Тайны бесконечности

7

Чае необходимости можно было каждую из частей разделить снова на части. Но если продолжить это деление, то рано или поздно наступит момент, когда части получается настолько малыми, что дальней их делить оказывается уже практическим невозможным. Для того чтобы выразить такие малые «недelmые» величины, уже издавна применялись образы «пылинки», «макового зерна» и т.д. Но если маковое зерно можно все же же, хотя и с трудом, разделить на части, то можно ли делить на части пылинку, плащушую в солнечном луче? На этот вопрос повседневный опыт ответа не давал, и приходимось опираться только на рассужждение, проводить чисто умозрительный анализ.

Один из дополнительных до нас ответов на этот вопрос принадлежал жившему в V веке до н. э. гречекому философу Анаксагору. Он чил:

«Среди малых величины не существует наименшей, но уменшение идет непрерывно, либо существующее не может перестаать существовать».

Он же говорил:

«Все вещи (в начале мирадания) были вместе, они бесконечно многочисленные и бесконечно малы».

Итак, по Анаксагору, все состояние из бесконечного множества бесконечного малых частей. При этом, конечно, под бесконечного малой понималась не переменная, стремящая к нулю, как это принято сейчас в математике, а не имеющая размеров точка.

Но это противоречило двум основным аксимом, общеприятным в гречекой математике. Гречские учены разделили все величины на протяженные и непротяженные. При этом они считали, что:

1. Сумма бесконечного большого числа любых, хотя бы и очень малых протяженных величины обязаательно должны быть бесконечно большой.

2. Сумма любого, хотя и бесконечного большого числа непротяженных величины всегда равна нулю и никакогда не может быть равной некооторой заранее заданной протяженной величины.

Получалось, что бесконечно малые, из которых, по Анаксагору, был составлен мир, не могли быть ни протяженными, ни непротяженными, то есть они не могли существовать.

Против идеи бесконечной делимости выдвигались и инные возможности Анаксагора Плутарх писал:

«Если деление двух величины на части может продолжаться до бесконечности, то нет основания считать одну велиницу большше, чем другая, а самая природа неравенства уничтожается».

Смысл этого возражения в том, что после деления об величины оказется составленными из одного и того же (beсконечного) числа одинаковых (beсконечного малых) величины.

НЕПОДВИЖНЫЙ МИР

Пожалуйста, самые сильные доводы против идеи бесконечной делимости выдвигались философ Зенон Элейский, живший в Италии в середине V века до н. э. Он «показал», что допущение бесконечного деления приводит… к отрицанию возможности движения. Свои рассужения Зенон облекав в весы живую, парадокальную форму. Так, в одном из них он «доказывает», что быстроонгий Ахилесникогда не допонит медленную черпаху — ведь сначала он должен достичь точки А, откуда пополза черпаха, потом точ-

9

a ль и вы е поверхности (имеющие минимальную толщину). Например, конус, по Демокриту, состоял из кружков, имеющих минимальную толщину, а пирамида — из таких же многоугольников. Шар он представлял себе состоящим из иглочек-пирамид, вершины которых находится в центре шара. Аристotel писал:

«По Демокриту, и шар режет, так как и он угловат».

Такой подход позволяет Демокриту решить многое проблемы, стоявшие перед геометрами. Так, он был первым, вычислишим объем конуса и пирамиды, он первый вычисление объема шара к вычислению площади сферы. С пирамидой он справился, по-видимому, так.

Сначала он доказал теорему, что две пирамиды, имеющие равновеликие основания и равные высоты, имеют один и тот же объем. Здесь для него не было никаких сложений — пирамиды с одинаковой высотой состояли, по Демокриту, из равного числа соответствующих треугольников, причем их объемы были суммины «объемов» треугольников (ведь, по Демокриту, треугольники были материальными, имели минимальную толщину). Поскольку площади оснований пирамид были одинаковы то «объемы» соответствующих треугольников в обенных пирамидах совпадали, и потому совпадали и объемы пирамид. А потом он делил трехгранную призму на три пирамиды, имеющие попарно одну и ту же высоту и равновеликие основания (см. рисунок). Таким путем Демокрит «доказывает», что объем пирамиды равен одной трети объема призмы, имеющей ту же высоту и то же основание. А равенство объемов пирамиды и конуса, имеющего ту же высоту и то же по площади основание, доказывалось уже совсем просто — они состояли из одинакового количество фигур одного и того же «объема».

Ясно и то, как подходил Демокрит к задаче об объеме шара. Раз шар состоит из иглочек-пирамид, то объем шара равен сумме объемов этих пирамид. А объем каждой пирамиды он ужеумел находить. Суммиру эти объемы, он приSEL к ответу: «Объем шара равен одной трети произведения радиуса шара на площадь поверхности шара». Вычислить эту площадь ему не удалось.

