2 = 2\pi/n$（图3，$a, \delta$），

$$\sqrt{4r^2 - h^2} \sin \frac{\pi}{n} = r.$$

从$\Delta A_0OA_1$我们有$r = \frac{h}{2r}$。

因此$h = 2r^2$，$r = \sqrt{1 - \frac{1}{4 \sin^2 \frac{\pi}{n}}}$。

因此，

在$n = 3$：$r = \sqrt{\frac{2}{3}} \left( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$；

在$n = 4$：$r = \sqrt{\frac{1}{2}} \left( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$；

在 $n = 5$: $r = \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{10}}$

（公式 $\sin \frac{\pi}{5} = \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}$ 可以从 图 4 导出，借助该公式可以构造正十边形和正边形）。

53

知道$r$和$h$，我们就可以构造正确的paramidas，由于上述关系，它将满足所有必要条件：所有面都是边长为$2r$的等边三角形，外接球的半径为1。

构造的paramid与正多面体密切相关

kami，其面是三角形。这样的多面体只有三种：四面体、八面体和二十面体 (图 5)，如果我们从这些多面体中的每一个中切掉“顶部”——与一个顶点相邻的所有面——那么我们就会得到与我们正在研究的完全相同的三个帕酰胺。您可以在 G. S. Kokter 的优秀著作《几何导论》（《科学》，1966 年，第 10 章“五个柏拉图立体”和第 11 章“黄金比例和叶序”）中阅读有关正多面体和五边形构造的更多信息。

来自沃洛科拉姆斯克的十年级学生 Serdey Makeev 以不同的方式解决了这个问题（没有使用“球心”）。

我们还要注意，问题条件中的约束$n \geq 3$可以完全用$n \geq 2$代替。存在三个圆 $\gamma_0, \gamma_1, \gamma_2$ 的相应排列（图 6；圆的“中心”位于正三角形的顶点 -

54

图 6.

ka 内接于一个大圆），并且要计算 $r$，奇怪的是，我们证明$3 \leq n \leq 5$ 的公式也适用

$$r = \sqrt{1 - \frac{1}{4 \sin^2 \frac{\pi}{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

M3。 a) 在图7、$a$平面上布满了五种颜色的方块。相同颜色的正方形的中心位于正方形网格的顶点。可以使用多少种颜色对平面进行类似填充？

6. 在 图 7、$b$ 上，平面上覆盖着这些颜色的六边形，因此相同颜色的六边形的中心形成相同正三角形格子的顶点。类似的填充可以使用多少种颜色？

笔记。在第一个问题中，颜色的数量可以是一种（所有方块都是相同的颜色）或两种（就像在棋盘上一样）。在第二个问题中，您可以轻松找到一种颜色和三种颜色的图案。建议给出问题的完整解决方案，即描述满足指定条件的所有颜色。但是，如果您觉得有趣，请发送不完整的解决方案。例如，想一想，有十三种颜色可以解决第二个问题吗？

我们尚未收到此问题的完整解决方案。

六年级学生 Serey Eliseev（莫斯科）向我们发送了具有 13 种颜色的六边形网格的着色，我们在打印能力允许的范围内在 图 8 上复制了该颜色；

图7a，b。

他指出（没有解释）一般的答案是：

在问题 a) 中，如果颜色数量等于两个整数的平方和，则所需的着色是可能的：

$$1 = 0^2 + 1^2; \quad 2 = 1^2 + 1^2; \quad 4 = 0^2 + 2^2; \quad 5 = 1^2 + 2^2; \quad 8 = 2^2 + 2^2; \quad 9 = 0^2 + 3^2; \quad 10 = 1^2 + 3^2; \quad 13 = 2^2 + 3^2; \quad 16 = 0^2 + 4^2$$等

在问题 b) 中，解决方案可能是颜色数量等于序列 0、1、3、6、10、15、… 中的两个数字之和。 。 。 , $\frac{n(n+1)}{2}$, . 。 。

$$1 = 0 + 1; \quad 3 = 0 + 3; \quad 4 = 1 + 3; \quad 6 = 0 + 6; \quad 7 = 1 + 6; \quad 9 = 3 + 6$$等

