Квадратный трёхчлен

41

М. С. Атамукас

Квадратным трехленом называется многочлен второй степени общего вида

$$ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0.$$

На вступительных экзаменах по математике задачи, пряmo или косвенно связанные с квадратным трехленом, предлагаются довольно часто. Да это и не удивительно — в школьной программе удаляется много места и времени изучению квадратного уравнения

$$ax^2 + bx + c = 0,$$

выяснение свойств квадратной функции

$$y = ax^2 + bx + c.$$

Эта функция встречается и в физике; например, при описании движения материалов точки, брошенной наклонно к горизонту.

Школьники, конечно, хорошо знают все формулы, относящиеся к квадратному трехлену, имеют они и изображать график квадратной функции — парабoly. Оdnako, когда речь идет о решении конкретной задачи, большеинструменты пытается действовать чисто аналитически, привлекая лишь формулы. Между тем очень часто использование геометрических соображений позволяет получить ответ проще и быстрее.

Мы показем на несколько примерах, как важно бывают при решении задачи мыслить одновременно и на алгебраическом, и на геометрическом языках.

Для того чтобы проверить, насколько хорошо вы знакомы со свойств квадратного трехлена, рассмотрим сперва такую задачу (она предлагалась на устных экзаменах в МГУ).

1. На рисунке 1 изображено несколько графиков квадратных трехленов. Рисунок приблизительно, масштаб не указаан. Для каждой из этих парабол определять знаки соответствующих коэффициентов $a, b$ и $c$.

Возьем, например, парабoly 4; она является графиком некоторой квадратной функции

$$f(x) = ax^2 + bx + c.$$

Так как ветви этой параболи направлены вверх, то коэффициент $a > 0$. (Доказите! Многие поступавшие обьясняли это так: «В учебнике доказы-

42

вается, что если $a > 0$, то парабола направлена вверх». Убедительно ли такое обязывание?). Далее, коэффициент $c$ равен значению функции $y$ в точке $x = 0$, то есть $c = f(0)$. Из рисунка видно, что парабола 4 пересекает положительное полуось ordinат, а потом $c > 0$. Абсцисса вершины парабола равна $-\frac{b}{2a}$; из рисунка ясно, что она положительная. Мы уже знаем, что $a > 0$, и, следовательно, $b < 0$.

Ответ: $a > 0$, $b < 0$, $c > 0$.

Остальные случаи, представленные на рисунке 1, читатели могут разобраться самостояльно.

Во многих задачах необходимо выяснить поведение квадратной функции $f(x) = ax^2 + bx + c$ на заданном промежутке $(\alpha, \beta)$, описать расположение корней этого треугольника относительно фиксированной точки $x = \gamma$ оси абсцисс и т. д. В этих задах геометрический язык делает расчужнения простыми и наглудными (и притом вполне строгими!).

2. На основе абсцисс указаны промежуток $\alpha < x < \beta$. При каких $a$, $b$ и $c$ уравнение

$$ax^2 + bx + c = 0, \ a \neq 0, \ b^2 - 4ac > 0$$

имеет на этом промежутке только один корень?

Иными словами, надо выяснить, при каких $a$, $b$ и $c$ график функции $f(x) = ax^2 + bx + c$ пересекает ось абсцисс на промежутке $\alpha < x < \beta$ровно один раз.

Если пытается решить этот вопрос аналитически, с помощью формул для корней $x_1$ и $x_2$ квадратного треугольника, то условия, при которых только один корень лежит между чисlamи $\alpha$ и $\beta$, записьюются весма грамодзко. Геометрический же подход дает возможность получить это условие сразу и в простом виде.

Представим себе, как может вести себя график треугольника, удовлетворяющего поставленному в задание условия; очевидно, возможно одно из четырех положений, представленных на рисунке 2. Заметим, далее, что в каждом из этих случаях значения функции $f(x)$ в точках $\alpha$ и $\beta$ имеет противоположные знаки, то есть

$$f(\alpha)f(\beta) < 0,$$

или, более подробно,

$$(a\alpha^2 + b\alpha + c)(a\beta^2 + b\beta + c) < 0.$$

Это условие необходимо и достаточно для того, чтобы уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ (при $a \neq 0, b^2 - 4ac > 0$) имелоровно один корень на интервале $(\alpha, \beta)$.

43

Итак графики помогли нам найти это условие. Они же подсказывают, как доказать, что это условие необходимое и достаточно.

Необходимость. Пусть уравнение имеет два корня $x_1$ и $x_2$ ($x_1 < x_2$), причем один корень лежит внутри интервала $(\alpha, \beta)$, а другой — вне его. Тогда одно из чисел $\alpha, \beta$ лежит внутри интервала $(x_1, x_2)$, а другой — вне его. Но в школьном учебнике доказывается, что значения функции $f(x) = ax^2 + bx + c$ вне интервала $(x_1, x_2)$ между корнями и значения функции внутри этого интервала имеют противоположные значки. Следовательно, $f(\alpha) f(\beta) < 0$.