ШЕРШАВАЯ ПИРАМИДА

Демокрит добавился замечательных результатов определения объемов геометрических тел. Но большинство современников ответло его методы. Слишком непохожими были идеи Демокрита на результаты непосредственного опыта. Ведь даже деление отрезка пополам было в геометрическом Демокрита весма сложной пробелой. Отрезок, состоящий из нечетного числа недельных, нельзя было разделить пополам: средняя недельная должа была отойти к одной из половин, и эта половина становится больше, чем другая. Невозможно было разделить попо-

11

Ватель Аристотеля средневековый схоластик Фома Брадварин, «все научные системы истинны лишь постольку, поскольку они не основаны на предположении, что непрерывное состояние из недельных». И еще в XVII века паряжский parlament пригрозил смертной казью всем противникам мненей Аристотеля. А в частиности — всем сторонникам atomизма.

МЕТОД ИСТОЩЕНИЯ

Итак, математикам пришлось ответнуть и метод недельных Демокрита и бесконечные процессы — критика Зенона подорвала всякое доверие к результатам, полученным путем использования понятия бесконечности. В результате возникло трудное положение — методы Демокрита, хотя и путем нестрогих расчудений, давали правильные формулы для вычисления площадей и объемов; теперь же приходилось разработать новую процедуру вычисления геометрических величины, в котором ни звука не говорилось бы ни о бесконечности, ни о бесконечно малых, ни о недельных. Такую процедуру создал в IV в. до н. э. предшественник Евклида математик Евдокс, разработавший «метод исчерпывания» (или, иначе, «истошения»), в котором многое видят предка современного метода пределов. Этим методом шроко пользовался Евклид в своих «Началах».

Например, вот как Евклид доказывает, что площади двух кругов относится, как квадраты их диаметров:

$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{d_1^2}{d_2^2}.$$

Пусть это неверно. Тогда $$\frac{d_1^2}{d_2^2} = \frac{S_1}{S},$$ где $S$ либо меньше, либо больше $S_2$.

Допустим сперва, что $S < S_2$. Впишем в круг с диаметром $d_2$ квадрат и будем строить правильные вписанные многоугольники, последовательно удваивая число сторон. Легко доказать, что через несколько шагов разность между площадью круга и площадью $P_2$ вписанного многоугольника

становлено, чем $S_2 - S$, то есть $S_2 - P_2 < S_2 - S$, а значит, $P_2 > S$. А теперь впишем в круг с диаметром $d_1$ многоугольник, подобный вписанному в круг с диаметром $d_2$; площадь этого многоугольника обозначим через $P_2$. Так как площади подобных правильных многоугольников относятся, как квадраты диаметров описанных кругов, то

$$\frac{P_1}{P_2} = \frac{d_1^2}{d_2^2}.$$

Но мы допустили, что $$\frac{d_1^2}{d_2^2} = \frac{S_1}{S},$$ а потому

$$\frac{P_1}{P_2} = \frac{S_1}{S}$$

или, в силу свойств пропорций,

$$\frac{P_1}{S_1} = \frac{P_2}{S}.$$

Но $P_1 < S_1$ (площадь вписанного многоугольника меньше площади круга), а $P_2$, как только что было показано, больше $S$. Итак, левая часть равенства (*) меньше единицы, а правая — больше единицы, что абсурдно. Значит, неравенство $S < S_2$ невозможно.

Точно так же доказывается, что невозможно неравенство $S > S_2$ (проведите доказательство сами!).

Итак, предположения $S < S_2$, $S > S_2$ определяются и остаются единственным возможным: $S = S_2$, то есть $$\frac{d_1^2}{d_2^2} = \frac{S_1}{S_2}.$$

Но если для круга и результат можно было легко угадать, и расчудения были не слишком сложны, то вычисление объема конуса или параметров источника было делом сложным и запутанным. Впрочем, с конусом и параметром можно было еще справиться — ведь ответ был известен во время Демокрита, и Евдоксу пришлось лишь уточнить сообщения Демокрита, заменив разбиение параметров на недельные данные треугольники расчудениями по методу источника.

Но когда надо было искать объемы фигур, с которых Демокрит дела не

12

имел, например эллипсонда врашення или параболида врашення, дело было совсем плохо — неизвестно было, для какой величины доказывать, что объем не может быть ни больше, ни меньше этой величины. Иными словами, метод исчисления мод служим только для доказательства уже найденных результатов, но не для открытия новых.

И ЛЕНЬ БЫВАЕТ ПОЛЕЗНА

Впрочем, математики, жившие после Евдокса, не сликом стремились к открытию новых формул. Центр научной мысли переместился в это время из Греции в Египет, где под опекой Птоломеев в Алексадрийском музее ученыные изучали небо, приводили в систему ранее накопленные математические знания, писалиоды в честь высоких покровителей наук, переписывали древние рукописи. Надо сказать, что сделали алексадрийские ученыные не так уж мало, только работы их носили скорее эпигонский характер. Они больше разработвали ранее доступную, чем продавали новые пути.

