Алиса в Зазеркалье

26

Алиса в Зазеркале
Климент Дьюорел

Может ли Природа ввести в заблуждение? Да, может. Истории известны примеры, когда явления и факты, совершенное очевидные и, казалось бы, получившие многоократное подтверждение, оказывались неочинимы или даже неверными. Такие факты можно найти в истории не только физики, но и, например, астрономии. Так, много лет считалось общепризнанной система строения мира с неподвязной Землей в центре.

Природа имеет хитрить. Поэтому физик всегда должен критически относиться к данным эксперимента, и к своим непосредственным наблюдением, и, особенно, к факту, которые касутся очевидными потому, что подтверждаются нашими оценениями. Об этом интересно и занимаательно расссказал Климент Дьюорел в своей книге «Азбука теории относительнойности». В ней популяро излазаются представления теории относительнойности.

Рассказывать о теории относительнойности, не прибегая к сложному математическому аппарату,резвычайно трудно. «Азбука теории относительнойности», пожалуй, одна из наиболее удачных попыток такого рода. Математический аппарат изложения соответствует уровню средней школи. Книга написана остроymно и непринужденно.

Главу из этой книги мы предложаем вашему вниманию. Поводом для разговора в ней служит замечательная сказка английского математика Льюиса Кэрролла «Алиса в Зазеркале».

27

«Я не могу поверить этому», — сказал Алиса.
«Не можешь? — в словах Королевы звучала якалость.
«А мы попробуем еще раз: вдохни полубжение и закрой глаза».
Алиса устхнулсь. «Бесполезно пытатись, — сказал она, — я не могу поверить в невозможное».
«Веряяно, мы мало упражнялись, — ответила Королева. — Когда я была моложе, я ежедневно посвящала этому полца. И мне иноеда удавалось еще до завтрака поверить в шесть невозможных вецей».
Льюис Кэррол «Алиса в Заэркале»

Может ли Природа ввести в заблуждение?

Ведя с Природой чистую игру, ученные в ее лице встречают противника, который не только выбирает подходящие для себя правила игры, но и может, кроме всего прочого, подложить партнеру свинью или обвести его вокруг пальца. Если оказывается, что свойства пространства не укладываются в наши представления, если они искажают масштабы и путем хот наших часов, то существует ли вообщее какие-либо средства, позволяющие установить истину? Может ли надеться, что в конце концов многогранные условия заставят Природу сбросить маску?

Профессор Гарнет, воспользовавшись идеями Льюиса Кэррола, почительно проиллюстрировал то, как Природа может вводить нас в заблуждение, причем, по-видимому, без особого риска оказаться разоблаченной.

В конечном счете мы можем полагаться лишь на те данные, которые получаем с помощью наших органов чувств, проверенные и уточненные искусственными приборами, повторными экспериментами и исследованием исследований. Наблюдения часто могут быть источковы превращено, как в одном анекдоте, рассказанным сэром Джорджем Гринхилом.

В конце учебного года в одном инженерном коллекже состояния прием и смотр научного отдела. Одна молодая посетительница, войдя в физическуюLABораторию и увидев в большем вогнутом зеркале свое переверную изображение, наивно заметила своему спутнику: «Они повесили это зеркало вверх ногами». Если бы эта девушка приблизилась к зеркалу, миновав его фокус, то она убедилась бы, что работе не были повинны в этом. Если Природа ввела ее в заблуждение, то это была всего-навсего хитрость, которое разоблачил бы последующей опыт.

ВЫПУКЛОЕ ЗЕРКАЛО

Тепер мы, следуя профессору Гарнету, проследим приключения Алисы в стране за выпуклым зеркалом (в Заэркале). Прежде всего следует перечислять некоторые свойства выпуклого зеркала. Читатели, желающие ознакомиться с построениями и доказательствами, которые основаны лишь на рассмотрении подобных треугольников и некоторых элементов алгебраических формулах, могут обратиться к упражнению 9 на странице 31.

