Kvant
Điểm sách và thư mục

Lịch sử lịch và niên đại học

Хренов Л. С.

Kvant 1970, số 11tr. 61-64Thẻ DPXJ

Bản dịch máy từ tiếng Nga (gpt-5.6-terra). Chưa được người kiểm tra. Bản gốc →

61

(ví dụ 121 ở trang 159, nơi sử dụng công thức chuyển sang lôgarit cơ số xx).

Vì một lý do không rõ, các tác giả lập tức thu hẹp hoặc, nói đúng hơn, chỉ ra không đúng ĐKXĐ của hệ 76 (trang 146): ở đây chấp nhận được cả x>0x>0, y>0y>0, lẫn x<0x<0, y<0y<0 (một chuyện khác là từ phương trình thứ hai của hệ suy ra ngay rằng trong miền x<0x<0, y<0y<0 không có nghiệm, nhưng sự kiện này không liên quan đến việc tìm ĐKXĐ).

Khi khảo sát hệ hai phương trình tuyến tính hai ẩn tổng quát, các tác giả khẳng định rằng nếu Δ=0\Delta=0, còn ít nhất một trong các số Δx\Delta_x hoặc Δy\Delta_y khác không, thì trong trường hợp đó Δx≠0\Delta_x\neq0 và Δy≠0\Delta_y\neq0 (trang 126). Khẳng định này đơn giản là sai, điều đó dễ thấy qua ví dụ hệ

0⋅x−1⋅y=0,0⋅x+1⋅y=1,0 \cdot x - 1 \cdot y = 0, \quad 0 \cdot x + 1 \cdot y = 1,

mà đối với nó Δ=0\Delta=0, Δx=1\Delta_x=1, Δy=0\Delta_y=0. Vì vậy, không thể thừa nhận việc khảo sát trường hợp hệ không tương thích do tác giả đề nghị là thỏa đáng.

Trong sách có nêu (tr. 33) một định nghĩa không thành công về hàm tuần hoàn (từ định nghĩa này và định lý tiếp theo sau nó suy ra rằng hàm y=sin⁡(x)2y=\sin(\sqrt{x})^2 phải có chu kỳ 2π2\pi, điều này không đúng), có nói (tr. 18) rằng tích của hai số phức liên hợp là một số thực dương (thực ra — không âm), có khẳng định (tr. 212) rằng việc cho hai số hạng đầu của một cấp số nhân xác định công bội của nó (điều này chỉ đúng nếu định nghĩa cấp số nhân là một dãy có số hạng đầu khác không), v.v.

Có thể tiếp tục liệt kê các lời giải sai hoặc không thành công của các bài toán, các thiếu sót hoặc không chính xác khi trình bày các vấn đề lý thuyết. Nhưng ngay cả những ví dụ đã nêu cũng cho thấy rằng cuốn sách đang xét sẽ ít có ích cho các trường đại học sử dụng nó và đúng hơn là sẽ làm họ bối rối.

LỊCH SỬ
LỊCH
VÀ
NIÊN ĐẠI HỌC

Đó là tên cuốn sách *), trong đó tác giả đã kể rất thú vị và rõ ràng về lịch sử phức tạp của lịch.

Từ xa xưa, con người đã cảm nhận dòng chảy của thời gian khi quan sát sự luân phiên không ngừng của ngày và đêm, sự lặp lại có hệ thống của các hiện tượng tự nhiên. Nhưng con người chỉ học cách đo thời gian muộn hơn nhiều. Từ thế kỷ XIX cho đến ngày nay, đặc biệt là trong năm mươi năm gần đây, «vấn đề lịch» thu hút sự chú ý lớn ở nhiều nước trên thế giới. Do sự không hoàn thiện của lịch Gregory được đưa vào từ năm 1582 và hiện đang được dùng ở đa số các nước, ngay từ năm 1923 tại Genève, bên cạnh Hội Quốc liên đã tổ chức Ủy ban quốc tế về cải cách lịch. Mục đích của nó là tạo ra một lịch thế giới bất biến, đáp ứng những yêu cầu của đời sống kinh tế và văn hóa của xã hội.

Hệ thống đếm các khoảng thời gian dài — lịch — đã được tạo ra và hoàn thiện như thế nào? Lịch âm, âm-dương và dương là gì? Cơ sở toán học của các loại lịch là gì? Những loại lịch nào đã tồn tại ở các nước thời cổ — Ai Cập, Hy Lạp, La Mã, Babylon? Có đúng là lịch của người Maya ở Trung

*) S. I. Seleshnikov. Lịch sử lịch và niên đại học, NXB «Nauka», M., 1970.