Достаточно есть. Пусть числа $f(\alpha)$ и $f(\beta)$ имеют разные значки. Тогда $b^2 - 4ac > 0$, уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два корня $x_1$ и $x_2$, и значения функции внутри интервала $(x_1, x_2)$ и вне его имеют противоположные значки. Поэтому только одно из чисел $\alpha, \beta$ лежит внутри интервала $(x_1, x_2)$. Но это означает, в свою очередь, что только одно из чисел $x_1, x_2$ лежит внутри интервала $(\alpha, \beta)$.

Понятно, что квадратная функция

$$y = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0, \quad b^2 - 4ac = 0,$$

имеет лишь один корень $x_0 = -\frac{b}{2a}$, и он лежит на промежутке $(\alpha, \beta)$, если $\alpha < -\frac{b}{2a} < \beta$.

Приименим изложенные только что сообщения для решения следующего задачи, взятой из практики устных экзаменов.

3. Доказать, что квадратный трехчлен

$$f(x) = (x - a)(x - b) + \lambda (x - c)(x - d)$$

имеет действительные корни при любом действительном $\lambda$, если известно, чторовно одно из чисел $c, d$ лежит на интервале $(a, b)$, а другой вне его.

Рассматривая графики различных квадратных трехчленов, легко заметить одно важное свойство: максимальные и минимальные значения квадратного трехчлена на отрезке $[\alpha, \beta]$ могут достигаться только в трехследующих точках: в точке $x = -\frac{b}{2a}$, если, конечно, она принадлежит отрезку $[\alpha, \beta]$; в точке $\alpha$; в точке $\beta$ (в концах отрезка). Доказем это; будем считать, что $a > 0$ (случай $a < 0$ разбирается аналогично).

Выделим из квадратного трехчлена полный квадрат:

$$f(x) = ax^2 + bx + c = a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}.$$

Воспользовавшись такой запись, нетрудно показать, что при $a > 0$ функция $f(x)$ в точке $x = -\frac{b}{2a}$ имеет абсолотный минимум, равный $c - \frac{b^2}{4a}$; на интервале $(-\infty, -\frac{b}{2a})$ монотно убивает, а на интервале $(-\frac{b}{2a}, \infty)$ монотно возрастает.

*) Проверьте самостояльно, что из $f(\alpha) f(\beta) < 0$ следует $b^2 - 4ac > 0$.

44

Постому, если
$$\alpha \leq -\frac{b}{2a} \leq \beta,$$
то функция $f(x)$ на отрезке $[\alpha, \beta]$ принимает наименьшее значение $c - \frac{b^2}{4a}$ в точке $-\frac{b}{2a}$ (см. график 1 на рисунке 3).

Нибольшее значение, в силу монотности, достигается в одном из концов интервала.

Пусть теперь точка $-\frac{b}{2a}$ находится вне отрезка $[\alpha, \beta]$ (см. графики 2, 3 на рисунке 3).

Тогда отрезок $[\alpha, \beta]$ принимает одному из интервалов монотности, и, следовательно, минимальное значение принимается в одном из его концов, а максимальное — в другом.

Попытайте теперь формулировать необходимое и достаточно условие, при котором квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два корня на заданным промежутке $\alpha < x < \beta$.

Замеченное свойство квадратного трехчлена облегчит нам решение следующих задач.

4. (МГУ, механизм, 1970). При каких значениях параметра $\alpha$ неравенство
   $$\sin^6 x + \cos^6 x + \alpha \sin x \cos x \geq 0$$
   выполняется для всех $x$?

Преобразуем левую часть неравенства:
$$(\sin^2 x)^3 + (\cos^2 x)^3 + \alpha \sin x \cos x =$$
$$= (\sin^2 x + \cos^2 x) (\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x) + \alpha \sin x \cos x =$$
$$= [(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 3 \sin^2 x \cos^2 x] + \alpha \sin x \cos x =$$
$$= 1 - \frac{3}{4} \sin^2 2x + \frac{\alpha}{2} \sin 2x.$$

Обозначим $\sin 2x$ через $y$; очевидно, $-1 \leq y \leq 1$, коэффициент при $y^2$ отрицатель, поэтому на отрезке $[-1; 1]$ минимум квадратного трехчлена $-\frac{3}{4} y^2 + \frac{\alpha}{2} y + 1$ достигается в концах отрезка.

Следовательно, неравенство
$$-\frac{3}{4} y^2 + \frac{\alpha}{2} y + 1 \geq 0$$
выполняется на всем отрезке $[-1; 1]$ в том и только в том случае, когда трехчлен неотрицатель в концах отрезка:

$$\begin{cases} -\frac{3}{4} (-1)^2 + \frac{\alpha}{2} (-1) + 1 \geq 0, \\ -\frac{3}{4} \cdot 1^2 + \frac{\alpha}{2} 1 + 1 \geq 0 \end{cases}$$

то есть $\alpha \leq \frac{1}{2}$ и $\alpha \geq -\frac{1}{2}$.

Ответ: данное неравенство выполняется для всех $x$ при $-\frac{1}{2} \leq \alpha \leq \frac{1}{2}$.

