Графики в задачах на равномерные процессы

48

Трафики
В ЗАДАЧАХ
НА РАВНОМЕРНЫЕ
ПРОЦЕССЫ

Б. А. Кордемский

На вступительных экзаменах по математике предлагаются самые разнообразные задачи на составление уравнений. Многие из них относятся к категории задач, описывающих равномерные процессы: перемещение с постоянной скоростью, подача воды по трубе с постоянной пропускной способностью, выполнение работы при постоянной производительности труда, оплата процесса при постоянной таксе и другие.

Часто такие задачи проще всего решать геометрические, строя график зависимости между величины, о которых идет речь в условия задачи.

На графике равномерный процесс изображается прямой линий (рис. 1); при этом зависит и не зависит переменные $y$ и $x$ связаны между собой соответствием

$$y = kx + b^*$$

Каждая точка $M$ графика изображается некоторое «состояние» расматриваемого равномерного процесса: абсцисса $x_0$ и ordinata $y_0$ точки $M$ рассказываются о значениях величины, характеризующих процесс.

Например, при равномерном движении тела по прямой, принимаемой за координатную ось, график зависимости его координатоты от времени представляется собой прямую линию **).

На рисунке 2 абсцисса и ordinата точки $M_0$ показывают, что неекто, проехав на такси 3,5 км (OA км) уплатил за проезд 45 копеек (OB коп).

На рисунке 3 прямая $AD$ — график длины отграка равномерно горяющей свечи. Отрезок $OA$ (взятый в масштабе оси $Oy$)

*) Вообще прямая линия может задавать и соответствием $x = c$ (у произвольно), но такие уравнения в задачах обычно не возникают, поскольку в этом случае $y$ не зависит от $x$.

**) См. статью Ю. В. Зайчкова «Графики движения», «Квант» № 6, 1970, стр. 39—45.

49

означает начальное длину свечи; отрезок BM (взятый в том же масштабе) — длину огарка через t единиц времени (t=OB в масштабе оси Ox). В свою очередь отрезок MC расскажает о длине сгоревшей части свечи к тому же моменту времени t, а отрезок OD дает нам время, за которой свеча矫ит полностью. Очевидно, что отношение $\frac{MC}{AC} = \frac{AO}{OD}$ характеризует скорость, с которой свеча.

Отметим, что прямую AD на рисунке 3 можно рассматривать и как график длины сгоревшей части свечи, если ось, на которой откладывается длина сгоревшей части свечи, считать прямую AO (A — начало координат, AA’ — ось времени).

Этот пример полезен при построении на одном чертеже графиков встречных движений или «встречных» работ (когда одно задание выполняют два человека, басейн заполняется двумя трубами).

При решении задач на равномерные процессы важно научиться переводить алгебраическое условие задачи на геометрический язык графиков. При этом нет нужны составлять уравнение прямой линии, изобразяющий равномерный процесс. Для ее построения в соответствии прямой системы координат достаточно знать какие-либо два «состояния» этого процесса.

На рисунке 4 представлена геометрическая модель следующей задачи (текст условия комментируется заменяями о соответствии геометрической интерпретации).

Задача 1. Пароход началирузить 4 подъемных крана одинаковой мощности. (Пусть отрезок OA произ–

Рис. 2. Гraphik оплаты проезда на такси.

Рис. 3. Гraphik длины огарка свечи.

волной длины — объем всей работы, OA’ — предполагаемый график работы этих четырех кранов.) После того как они проработали 2 часа (OB=AB’=2 часа), к ним присоединили еще 2 крана меньшей мощности (ломанная AB’C — график «встречной» работы этих двух кранов, относительной к системе осей AA’ и AO; масштабы на этих осях те же, что и на осях Ox и Oy), и после этого порезка была оконечена через 3 часа (BE=3 часа; DE и DE’ — количество работы, выполенной соответствующей и двумя кранами при их совместном действия).

Если бы все краны начали работать одновременно (новый график работы двух кранов — прямая AF, причем AF || B’C), то порезка была бы оконечена в 4,5 часа (отрезок ON=4,5 часа).

Рис. 4. Гraphики работы подъемных кранов.

50

Определить, за сколько часов мы окончим поерзку один кран меньше мощности.

Конечно, эту задачу можно решать обычным способом: ввести неизвестные и составить систему двух уравнений, а затем решить ее *). Но привлечение графиков значительное облегчает рациональный выбор неизвестных и нахождения связей между данными величинами и искомыми. Решение при этом получается короче и нагляднее, поскольку появляется совершенное закона ввозможность использовать геометрические свойства, например, подобие треугольников.

