Từ công trình của P. Fermat

23

Bây giờ cộng các phương trình (2) và (3), ta được

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right).$$

Công thức này, cũng như công thức (1), dĩ nhiên chỉ đúng đối với chùm tia hẹp truyền dưới một góc nhỏ so với trục quang học.

Khi $a \to \infty$, khoảng cách $b$ bằng tiêu cự của thấu kính

$$b = f = \frac{1}{(n - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)}.$$

Nếu ngược lại, $b \to \infty$, thì, theo nguyên lý thuận nghịch, $a = f$, và do đó

$$a = f = \frac{1}{(n - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)}.$$

Như vậy, tiêu cự của thấu kính được xác định bởi phương trình

$$\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right).$$

Điều này có nghĩa là công thức thấu kính (4) có thể viết lại như sau:

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}.$$

Nếu một hoặc hai mặt lồi của thấu kính được thay bằng mặt lõm, thì trong công thức (5) cần đổi dấu bán kính cong của mặt tương ứng. Như vậy, công thức (5) cho phép tìm tiêu cự không chỉ của thấu kính hội tụ mà cả của thấu kính phân kỳ.

Có thể tìm hiểu chi tiết hơn về nguyên lý Fermat và các ứng dụng của nó trong cuốn sách “Các bài giảng Feynman về vật lý”, tập 3.

Bài tập

1. Chứng minh rằng nếu $n_{12}$ là chiết suất khi chuyển từ môi trường 1 sang môi trường 2, còn $n_{13}$ — là chiết suất khi chuyển từ môi trường 1 sang môi trường 3, thì chiết suất từ môi trường 2 sang môi trường 3 bằng

$$n_{23} = \frac{n_{13}}{n_{12}}.$$

2. Khi chúng ta nhìn Mặt Trời lặn, thì thực ra nó đã ở dưới đường chân trời. Hãy giải thích hiện tượng này bằng nguyên lý Fermat.

3. Gương phải như thế nào để ánh sáng từ điểm $A$ luôn đi tới điểm $B$ bất kể nó rời điểm $A$ theo hướng nào?

4. Dùng nguyên lý Fermat, suy ra công thức của gương cầu.

Từ công trình của P. Fermat

Descartes uyên bác đã đề xuất định luật khúc xạ, mà người ta cho là phù hợp với thí nghiệm, nhưng để chứng minh nó, ông đã đưa ra một tiên đề, theo đó nói chung phải thừa nhận rằng sự chuyển động của ánh sáng trong môi trường đặc hơn diễn ra dễ dàng và liên tục hơn trong môi trường loãng, điều này, dường như, trái với các sự thật tự nhiên.

Vậy nên, vì chúng ta cố suy ra định luật khúc xạ đúng đắn từ tiên đề ngược lại, cụ thể là sự chuyển động của ánh sáng diễn ra dễ dàng và liên tục hơn trong môi trường loãng so với môi trường đặc, nên chúng ta sớm gặp sự phù hợp với Descartes. Liệu nói chung có thể đi đến chân lý bằng con đường khúc xạ mà không có những suy luận sai lầm hay không — xin hãy để những nhà toán học tinh tế và có óc xây dựng hơn khảo cứu. Còn chúng ta, gác sang một bên những suy biện trống rỗng, cho rằng tốt hơn là nắm vững chính chân lý, còn hơn sa vào những tranh luận thừa thãi và vô ích.

Chứng minh của chúng tôi dựa trên một tiên đề: tự nhiên tác động theo những con đường tinh tế và dễ đi hơn. Chúng tôi cho rằng cần diễn đạt ý này chính xác như vậy, chứ không phải như người ta vẫn thường nói, rằng tự nhiên luôn tác động theo những đường ngắn nhất.

Cũng như Galilei, khi xem xét chuyển động của các vật nặng trong tự nhiên, đã đánh giá chuyển động ấy không theo khoảng cách mà theo thời gian, chúng tôi cũng xét không phải những khoảng cách hay đường ngắn nhất, mà những đường có thể đi qua dễ dàng hơn, thuận tiện hơn và trong thời gian ngắn hơn…