Электростатика на языке силовых линий

2

Электростатика на языке
силовых линии

Объчно электростатику изучают так: записьают закон Кулона для силы взаимодействия двух точных зарядов $q_1$ и $q_2$: $F = \frac{q_1 q_2}{r^2}$ (r — расстояние между зарядами) — и затем с помощью иногда простых, а иногда сложных математических расчетов получают всевозможные следствия этого закона, считая, что заряд любого тела можно представить как совершность распределенных нужным образом точных зарядов.

Но часто точный математический анализ электрического поля и распределения зарядов оказывается сложным. Тогда на помощь приходят простые сообщения — симметрия и картины силовых линии поля. Конечно, они не могут дать столь же полного представления, как математические расчеты, заго наглядны и помогают «увидеть» и предсказать, какие особенности будут электрическое поле и как будут взаимодействовать заряды.

Что такое силовые линии поля

Возьемт точный заряд $q$. Этот заряд создает в окружающей пространстве электрическое поле, которое полностью определяено, если в каждой точке пространства задана направность поля — сила, которая действовала бы на точный единичный положительный заряд, если бы его помещили в эту точку. Для того чтобы наглядно представить электрическое поле во всем пространстве, можно попробовать изобраться его множеством векторов, например, в различных точках пространства так, чтобы каждый из них показвал направжение поля (ее величины и направление) в той точке, из которой он выходит. Однако сразу становится очевидным, что такой способ изображения поля неудачен: отдельные стрелки, накладываясь друг на друга, создают запутанную картину, разобраться в которой будет необходимости.

Фарадей предложил изобраться поле силовых линиими. Это линни, направление которых в каждой точке совпадает с направлением направности поля в этой точке. Для точного заряда наиссовать силовые линии совсем просто. Это прямые (лучи), проходящие через точку, в которой находимся заряд. Если заряд последовательный, то силовые линии на-

Рис. 1.

4

Рассматривая рисунки 3 и 4, можно заметить, что при разноменных зарядах сливые линии как бы связывают заряды между собой, а в случае одноменных зарядов сливые линии как бы расталкивают. Если приписать сливым линии свойства сокращаться вдоль своей длины и расталкиваться в поперечном направлении, то мы могли бы сказать, что сливые линии, связывающие разноменные заряды, пригигают их друг к другу, а сливые линии разноменных зарядов, расталкиваясь, отталкиваются и сами заряды друг от друга. Конечно, нельзя считать, что сливые линии поля существуют реально, но при таком толковании часто один лишь взгляд на картину поля позволяет предсказать результат взаимодействия зарядов. Эти же «свойства» сливых линии, как не трудно сообщать, могут говорить и о большем — о величины направности поля.

Teорема Гаусса

Итак, картина сливых линии показывает направление вектора направления поля в каждой точке. Но это еще не все. Оказывается, эти картины могут говорить и о большем — о величины направности поля.

Возьемт точчный положительный заряд $q$. Выделим конус с вершиной в точке, в котором находится заряд, и проследим за сливыми линиими, проходящими через площадку с площадью $S_1$, находящую на расстоянии $r_1$ от заряд (рис. 5). На расстоянии $r_2$ эти сливые линии будут проходить через площадку с большей площадью $S_2$. Отношение диаметров площадок равно отношению $\frac{r_2}{r_1}$, поэтому $\frac{S_2}{S_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2$.

Но это означает, что плотность сливых линии $n = \frac{N}{S}$ (число сливых линии, проходящих через площадку единичной площади) обратно пропорционально

5

циональна квадрату расстояния до заряда. Так как $\frac{n_1}{n_2} = \frac{r_2^2}{r_1^2}$, то $n \sim \frac{1}{r^2}$.

Точно так же меняется направность поля точного заряда: $E = \frac{q}{r^2}$.

Таким образом, плотность силовых линей пропорциональна направности поля: $n \sim E$. Нужно только, чтобы силовые линей нигде не перерывались. Для точного положительного заряда силовые линей должны начинаться на заряде и уходить на бесконечность. В случае отрицательного заряда силовые линей должны идти из бесконечности и заканчивать на заряде.

Оказывается, что всегда можно нарисовать картину силовых линей так, чтобы их плотность была пропорциональна направности поля. Для этого силовые линей должны выгнаться на положительных зарядах и заканчивать на отрицательных (или уходить на бесконечность), причем, число силовых линей, выходящих из заряда или идущих к нему, должно быть пропорционально величины этого заряда.