Решение. Два маломощных крана выполняют всю работу (OA) за OF часов; найдем длину этого отрезка. Для этого рассмотрим две пары подобных треугольников:

$$\triangle ODE \sim \triangle OMN,$$
откуда $$\frac{DE}{MN} = \frac{5}{4,5};$$

$$\triangle CDE \sim \triangle FMN,$$
откуда $$\frac{DE}{MN} = \frac{EC}{NF},$$

или $$\frac{5}{4,5} = \frac{OF + 2 - 5}{OF - 4,5}.$$ Отсюда нахождение OF = 18. Так как 18 часов — время работы двух кранов малой мощности, то один такой кран завершит поерзку за 36 часов.

Рассуждания, использующие графический интерретацию, с успехом можно применять для решения и таких задач, где речь идет о сплавах или смесях двух веществ.

Задача 2. Имеются два сплава золота и сербра; в одном количество этих металлов находимся в отношении 2:3, в другом — в отношении 3:7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором золото и сербро были бы в отношении 5:11?

Решение. Будем решать задачу по долям золота в сплавах. Золото составляет $$\frac{2}{5}$$ первого сплава, $$\frac{3}{10}$$ второго и $$\frac{5}{16}$$ искомого; приведя к общему

*) См. Н. П. Антонов, М. Я. Выгодский, В. В. Никитин, А. И. Саник, «Сборник задач по элементарной математике», М., «Наука», 1960, задача № 462.

Рис. 5. График массы золота в сплава № 3.

знаменателью, получим дроби $$\frac{32}{80}, \frac{24}{80}, \frac{25}{80}.$$

Пусть мы взяли x кг сплава № 2 и 8 — x кг сплава № 1. Ясно, что масса золота в сплава № 2 пропорционально массе x этого сплава, а масса золота в сплава № 1 пропорционально массе 8 — x этого сплава, то есть линейно зависит от x. Поэтому масса золота в сплава № 3, составленном из сладков № 1 и № 2, также линейно зависит от x. Построим график этой зависимости в системе координат с осями: Ox — «масса сплава № 2 в 8 кг сплава № 3» и Oy — «$\frac{1}{80}$ массы золота в 8 кг сплава № 3»; получится прямая линия (рис. 5).

Эту прямую можно построить по двум ее точкам: (8, 24) и (0, 32). Они возникают из граничных значений для x: если искомый сплав состоит из $x_1 = 8$ кг сплава № 2 (и 0 кг сплава № 1), то, оченьindo, $y_1 = 24$; если же сплав № 3 состоит из 8 кг сплава № 1 (то есть $x = 0$), то $y_0 = 32$. Тепер нам надо найти абсциссу x точки M (красной прямой) с ordинацией y=25; из подобия треугольников получаем

$$\frac{x}{8} = \frac{32-25}{32-24},$$

откуда x=7 (кг).

52

на расстоянии $1/3$ длины шоссе, аzonчик $C$ — перед концком $B$ на максимое расстояние. Гонцик $A$ впервые донал.В в том момент, когда $B$ законил свой перный круе, а еще через 10 минут $A$ впервые донал концика $C$. Гонцик $B$ притит на круе на 2,5 минуты меньше, чем $C$. Сколько времени притит на круе концик $A$?

Немудрено запутаться в этой сети переплетающихся движений, если следовательно, «привычной» схеме составления системы управления*. Но все эта сеть становится проразничной и приводит лишь к одному уравнению, если привлечь графики.

Решение и.e. Пусть $Ox$ — ось времени, $Oy$ — ось расстояний (рис. 7), $OM_1=1$ — длина колцевого шоссе, $M_1M_2$ — второй «виток» этого же шоссе. Точки $B$, $C$ и $D$ таковы, что

$$OB=BC=CM_1=M_1D=1/3.$$

Прямая $OA$ — предполагаемый график движения гонцика $A$. Построим прямую $DD_1 \parallel Ox$ и отметим точку $E$ ее пересечения с $OA$; по условию, $BE$ — график движения гонцика $B$. Пусть $x$ — абсцисса точки $E$; отметим на оси $Ox$ точку $F$ такую, что $OF=x+10$, и проведем прямую $FG \perp Ox$ до пересечения с $OA$ в точке $G$. Тогда, по условию, $CG$ — график движения гонцика $C$.

