[Задача о линейке]

10

Чтобы в этой точке на него не действовать сила (напряжение была равна нулю) и чтобы при отклонении заряда в любую сторону на него действовать сила, возврашается его в ту точку, в которой находится заряд (векторы напряжения поля во всех окрестных точках должны быть направлены в ту точку, в которой находится заряд, должен еще находиться заряд противоположного знака! Таким образом, при смешении заряда равновесие обязательно нарушится, и заряды либо сппнутся, либо разлетятся.

Представление о врашающся вокруг ядер электронах было впервые введено Резерфордом. И хотя диапазонская модель атома с электронами, врашающимся вокруг ядра, столкнулсь со многими на первый взгляд неразрешимыми трудностями, дальнейшее развитие физики показало ее правильно. Но это уже tema для другого рассказа.

Задание

1. Нарисуйте примерную картину силовых линейной поля двух разновименных и различных по величины зарядов.
2. Могут ли силовые линейные электростатические поля быть замкнутыми?
3. Иногда говорят, что силовые линей — это траектории, по которым движется бы в поле положительный заряд, если его, внеся в это поле, предоставить самому себе. Правильно ли это утверждение?
4. Имеются две концентрические сферы с радиусами $R_1$ и $R_2$ и зарядами $q_1$ и $q_2$ ($R_1 < R_2$). Как напряжение поля зарядов сфера зависит от расстояния до их обшено центра?
5. Как напряжение поля однородно заряженного шара зависит от расстояния до центра шара?
6. Найдите, как зависит от расстояния напряжение поля бесконечной равномерной зарядной нити.
7. Найдите напряжение поля очень длинного равномерного зарядного цилиндра.
8. Показите, что внутри полого проводника поле равно нулю независимо от формы проводника и полости (экранирование).

Наипростейшие простых девятизначных (и более длиных) чисел не существует.

Хотя на этой линейке нанесены лишь 4 деления, с ее помощью можно изменить все (целочисленные) расстояния от 1 до 13 см.

Какое наименьшее число делений надо нанесить на линейку длиной 9 см, чтобы она изменяла все расстояния от 1 до 9 см?

А на 12-сантиметровую линейку?

12

Определение. Наибольшим общим делитель чисел или многочленов называется такой их общий делитель, который делится без остатка на любой их общий делитель.

Мы будем обозначать НОД чисел или многочленов $a, b$ так: НОД $(a, b)$. Например, НОД $(5, 10) = 5$; НОД $(x^2, 3x-x^2) = x$; НОД $(x^3-x^2,x-1) = x-1$.

Понски наиболее общого делителя

Для чисел известно два способа нахождения НОД.

Способ 1. Раскладываем оба числа на простые множители и берем произведение тех из них, которые встречаются в обихх числах. Например, сокращая дробь $\frac{3770}{9425}$, можно написать: $\frac{3770}{9425} = \frac{2\cdot 5\cdot 13\cdot 29}{5\cdot 5\cdot 13\cdot 29}$;

НОД $(3770, 9425) = 5\cdot 13\cdot 29 = 1885$, $\frac{3770}{9425} = \frac{2}{5}$

Чем плох такой способ? Во-первых, нужно сначала доказать, что любое натуральное число можно разложить на простые множители и притом единственным образом. Во-вторых, для того чтобы найти это разложение, придется проделать большую работу, причем в основном направнию. Ведь мы найдем все делители каждой из чисел, а нам нужно лишь их наиболее общий делитель.

Как мы увидим далее, еще хуже будет обойти дело с многочленами: разложение всегда существует, а найти его, вообще говоря, невозможно,—разве лишь, если кто-то специально подстроил так, что разложение легко находится (как бывают в конкретных примерах).

Но можно и не разлагаать числа на многочлени.

Способ 2. Алгоритм Евклида. Он основан на следующих леммах.

Лемма 1. Любое натуральное число $q$ можно разделить с остатком на другой натуральное число $p$, то есть представить $q$ в виде $q = kp+p_1$, где $0 \leq p_1 < p$.

Лемма 2. Если число $d$ является НОД чисел $p$ и $q$.