尝试看看这些答案是否正确？我们稍后会回到这个问题，但现在让我们注意问题表述中的一点（来自莫斯科的读者V. Gutenacher是第一个注意到这一点的）。

让我们从任务 a) 开始。它需要找到“相同颜色的正方形中心位于正方形网格的顶点”的着色。但条件并没有说这个“大”的方格对于不同的颜色应该是相同的。看图 9。这里，三种颜色的每一种的方块也形成一个网格，但对于红色，网格的“台阶”（方块的边）是$\sqrt{2}$，对于白色和绿色，它是2，甚至网格也是表面的-

55

图 8.

鹰嘴豆之间的相对关系。但是，如果从字面上理解问题的条件（这正是笔试或奥林匹克竞赛中应该做的事情），那么图 9 的颜色就满足问题的条件。有了这种理解，问题 a) 的答案将是：对于任意数量的颜色。事实上，从任何具有 $n$ 颜色（其中之一是白色）的着色中，很容易使用 $(n+1)$ 颜色进行着色：您需要使用白色和新的 $(n+1)$ 红色以“棋盘顺序”对白色方块进行着色（这就是从棋盘红白着色获得图 9 的着色的方式）。

有了这个理解，任务 6) 就变得非常简单了。

回答。对于任何数量大于 2 的颜色。事实上，用两种颜色着色是不可能的，因为如果在三个六边形中，每两个六边形都有一个公共边，其中两个被相同的颜色覆盖，那么所有六边形都必须用这种颜色着色。 3 种和 4 种颜色的着色页很容易找到，然后用三种颜色为白色六边形着色并不困难，增加 2 种颜色，然后再增加 2 种，等等。

当然，你可以通过这种方式获得很多不同的着色页。具有任何着色$A(k)$颜色，突出显示

56

F1。三个连通水的容器，其中心距离$a$相同，覆盖有相同厚度、相同材料的活塞。垂直相同的杆连接到活塞，活塞铰接地连接到杆 $AB$。如果与活​​塞和负载的质量相比，杆和杆的质量可以忽略不计，则可以在杆上的什么点处将负载连接到杆上，以便在平衡位置，杆保持水平。容器的直径分别为 $d_1$、$d_2$ 和 $d_3$。

扭矩$AB$和活塞在七个力的作用下处于平衡状态：力$Q$，来自负载的作用力，作用在活塞上的重力——这些力与活塞的面积成正比：$P_1 = k_1 d_1^2$； $P_2 = -k_1 d_2^2$； $P_3 = k_1 d_3^2$ 和作用在活塞上的三个流体压力：$N_1$、$N_2$、$N_3$ (图 10)。由于容器内的液位相同，所以所有活塞上的压力相等，压力与活塞的面积有关：$N_1 : N_2 : N_3 = d_1^2 : d_2^2 : d_3^2$。因此$N_1 = k_2 d_1^2$、$N_2 = k_2 d_2^2$、$N_3 = k_2 d_3^2$。

施加到每个活塞上的力相等：$F_1 = N_1 - P_1 = (k_2 - k_1) d_1^2 = kd_1^2$、$F_2 = kd_2^2$、$F_3 = kd_3^2$。

用$x$表示从杆中部到负载附着点的距离，我们写下杆的条件：1）作用在杆上的所有力的总和等于零：$F_1 + F_2 + F_3 - Q = 0$和2）作用在杆上的所有力相对于杆中部的力矩总和等于0：$F_1 a - F_3 a - Qx = 0$。将$F_1$、$F_2$、$F_3$的表达式代入这些方程中，然后一起求解这些方程，我们发现

$$x = \frac{d_1^2 - d_3^2}{d_1^2 + d_3^2 + d_3^2} a.$$

提出该问题解决方案的读者都没有考虑到活塞的质量。但只有两个人——来自基洛沃巴德的 G. Kalshin 和来自伏罗什尔戈夫雷德地区 Lisiansk 镇的 A. Karpenko——解释了为什么可以这样做。由于活塞由相同的材料制成并且具有相同的厚度，因此本体上的附加压力不取决于活塞的直径。活塞平衡的条件是所有气缸中的身体压力相等（因为气缸中的水位相同）。活塞产生的附加压力自动满足此条件。