62

Mỹ, tồn tại từ nhiều thế kỷ trước, chính xác hơn lịch hiện đại của chúng ta? Cuốn «Lịch sử lịch và niên đại học» trả lời những câu hỏi này.

Chương đầu của sách mô tả những hình thức nguyên thủy xác định thời gian, bắt đầu từ các vết khía trên que hoặc những nút thắt trên các sợi dây đặc biệt. Ở đây cũng nêu những tư liệu thú vị về cách tính đầu năm ở các dân tộc khác nhau trên hành tinh của chúng ta.

Cơ sở thiên văn của lịch là nội dung của chương thứ hai. Trong đó xem xét chi tiết ba đơn vị đo thời gian cơ bản: ngày mặt trời, tháng âm lịch và năm mặt trời, tạo thành nền tảng của mọi hệ thống lịch.

Chương thứ ba, dành cho các lịch mặt trời, bắt đầu bằng lý thuyết toán học của chúng. Nó chứa sự mô tả chi tiết các loại lịch khác nhau, từ lịch Ai Cập cổ đại cho đến lịch của Cách mạng Pháp cuối thế kỷ XVIII, được một ủy ban đặc biệt xây dựng dưới sự chỉ đạo của Gilbert Romme (1750—1785).

Trong sách (các chương IV và V) trình bày chi tiết về các lịch âm, âm-dương và lịch của các dân tộc châu Á.

Cho đến gần đây, người ta cho rằng cái nôi của thiên văn học là các nước Trung Đông, Trung Hoa cổ đại và Ấn Độ. Tuy nhiên, trong những thập niên gần đây, các nhà khảo cổ học đã phát hiện một trung tâm văn hóa mới nằm trên lãnh thổ Tân Thế giới. Họ xác lập rằng trên bán đảo Yucatán, nơi xưa kia người da đỏ thuộc bộ lạc Maya sinh sống, đã tồn tại một nền văn hóa độc đáo; ở dân tộc này, thiên văn học gắn với các nhu cầu thực tiễn đã phát triển đặc biệt. Lần đầu tiên trong văn học, tác giả dành một vị trí quan trọng như vậy cho lịch và niên đại học của người Maya (chương VI), giới thiệu chi tiết với độc giả các hệ thống lịch mà họ sử dụng.

Mô tả lịch sử lịch ở Nga và ở Liên Xô, bắt đầu từ người Slav cổ, được tác giả đưa đến tận thời đại chúng ta. Ở đây cũng không bỏ sót nguồn gốc của tuần bảy ngày.

Cuốn sách kết thúc bằng một câu chuyện chi tiết về Lịch Thế giới. Phân tích những thiếu sót của lịch hiện hành, tác giả nêu ra các dự án cải cách khác nhau, trong đó có dự án Lịch Thế giới đã được Hội đồng Kinh tế và Xã hội Liên Hợp Quốc xem xét.

Niên đại học và một số kỷ nguyên lịch được mô tả trong chương cuối. Phần phụ lục đưa ra nhiều loại lịch và nhiều tư liệu rất thú vị, trong đó có bảng lịch “vĩnh cửu” để xác định thứ trong tuần của bất kỳ ngày lịch nào.

Mặc dù dung lượng cuốn sách nhỏ, tác giả đã thành công trong việc trình bày và hệ thống hóa một phạm vi rộng các vấn đề liên quan đến “vấn đề lịch”.

Nhiệm vụ mà tác giả đặt ra — tạo nên “… một sổ tay bách khoa ngắn gọn về các vấn đề niên đại học và lịch” — đã được hoàn thành, và cuốn sách này chắc chắn có ý nghĩa đối với đông đảo độc giả nhất.

