Из работы П. Ферма

23

Складывая теперь уравнение (2) и (3), получим

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right).$$

Эта формула, так же как и формула (1), разумеется, справедлива только для узкого пучка лучей, распространяющихся под малым углом к оптической оси.

При $a \to \infty$ расстояние $b$ равно фокусному расстоянию линзы

$$b = f = \frac{1}{(n - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)}.$$

Если, наоборот, $b \to \infty$, то, как следует из принципи образимости, $a = f$, и поэтому

$$a = f = \frac{1}{(n - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)}.$$

Таким образом, фокусное расстояние линзы определяется уравнением

$$\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right).$$

Это означает, что формулу линзы (4) можно переписать так:

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}.$$

Если одна или две выпukлы поверхности линзы заменяются вогнутыми, то в формуле (5) нужно изменить знак радиуса кривизны соответствующей поверхности. Таким образом, формула (5) позволяет найти фокусное расстояние не только собственной, но и рассеивающей линзы.

Более подробно с принципиом Ферма и его применениями можно познакомиться в книге «Феймановские лекции по физике», т. 3.

Задачи

1. Докажите, что если $n_{12}$ показатель преломления для перехода из среды 1 в среду 2, а $n_{13}$ — показатель преломления для перехода из среды 1 в среду 3, то показатель преломления из среды 2 в среду 3 равен

$$n_{23} = \frac{n_{13}}{n_{12}}.$$

2. Когда мы смотрим на заходящее Солнце, то оно на самом деле находится уже ниже горизонтта. Объясните это явление, воспользовавшись принципиом Ферма.

3. Каким должно быть зеркало, чтобы свет из точки $A$ всегда приходил в точку $B$ независимо от того, в каком направлении он вышел из точки $A$?

4. Воспользовавшись принципиом Ферма, выведите формулу сферического зеркала.

Из работы П. Ферма

Ученейший Декарт предложил закон преломления, который, как считают, согласуется с опитом, но чтобы доказать его, он выдвинул постулат, по которой вообще необходимо было принять, что движение света в плотной среде происходит более легко и беспрерыв性强но, чем в редкой, что, как кажется, противоречит естественным фактом.

Итак, поскольку мы пытаемся вывести истинный закон преломления из противоположной аксиомы, а именно, что движение света происходит более легко и беспрерыв性强но в редкой, чем в плотной среде, мы преждевременно встретаем с соответствием Декарта. Можно ли вообще без ложных умозаключений притировать преломлением путем к истине — это пусть расстояния и исследуют более тонкие и строящие математики. Мы же, оставив в стороне пустые умствования, полагаем, что лучше твердого владеть самой истиной, чем давать в излишне и бесполезные споры.

Наше доказательство основано на одном постулате: природа действует на более тонкие и доступные путими. Мы полагаем, что именно так нужно выражать эту мысль, а не так, как это приятно обойти горизонтать, что природа всегда действует по кратчайшим линям.

Подобно тому, как Галией, когда расматривал движение тяжелых тел в природа, изменял отношение этого движения не столько расстоянием, сколько времени, мы также расматриаем не кратчайшие расстояния или линии, а те, которые могут быть проедены легче, удобнее и за более короткое время…