Макс Планк об обучении

20

ности — монополяя подходящих дробей. Это очень тонкое свойство не может не вызвать волнения у всякого читателя, который любит числа.

Если для числа α и дроби $\frac{p}{q}$ коэффициент выгодности $\lambda = \frac{1}{2|q\alpha - p|}$ больше, чем для любой дроби с меньшим значением, то $\frac{p}{q}$ есть подходящая дробь для α.

Пример. Из той же таблицы для числа π видно, что дробь $\frac{22}{7}$ дает приближение π с большим коэффициентом выгодности, чем дроби со значением 1, 2, 3, 4, 5, 6. Следовательно, еще не зная разложения π в цепную дробь, на основании последней теоремы мы можем заключить, что $\frac{22}{7}$ есть подходящая дробь.

Есть еще много теорем такого типа. Все они с разных точек зреня подверждают одно и то же: если нужно аппроксимировать действительное число несложными рациональными числами, то выоднее всего использовать подходящие дроби.

Это и есть драгоценный ключ к загадакам, о которых говорилось в первой статье.

Задание.

1. Выразить (в виде цепной дроби) отношение основания к боковой стороне в равнобедренном треугольнике с углом 120°.

2. Найти значение цепной дроби в формуле (1.2). Найти cos 36°.

3. Найти значение цепной дроби в формуле (1.4). Выразить $a_{10}$ через R. Найти sin 18°.

4. Имея разложение в цепную дробь (конечную или бесконечную) числа α, найти разложение числа $\frac{\beta}{\alpha}$.

5. В статье сказано, что значения подходящих дробей возрастают (неравенства (3.3)). Можно ли сказать то же самое о числительной?

МАКС ПЛАНК
ОВ ОБУЧЕНИИ

Не так важно, чем учат в школе, а важно, как учат. Однако действительное понятие учеником математической предложение имеет большую ценность, чем десять формул, которые он заучил на изучить и даже знает, как применять, но не понял их действительного смысла. Функция школь не в том, чтобы дать специальный опыт, а в том, чтобы выработать последовательное методическое мышление. Могут возразить, что в конечном итоге умение делать вещи важнее знания их. Конечно, знание без умения не имеет значения, так же как всякая теория получает свое значение в конце концов лишь благодаря ее применению. Но теория никака не должна заменять простым уменем, которое будет беспомощным перед лицом необычных фактов. Поэтому условиях хорошего работы в будущеем являются основательное элементарное обучение. При этом важно заботить не столько об изучении большого числа фактов, сколько о правильной их трактовке. Если это правильительное обучение не будет проводиться в школе, то его трудно будет получить впоследствии, так как специализные и высокие школь имеют другие задачи. После ней, самой высокой задачей воспитания является не знание и не умение, а практическая деятельность. Но так же как практический детельности предшествует умение, необходимыми условиями появления уменя служебные и понимые.

(Макс Планк. Из речи «Происхождение и влияние начних идеи». 1933 г.)