Одним из немногих исключений в тихой семье алексадрийских ученных был прихавший учиться из далеких Сиракуз родственник сиракузского царя Архимед. В отличие от большинства тогдашних ученых, он интересовался не только высокой теории, но и практическими приложениями науки, изобрел винтовой насос, который потом пользовался много столетий, делал механические игрушки, а впоследствии, когда его родной город осадили римляне, стройл военные машины. Понятно, что Архимед весна заинтересовался механикой, равновесием рычагов, плаванием тел и т. д. А механика была еще со времен Платона отлучена от чистой науки и считалась чем-то родственным ремеслу. Поэтому в механике не сликом тщательно следила за строгостью расужdenия, и механики широко использовали в своих исследованиих атомистику, расщепляя мыслино клиныя на atomы-клины, имеющие общую вершину с целым клином, водяные выходи — на ряд «atomных» кругов малой толщины и т. д.*).

И во многих работах Архимед встречался любопытное сочетание метода источения с рассужданиями,почерпнутыми из механики. Он научился прилагать к решению геометрических задач понятия центра тяжести, рычага и получил таким путем новые результаты, недоступные тогдашней «чистой математике»**). А поскольку результаты механики опирались в конечном счете на атомистические расужdenия, то на самом деле Архимед в этих работах опирался на атомистику. Только явно он об этом ничего не писал. Хороший математический тон того времени, по-видимому, требовал, чтобы ученые излагали свои результаты, не ссылаясь на преданные анафеме иden Демокрита. А может быть, Архимед тогда еще и не читал Демокрита — на это указывают некоторые детали его работ.

Позному из больших работ Архимед, дошедших до XVI—XVII веков, математики не могли узнать, как он договоравался, какие результаты надо ему доказывать. Им приходилось только следовать за изгибами мысли Архимед, лишь в самом конце убеждаясь в его правете. Но в некоторых отрывках, цитированных Героном и других учеными, упоминалось о каком-то послании Архимед Эратовфену. В этом послании Архимед писал «о расужdenиях, основанных на методе, но не являющихся еще доказательством под текст работ Архимед. Но, чтобы убедиться в этом, нужно было иметь в

*) Любопытно, что и сейчас инженеры и физики предопчитают говорить об элементарных плосках, бесконечно тонких слоях и т. д., не прибегая к точному, но несколько усложнному языку, который пользовался математики.
**) См. об этом в книжке В. Ф. Кагана «Архимед».

13

руках полный текст последия. Как часто бывают, помог счастливый случай.

В 1906 году приват-доцент Петербургского университета Попадопулого-Керамевс нашел в библиотеке одного из нерусалимских монастрей какой-то богатославский трактат. Так как в средние века пергамент был очень дорог, то обычно брали древние книги, смывалили или стирали с них языческие тексты и писали житие какого-нибудь свягого муеника. Того же проискхождения была и рукойсь, занитересовавшая Попадопулю. Приват-доцент был весма слаб в математике и не слишком заинтересовался остатками смыного текста (к счастью, монах, писавший трактат, поленился и только смыл текст, а не стер его). Он привед лишь маленькую выдержку из древней рукониси. Но для известного датского источника математики Гейберга этой выдержки оказалось достаточно, чтобы установить — монах смыл текст Архимеда. Среди многих работ, прочитанных Гейбергом, оказалось и последие Эратовфену.

В этом послании Архимед отдает должное заслугам Демокрита, говоря, что он был первым, кто установил теоремы об объеме конуса и прамиды, не дав им, правда, должного доказательства. И метод, с помощью которого Архимед проводил предварительное исследование проблемы, оказался близким методам Демокрита. Он разлагает цилиндры, конусы и шары на чрезвычайно тонкие кружочки, доказывает нужное ему положение для одного из них, отмечет, что вывод должен быть верен и для остальных, и, наконец, говорить: «Так как все тело сложено из таких кружков и целиком заполнен им, то утверждение верно для всего тела». А ведь это почти дословно совпадает с рассуждениями атомистов!

Архимед хорошо понимал всю ценность своего метода и надейлся, что с помощью этого метода «кто-нибудь из теперьших или будущих исследователей… найдет и другие теоремы, которые мне не пришли еще в голову».

К сожалению, посление Архимеда оказалось неизвестным именно тем математикам, которые оно было нужнее всего, — творцам исчисления бесконечного мальх Кеплеру, Галилю, Кавальери. Но они по отдельным намекам восстанавливали ход мысли Архимеда.

Рассказ о том, как возродились атомистические представления, как был создан современный математический анализ, появится еще на страницах «Кванта».

ЛИТЕРАТУРА

1. Вандер Варден, Пробуждающаяся наука. Физматгиз, 1959.
2. М. Я. Выгодский, Аррифметика и алгебра в древнем мире. Наука, 1967.
3. И. А. Гей берг, Естествознание и математика в классическом древности.
4. В. Ф. Каган, Аррифмет. Гостехидат, 1951.
5. С. Я. Лурье. Теория бесконечного мальх у древних атомистов. Изд-во АН СССР, 1935.
6. С. Я. Лурье, Аррифмет. Изд-во АН СССР, 1935.