Проведем мысленно сферу с центром в точке, в которой находим заряд. Если условиться считать, что из каждого положительного заряда выходит (а на каждом отрицательном заряде оканчивается) $4\pi q$ силовых линей, то их плотность на сферической поверхности будет равна $\frac{4\pi q}{4\pi r^2} = \frac{q}{r^2}$, то есть будет равна направлению поля. Полное же число силовых линей, пересекающих поверхности сферы, не зависит от ее радиуса и равно $4\pi q$. Ясно, что таким же будет число силовых линей, выходящих из любой замкнутой поверхности, внутри которого находим заряд (или выходящих в нее), какую бы форму ни имела эта поверхность.

Это утверждение называется теоремой Гаусса. Она справедлива, конечно, и для любого распределения зарядов. Можно показать, что для любой системы зарядов число силовых

линий, выходящих из замкнутой поверхности произвольной формы, минус число силовых линей, входящих в нее, равно $4\pi Q$, где $Q$ — суммарный заряд, который находится в объеме, ограниченном этой поверхности. Если заряд $Q$ отрицательен, то число линей, которые выходят из объема, ограниченного поверхности, меньше числа силовых линей, входящих в него. Если в объеме, ограниченного поверхности, нет зарядов, то из него выходит столько же силовых линей, сколько и входит.

Потенциаль и эквивпотенциальные поверхности

Прежде чем присутствить к реализации наших знаний — решению конкретичных задач, вспомним еще об одной характеристике поля — потенциаль. Дело в том, что для него можно отыскать геометрическую картину, тесно связанную с картиной силовых линей. Эта связь часто помогает рисовать и анализировать картину силовых линей поля.

Напомним сначала, что такое потенциаль электрического поля.

Если, передвиграя в поле заряд, мы вернемся в начальное точку, то полная работа, которая совершается при пересечении точного заряда из одной точки поля в другую, не зависит от формы пути. Иначе можно было бы вначале по тому пути, где она меньше, а возвратиться по тому, где она больше. Полная работа не была бы равна нулю. Благодаря тому, что работа не зависит от формы пути, и можно ввести понятие потенциаль. Потенциаль поля в данной точке равен работе, которая совершается полем при пересечении единичного точного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность.

Потенциаль может быть как положительным, так и отрицательным. Потенциаль поля положительного заряда положлен, а потенциаль поля отрицательного заряда отрицательен. В первом случае сила, действующая

6

на переносимый заряд со стороны поля, направлена в ту же сторону, в которой движется заряд, а во втором — против движения (поле совершает отрицательную работу). Потенциаль — это скаляр, не имеющий направления в пространстве. У точного заряда $q$ на расстоянии $r$ от него потенциаль равен $\frac{q}{r}$. Если надо найти потенциаль поля нескольких зарядов, то мы должны сложить потенциальы полей, создаваемых отдельными зарядами, размещается, с учетом их знаков. Как же связан потенциаль с картиной силовых линий? Проведем проверность, потенциаль на котором всюду постоянен. Такие проверности называют эквивпотенциальными. Для точного заряда эквивпотенциальные проверности — это сферы с центром в точке, в которой находится заряд. Нетрудно видеть, что силовые линии поля всегда должны быть перпендикулярны к эквивпотенциальным проверностям. Если бы это было не так, то существовала бы составляющая направленной проверности, и поэтому при перемещении заряды вдоль нее совершалась бы работа. Потенциаль менялся бы вдоль проверности, и она не могла бы быть эквивпотенциальной. Можно видеть и еще одну важную связь эквивпотенциальных проверностей с силовым линиями поля. Если взяты две близкие эквивпотенциальные проверности, то разность их потенциальов равна работе по перенесению точного единичного положительного заряда с одной проверности на другую. Так как сила, действующая на такой заряд, равна направности поля, то $\Delta \varphi = E \Delta r$, или $E = \frac{\Delta \varphi}{\Delta r}$. Это означает, что эквивпотенциальные проверности гуще там, где более сильное поле, и реже там, где поле меньше: при одинаковой разности потенциаль расстояние $\Delta r$ между проверностями больше там, где меньше поле, и наоборот.

Вот теперь мы можем перейти к решению конкретных задач.

Поле равномерного заряженной полой сферы

Мы можем сразу утверждать, что в силу симметрины поля силовые линии направлены везде по радиусу и густота силовых линии по всем направлением одинакова. Внутри сферы поле, очень нулю. Иначе силовые линии поля внутри сферы были направлены к центру или от центра сферы. Это означает, что в центре сферы находится точный заряд.