F2。质量为 $m_1$ 和 $m_2$ 的两个球位于水平面上，由刚度为 $c$ 的弹簧紧固在一起。飞机很平稳。球体弯曲，释放弹簧，然后同时释放。确定球的振动周期。

系统的质心不应移动（或可以匀速直线移动），因此球以相同的频率反相振动，其与平衡位置的偏差$x_1$和$x_2$满足长度为$l_1$和$l_2$的相应弹簧片（$l_1$和$l_2$是球到物体的距离）系统的质心；

$$l_1 = l \frac{m_2}{m_1 + m_2}, \quad l_2 = l \frac{m_1}{m_1 + m_2}).$$

弹簧第 $1/q$ 部分的伸长率始终小于整个弹簧的伸长率$q$ 倍，即弹簧第 $1/q$ 部分的刚度比伸长率大$q$ 倍

57

整个弹簧的刚度。因此$c_1 = \frac{m_1 + m_2}{m_2} c$。由此可见，球的振动周期

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m_1 m_2}{(m_1 + m_2) c}}.$$

通过一些极限情况来检查答案是很有趣的。伏尔格达市第 20 学校的 10 年级学生 E. Tikhonov 就是这么做的。让我们假设 $m_2$ 的质量非常大：$m_2 \gg m_1$。那么质量为$m_1$的球应该像这样振荡；就好像第二个球是固定的，并且$T = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{c}}$。让我们检查一下我们的公式

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{c \left(1 + \frac{m_1}{m_2}\right)}} \approx 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{c}}.$$

F3。两个弹簧由两根相同的钢丝制成。其中一个匝的直径为$d$，另一个为$2d$。第一个弹簧在负载的作用下，拉伸了其长度的十分之一。在相同的负载下，第二个弹簧会拉伸多少长度？

弹簧的伸长量等于 $\Delta l = n \cdot 2d \cdot \sin \frac{\alpha}{2}$，其中 $n$ 是弹簧的匝数，$\alpha$ 是弹簧相邻匝展开的角度 (图 11)。由于弹簧的伸长量很小，所以这个角度也很小$\sin \frac{\alpha}{2} \approx \frac{\alpha}{2}$。因此$\Delta l = nd\alpha$。

角度$\alpha$与力矩成正比

力$F$，拉伸线圈：$\alpha = F \cdot d$。力 $F$ 等于弹簧悬挂的负载的重量，并且在两种情况下相同，因此 $\Delta l \sim nd^2$。

第二弹簧的线圈直径是第一弹簧的两倍，并且线圈的数量是第一弹簧的两倍，因此，第二弹簧的绝对伸长量是第一弹簧的两倍。因此，第二个弹簧将拉伸其长度的$\frac{2}{5}$。

许多试图正确解决这个问题的人发现第二个弹簧的伸长量是第一个弹簧的两倍，但他们忘记了第二个弹簧的长度是第一个弹簧的一半，因此第二个弹簧的相对伸长量等于$\frac{1}{5}$，和$\frac{2}{5}$。

F4。钢瓶内装有净化后的气体，但不知道是哪种气体。定压下将 1 酮气体温度升高 1 度需要 958.4 J，定体积下需要 704.6 J。这是什么气体？

当以恒定能量加热气体时，所消耗的能量仅用于改变气体的内能，而当以恒定压力加热时，它也用于做功。让我们写出这两种情况的能量守恒定律：

$$mc_V \Delta t = \Delta W,$$

$$mc_p \Delta t = \Delta W + A.$$

其中$c_p$为气体定压比热（即在定压下加热1 kE气体所需的热量），$c_v$为气体定体积比热，$\Delta t$为温度变化，$\Delta W$为气体内能变化，$m$为气体质量， $A = p \Delta V$ 是膨胀气体工作期间的最佳温度（$\Delta V$ - 体积变化，$p$ - 压力）。