45

Рис. 4. Минимум при $t = t_0$.

Рис. 5. Минимум при $t = t_0$.

5. (ЛГУ, матемех, 1966). Ракета должна пройти отрезок, равный $H$. Она начинаем движение с постоянной скоростью $v$ и в любой момент времени может включить дополнительный движение, дающий постоянноеускорение $a$ ($a > 0$) и работающей до конца пути. Расход топлива на участке пути с постоянной скоростью пропорционален времене движения, а при включенном дополнительном движении — квадрату времени с коэффициентами пропорциональности $k_1$ и $k_2$ соответствие ($k_1, k_2 > 0$). Какое время ракета должна движется с включенным дополнительным движением, чтобы обещая расход топлива был наименьшим?

Пусть $\tau$ — время движения ракеты с постоянной скоростью, $t$ — время движения с включенным дополнительным движением, $A$ — расход топлива. Из уравнения:

$$H = v\tau + vt + \frac{at^2}{2}, \quad A = k_1\tau + k_2t^2$$

находим

$$\tau = \frac{1}{v} \left( H - vt - \frac{at^2}{2} \right), \quad A = \left( k_2 - \frac{ak_1}{2v} \right) t^2 - k_1t + \frac{k_1H}{v}.$$

Заметим, что $0 \leq t \leq t_0$, где $t_0$ — положительный корень уравнения

$$H = vt + \frac{at^2}{2}, \quad t_0 = \frac{-v + \sqrt{v^2 + 2aH}}{a}.$$

(Это время полета в том случае, если движения включен с самого начала.) Нужно найти минимум функции $A = A(t)$ (*), заданной на отрезке $[0, t_0]$.

1. $k_2 - \frac{ak_1}{2v} < 0$. Вершина парабoles $A = A(t)$ имеет абсциссу

$$t^* = \frac{k_1}{2 \left( k_2 - \frac{ak_1}{2v} \right)} < 0.$$

Парабола расположена так, как указано на рисунке 4. Минимум при $t = t_0$.

2. $k_2 - \frac{ak_1}{2v} = 0$; $A = -k_1t + \frac{k_1H}{v}$. Минимум при $t = t_0$ (рис. 5).

3. $k_2 - \frac{ak_1}{2v} > 0$. Абсцисса вершины парабoles

$$t^* = \frac{vk_1}{2vk_2 - ak_1} > 0.$$

46

Рис. 6. Минимум при $t = t^*$.

Если $t^* \leq t_0$, то минимум при $t = t^*$ (рис. 6).
Если $t^* \geq t_0$, то минимум при $t = t_0$ (рис. 7).
Ответ: Если $2vk_2 - ak_1 > 0$ и

$$\frac{vk_1}{2vk_2 - ak_1} \leq \frac{-v + \sqrt{v^2 + 2aH}}{a},$$

то

$$t = \frac{vk_1}{2vk_2 - ak_1}.$$

Если $2vk_2 - ak_1 \leq 0$ или $2vk_2 - ak_1 > 0$ и

$$\frac{vk_1}{2vk_2 - ak_1} > \frac{-v + \sqrt{v^2 + 2aH}}{a},$$

то

$$t = \frac{-v + \sqrt{v^2 + 2aH}}{a}.$$

Упражнения

1. Указать условия, при которых оба корня трехчлена $f(x) = ax^2 + bx + c$ меньше заданного числа $\alpha$.
2. Указать условия, при которых данные число $\alpha$ лежит между корнями трехчлена $f(x) = ax^2 + bx + c$.
3. (МГУ, отделение структурной линейности, 1968). Найти все значения параметра $b$, при которых оба корня квадратного уравнения $x^2 - 2bx - 1 = 0$ действительны и не превыходит по модулю 2.
4. (МГУ, физик, 1965). Найти все значения $a$, при которых уравнения $x^2 + x + a = 0$ действительны и больше $a$.
5. (МГУ, отделение биологии, 1969). Найти все значения $a$, при которых система

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = a, \\ x - y = a \end{cases}$$

имеет единственное решение.
6. Радиус основания прямого кругового конуса равен $R$, а его высота равна $H$. Определить высоту цилиндра, вписанного в этот конус и имеющего наибольшую боковую поверхность.
7. (МГУ, отделение структурной линейности, 1969). Указать все корни уравнения $x^2 + 1 = \cos x$.
8. (МГУ, физик, 1964). Найти все значения $m$, при которых выражение $x^2 + mx + m^2 + 6m$ будет отрицательно при всех значениях $x$, удовлетворяющих неравенствам $1 < x < 2$.
9. (МГУ, физик, 1963). Снаряд вылетает из ордия под углом $\alpha$ к горизонту со скоростью $v_0$. В самом верхней точке трехчлена снаружи на две равные по массе части, причем скорости частей тут же после взрыва горизонтальных и лежат в плоскости трехчлена. Одна половина снаружи на расстоянии $S$ от места выстрела. Определить место падения второй половины, если известно, что она упала дальше первой. Считать, что полет снаряда происходит в безвоздущном пространстве.