Для того чтобы электронское поле вне сферы, вспомним, что направленность поля равна густоте силовых линии, если только полное число силовых линии, выходящих из заряд $Q$, равно $4\pi Q$. Проведем сферу радиуса $R$ с центром в центре заряженной сферы. Число силовых линии, пересекающих проверенной нами сферы, равно направленности поля, умноженной на площадь проверности сферы: $N = E \cdot S = E \cdot 4\pi R^2$. Согласно теореме Гаусса

$$N = 4\pi Q,$$ отсюда $E = \frac{Q}{R^2}$.

Напряженность поля вне сферы также же, как у точного заряда, расположенного в центре сферы. Ясно, что и потенциаль в любой точке поля вне сферы будет таким же, как потенциаль поля точного заряд. Пotenциаль всех точек, лежащих на поверхности сферы, одинаков и равен $\frac{Q}{r}$, где $r$ — радиус сферы. Таким же будет потенциаль любой точки внутри сферы: при перемещении заряда в эту точку от проверности сферы мы не совершаем работы (внутри сферы направленное поля, а следовательно, и сила, действующая на заряд, равны нулю). Зависимость направления электронского поля равномерного заряженной сферы от расстояния до центра сферы показана на рисунке 6, 6.

Отсутствие поля внутри заряженной сферы можно, конечно, показать

7

и непредредствие из закона Кулона.
Возьем внутрен сферы произвольную точку $A$ (рис. 7). Представим себе узкий конус, который идет из точки $A$, вырезая на поверхности сферы две маленькие сферические площадки $\Delta S_1$ и $\Delta S_2$. Если $r_1$ и $r_2$ — расстояния от точки $A$ до этих участков, то $\frac{\Delta S_1}{\Delta S_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$.

Так как сфера заряжена равномерно, то заряды участков пропорциональны их площадям. Поэтому $\frac{q_1}{q_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$, а поля, создавемые в точке $A$ этими участками, взаимно уничтожаются:

$$\frac{E_1}{E_2} = \frac{\frac{q_1}{r_1^2}}{\frac{q_2}{r_2^2}} = 1.$$

Таким образом можно разить на пары участков всего сферу. Следовательно, поле в точке $A$ равно нулю.

Представление о сливых линиях позволило получить этот же результат проще и быстрее.

Равномерно заряженная плоскость и плоский конденсатор

Рассмотрим теперь поле бесконечной (правильнее сказаны, очень большой) равномерно заряженной плоскости, на единицу площади которого находится заряд $σ$.

Ясно, что сливые линия поля, создаваемого плоскостью, перpendicularны к плоскости и их плотность всуду одинакова (рис. 8): если бы сливые линия были наклонены в одну сторону, то это означает бы, что одно направление вдоль плоскости отличается от других; если бы плотность сливых линий была в разных точках влизации плоскости различна, то это означает бы, что один точки, чего, разумеется, быть не может, отличаются чем-то от других.

Проведем цилиндрическую поверхность с основаниями, параллельными плоскости и равными по площади единице. Сливые линия поля не пересекают боковой поверх-

8

ности цилиндра, а число силовых линий, прохождения через основания цилиндра, согласно теореме Гаусса, равно 4лσ. Это означает, что в каждом направлении (налево от плоскости и направо от нее) проходит 2лσ силовых линий через единицу площади (рис. 8). Таким образом, направность поля равномерно заряженной бесконечной пластины взделе одинакова, не зависит от расстояния до пластины и равна

$$E = 2\pi\sigma.$$

Если взять теперь две противоположно заряженные плоскости (рис. 9), то по обе стороны от конденсатора, образованного этим плоскостями, поля уничтожают друг друга. Внутри же между пластинами поля направлены одинаково и, складываясь, дают направность поля

$$E = 4\pi\sigma.$$

Хотя поле у краев конденсатора будет искажено, в средней части мы можем считать его одинаковым как по величины, так и по направлению. Такое поле называют однородным.

Проводник в электрическом поле

Do six пор мы считали положение зарядов заданным, и нам оставалось только найти электрическое поле, которое создают эти заряды. Задча усложняется, когда у нас имеются проводники, по которым заряды могут свободно перемещаться. Если, например, поднести к проводнику заряд (рис. 10), то электрины в проводнике начинают двигаться под действием поля этого заряда. На поверхности проводника будет появляться при этом заряды, поле которых внутри проводника направлено противоположно внешнему полю. Это будет продолжаться до тех пор, пока поле внутри проводника не станет равным нулю. При этом заряды, появившиеся на поверхности проводника, изменят, конечно, и поле вне проводника.

Поле внутри проводника всегда