因为当气体温度升高相同度数时，其内能的变化在恒定体积加热和加热时都相同。

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恒压加热，可写为：$c_p m \Delta t = c_v m \Delta t + p \Delta V$。利用气体状态方程（克拉佩龙-门捷列夫方程），气体所做的功可以通过气体的分子质量$\mu$和气体常数$R$：$p \Delta V = \frac{m}{\mu} R \Delta t$来表示。将这个对应关系代入方程（1），我们得到： $c_p = c_v + \frac{R}{\mu}$，由此可知

$$\mu = \frac{R}{c_p - c_v} \approx 32,7 \text{ ккал/кмоль}.$$

未知气体是氧气和极少量较重气体的混合物。

F5。在图处选择了一个电目标。如果将内阻非常高的电压表连接到$C$和$D$点，会显示什么？ $U_{AB} = 518$。

电压表将显示$E$ 和$D$ 点之间存在电压。为了找到它，首先确定点$F$和$B$之间的电压比较方便。为此，可以重写电路，如 图 12 所示。

$$R_0 = 3 \text{ ом}, R'_0 = \frac{3}{4} \text{ ом},$$

$$U_{FB} = U_{AB} \frac{R'_0}{R_0^1 + R_1} = \frac{3}{11} U_{AB}.$$

现在，以同样的方式，找到什么

$$U_{ED} = \frac{R_3}{R_2 + R_3} U_{FD} = \frac{1}{3} U_{FD} = \frac{1}{11} U_{AB} = 4,6 \text{ е}.$$

这个问题几乎所有给我们来信的读者都正确地解决了。

F6。如果距离中心 $R$ 处存在点电荷 $q$，求半径为 $r$ 的接地金属球的值。

球的势一定为零。球中心的场电势当然等于球的电势，是点电荷 $q$ 的场电势与球的电荷 $Q$ 产生的场之和。电荷 $Q$ 并不是均匀分布在球上，但如果将球分成带有电荷 $\Delta q$ 的小部分，则中心球的电荷产生的场的电势可以表示为精确电荷 $\Delta q$ 的场的总电势。因此，我们可以为球的中心写：

$$\Delta \varphi = \sum \frac{\Delta q}{r} = \frac{1}{r} \sum \Delta q = \frac{Q}{r} + \frac{q}{R} = 0.$$

因此$Q = -\frac{r}{R} q$。

许多读者得到了正确的答案，但我们得到的正确答案却很少。许多读者使用了电容器电容$C = \frac{\Delta Q}{\Delta \varphi}$的公式，假设球的电容为$r$。但这仅适用于具有均匀分布电荷的孤立球。

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在本期 Quaent 中，我们
我们正在限制最有趣的内容的发布
新试训任务
五年级的昵称。

1233. 8 枚硬币中，一枚是假币
      （更轻松）。如何辨别真假
      用两个秤缝制一枚硬币
      在没有秤的情况下在有两个杯子的秤上？

1234. 20 枚硬币中有一枚
      假货，重量不同
      来自真实的。使用三个权重
      没有杯子的情况下在秤上缝制
      检测假币的重量
      并确定它是否比正品轻或重。

1236.我只有墙的
剩下的时间。我来自-
我要去见我的朋友，cha-
他们的儿子行事忠信，
他有一些时间，回来后——
当我回到家时，我正确地设置了手表。
如果我不先这样做，我怎么能做到这一点
知道要花多少时间
路长吗？

1237. 对于单词页码
      需要 6869 位数字。

这本词典有多少页？

1238.这个数的除数是多少
3⁶·5⁴?