L. S. Khrenov

63

Về bài «Tĩnh điện học bằng ngôn ngữ các đường sức»

  1. Hình dạng các đường sức như trên hình vẽ. Điện tích bên trái lớn gấp đôi điện tích bên phải.
  2. Không, không thể. Nếu tồn tại một đường sức khép kín, thì khi dịch chuyển điện tích dọc theo nó, ta sẽ thực hiện một công khác không.
  3. Không. Hướng của tiếp tuyến với đường sức trùng với hướng của lực tác dụng lên điện tích, và do đó trùng với hướng gia tốc của điện tích. Còn quỹ đạo chuyển động của điện tích là đường mà hướng tiếp tuyến trùng với hướng vận tốc của điện tích.
  4. Ta dựng một mặt cầu bán kính rr có tâm trùng với tâm của các mặt cầu tích điện. Từ tính đối xứng suy ra rằng mật độ các đường sức cắt mặt cầu này là như nhau tại mọi điểm. Điều đó có nghĩa là cường độ điện trường, bằng mật độ các đường sức, phụ thuộc vào khoảng cách đến tâm mặt cầu. Tổng số đường sức cắt mặt cầu mà ta đã dựng bằng 4πr2E4\pi r^2 E, trong đó EE — cường độ điện trường trên mặt cầu. Theo định lý Gauss
    4πr2E=4πQ,4\pi r^2 E = 4\pi Q,
    hay
    E=Qr2,E = \frac{Q}{r^2},
    trong đó QQ — điện tích nằm bên trong mặt cầu.
    Nếu r<R1r < R_1, thì Q=0Q = 0 và E=0E = 0; nếu R1≤r<RR_1 \leq r < R, thì Q=q1Q = q_1 và E=q1r2E = \frac{q_1}{r^2}; nếu r≥R2r \geq R_2, thì
    Q=q1+q2 vaˋ E=q1+q2r2.Q = q_1 + q_2 \text{ và } E = \frac{q_1 + q_2}{r^2}.
  5. Dựng, như khi giải bài toán trước, một mặt cầu bán kính rr có tâm tại tâm của quả cầu tích điện, ta thấy rằng E=Qr2E = \frac{Q}{r^2}, trong đó QQ — điện tích nằm bên trong mặt cầu. Nếu mật độ điện tích (điện tích trên một đơn vị thể tích) là ρρ, còn bán kính quả cầu tích điện là RR, thì khi r<Rr < R Q=43πr3ρQ = \frac{4}{3} \pi r^3 ρ và
    E=43πrρ,E = \frac{4}{3} \pi r ρ,
    nghĩa là cường độ điện trường tăng tỉ lệ với bán kính của mặt cầu mà ta đã dựng.
    Khi r<Rr < R Q=43πR3ρQ = \frac{4}{3} \pi R^3 ρ và E=4πR3ρ3r2E = \frac{4\pi R^3 ρ}{3r^2} — bên ngoài quả cầu, cường độ điện trường biến thiên như trong trường hợp điện tích QQ tập trung tại tâm quả cầu.
  6. Bài toán này được giải bằng cùng phương pháp như các bài trước, chỉ khác là để dùng định lý Gauss, cần dựng không phải mặt cầu mà là mặt trụ có trục trùng với trục của sợi dây. Vì sợi dây là vô hạn và tích điện đều, nên các đường sức cắt mặt trụ theo phương bán kính, hơn nữa mật độ của chúng là như nhau tại mọi điểm trên mặt trụ. Điều đó có nghĩa là cường độ điện trường chỉ phụ thuộc vào khoảng cách đến sợi dây. Nếu chiều cao của hình trụ dựng được bằng 1, còn bán kính đáy là rr, thì mặt trụ bị n=2πr⋅1⋅En = 2\pi r \cdot 1 \cdot E đường sức cắt qua. Theo định lý Gauss
    2πr⋅1⋅E=ρ⋅12\pi r \cdot 1 \cdot E = ρ \cdot 1

64

(ρ — điện tích trên một đơn vị chiều dài của sợi dây, ρ·1 — điện tích nằm bên trong hình trụ). Do đó E=ρ2πrE = \frac{\rho}{2\pi r}.

  1. Bài toán được giải tương tự bài trước. Nếu RR — bán kính của hình trụ tích điện, ρ — mật độ điện tích và rr — khoảng cách đến trục của hình trụ, thì

E={πr2⋅1⋅ρ2πr⋅1=12rρпри r<R,πR2ρ⋅12πr⋅1=R2ρ2rпри r≥R.E = \begin{cases} \frac{\pi r^2 \cdot 1 \cdot \rho}{2\pi r \cdot 1} = \frac{1}{2} r\rho & \text{при } r < R, \\ \frac{\pi R^2 \rho \cdot 1}{2\pi r \cdot 1} = \frac{R^2\rho}{2r} & \text{при } r \geq R. \end{cases}

  1. Giả sử rằng điện trường trong khoang không bằng không. Vì trong khoang không có điện tích mà tại đó các đường sức có thể bắt đầu hoặc kết thúc, nên các đường sức nhất thiết phải đi qua toàn bộ khoang, không bị gián đoạn. Nếu ta di chuyển một điện tích dọc theo một trong các đường sức ấy, ta sẽ thực hiện một công nào đó khác không. Điều đó có nghĩa là các điểm trên biên của khoang nằm trên đường sức này có các thế khác nhau. Nhưng điều đó không thể có, vì khoang nằm bên trong kim loại. Vậy điện trường trong khoang nhất thiết phải bằng không.

