Беседа о принципе неопределённости

7

М. Я. Азбель

о принципе неопределенности

Во втором номере нашей журнала за 1971 год была напечатана статья М. Я. Азбеля «Диалог о температуре». Стамы вызвала много открытых читателей. Во всех письмах говорилось о том, что статья интеграна. Однако в статье было много опечаток, за которым редакция и автор приносим свои извинения. В письмах читателей ставили очень интеграные вопросы. Поэтому мы решили не давать просто список опечаток, а поросить автора продолжить разговор с читателем.

Автор. Я Никак не ожидал, что редакция поможет мне превращать воображаемый диалог с читателем в реальный, и даже не диалог, а беседу. Вот что пишет читатель Володя Маргулис из Саранска.

В. Маргулис. В вашей статье «Диалог о температуре» содержится, мне кажется, множество опечаток. Постоянные Большмана и Планка завышены на два порядка, заряд электрона — на порядок и так далее.

Автор. Вы совершенно правы. Открой вам профессиональный секрет: как и многие физики-теоретики, я помню только одну систему единиц: CGSE. В ней были проведены все оценки и приведены константы в моей статье: постоянная Планка $h \approx 6.5 \times 10^{-27}$ эре·сек, постоянная Большмана $k \approx 10^{-16}$ эре/эрад, заряд электрона $e \approx 5 \cdot 10^{-10}$ ед. CGSE. (Напомню, что нас интересует только порядок величины!)

Однако в статье, вышедшей в журнале, все вычисления оказались в системе СИ и притом в «деформарованном виде». Это, конечно, непряятно, но большой беды тут нет. Каждый читатель-школьник, который полезно знать системы единиц, будет полезно продолжать расчеты и вернуть им правильный вид. Полезно и поччительно. Дело в том, что описки и опечатки в научных статьях — явление нередкое, и надо учится относиться к ним без волнения, исправляя по мере надобности.

В. Маргулис. Я так и поступил, но правильный расчет для электронов потенциальную энергию на два порядка меньше кинетической. А для геля потенциальная энергия оказалась значительно больше кинетической! *)

*) Для тех, кто не читал статью «Диалог о температуре», поясню, о чем идет речь. Из так называемого принципа неопределенности следует, что наименьшее возможное значение импульса $p_{\min}$ частицы, сосредоточенной в области, размеры которой порядка $a$, $p_{\min} \sim \frac{h}{a}$. Отсюда наименьшая возможность кинетической энергия $E_{\min} \sim \frac{p_{\min}^2}{2m} \sim \frac{h^2}{2ma^2}$, где $m$ — масса частицы.

8

А втор. Вас подвела очередная опечатка. Во всех формулах статьи правильнее писать постоянную Планка $h$, а не $h = \frac{h}{2\pi} \cdot \text{Позетому кинетическая энергия нулевых колебаний в гелини порядка}$

$$\frac{h^2}{2ma^2} \sim 2 \cdot 10^{-15} \text{эр}e \sim 20^\circ\text{K}$$

(поскольку $m \sim 10^{-23} e$, $a \sim 3 \cdot 10^{-8} cm$). Эта величина всего в 5 раз превышает действительную, несмотря на грубость оценки.

Расчет потенциальной энергии взаимодействия atomов геляя я не произвольил, так как этого нельзя сделать, исходя из общих сообразений.

В. Маргулис. Телерь мне ясно также считая с электронным газом. По формуле $E_{\text{min}} \sim \frac{h^2}{2ma^2}$ при $a \sim 3 \cdot 10^{-8} cm$ получается около $2 \cdot 10^{5^\circ}\text{K}$. А поскольку $a$ может меняться, оценка имеет смысл только по порядку величины. Электронный газ действительно имеет энергию вдесятки, даже сотни тысяч градусов.

Автор. Совершенно верно. Должен в заключение сказать, что мне очень понавилось ваше письмо. Судовольствием желаю вам успехов в продвижении к науке. И еще — прошу прощения и у вас, и у всех остальных участников нашей беседы за превращение их письм в реплики.

Читатель М. Мохнаткин (Саратов). А меня вы еще не убедили. Ведь согласно принципу неопределенности

$$\Delta p_x \cdot \Delta x = h$$

а не $\Delta p \cdot \Delta x = h$, как написано в «Диалоге». Значит, поскольку $p^2 = p_x^2 + p_y^2 + p_z^2$, приведенное значение минимальной энергии следует утроить!

Автор. Если бы в соответствии неопределенности стоял знак равенства, вы были бы совершенно правы. Но очень важно помнить: речь идет только о порядке величины. Допустим, дляопределенности, что наиболее им из $\Delta p_x$, $\Delta p_y$, $\Delta p_z$ является $\Delta p_x$. Тогда для $\Delta p =$

$$\sqrt{(\Delta p_x)^2 + (\Delta p_y)^2 + (\Delta p_z)^2}$$

получаем $\Delta p_x \leqslant \Delta p \leqslant \Delta p_x \sqrt{3}$, так что завершимо $\Delta p \sim \Delta p_x$ и $\Delta p \Delta x \sim h$.