Заметим, что эта лемма позволяет нам не только найти, но и доказать существование НОД двух чисел, потому что она сводит вопросы о существовании и нахождения НОД к меньшим числам.

Докажите эти леммы самостояльно. В лемме 1 надо разбить числовую ось на куски точками $0, p, 2p, 3p, \dots$ и найти, в каком из них лежит точка $q$. В лемме 2 надо предположить, что число $d$ делится на любой общий делитель чисел $p$ и $p_1$, а также что оба числа $p, p_1$ делятся на $d$, и доказать, что число $d$ обладает этим же двумя свойствами относительно чисел $p$ и $q$.

Теперь на примере, рассмотренном в способе 1, изложим собственно алгоритм Евклида — последовательность действия, которая позволяет найти НОД чисел $q$ и $p$. Следва мы пишем последовательность формул в общем виде, а справа — для примера.

Шаг 1. Используя лемму 1, делим $q$ на $p$. Попучаем:
$q = k_0p+p_1, 0 \leq p_1 < p$; $9425 = 2\cdot 3770+1885, 0 \leq 1885 < 3770$.
На основании леммы 2 заключаем, что
НОД $(q, p) = \text{НОД}(p, p_1)$; $\text{НОД}(9425, 3770) = \text{НОД}(3770, 1885)$.

Шаг 2. Смотрим, равно ли $p_1$ нулю.
Если $p_1$ равно нулю, то заканчиваем процесс и переходим к шагу 3.

14

В лемме 1 число $p_1$ было меньше $p$ по величины, а у многочленов за «размер» принимается степень многочлена. Пример деления многочленов с остатком приведен ниже, с помощью него вы сами докажете эту лемму.

Пример. Делим многочлен $2x^5 + 4x^4 - 2x^3 - x + 1$ на многочлен $x^2 + 2x + 5$ уголком. Получается:

$$\frac{-2x^5 + 4x^4 - 2x^3 - x + 1}{2x^5 + 4x^4 + 10x^3} = \frac{x^2 + 2x + 5}{2x^3 - 12x + 24}$$

$2x^5 + 4x^1 - 2x^3 - x + 1 = (2x^3 - 12x + 24)(x^2 + 2x + 5) + (11x - 119)$. Теперь у нас есть требуемые леммы и можно действовать по алгоритму Евклида, то есть построить последовательность делений с остатками (для многочленов!), в которых многочлен последовательно уменшаются:

$$Q(x) = K_0(x) P(x) + P_1(x),$$
$$P(x) = K_1(x) P_1(x) + P_2(x),$$
$$P_1(x) = K_2(x) P_2(x) + P_3(x),$$

$$P_{m-2}(x) = K_{m-1}(x) P_{m-1}(x) + P_m(x),$$
$$P_{m-1}(x) = K_m(x) P_m(x).$$

При этом НОД $(Q(x), P(x)) = \text{НОД}(P(x), P_1(x)) = \dots = \text{НОД}(P_{m-1}(x), P_m(x)) = \text{НОД}(P_m(x), 0) = P_m(x)$. Последнее частное $P_m(x)$ и есть НОД исходных многочленов (проверьте все это).

Практические эти формулы получаются делением уголком, которое в самом первом примере выглядит так:

$$\frac{x^9 - x^8 - x^7 - 3x^6 + x^5 + 4x^4 + 4x^3 + x^2 - 2x - 1}{x^9 - x^8 - 3x^6 + x^5 + x^4 + 2x^3 - x} = \frac{x^8 - x^7 - 3x^5 + x^4 + x^3 + 2x^2 - 1}{x^8 - x^7 - 3x^5 + x^4 + x^3 + 2x^2 - x - 1}$$

Теперь осталось сократить алгебраическую дробь (2) на последний делитель $-x^7 + 3x^4 + 2x^3 + x^2 - x - 1$, то есть разделить числитель и знаменатель в (2) на полученный НОД. Проделав все это, получим $\frac{x - 1}{x^2 - x - 1}$.

Это и есть ответ.