1241. 当将数字 N 除以 2 时
      除法时余数为1
      3 余 2。哪一个？
      除以该数即可得到余数
      N 代表 6？

1245.如果从计划的三值来看
如果你从一个给定的数字中减去 7，那么它会被 7 除，但是如果你从中减去 8，那么它会被 8 除，如果你减去 9，那么它会被 9 除。 想要的数字是什么？

1246. 数字 66⁶⁶ 是几位数？ 33立方？ 7⁷？

1247. 证明数字 7⁷⁷+1 不能被 5 整除。

1249.证明任意两个连续奇数之和能被4整除。

1250。一些六位数字以数字 7 开头。通过删除这个数字并将其添加到右侧，我们得到一个比第一个初始数字小 5 倍的数字。找到原来的号码。

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1251. 如果在两位数的数字之间输入零，则得到的三位数将是第一个数字的 9 倍，即 7、11 和 13。

1252. 在六位数中，第一位数字与第四位数字重合，第二位数字与第五位数字重合，第三位数字与第六位数字重合。证明这个数能被 7、11 和 13 整除。

1253. 在数字 43 的左右各加一位数字，使该数字能被 45 整除。

1254. 四个连续自然数之和可以是素数吗？三者之和又如何呢？

1255. 学生 A、B、C 排队参加 100 米比赛。当A跑完时，B落后他10m。当 B 跑完时，C 已落后他 10m。当A跑完时，C落后A多少米？

1256. 证明如果买卖双方只有三戈比和五戈比硬币，则可以支付任何金额。

1257. 父亲指示儿子以步数测量院子的长度。那是冬天。为了检查，父亲用脚步量了院子的长度。父亲和儿子从同一个地方走来，朝同一个方向走去，以至于在某些时候父子俩的足迹是重合的。雪地里有61个脚印。如果儿子的步长是 0.54 m，父亲的步长是 0.72 m，那么院子的长度是多少？

1267.证明定理：

1. 如果三个整数的乘积是奇数，那么它们的和也是奇数；
2. 如果两个整数的和是奇数，那么它们的乘积是偶数。

1268. 直立平行六面体的边用自然数表示，其体积用大于2的素数表示。证明两条不等边的长度之和是偶数。

1269.是否存在边长为自然数、表面积为素数的直立平行六面体？

1272. 将 7 个苹果平均分给 12 个人，但不将任何苹果切成 12 份或更多等份。

1273. 约简分数：
      $$\frac{37\ 373\ 737}{81\ 818\ 181}; \quad \frac{609\ 609\ 609}{205\ 205\ 205}.$$

1274. 求下列表达式的含义：
      $$\frac{1}{2\cdot3} + \frac{1}{3\cdot4} + \frac{1}{5\cdot6} + \dots + \frac{1}{19\cdot20}.$$

1276.证明
$$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \dots + \frac{1}{199} - \frac{1}{200} = \frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \frac{1}{103} + \dots + \frac{1}{200}.$$

1277. 找到最小的自然数，当除以每个分数 $\frac{28}{297}$ 和 $\frac{35}{396}$ 时，会产生整数。

1278. 火车分 10 次行驶了这段距离。如果他将速度提高 10 公里/小时，他将行驶 8 个数字。求速度和距离。

1279.汽车以50公里/小时的速度行驶了一半，后半程以30公里/小时的速度行驶。自动变速箱以多少平均速度跑完整个距离？

1280. 从高尔基到阿斯特拉罕的班车需要 5 天，往返需要 7 天。从 高尔基 飞往 阿斯特拉罕 需要多少天？

1281.我喝了$1/6$一杯黑咖啡，加了牛奶。然后我喝了$1/3$杯，又加了牛奶。然后我喝了一杯。我喝了更多咖啡还是牛奶？

1282. 厨师正在煮汤，并在里面放了少许盐。我不得不受够了-

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煮出成品汤。下次厨师认识到了这个错误，在等量的汤中加了比第一次多两倍的盐。这也被证明是不够的，但是用一半的盐就足够了。厨师第一次在汤里放了多少盐？

1283. Senya 向食堂收银机支付了 3 个菜肴的费用，Sasha 支付了 2 个菜肴的费用（所有菜肴均等堆放）。克斯特亚和他们一起坐到了餐桌旁，他们是第二个吃这五道菜的。算了算，原来克斯特亚要付给战友们50戈比。 Senya 应该从这笔钱中得到多少钱，Sasha 应该得到多少钱？