При вычислениях порядков величины важно не превышать точности расчета, «уточняя» коэффициенты — это может только ухудшить дело. Такие расчеты очень полезны, но они не могут дать больше того, на что расчитаны — ошибка в десять раз естественна.

В частности, для свободной частицы, «запертой» в сферическом ящике диаметра $a$, точный расчет дает как раз

$$E_{\text{min}} = h^2/2ma^2$$

Читатель В. Рубин (Москва). А почему вы в случае электронного газа говорите о кулоновском взаимодействии? Ведь электроны сами по себе никак не могли бы образовать кристалл — они отталкиваются друг от друга!

Автор. Конечно. Позетому я говорил об электронах в металле. Там им не дают разлетаться положительные ноны. К взаимодействию с ними и относительной расчет. А кулоновским взаимодействием было взято по следующей причине. Само по себе электростатическое взаимодействие является классической. Пусть на каждый atom приходится один свободный электрон, так что единственное характерное расстояние задачи — механиное (точнее, механиное) расстояние $a$, и нас интересует расстояние только такого порядка. Тогда единственная величина, имеющая размерность энергии, которое можно сконструировать из $a$ и заряда электрона $e$, есть $\frac{e^2}{a}$.

Конечно, такая запись верна только по порядку величины и только на таких расстояниях. На больших расстояниях разноменные заряды экранируют друг друга, и взаимодействие быстро убивает с расстоянием.

В. Рубин. Еще один вопрос. Почему, если у вас для электрона в ящике расстояние скорость, превышаюшая светового, вы все-tаки использует нерелятивистские формулы?

9

А втор. Потому что мне хотелось показыть: в нерелятивистской квантовой механике налице «запертых» электронов в ядре приводил бы к непряятностям. А это наводит на мысль, что, верятоно, они там не могут быть заперты. Оdnako вы, конечно, правы: подобное рассуждение не есть доказательство.

Коль скоро об этом зашла речь, давайте произведем более аккуратный расчет. Используя опять принципи неопределенности, получаем порядок минимального имплуса $p_{\min}$ электрона, «запертого» в ядре радиуса $R$, $p_{\min} \sim \frac{h}{R}$. По теории относительнойности $p = mv = \frac{m_0 v}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ ($m_0$ — масса покоя частицы, $v$ — ее скорость). «Наш» импульс $p_{\min} \gg m_0 c$. Это означает, что $v \approx c$ и $p \approx mc$ (м — масса релятивистского электрона). Значит, для электрона, «запертого» в ядре, $m \sim \frac{h}{R_c}$, что дает величины порядка массы покоящегося протона. Следовательно, близость массы ядра к сумме масс только протонов и нейтронов означает отсутствие электронов, «запертых» в ядре: попав в ядро, они с легкостью вырывают оттуда.

Вы видите, сколько существует размер области, в которой сосредоточены частицы. Эта область может либо строго ограничивать их движение, как ядро — движение протонов и нейтронов или atom — движение электронов, либо быть характерной лишь с точки зрения принципи неопределенности.

Читатель А. Петров (Ленинград). Если среднее расстояние между частицами $a$, то $\Delta x \approx a$ и возможно даже $\Delta x = L$, где $L$ — размер системы. Значит, $p_{\min} \sim \frac{h}{L}$!

Автор. Совершенно верно. Мы оцениваем характерную энергию, а она определяется средним массой $a$. Наименьшая яже возможная энергия есть $\frac{h^2}{2mL^2}$, причем возможны и промежуточные значения энергии, соответствующие $a < \Delta x < L$.

Поясню это замечание подробнее. Среднее расстояние между электронами в металле $a$ определяет характерное расстояние в принципи неопределенности и характерную энергию нулевых колебаний, оценивавшуюся нами. Однако, в принципи, отделные электроны могут находиться в редко встречающихся состояниях, оказываясь друг от друга на расстоянии порядка размеров системы $L$. В соответствии с этим минимальная кинетическая энергия (энергия нулевых колебаний), которое имеет небольшое число электронов, порядка $\frac{h^2}{2mL^2}$, то есть крайне мала.

И здесь уже проявляется кардиальное отличие фермиевских и болееских частиц.

Поскольку базовские частицы могут в любом состоянии собираться в неограниченном количестве, при очень низких температурах они начинают скалпливаться именно в состоянии с низкой энергейой — начинается так называемая конденсация Бозе — Эйштейна в пространстве энергии.

