全联盟函授奥林匹克竞赛

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全联盟通讯奥林匹克

奥运会条件

我们为学校和其他中等教育机构的学生出版全联盟函授奥林匹克数学、物理和化学问题的文本。本届奥林匹克运动会已成为传统奥林匹克运动会，是全联盟物理、数学和化学奥林匹克运动会的组成部分。

成功完成函授奥林匹克竞赛任务的人员将与地区奥林匹克竞赛获胜者平等地受邀参加地区（地区、资源）奥林匹克竞赛。邀请函将发送至家庭住址的公共教育组织。地区和资源竞赛的最佳获胜者将参加重量联盟奥林匹克竞赛的最终类型，并将受邀参加苏联科学院西伯利亚分院的暑期学校。

在每个问题之前，括号中会标明为学生提供该问题的班级，但您也可以尝试解决较早班级的问题。要成为奥运会冠军，你不必解决很多问题。有时，一个机智的解决方案就足够了。但解决问题不仅仅意味着给出答案；还意味着解决问题。有必要证明其合理性，提供准确的证据。该作业不需要高中课程以外的任何知识。每个科目的问题解答必须使用单独的标准格式信封发送。信封上注明物品名称。这封信必须包括一个贴有双面邮票的信封，上面有寄信人地址和邮票（在这个信封中，您将收到有关工作结果的摘录）。解决方案必须写得非常清晰。任务的条件不会被重写，但会显示其数量。

在信的开头，不要忘记注明（清晰地）：

1. 您的姓氏、名字和父名。
2. 邮政家庭地址（详细）。
3. 班级、学校（学校、技工等）、地址。
4. 您在该科目中的老师的姓氏、名字和父名。

西伯利亚、哈萨克斯坦、远东和中亚地区的影响：新西伯利亚、90、奥林匹亚；

• 居住在卡拉尔和科米苏维埃社会主义自治共和国，俄罗斯联邦的阿尔汉格尔斯克、沃洛格达、加里宁格勒、基洛夫、列宁格勒、摩尔曼斯克、诺夫哥罗德和普斯科夫地区：列宁格勒，V-164，列宁格勒国立大学，奥林匹亚；
• 俄罗斯苏维埃联邦社会主义共和国欧洲部分其他领土的居民，包括乌拉尔地区：莫斯科，V-234，莫斯科国立大学，奥林匹达；
• 爱沙尼亚苏维埃社会主义共和国居民：奥林匹达塔尔图国立大学；
• 居住在其他资源区的人 - 前往其资源区首都大学，标记为“Olympida”。
  中央组委会呼吁各位家长、数理化老师和学校领导，熟悉中学生任务情况。

我们祝愿所有奥运会参赛者取得最大成功。

中小学生举重奥林匹克运动会中央组委会

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数学

1. (7-10) 19支球队参加足球锦标赛。证明在锦标赛的每个时刻，一支球队都会找到偶数场比赛（也许没有）。

2. (7-10) 从等于1的单元格一侧在方格纸上画一个半径为$R > 1$的任意圆。证明该圆内至少有 $l(R-1)^2$ 个网格节点。

3. (7-10) 在 5 x 5 的正方形中，有 16 个单元格被涂上阴影。证明可以设计一个 2 x 2 的正方形，其中至少有三个单元格被遮挡。

4. (7-8) 证明数字1970不能表示为两个整数的平方之差。

5. (7-8) 是否可以用 99 个相同的正方形瓷砖组成一条闭合链（使得每两个相邻的正方形都有公共边并且彼此不重叠）？

6. (7-10) 在底边为$AC$的等边三角形$ABC$中，有一条二边$CD$（D是边$AB$上的一点）和一条垂直于$CD$的线$DE$（E是线$AC$上的一点）。证明$CE=2AD$。

7. (9-10)证明至少两个数$\sqrt{m}; \sqrt{n}$不超过$\sqrt{3}$； $m$和$n$是任何大于1的自然数。

8. (8-10) 如果三角形$APB$和$CPD$的面积之和等于三角形$BPC$和$DPA$的面积之和，则称四边形$ABCD$的内点为好点。哪些四边形有三个不在同一条线上的好点？

9. (8-10) 求解 $x$ 方程

$$\frac{1}{x} = \frac{1}{a-x} + \frac{1}{b-x} + \frac{1}{a+b-x}.$$

10. (7-10)是否可以将单个数表示为和

$$\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} + \frac{1}{n_3} + \dots + \frac{1}{n_{1971}}$$

其中 $n_1, n_2, n_3, \dots, n_{1971}$ 是不同的奇自然数？

物理

1. (8) 重杆以$90^\circ$角度在中间对齐，并自由悬挂在一端。连接的一侧与垂直方向成什么角度？

2. (8)当中子流通过1毫米厚的镉板时，粒子数量减少15%，但速度没有变化。多少比例的中子通量会穿过相同材料的 8 毫米厚的板？

3. (8-9) 长度为$l$、质量$m$的数学垫子摆动如下：每次垫子经过平衡位置时，平行于速度方向的力$F$会在短时间内作用在其上。振荡多少次后，matnik 将在 $90^\circ$ 处关闭？

4. (8-10) 一颗质量为$m$的子弹，以初始速度$v$飞行，刺穿一个质量为$m$的悬挂重物，并粘在第二个类似的重物上。忽略子弹与重物相互作用的时间，如果第二个重物释放的热量等于$Q$，则求第一个重物释放的热量。

5. (8-10) 单根线自由悬挂，两端高度相同。底点线张力$T$。线重$m$。求接近悬挂点处的张力。

6. (9-10) 理想气体的过程$P-V$图用平行线图(图1)表示。画出这个过程的$T-V$图。

7. (10) 求电容器接地极板上的电荷(图2)。

8. (10) Trem 相同的绝缘电容器熵$C$ 每个被赋予相应的电荷$q_1, q_2$ 和$q_3$。然后按照图 3所示连接电容器。电容器上还剩下哪些电荷？

9. (10) 将图4所示的电路连接到幅值为220V、周期为1/50秒的交流电压源。求电阻 $R$ 和 dopudenta 两端电压的最大值，在此期间电路中的电流不为零。绘制电阻 $R$ 两端的电压与时间的关系图。考虑到流经双点的电流对施加在其上的电压（如图中的虚线所示）的依赖性，具有足够的精度，似乎已被打破$ABC$。电池的内阻是可以克服的。

10. (9-10)在光通信系统中，发送激光束具有顶角$\alpha=10^{-4}$rad(光束发散角)的圆锥形状。在接收装置中，使用直径为 $D=1$ m 的透镜将光能聚焦到光电管上。事实证明，当发射器和接收器之间的距离$L$从5公里变化到10公里时，由于大气中的光吸收，聚焦输出处的信号减少了2倍。当距离$L$从10公里变化到20公里时，信号变化了多少次？

化学

1. (8) 如果我们假设1908年爆炸的通古斯陨石是由铁和石构成的，其碎片落入地下，那么你能说什么呢