Tĩnh điện học bằng ngôn ngữ của các đường sức

2

Tĩnh điện học bằng ngôn ngữ
đường sức

Thông thường tĩnh điện học được nghiên cứu như sau: viết định luật Coulomb về lực tương tác của hai điện tích điểm $q_1$ và $q_2$: $F = \frac{q_1 q_2}{r^2}$ (r — khoảng cách giữa các điện tích) — rồi bằng những phép tính toán học khi đơn giản, khi phức tạp, thu được mọi hệ quả của định luật này, coi rằng điện tích của bất kỳ vật nào cũng có thể biểu diễn như một tập hợp các điện tích điểm được phân bố thích hợp.

Nhưng thường việc phân tích toán học chính xác của điện trường và sự phân bố điện tích lại trở nên phức tạp. Khi đó, những phương tiện đơn giản — tính đối xứng và hình ảnh các đường sức của trường — đến trợ giúp. Tất nhiên, chúng không thể cho một hình dung đầy đủ như các phép tính toán học, nhưng trực quan và giúp «nhìn thấy» cũng như dự đoán điện trường sẽ có những đặc điểm nào và các điện tích sẽ tương tác ra sao.

Đường sức của trường là gì

Lấy một điện tích điểm $q$. Điện tích này tạo ra trong không gian xung quanh một điện trường, được xác định hoàn toàn nếu tại mỗi điểm của không gian xác định được hướng của trường — lực sẽ tác dụng lên một điện tích điểm dương đơn vị nếu đặt nó tại điểm đó. Để hình dung trực quan điện trường trong toàn không gian, có thể thử biểu diễn nó bằng một tập hợp các vectơ, chẳng hạn tại những điểm khác nhau của không gian, sao cho mỗi vectơ chỉ hướng của trường (độ lớn và hướng của nó) tại điểm mà nó xuất phát. Tuy nhiên, ngay lập tức thấy rõ rằng cách biểu diễn trường như vậy không thuận tiện: các mũi tên riêng lẻ chồng lên nhau, tạo thành một hình ảnh rối rắm, khó có thể phân biệt được.

Faraday đề xuất biểu diễn trường bằng các đường sức. Đó là những đường mà hướng của chúng tại mỗi điểm trùng với hướng của trường tại điểm đó. Đối với một điện tích điểm, vẽ các đường sức rất đơn giản. Đó là những đường thẳng (tia) đi qua điểm đặt điện tích. Nếu điện tích dương, thì các đường sức —

Hình 1.

4

Quan sát các hình 3 và 4, có thể nhận thấy rằng đối với các điện tích khác dấu, các đường sức dường như nối các điện tích với nhau, còn trong trường hợp các điện tích cùng dấu, các đường sức dường như đẩy chúng ra. Nếu gán cho các đường sức tính chất co lại theo chiều dài của chúng và đẩy nhau theo phương ngang, thì có thể nói rằng các đường sức nối các điện tích khác dấu kéo chúng lại gần nhau, còn các đường sức của các điện tích cùng dấu, khi đẩy nhau, cũng đẩy chính các điện tích ra xa nhau. Tất nhiên, không thể coi rằng các đường sức của trường thực sự tồn tại, nhưng với cách hiểu như vậy, thường chỉ cần nhìn vào hình ảnh của trường cũng có thể dự đoán kết quả tương tác của các điện tích. Những «tính chất» này của các đường sức, như không khó nhận thấy, còn có thể cho biết nhiều hơn — về độ lớn của trường.

Định lý Gauss

Như vậy, hình ảnh các đường sức cho thấy hướng của vectơ trường tại mỗi điểm. Nhưng đó chưa phải là tất cả. Hóa ra những hình ảnh này còn có thể cho biết nhiều hơn — về độ lớn của trường.

Something went wrong. If this issue persists please contact us through our help center at help.openai.com.

lực tuyến đi ra khỏi một mặt kín có hình dạng tùy ý trừ số lực tuyến đi vào nó bằng $4\pi Q$, trong đó $Q$ là tổng điện tích nằm trong thể tích được giới hạn bởi mặt này. Nếu điện tích $Q$ âm, thì số tuyến đi ra khỏi thể tích được giới hạn bởi mặt nhỏ hơn số lực tuyến đi vào đó. Nếu trong thể tích được giới hạn bởi mặt không có điện tích, thì số lực tuyến đi ra khỏi đó bằng số lực tuyến đi vào.

Thế năng và các mặt đẳng thế

Trước khi bắt tay vào vận dụng những kiến thức của chúng ta — giải các bài toán cụ thể, hãy nhớ thêm một đặc trưng nữa của trường — thế năng. Vấn đề là đối với nó có thể tìm được một hình ảnh hình học liên hệ chặt chẽ với hình ảnh các lực tuyến. Mối liên hệ này thường giúp vẽ và phân tích hình ảnh các lực tuyến của trường.