1284.前轮购买25000公里后自动修复，后轮15000公里后自动修复。什么时候建议交换购买以使它们的成本相同？ （假设前后购买仅更换一次，尽管实际上驾驶员更频繁地进行这种更换。）

1286.几个巧克力爱好者一起吃早餐，必须支付1卢布。 75 科普。原来，两人身上没带钱，所以剩下的人每人要交10戈比。比每个人必须分享的还要多。有多少巧克力爱好者吃过早餐？

1287. 三次加法之和等于 1。第一次和第二次加法之差等于第三次。前两个多比的总和是第三个多比的 5 倍。找到这些多比鸟。

1288. 两个非负加法的差是$2/9$。一个多比的数字比另一个多比大4倍，而这个多比的分母比另一个多比大3倍。找到多比。

1290.给出几个自然数。它们中的每一个都除以所有给定数字的总和。所有商的总和是多少？

1291.我想到了一个三位数。如果你用这个数的数字组成所有可能的两位数，然后将它们相加，那么所需的数就等于想要的数。找到目标号码。

1292. 妈妈给她的孩子 Vanya、Nina 和 Misha 买了苹果。孩子们必须将苹果平均分配。万尼亚先回家，数了数苹果，拿了第三部分就离开了。然后尼娜来了，她相信自己先到了，数了数剩下的苹果，拿走了她的那一份，然后以同样的方式离开了。最后，米沙来了，拿走了剩下的三分之一的苹果。做完这些之后，还剩下8个苹果。妈妈给孩子们准备了多少个苹果？

1293. 两兄弟需要去火车站，火车站距他们家4公里。为了不迟到火车，只剩下一个选择——骑自行车。但哥哥们都有一定的分量。如果步行的话会迟到10分钟。然而，两兄弟同时到达车站，而且比火车出发还有10分钟。告诉我，如果步行比骑自行车慢并且两个人不能骑自行车，他们会怎么做？

1294. 什么数具有这样的性质：如果向它加上任意数，然后从乘积中减去相同的任意数，并将所得差除以它，结果将是所取的相同的任意数？

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我们知道什么
而我们不知道
关于重力

任何读过 I. A. Efremov 小说《仙女座星云》的人都会记得这颗铁星——“天文学家的恐怖”，它以其巨大的吸引力捕捉飞过的物体。

更令人惊叹的天体透镜还得是德国天文学家史瓦西预言的星星。这些恒星附近的引力非常强，以至于它们发出的光无法移动到恒星附近。而从远处发射到这样一颗恒星的光线永远无法到达它的表面。某种奇怪的重力捕鼠器！但是，尽管这些天体的存在是必然的，该理论还是以足够严格的程度预测了它们的存在。

似乎现在的引力已经被习惯和利用了，所以一个人很久以前就应该知道他感兴趣的一切。很简单：让我们将一块石头放在天平上，测量它被地球吸引的力量！但是，在思考这种现象的本质之后，我们立即发现自己陷入了未解决的问题之中。

事实上，为什么任何两个物体在万有引力的作用下总是相互吸引而不是相互排斥呢？为什么我们不能将自己与重力隔离开来，就像窗帘将我们与太阳光线分开一样？看不见的事物的本质是什么
昏暗的“弹簧”会吸引彼此相距很远的物体？有许多与重力有关的问题科学尚未能够回答。

但我们已经知道很多了。 1687年，艾萨克·牛顿发现了万有引力定律，使理解天体如何运动成为可能。理解引力的下一个重要步骤属于阿尔伯特·爱因斯坦。 1916年，他创立了所谓广义相对论，一般称为空间、时间和引力理论。这一理论迫使科学家们将他们的观点转向空间和时间等重要的物理概念。牛顿认为，空间的性质和时间的流逝并不取决于周围的物体。爱因斯坦证明，物体越重，其附近的空间弯曲得越多，其附近的时间就越慢。空间、时间和引力原来不是相互独立的，但指定测试却并不容易。但它在现代物理学中的意义却异常重大。因此，专门讨论这个主题的新科普书籍（而且这样的书很少）有望引起更多兴趣。