Сказанного достаточно, чтобы получить основные характеристики Бозе-газа. Начнем с расстояния теплового излучения, сосредоточенного в полости нагретою тела (и находящемся в равновесии с этим телом). Так как тепловое излучение состоит из квантов электрономагнитных волн (фотонов), число которых в единице объема определяется температурой излучающего их нагретою тела, единственный энергетический характеристкой оказывается температура. Поэтому средняя энергия фотона в порядке $kT$. Телерь у нас задано не размитие расстояния, а теплое размитие энергии. Переншем принцип неопределенности в несколько ином виде, введя характерное время $\Delta t$:

$$h \sim \Delta p \Delta x \sim \frac{\Delta p}{\Delta t} \Delta x \Delta t.$$

Но изменение импульса за данное время есть произведение силы на время ее действия: $\Delta p = F \Delta t$. Значит, $\frac{\Delta p}{\Delta t} \Delta x = F \Delta x$ есть работа силы на пути $\Delta x$, то есть, согласно закону сохранения энергии, изменение энергии $\Delta E$. Таким образом,

$$\Delta E \Delta t \sim h$$

10

(очень важная форма принципи неопределенности).

Для фотонов $\Delta E \sim \varepsilon$, а величина $\Delta t$ — пюреда времени $\tau$, характеризующего период колебаний фотонов. Поэтому $\varepsilon \sim hv\left(v = \frac{1}{\tau}\right)$.

Из полученного равенства, учитывая, что $\varepsilon \sim kT$, находим период колебаний $\tau = \frac{1}{v} \sim \frac{h}{kT}$ и длину волны $\lambda$ (расстояние, проходимое волной, движущейся со скоростью света $c$ за период колебания $\tau$):

$$\lambda = c\tau \sim \frac{ch}{kT}$$

Длина волны определяет характерное расстояние, «приходящая на квант» $^*$). Составствующий объем есть $\lambda^3$, так что число фотонов в единице объема порядка

$$\lambda^{-3} \sim \left(\frac{kT}{ch}\right)^3$$

Полная же их энергия в единице объема, то есть плотность энергии теплового излучения,

$$E_1 \sim kT \cdot \lambda^3 \sim \frac{(kT)^4}{(ch)^3}$$

Мы получили значенную формулу Стефана — Больцмана! Точная формула отличается коэффициентом $-\frac{\pi^2}{20} \approx \frac{1}{2}$.

А теперь перейдем от макромира газов к микромируя ядра. Попробуем оценить порядок величины ядрных сил, ничего не зная о них, кроме того, что радиус ядра $R \sim 10^{-12} \sim 10^{-13}$ см, и оно состоит из взаимодействующих между собой протонов и нейтронов. Кинетическая энергия порядка $\frac{h^2}{MR^2}$. А так как ядро не разваливается и не скнимается, а удерживается в равновесии ядрными силами, потенциальная энергия взаимодействия должна быть порядка кинетической!

Вот мы и добавлись до энергии в тысячи миллиардов ($10^{12}$ градусов. Не забывайте только, что это именно энергия, измеренная в градусах,

*) Конечно, это утверждение выгляделит не очень убедительно, но оно оказывается правильным, а потому просто примите его на веру.

а относить не температура части в ядре!

А разница масс ядрных части — протона и нейтрона — порядка массы электрона $m_e$. (Это не случайно, поскольку нейтрон может превращаться в протон и электрон.) Значит, связанная с зарядом энергия порядка $m_e c^2$, то есть «всего» порядка $10^{10}$ градусов и значительно меньше энергии ядрного взаимодействия. Поэтому ядрные силы практические не зависят от заряда, а говорить о нейтронах и протонах в ядре как об отдельных частих не имеет смысла, и их называют простой «нуклонами».

А какова скорость ядрных части?

В нерелятивистской механике $\frac{Mv^2}{2} \sim \frac{h^2}{MR^2}$ и $v \sim \frac{h}{MR}$. Получается скорость порядка скорости света! Более точная оценка приводит к $v \sim 0,1$ $c$, поэтому во многих случаях для части в ядре в грубом приближении удается ограничиться нерелятивистской теорией.

Как видите, понимание функентальных физических законов дает функциональные физические следствия, из которых мы затронули лишь малую часть.

Уражнения

1. Определите зависимости давления от плотности части (их числа в единице объема) в идеальном фермиевском газе $^*$ при низких температурах. Получите уравнение состояния такого газа (с точностью до численного множителя). Сравните его с уравнением состояния классического газа.

2. Найдите критерий квантовости идеального фермиевского газа.

3. Определите зависимости температуры теплоемкости безвесского газа при низких температурах.

4. Найдите критерий классического газа.

5. Оцените размер atoms водорода.

6. Знача, что связь atoms в жидкостях и кристаллах определяется в основном электросистемном взаимодействии, оцените расстояние между atoms.

*) См. «Диалог о температуре».