Задачи М111—М115; Ф118—Ф122

24

ЗАДАЧИ

M111. В квадрате со стороны 1 расположена фигура, расстояние между любыми двумя точками которого не равно 0,001. Доказите, что площадь этой фигуры не превышает 0,34. (Можно считать, что граница фигуры, о которой говорится в условиям, состоит из отрезков прямых и дуг окружности.)
Постраяйтесь получить более точную оценку и доказать аналогичную теорему в пространстве.
Г. В. Розенблюм

M112. В таблице $m \times n$ записаны числа так, что для любых двух строк и любых двух столбцов сумма чисел в двух противоположных вершинах образуется ими прямогольника равна сумме чисел в двух других его вершинах. Часть чисел стерли, но поставимся можно восстановить стерты. Доказать, что осталось не меньше, чем $(n+m-1)$ чисел.

M113. Доказать, что для любого натурального $n$ найдется число, составленное из цифр 1 и 2, делящееся на $2^n$.
Б. М. Ивлев

M114. По кругу выписано несколько чисел. Если для некоторых четырех идущих подряд чисел $a, b, c, d$ оказывается, что $(a-d)(b-c) < 0$, то числа $b$ и $c$ можно поменять местами. Доказать, что эту операцию можно проделать лишь конечное число раз.
В. Б. Алексеев

M115. В три сосуда налито по целому числу литров воды. В любой сосуд разрешается перелить столбко воды, сколько в нем уже содержится, из любого другого сосуда. Доказать,

Рис. 1.
волтметр, источник тока и соединенные провода, можно изменить величины одного из сопротивлений, не разрывая ни одного контакта в схеме?

А. Р. Зильберман

Ф119. Свет от источника $S$ по пути к экрану проходит через покояйся стеклянный кубик с ребром $l$ (рис. 2). На сколько быстрее свет