摘自 P. Fermat 的著作

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现在将方程（2）和（3）相加，我们得到

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right).$$

当然，这个公式与公式（1）一样，只适用于与光轴成小角度传播的窄光束。

在 $a \to \infty$ 处，距离 $b$ 等于镜头的焦距

$$b = f = \frac{1}{(n - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)}.$$

相反，如果$b \to \infty$，则根据成像原理，$a = f$，因此

$$a = f = \frac{1}{(n - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)}.$$

因此，透镜的焦距由以下方程给出

$$\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right).$$

这意味着透镜公式(4)可以改写如下：

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}.$$

如果将透镜的一个或两个凸面改为凹面，则式(5)中需要改变相应面的曲率半径的符号。因此，公式（5）不仅可以让您找到自己的镜头的焦距，还可以找到发散镜头的焦距。

您可以在《费曼物理讲座》一书中了解更多有关费马原理及其应用的信息，卷。 3.

任务

1. 证明如果$n_{12}$是介质1到介质2过渡的折射率，$n_{13}$是介质1到介质3过渡的折射率，则介质2到介质3的折射率为

$$n_{23} = \frac{n_{13}}{n_{12}}.$$

2. 当我们看夕阳时，它实际上已经在地平线以下了。用费马原理解释这个现象。

3. 什么样的镜子应该使得来自点$A$的光总是到达点$B$，无论它离开点$A$的方向如何？

4. 利用费马原理，推导出球面镜的公式。

摘自 P. Fermat 的著作

最有学问的笛卡尔提出了折射定律，人们认为该定律与实验一致，但为了证明这一点，他提出了一个假设，根据该假设，人们普遍需要接受光在致密介质中的运动比在稀有介质中更容易、更连续地发生，这似乎与自然事实相矛盾。

因此，由于我们试图从相反的公理推导出真正的折射定律，即光的运动在稀有介质中比在致密介质中更容易且连续地发生，所以我们过早地遇到了笛卡尔的对应关系。是否有可能在没有错误结论的情况下将折射应用于真相？让更微妙、更有建设性的数学家来探索距离。抛开空洞的猜测，我们认为，与其进行不必要的、无用的争论，不如牢牢掌握真理本身。

我们的证明基于一个假设：自然以更微妙、更容易理解的方式发挥作用。我们相信，这就是这种思想应该表达的方式，而不是以令人愉快的绕过地平线的方式，即自然总是沿着最短的路线行事。

正如加利在考察自然界中重体的运动时，改变这种运动的比例，与其说是通过距离，不如说是通过时间，我们也考虑的不是最短的距离或直线，而是那些可以更容易、更方便、在更短的时间内穿过的距离或直线……