Точка A (рис. 1) — это вершина выпуклого зеркала большого радиуса; O—центр зеркала; отрезок OA—центральный радиус, или ось; средняя точка F отрезка OA является фокусом зеркала; PQ—предмет высоты a, расположенный перед зеркалом перпендикулярно оси; P’Q’—его изображение в зеркале. Введем следующие обозначения длины:

$$OF = FA = f, FQ' = x, Q'A = z, AQ = y, P'Q' = h.$$

28

Имеют место следующие соотношения:

$$\frac{1}{z} = \frac{1}{y} + \frac{1}{f}, \quad h = \frac{ax}{f}, \quad x = f - z.$$

Легко получить общие следствия, вытекающие из этих формул. Поскольку $1/z = 1/y + 1/f$, то $1/z > 1/y$, следовательно, $y > z$. А так как $1/f < 1/z$, то $z < f$ или $z < AF$. Поэтому изобравнение $P'Q'$ всегда оказывается близке к зеркалу, чем предмет $PQ$, и никака не удаляется от зеркала дальше точки $F$.

Кроме того, поскольку $h = ax/f$, высота изобравнения будет пропорциональна $x$ — расстоянию от изобравнения до $F$. Поэтому, чем близке $P'Q'$ к $F$, тем меньше становится отрезок $P'Q'$, т. е. высота изобравнения.

Жизнь в Зазеркале

《Он спит сейчас, — сказал Твидди. — А как ты думешь, что ему снится?》
《Кто это может угадать?》—ответила Алиса.
《Да ты ему снится!》—воскликнул Твидди. — А если бы ты ему перестала снится, то, как ты думешь, где бы ты очутилась?》
《Там же, где сейчас, конечно》, — ответила Алиса.
《Ниччего подобного, — высокомерно возразил Твидди. — Тебя нигде бы не было: ведь ты только часть его сна!》
《И если Короля разбудят, — добавил Твидди, — то ты раз!. и исчезнет, как свечка, которое задули》。)
《Но я же существую реально》, — сказал Алиса и принялась плакать.
《От плача ты вовсе не станешь более реальной》, — заметил Твидди *).

Льонс Кэрролл «Алиса в Зазеркале»

Тепер мы рассмотрим Алису не как сновидение, а как изобравнение в выпуклом зеркале некой псевдо-Алисы, живущей в нашем собственном мире. Алиса будет настанять столь же упорно, как в разговоре с Твидди, что она — свободная, независямо существующая личность. Однако мы увидим со стороны, что ее действия подчинены движениями и прихотям псевдо-Алисы, которое мы станем называть Алисия. Мы сравним наши наблюдения (или наблюдения Алисия)

*) Твидди и Твиддиам (по-англійски двойники) — персонжи сказки «Алиса в Зазеркале». — Прим. перев.

сцuu) с тем, каким представляется Алисе ее собственное существование.

Алиса в Зазеркале

Рост Алисии равен 4 фум, а ширина ее талии 1 фум. (1 фут = 0,3048 м, 1 дюйм = 2,54 см. В одном футе 12 дюймов). Вначале Алисия стоит в точке А спиной к зеркалу, так что она и Алиса в точности одинаковы и стоит спиной друг к другу. У Алисии есть линейка длиной 1 фум, которое она держит у зеркала, так что линейка касается зеркала и совпадает с соответствующей футовой линейкой, которое держит Алиса.

Затем Алисия начинает удаляться от зеркала вдоль его оси с постоянной скоростью 1 фум/сек. Что произойдет при этом с Алисиой?

Предположим, что радиус зеркала равен 40 фум, так что AF=FO=f = 20 фум. Далее, рост Алисии a=PQ=4 фум.

Спустя, скажем, 5 сек, т. е. при AQ=y=5, оказывается, что

$$\frac{1}{z} = \frac{1}{y} + \frac{1}{f} = \frac{1}{5} + \frac{1}{20} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4},$$

$$AQ' = z = 4, \text{ а } x = Q'F = f - z = 20 - 4 = 16,$$

$$P'Q' = h = \frac{ax}{f} = \frac{4 \times 16}{20} = \frac{32}{10} = 3,2 \text{ фум}.$$

Если в этот момент Алисия оглянется, то она обнаружит, что Алиса продолжилсь всего на 4 фум по сравнению с 5 фум, которые прошла она сама, а рост Алисиы уменьшился до 3,2 фум.

Алисина футовая линейка, которую она держит вертикально, также сократилась; еелина в действительности составляет теперь

$$1 \times x/f = 1 \times 16/20 = 0,8 \text{ фум}.$$

Алиса ответнет мысль, что она стала меньше, и, чтобы убедить Алисию, она изменит свой футовой линейкой собственный рост, доказав с торжеством, что она по-прежнему в точности в четыре раза выше своей линейки, т. е. 3,2/0,8=4.