Trước hết hãy nhắc lại thế năng của trường điện là gì.

Nếu khi di chuyển một điện tích trong trường, ta trở về điểm ban đầu, thì công toàn phần được thực hiện khi dịch chuyển điện tích điểm từ điểm này của trường đến điểm khác không phụ thuộc vào hình dạng của đường đi. Nếu không, ta có thể đi trước theo đường mà công nhỏ hơn, rồi quay về theo đường mà công lớn hơn. Công toàn phần sẽ không bằng không. Chính vì công không phụ thuộc vào hình dạng đường đi mà có thể đưa vào khái niệm thế năng. Thế năng của trường tại một điểm bằng công do trường thực hiện khi dịch chuyển một điện tích điểm dương đơn vị từ điểm đó của trường ra vô cực.

Thế năng có thể dương hoặc âm. Thế năng của trường điện tích dương là dương, còn thế năng của trường điện tích âm là âm. Trong trường hợp thứ nhất, lực tác dụng

6

на переносимый заряд со стороны поля, направлена в ту же сторону, в которой движется заряд, а во втором — против движения (поле совершает отрицательную работу). Thế năng là một đại lượng vô hướng, không có hướng trong không gian. Đối với điện tích điểm $q$ ở khoảng cách $r$ từ nó, thế năng bằng $\frac{q}{r}$. Nếu cần tìm thế năng của trường do một số điện tích tạo ra, ta phải cộng các thế năng của các trường do từng điện tích riêng biệt tạo ra, có tính đến dấu của chúng. Thế năng liên hệ như thế nào với hình ảnh các đường sức? Ta vẽ một mặt đẳng thế, trên đó thế năng ở mọi nơi đều không đổi. Những mặt như vậy gọi là các mặt đẳng thế. Đối với điện tích điểm, các mặt đẳng thế là những mặt cầu có tâm tại điểm đặt điện tích. Dễ thấy rằng các đường sức của trường luôn phải vuông góc với các mặt đẳng thế. Nếu không như vậy, sẽ tồn tại thành phần của trường hướng dọc theo mặt, và do đó khi di chuyển điện tích dọc theo nó sẽ có công được thực hiện. Thế năng sẽ thay đổi dọc theo mặt, và mặt đó không thể là mặt đẳng thế. Ta còn có thể thấy một mối liên hệ quan trọng khác giữa các mặt đẳng thế và các đường sức của trường. Nếu lấy hai mặt đẳng thế gần nhau, thì hiệu thế năng của chúng bằng công để chuyển điện tích điểm dương đơn vị từ mặt này sang mặt kia. Vì lực tác dụng lên điện tích như vậy bằng cường độ trường, nên $\Delta \varphi = E \Delta r$, hay $E = \frac{\Delta \varphi}{\Delta r}$. Điều này có nghĩa là các mặt đẳng thế dày hơn ở nơi trường mạnh hơn, và thưa hơn ở nơi trường yếu hơn: với cùng một hiệu thế năng, khoảng cách $\Delta r$ giữa các mặt lớn hơn ở nơi trường nhỏ hơn, và ngược lại.

Bây giờ ta có thể chuyển sang giải các bài toán cụ thể.

Trường của quả cầu rỗng tích điện đều

Ta có thể khẳng định ngay rằng do tính đối xứng của trường, các đường sức ở mọi nơi đều hướng theo bán kính và mật độ các đường sức theo mọi hướng là như nhau. Bên trong quả cầu trường bằng không. Nếu không, các đường sức của trường bên trong quả cầu sẽ hướng vào tâm hoặc ra xa tâm quả cầu. Điều đó có nghĩa là ở tâm quả cầu có một điện tích điểm.

Để tìm trường điện ở bên ngoài quả cầu, hãy nhớ rằng cường độ trường bằng mật độ các đường sức, nếu chỉ có điều tổng số đường sức đi ra từ điện tích $Q$ bằng $4\pi Q$. Ta vẽ một mặt cầu bán kính $R$ có tâm ở tâm của quả cầu tích điện. Số đường sức cắt mặt cầu đã vẽ bằng cường độ trường nhân với diện tích mặt cầu: $N = E \cdot S = E \cdot 4\pi R^2$. Theo định lý Gauss

$$N = 4\pi Q,$$ từ đó $E = \frac{Q}{R^2}$.

Cường độ trường bên ngoài quả cầu cũng giống như của điện tích điểm đặt ở tâm quả cầu. Rõ ràng rằng thế năng tại mọi điểm của trường bên ngoài quả cầu cũng sẽ giống như thế năng của điện tích điểm. Thế năng của tất cả các điểm nằm trên bề mặt quả cầu đều như nhau và bằng $\frac{Q}{r}$, trong đó $r$ — bán kính của quả cầu. Thế năng của mọi điểm bên trong quả cầu cũng sẽ như vậy: khi di chuyển điện tích đến điểm này từ mặt cầu ta không thực hiện công (bên trong quả cầu trường có hướng, và do đó cả lực tác dụng lên điện tích, đều bằng không). Sự phụ thuộc của cường độ trường điện của quả cầu tích điện đều vào khoảng cách đến tâm quả cầu được chỉ ra trên hình 6, 6.