我们将在这里讨论一些涵盖现代引力理论各种问题的书籍。

对引力理论基础知识的更简单、更容易理解的介绍

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包含在 M. Gardner 的畅销书《百万相对长度理论》中，该书由 Atomizdat 于 1966 年出版。第五章讨论了该理论的主要初始假设——任何物体的引力质量和惯性质量相等——并通过专门进行的实验得到了高度准确的证实。第六章描述了现代物理学对引力的看法，引力是引力质量影响下时空几何性质发生变化的结果。第 7、9 和 10 章涉及与引力理论相关的各种宇宙问题。他们考虑了宇宙模型的不同版本，并详细讨论了有关所谓“红移”的问题——天体在其以极快的速度发生的运动的影响下颜色发生变化。

关于太空问题的更现代的描述可以在院士 V.L. 的一本小册子中找到。 Ginzburg，《宇宙是如何构造的以及它如何随时间发展》，Znanie 出版社于 1968 年出版。（这本小册子是根据作者在《Nuka and Life》杂志 1968 年第 1、2、3 期上发表的三篇文章改编的。）

首先，作者谈论了宇宙的第一个宇宙学模型，这些模型甚至在数百万相对长度的一般理论创建之前就被提出了。然后，在简要描述相对长度的主要特殊和一般理论之后，他研究了与该理论相关的新模型。根据爱因斯坦的模型，宇宙形成一个封闭的三维球体，不随时间变化。在苏联科学家 A. A. 弗里德曼的模型中，宇宙要么膨胀，要么收缩。在勒梅特的模型中，宇宙在某个阶段取代了它的发展，就好像冻结在静止状态一样，然后开始再次快速膨胀。

在 L. Ginzburg 中，提供了有关射电星系的有趣数据，这些星系距离地球约 5-80 亿光年。他们的研究告诉我们，当时不仅有地球，而且显然还有太阳时发生的过程。

1969年，Nuka出版社出版了P·伯格曼的科普书《万有引力之谜》。该书的作者曾在爱因斯坦工作多年。

伯格曼在他的书中涵盖了与现代引力理论相关的所有主要问题。本书共三章： 一、牛顿物理学和陶罐相对长度的特殊理论。二.陶罐相对长度的一般理论。三．最新成果。这本书包含了对他的基本理论的纪念性描述，这些基本理论是由他提出的有效但尚未解决的问题所提出的，这些问题是当今物理学界一直在研究的问题。

史瓦西恒星、引力塌缩、最近发现的神秘天体“类星体”、宇宙射电发射告诉我们数十亿年前的宇宙是什么样子，还有更多同样有趣的描述了宇宙的第一个宇宙学模型，这些模型甚至在数百万相对长度的一般理论创建之前就被提出了。然后，在简要描述了相对土体长度的主要特殊和一般理论之后，他考虑了与现代重力理论​​相关的新模型。根据爱因斯坦的模型，宇宙形成一个封闭的三维球体，不随时间变化。在苏联科学家 A. A. 弗里德曼的模型中，宇宙要么膨胀，要么收缩。在勒梅特的模型中，宇宙在某个阶段改变了它的发展，就好像静止不动一样，然后又开始快速膨胀。

1969年，Nuka出版社出版了P·伯格曼的科普书《万有引力之谜》。该书的作者曾在爱因斯坦工作多年。

作者尽力为读者提供帮助。他将所有基本计算放入一个特殊的数学补充中，并在书的末尾放置了一本小型解释词典，其中包含最困难和最容易理解的术语。然而，这本书的某些部分对于高中生来说仍然难以理解。确实，其中有很多段落对于准备不足的读者来说是可以理解的。本书的第三章也是最后一章中有很多这样的内容。