Алисия скажет также, что Алиса поуделена: ее талия составляет теперь.

29

в ширину 0,8 фум; действительное, ее ширина совпадает с длиной футовой линейки, но ведь последняя в любом положении, перpendикулярном оси, составляет тенерь лишь 0,8 фум.

Скатие в направлении, перpendикулярном оси

Мы видим, что по мере удаления от зеркала Алиса все больше скimaется. Коэффициент скатая в любом направлении, перpendикулярном оси, равен $h/a$, т. е. $x/f$, и, следовательно, пропорционален $x$ — расстоянию, на котором Алиса находится от фокуса $F$.

Ясно, что Алиса не сможет обнаружить это скатае, так как ее линейка сокращается в той же пропорции, что и ее тело и платье. На самом деле все предметы в мире Алисы независимо от того, из чего они сделаны, ведут себя точно таким же образом. Поэтому мы считаем, что это скатае есть свойство не вещества, а самого пространства. Оно представляется собой влияние, оказываемое пространством в равной мере на все нахождения в нем предметы. Поэтому мы говорим, что одним из законов пространства в мире Алисы является сокращение, произходящие само по себе и в любом направлении, перpendикулярном оси, пропорциональное расстоянию $x$ до фокуса.

Скатие в направлении вдоль оси

Затем Алиса классет свою футовую линейку вдоль оси, а Алиса, конечно, делает то же самое.

Рис. 2.

Пусть $Q$ и $S$ — два последовательных деления на линейке Алиси; тогда $AQ=5$ фум, $QS=0,1$ фум, а $AS=5,1$ фум. На линейке Алиси соответствующие шрихи обозначаны $Q'$ и $S'$ (рис. 2). Мы уже доказали, что если $AQ=y=5$, то $AQ'=z=4$.

Далее, если $AS=y=5,1$, то $AS'=z$ дается выражением

$$\frac{1}{z} = \frac{1}{y} + \frac{1}{f} = \frac{1}{5,1} + \frac{1}{20} =$$

$$= \frac{20+5,1}{5,1 \times 20} = \frac{25,1}{102},$$

$$AS' = z = \frac{102}{25,1} \approx 4,064.$$

$Q'S' = AS' - AQ' = 0,064$ фум.

Коэффициент скатая в направлении вдоль оси в точке $Q'$ равен

$$\frac{Q'S'}{QS} = \frac{0,064}{0,1} = 0,64.$$

Но было показано, что коэффициент скатая в направлении, перpendикулярном оси, в точке $Q'$ равен 0,8.

Поскольку $(0,8)^2=0,64$, то мы приходим к выводу, что коэффициент скатая вдоль оси равен квадрату коэффициента скатая перpendикулярном оси в точке точке. Доказательство этого утверждения содержится в упражении 10 на странице 31. Таким образом, согласно наблюдаемм Алиси, при удалении от зеркала Алиса становится все тонше, и скорость, с которой она худеет, превышает скорость уменшения ее роста.

Если Алиса, к примеру, повернется боком и протянет левую руку к зеркалу, а правую от зеркала, то пальцы на ее левой руке оказываются длинее и толще пальцев на правой руке. Однако общий эффект состоит в том, что пальцы правой руки будут касаться как оттороженными, либо они по сравнению с другой рукой укорочиваются сильнее, нежели уtonьшаются.

Геометрия в мире Алиси

По мере того как Алиси равномерно удаляется от зеркала, делая шаги одинаковой длины, Алиса также

30

удаляется в противоположном направлении. При этом (по мнению Алиси) шаг Алисы становится все короче и короче, так что она движется все более и более медленно. И действительно, ведь как бы daleko ни ушла Алиси, Алиса никогда не может продвинутся за точку $F$ (рис. 3). Конечно, Алисе кажется, что расстояние, на которое она может удалять, неограниченно, и то, что Алиси называет точкой $F$, по словам Алиси, является точкой на бесконечности. Если Алиса движется на уровень земли, то ей кажется, что ее макушка и подошвы перемещаются по параллельным линиям. Эти линии, естественно, отражают представление Алиси о параллельне. Алиси же видит, что эти линии в действительности сливаются в точке $F$. Если бы Алиса продолжила вдоль оси железнодорожные рельсы, то они вели бы себя точно таким же образом.