Sự không có trường bên trong quả cầu tích điện có thể, dĩ nhiên, được chứng minh

7có thể, dĩ nhiên, được chứng minh

7

và hệ quả từ định luật Coulomb.
Lấy một điểm tùy ý $A$ bên trong quả cầu (hình 7). Hãy tưởng tượng một hình nón hẹp đi từ điểm $A$, cắt trên mặt quả cầu hai mảnh cầu nhỏ $\Delta S_1$ và $\Delta S_2$. Nếu $r_1$ và $r_2$ — là các khoảng cách từ điểm $A$ đến các phần này, thì $\frac{\Delta S_1}{\Delta S_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$.

Vì quả cầu được tích điện đều, nên điện tích của các phần tỉ lệ với diện tích của chúng. Do đó $\frac{q_1}{q_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$, còn các điện trường do các phần này tạo ra tại điểm $A$ triệt tiêu lẫn nhau:

$$\frac{E_1}{E_2} = \frac{\frac{q_1}{r_1^2}}{\frac{q_2}{r_2^2}} = 1.$$

Như vậy có thể chia toàn bộ quả cầu thành các cặp phần. Do đó, điện trường tại điểm $A$ bằng không.

Hình dung về các đường sức đã cho phép thu được cùng kết quả này đơn giản hơn và nhanh hơn.

Mặt phẳng tích điện đều và tụ điện phẳng

Bây giờ xét điện trường của một mặt phẳng vô hạn (chính xác hơn là rất lớn) tích điện đều, trên một đơn vị diện tích của nó có điện tích $σ$.

Rõ ràng rằng các đường sức của điện trường do mặt phẳng tạo ra vuông góc với mặt phẳng và mật độ của chúng ở mọi nơi là như nhau (hình 8): nếu các đường sức bị nghiêng về một phía, điều đó có nghĩa là một hướng dọc theo mặt phẳng khác với các hướng khác; nếu mật độ các đường sức tại các điểm khác nhau gần mặt phẳng là khác nhau, điều đó có nghĩa là các điểm này, điều dĩ nhiên không thể xảy ra, khác nhau về một điều gì đó.

Dựng một mặt trụ có hai đáy song song với mặt phẳng và có diện tích bằng một đơn vị. Các đường sức của điện trường không cắt mặt bên của trụ,

8

còn số đường sức đi qua các đáy của trụ, theo định lý Gauss, bằng 4лσ. Điều này có nghĩa là theo mỗi hướng (sang trái của mặt phẳng và sang phải của nó) có 2лσ đường sức đi qua một đơn vị diện tích (hình 8). Như vậy, hướng của điện trường của một bản vô hạn tích điện đều ở mọi nơi là như nhau, không phụ thuộc vào khoảng cách đến bản và bằng

$$E = 2\pi\sigma.$$

Nếu bây giờ lấy hai mặt phẳng tích điện trái dấu (hình 9), thì ở hai phía của tụ điện tạo bởi các mặt phẳng này, các điện trường triệt tiêu lẫn nhau. Còn bên trong, giữa các bản, các điện trường có cùng hướng và cộng lại, tạo thành điện trường

$$E = 4\pi\sigma.$$

Mặc dù điện trường ở các mép của tụ điện sẽ bị biến dạng, ở phần giữa ta có thể coi nó giống nhau cả về độ lớn lẫn hướng. Điện trường như vậy được gọi là điện trường đều.

Vật dẫn trong điện trường

Cho đến nay chúng ta coi vị trí của các điện tích là đã cho, và chỉ còn phải tìm điện trường do các điện tích này tạo ra. Bài toán trở nên phức tạp hơn khi chúng ta có các vật dẫn, trong đó các điện tích có thể tự do chuyển động. Nếu chẳng hạn đưa một điện tích lại gần vật dẫn (hình 10), thì các electron trong vật dẫn bắt đầu chuyển động dưới tác dụng của điện trường của điện tích này. Khi đó trên bề mặt vật dẫn sẽ xuất hiện các điện tích, điện trường của chúng bên trong vật dẫn hướng ngược với điện trường ngoài. Điều này sẽ tiếp tục cho đến khi điện trường bên trong vật dẫn trở thành bằng không. Đồng thời, các điện tích xuất hiện trên bề mặt vật dẫn tất nhiên cũng sẽ làm thay đổi điện trường bên ngoài vật dẫn.

Điện trường bên trong vật dẫn luôn bằng không, còn điện trường bên ngoài vật dẫn.