Если вы читали статью Н. М. Бескина «Цепные дроби» («Квант» № 8), то можете заметить, что описанный здесь примем есть в точности сокращение многочленов разложением в целную дробь, проводимое так же, как и для рациональных чисел. Мы переписывали дробь $\frac{P(x)}{Q(x)}$ следующим образом:

$$\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(x)}{K_0(x) P(x) + P_1(x)} = \frac{1}{K_0(x) + \frac{P_1(x)}{P(x)}}$$,

15

$$\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{1}{K_0(x) + \frac{P_1(x)}{K_1(x) P_1(x) + P_2(x)}} = \frac{1}{K_0(x) + \frac{1}{K_1(x) + \frac{P_2(x)}{P_1(x)}}}$$

и так далее. В конце концов $\frac{P_m(x)}{P_{m-1}(x)} = \frac{1}{K_m(x)}$, осталось лишь свернуть целину дробь из многочленов. В рассматриваемом примере это делается так: $\frac{1}{x + \frac{1}{-x+1}} = \frac{x-1}{x^2-x-1}$.

Упростить выражения:

1. $\frac{x^4 - 3x^2 + 1}{(3x^2 + 3x - 3)^2}$.
2. $\frac{x^3 + a^3}{x^4 + a^2x^2 + a^4}$.
3. $\frac{a(x^2 + 2) - 2ax - (x-1)^2 - 1}{x^4 + 4}$.
4. $\frac{x^2 + 6}{2(x^4 + 4x^2 - 12) + \frac{1}{7}(x^4 + 11x^2 + 30)}$.

ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ

В отмеченых ниже местах должны стоять следующие:

«Квант» № 6

Стр. 6, правая колонка. В рисунке к задание 3 нижняя черточка лишня; весь рисунок перевернут.

Стр. 21, правая колонка, 1 строка сверху: …=(1+x^t)[(1+x)^p-(1+x^p)]×…;
7 строка сверху: x^{kp+s}…
2 строка сизу: …C_{119}^3 ≡ C_{23}^6 C_{4}^3…;

Стр. 22, левая колонка, 2 строка сверху: …C_{23}^6 ≡ C_4^1 C_3^1…;

Стр. 30, правая колонка. В решении задании 3 ограничение $b \geq 0$ лишнее, случай $b < 0$ надо рассматривать отдельно.

Стр. 31, левая колонка, 6 строка сизу:
$$x = \frac{a(2+tg\alpha)}{tg\alpha};$$
3 строка сизу:
$$V = \frac{a^3(2+tg\alpha)^3}{6tg^2\alpha};$$

Стр. 4, в задание 15 системы имеет вид:
$$\begin{cases} x+3y=3, \\ ax+4y=6. \end{cases}$$

в задание 35 системы имеет вид:
$$\begin{cases} 3|x|-5y=-3, \\ 2x+|y|=11. \end{cases}$$

Стр. 35, в задание 3 (варнант 2) уравнение таково:
$$\log_3(\log_2x-1)^2=\sqrt{5}^{-\log_54}.$$

Стр. 52, правая колонка, 3 строка сизу: … $p^2+13=17$…

Стр. 59, правая колонка. В задание 4, 6) ответ: 5(11) 540; при делении допущена ошибка.

Стр. 60, правая колонка,
8. $\frac{5}{6} < x < 2.$ 23. $S_\sigma = \frac{1}{2}\pi b^2$.
24. $V = -\frac{2}{3}l^2$.
Стр. 61, левая колонка, 37. $0 < t \leq 0,1$.
Стр. 63, правая колонка, 11 строка сизу:
$$\begin{cases} 500-80=420=100a+b, \\ 2500-496=2004=100b+a. \end{cases}$$
3 стр. обложки, кроссворд развернут на $90^\circ$.

«Квант» № 7

Стр. 43. На пересечении 5 строки сизу и 8 столбца должны стоять 256;
12 » » » » 46656;
14 » » » » 823 543.
Стр. 49, правая колонка, 14 строка сверху:
$$\frac{4}{9}$$.
Стр. 52, правая колонка, 15 строка сверху:
$$\sqrt{4r^2-h^2} = \frac{r}{\sin \frac{\pi}{n}}$$
левая колонка, 14 строка сизу: … $A_nA_1 = 2r$.
Стр. 59, задание 1234: … с помощью четырех взвешивания…