我们列出的书籍包含了全新的想法和事实、未来的实验、已发现和未发现的现象和定律。而无论谁接触到这个世界，都一定会得到极大的满足。

V·A·列什科夫采夫

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答案、说明、解决方案

对于任务“只有 2 个？”
（见«Kvant»第6条）

从等式$a + b = ab$我们找到$a$：

$$a = \frac{b}{b - 1}.$$

注意$b \neq 1$。

1. 设 $a - \text{целое число}.$ 由于数字 $b$ 和 $b - 1$ 互质（它们的差除以它们的 gcd，但等于 1），则$b - 1 = 1$ 或 $b - 1 = -1$。

因此$b_1 = 2$，$a_1 = 2$； $b_2 = 0$，$a_2 = 0$。

2. 如果$b$是不等于1的任意有理数，则利用公式(*)我们可以确定$a$。

3. 如果$ab = p$，则$p = \frac{b^2}{b - 1}$，从何而来

$$b^2 - pb + p = 0, \quad b = \frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - p},$$

$$b = \frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p(p - 4)}{2}}.$$

a) 对任何$p \geq 4$或$p \leq 0$使用公式()找到相应的$b$并使用公式()$a$；

6. 我们需要找到是否存在一个数字 $p$ 使得

$$p(p - 4) = \frac{q^2}{s^2},$$

(***)

其中 $\frac{q}{s}$ 是不可约分数。我们用整数 $(p, q, s$ 和 $m$ - 整数求解方程 (*)：

$$q^2 = s^2p(p - 4),$$，但根据分数的不可约性，可以得出$s = 1$。

$$p^2 - 4p - q^2 = 0, \quad p = 2 \pm \sqrt{4 + q^2},$$

$$4 + q^2 = m^2,$$

$$(m - q)(m + q) = 4 \cdot 1 = 2 \cdot 2.$$

整数 $m = \pm 2$、$q = 0$ 的唯一解得出解 (1)。

两个生活场景

“知识渊博”的导游

指南：……牛顿定律适用于行星，因此它们围绕科隆运行。开普勒定律也适用于它们，但我不会告诉你，因为它很复杂，你什么也不会明白……要飞离地球，你需要有第二个逃逸速度。正如你在海报上看到的，它等于11.2公里/秒，去年是11.4公里/秒……这对宇航员来说很难。当他们飞过大气层时，会给飞船带来很大的压力，宇航员会经历超载，但在大气层后面情况更糟——失重的空间从那里开始……

在一个研究所

研究生：我认为压路机在沥青中下垂是因为其压力增加了分子的速度，并且它们从压路机下方逃逸。

科学主管：你现在具体在做什么？

研究生：计算沥青分子的速度与压路机对它们的压力的关系。

科学主管：好的。你需要什么来完成这项工作？

研究生：我想要一台液压机！

科学主管：写一份申请。我想我们会得到它。

三个幻方

65 4 54 64 6 53 70 3 50
24 44 55 23 43 57 20 40 63
34 75 14 36 74 13 33 80 10

67 9 47 69 8 46
26 37 60 25 39 59
30 77 16 29 76 18

72 2 49 66 5 52 68 7 48
19 42 62 22 45 56 27 38 58
32 79 12 35 73 15 28 78 17

魔方是一个由单元格组成的正方形，每个单元格中包含一个数字，使得该正方形的任意行、任意列以及两条对角线上的数字之和相等。

这个 6x6 幻方可以由 图 处可见的绿色 3x3 方格组成。 （查看！）。

任务是填充 3x3 红色正方形的单元格，以便：
a) 红色方块很神奇；
b) 整个 9x9 的大广场也很神奇。

填字游戏答案，
放置在没有。 6.

水平的：
5. 范围。 6.弧度。 8. 球体。 9. 点。
11. 尾巴。 13. 会员。 14. 田野。 16. 链接。
19. 孵化。 21. 接待处。 22.极地。 23.哈达玛。
垂直的：

1. 卡诺。 2. 弥撒。 3. Banh。 4.高斯。 7.天秤座。
2. 吊坠。 12. 伏特。 15. 楔子。 17. 线圈。
3. 支持。 19.施密特。 20. 理想。

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