Представим себе, что Алиси едет на велосипеде вдоль оси в направлении от зеркала. Что будет при этом проискодить с колесами велосипеда Алиси (рис. 4)?

Скатие вдоль оси оказывается большие, чем в перpendикулярном направлении. Следовательно, колеса в велосипеда Алиси будут не только меньше, чем у машины Алиси, но, кроме того, переднее колесо оказывается меньше заднего. И, более того, каждаое колесо примет приблизительно эллиптическую форму, причем вертикальный диаметр будет больше горизонтального. Хотя колеса вращают

Рис. 4.

ся, вертикальные спицы всегда будут казаться самыми длиными, а горизонтальные — самыми коротками. Спицы как удиниются при повороте из горизонтального в вертикальное положение, а затем при повороте из вертикального в горизонтальное сокращаются.

Сама Алиса, проведя тщательные измерения, убедится, что ее машина вполне нормальная, однако Алиси будет думать совсем иначе.

Детские забавы

Мы не собираемся утверждать, что живем в мире за зеркалом, а хотелы бы лишь указать, что, по-видимому, не существует метода, который позволяет нам обнаружить это объектальное, если бы в действительности так оно и было. Установливая свой законы пространства, Природа при желании может сковать своиими чарами его обитателей. Но тем не менее остается фактом, что Природа приходит ответать на некоторые практические вопросы, задаваемые ей учеными. А это всегда в них надежду, что законы пространства и времени в конце концов будут раскрыты. Если из всего сказанного читательой попытет что понски истинны отноッド не просты, а результаты этих поисков могут оказаться неожиданными, то это и будет ознакомить, что данная глава ответает своей целей.

Уражнения *)

1. Показать, что, когда Алиси отчетет от зеркала на 10 фум, Алиса продвинется лишь на 6 фум 8 дюйм, причем ее рост будет 2 фум 8 дюйм, а ширина 8 дюйм. Каким оказывается рост Алиси, когда она изменит себя собственной футовой линейкой?

2. Показать, что, когда Алиси отчетет от зеркала на 20 фум, Алиса продвинется лишь на 10 фум. Какими будут рост и ширина талии Алиси в этом положении?

3. Где будет находиться Алиси в том момент, когда рост Алиси уменьшится до 1 фум? Какова будет при этом ширина талии

*) Предполагается, что рост Алиси равен 4 фум, а ее талия достигает 1 фум в ширину и 6 дюйм в толщину; кроме того, $f=20$ фум. (Напомним, что 1 фум = 12 дюйм. — Приим. перев.)

31

Алисы? Чему будет равна длина ее футовой линейки в вертикальном положении? Сколько таких линейек уложится в рост Алисы?

4. Какой будет толщина талии Алисы в упражении 1? Какую величины получит в результате своего измерения Алиса?

5. Каким будет коэффициент скатия Алисы в упражении 2? Как связанные коэффициенты скатия вдоль и поперек оси?

6. Алисия, находясь в 20 фум от зеркала, держит в руках дюймовый кубик, ребра которой параллельны и перpendикularны оси. Какой предмет будет в руках у Алисы?

7. Чему будет равны поперечные размеры Алисы, когда ее рост уменьшится до 1 фум?

8. Меняется ли по мере удаления от зеркала, подобно размерам, и внешний вид Алисы? Когда ее рост уменьшится до 1 фум, была изготовлена скальптура Алисы в масштабе 4:1. Будет ли эта скальптура похожа на живую Алису?

9. ВАС — выпуклое зеркало, радиус которого АО значительно больше высоты предмета PQ. Световой луч, идущий из точки P параллельно оси, падает на зеркало в точке N и затем отражается в направлении, соединяющим эту точку с фокусом F. Зеркало не меняет направления луча, идущего из точки P к центру зеркала O. Таким образом, изображение точки P будет расположено в точке P’ на пересечении NF и PO. Проведем линейное P’Q’ перpendикularно OA. Тогда P’Q’ оказывается изображением PQ. Фокус F является средней точкой отрезка OA. Поскольку радиус зеркала велик, то его кривизна мал и NA можно рассматривать как перpendикular к OA (рис. 5).

Рис. 5.