Cho bài “Rút gọn các phân thức đại số”

  1. x2−x−19(x2+x−1)\frac{x^2 - x - 1}{9(x^2 + x - 1)}.
  2. x+ax2+ax+a2\frac{x + a}{x^2 + ax + a^2}.
  3. a−1x2+2x+2\frac{a - 1}{x^2 + 2x + 2}.
  4. 715x2−23\frac{7}{15x^2 - 23}.

Cho bài “Cực đại, cực tiểu và định lý về trung bình”

  1. Gọi bán kính của quạt tròn cần tìm là RR, độ dài cung là LL và diện tích quạt tròn là SS. Khi đó P=2R+LP = 2R + L, S=RL2S = \frac{RL}{2}. Theo định lý

4S=2RL≤(2R+L2)2=(P2)2=P24,4S = 2RL \leq \left(\frac{2R + L}{2}\right)^2 = \left(\frac{P}{2}\right)^2 = \frac{P^2}{4},

suy ra S≤P216S \leq \frac{P^2}{16}. Dấu bằng đạt được khi 2R=L=P22R = L = \frac{P}{2}.

  1. Kí hiệu RR là bán kính đường tròn và aa là khoảng cách từ điểm AA đến tâm đường tròn. Khi đó đối với dây MNMN đi qua điểm AA, có hệ thức xy=(R+a)(R−a)xy = (R + a)(R - a), trong đó x=MA,y=ANx = MA, y = AN. Độ dài dây MNMN bằng x+yx + y. Theo định lí, ta được

x+y≥2xy=2(R+a)(R−a),x + y \geq 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{(R + a)(R - a)},

dấu bằng đạt được khi x=yx = y.

Do đó, độ dài dây là nhỏ nhất khi tại điểm AA nó được chia đôi, tức là vuông góc với đường kính đi qua điểm AA.

  1. Đặt x\sqrt{x} là zz. Biểu thức được viết lại như sau: 2z6+3z2z^6 + \frac{3}{z}. Bây giờ từ ví dụ 3 suy ra đánh giá sau cho các giá trị của biểu thức này:

2z6+3z≥772⋅361⋅66=7125=732.2z^6 + \frac{3}{z} \geq 7\sqrt{7\frac{2 \cdot 3^6}{1 \cdot 6^6}} = 7\sqrt{\frac{1}{2^5}} = \frac{7}{\sqrt{32}}.

Giá trị nhỏ nhất đạt được khi

x=73⋅12⋅6=227,\sqrt{x} = \sqrt{7\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 6}} = 2^{\frac{2}{7}}, từ đó x=247x = 2^{\frac{4}{7}}.

  1. Đưa thừa số hằng c=k11k22…knnc = k_1^1 k_2^2 \dots k_n^n ra ngoài dấu ngoặc (có thể không viết nó) và viết lại tích như sau:

x1k1⋅x1k1…x1k1×x2k2⋅x2k2…x2k2×xnkn⋅xnkn…xnkn\frac{x_1}{k_1} \cdot \frac{x_1}{k_1} \dots \frac{x_1}{k_1} \times \frac{x_2}{k_2} \cdot \frac{x_2}{k_2} \dots \frac{x_2}{k_2} \times \frac{x_n}{k_n} \cdot \frac{x_n}{k_n} \dots \frac{x_n}{k_n}

Nhận thấy rằng

xiki+xiki+⋯+xiki=xikiki=xi\frac{x_i}{k_i} + \frac{x_i}{k_i} + \dots + \frac{x_i}{k_i} = \frac{x_i}{k_i} k_i = x_i

(i=1,2,…,ni = 1, 2, \dots, n).

Do đó, tổng của mọi thành phần trong cách viết mới bằng x1+x2+⋯+xnx_1 + x_2 + \dots + x_n, tức là đã được xây dựng, còn tích sẽ nhỏ nhất khi các thành phần bằng nhau, tức là khi

x1k1=x2k2=⋯=xnkn.\frac{x_1}{k_1} = \frac{x_2}{k_2} = \dots = \frac{x_n}{k_n}.