Из рисунка находим

$$v_A=\frac{OD}{x}=\frac{4}{3x}, \quad v_B=\frac{BD}{x}=\frac{1}{x},$$

кроме того, по условию,

$$v_C=\frac{1}{x+2.5}.$$

Построим $CC_1 \parallel Ox$; видно, что разность путей $FG-C_1G$ гонциков $A$ и $C$ за время $x+10$ (мин.) равна $FC_1=OC=\frac{2}{3}$. Получаем уравнение

$$\frac{4}{3x}(x+10)-\frac{1}{x+2.5}(x+10)=\frac{2}{3}.$$

Решая его, находим $x=20$ (мин.). За это время гонцик $A$ делает $4/3$ кру-

*) См. статью Н. Н. Колесикова «Писменный экзамен по математике на mexmate МГУ в 1970 году», «Квант» № 3, 1971, стр. 45—50.

Рис. 7. Графики движения гонциков, стартующих одновременно.

53

Рис. 8. Графики движения гоншиков, стартуоших из одной точки.

прямой II и точку 3 x на оси Ox. Прямая 1 B — график движения гоншика B (всякий обгон при движении по окружности и при обгоняющей прощел на один круг больше обгоняемого).

Аналогичным образом по точке B₁ пересечения прямых 1B и IV находим точку C на прямой III, определяем ее абсциссу 2(3x-1)+1 и строим график — прямую 2C — движения гоншика C.

Длину кольцевого шоссе можно принять за единицу и найти скорости гоншиков (тангенсы углов наклона графиков, определяемые из соответствующих прямогольных треугольников):

$$v_A = \frac{1}{x}, \quad v_B = \frac{2}{3x-1}, \quad v_C = \frac{1}{2x-1}.$$

Согласно условию задачи в момент 3x+3 произойдет второй обгон гоншиком A гоншика C, следовательно разность проиденных имми путей (отрезок A’C’) равна 2. Составляем уравнение:

$$v_A(3x+3) - v_C(3x+1) = 2,$$

или

$$\frac{3x+3}{x} - \frac{3x+1}{2x-1} = 2.$$

Из двух его корней условию удовлетворяет только x=3 (мин.).

Упражнения

1. Арбузы, приведенные на базу, предназначены для двух матагазинов. Первая матагазин сразу приступил к перевозке арбузов и перевозил их ежедневно одинаковыми весовыми порциями. Второй магазин присутствил к перевозке арбузов на a дней позже и также перевозил их одинаковыми, но иными, чем первый магазин, весовыми порциями. При этих условиях через b дней, прошедших от начала перевозочных операций на базе осталась половина первого начального количества арбузов. За сколько дней были вывезены все арбузи с базы, если перевозку магазины закочили одновременно и вес арбузов, полученных первым магазином, равен весу арбузов, полученных вторым магазином?

2. (МГУ, биофак, 1968). Бак наполняется водой с помощью нескольких насосов. Сначала включали три насоса одинаковой производительности, а через 2,5 часа после начала их работы подключили еще два насоса другой, но тоже одинаковой производительности. В результате через 1 час после подключиния двух насосов воды в бake до полного объема не хватало 15 м³, а еще через бак был полон. Один из двух подключичных позже насосов мог бы наполить бак за 40 часов. Найти объем бака.

3. (МГУ, химфак, 1970). Из пункта A в пункт B выехал автоматиль и одновременно из пункта B в пункт A выехал величипедict. После встречи они продолжали свой путь. Автомобиль, доехав до пункта B, точчас повернул назад и догнал величипедict через два часа после момента первого встречи. Сколько времени после первого встречи еgal велиспедict до пункта A, если известно, что к моменту второго встречи он просхал 2/3 всего пути от B до A?

4. Два спортмена выбегают одновременно (первый — из A в B, второй — из B в A) и встречаются на расстоянии a м от A. Пробежав дорогку AB до конца, каждый из них поворачивает обратно, и они вновь встречаются на расстоянии b м от B. Найти длину дорогки *).

5. (МГУ, механит, 1970). Два бегуна стартуют из одной точки кольцевой дорогки стандартна, а третий бегун стартует одновременно с ним в том же направлении из диаметрально противоположной точки. Пробежав 3 круга, третий бегун впервые после старта dorогого. Через 2,5 минут после этого первого бегун впервые dorогал третий. Сколько кругов в минуту пробегает второй бегун, если первый обгоняет его один раз через каждые 6 минут?

*) Это — задача № 190 из книги Н. С. 3 алгоритма «Конкурсные задачи по математике». Киев, 1964. Использование графиков подскажет полное условие существования решения этой задачи: 3a>2b, ускользнущее от внешняя автора книги (он указывает лишь условия 3a>b, не являющееся достающим).