V Всесоюзная математическая олимпиада

35

V Весоюзная математическая оптимка.
В. Л. Гутенхær

С 15 по 20 апреля в Прге проходила V Весоюзная математическая оптимка. Но жюри оптимизаны (председатель Ян Бардзинь, зам. председателя Николай Васильев) начало свою работу уже с 13 апреля. Из эта задач, которые привести с собой члены жюри, нужно было отобразить наиболее интересные и оригинальные задачи. На этот раз, в отличие от прошлых лет, жюри решило дать школьникам задачи, которые были бы близки к серbezной математической науке, а на втором туре проведisti даже неоторый эксперимент: предложить одну более трудную задачу, разбив ее на серню постепенно условияющихся вопросов, в решении которых предлагалось бы продвинутся как можно дальше.

Первый и второй тур оптимизаны проходили 16 и 17 апреля отдельно по всьымым, девятым и десятим классам.

Мы помещаем ниже список из 23 задач, которые предлагались школьникам. Средние них, по существу, всего 14 различных задач. 10 задач мы публикуем в «Задачнике Кванта» (см. «Квант» №10, 11).

ЗАДАЧИ

8 класс (первый день)

1. Доказать, что существует стоимость число, делящейся на 2$^{100}$, в десятичной записи которого участуют только цифры 1 и 2.

2. Дан треугольник $A_1A_2A_3$. На его стороне $A_1A_2$ взяты точки $B_1$ и $D_2$, на стороне $A_2A_3$ — точки $B_2$ и $D_3$, на стороне $A_3A_1$ — точки $B_3$ и $D_1$ так, что если построить параллельграммы $A_1B_1C_1D_1$, $A_2B_2C_2D_2$ и $A_3B_3C_3D_3$, то прямые $A_1C_1$, $A_2C_2$ и $A_3C_3$ пересекутся в одной точке. Доказать, что если $A_1B_1=A_2D_2$ и $A_2B_2=A_3D_3$, то $A_3B_3=A_1D_1$.

3. Двое играют в такую игра. Первые записывают один под другим два ряда по 10 чисел так, чтобы выполнялось следующей правила: если число $b$ записано под числом $a$, а число $d$ — под числом $c$, то $a+d=b+c$. Второй играок, зная это правило, хочет определить все написанные числа.

Ему разрешается задавать первому игруво просыптипа «Какое число стоит в первой строке на третьем месте?» или «Какое число стоит во второй строке на девятом месте?» и т. п. За какое наименьшее число таких вопросов второй игрок может узнать все числа?

4. См. задачу M111.

8 класс (второй день)

5. См. задачу M108.

6. Доказать, что из 25 различных положительных чисел можно выбрать два таких числа, что ни одно из оставшихся не равно ни сумме, ни разности (междублим и менышим) выбранных чисел.

7. См. задачу M109.

9 класс (первый день)

1. См. задачу M113.

2. На каждой стороне треугольника ABC взято по две точки: на AB — точки D и E, на BC — точки F

36

и G и на CA — точки H и K. Дано, что AD=BE, BF=CG и CH=AK. В треугольниках ADK, BEF и CGH проведены медианы из вершин A, B и C. Доказать, что прямы, на которых лежат эти медианы, пересекаются в одной точке.
3. См. задачу M115.
4. См. задачу M111.
5. См. задачу M112.

9 класс (второй день)

6. Куб с ребром длины n разбит на $n^3$ единичных кубков. Выберем несколько кубков и проведем через центр каждой из них три прямы, параллельные ребрам. Какое наименьшее число кубков можно выбрать так, чтобы проведенные через них прямы перечеркнуты все кубики?
   Решите эту задачу, если:
   a) $n=4$,
   b) $n=10$,
   b) $n$ — любое натуральное число.
7. Доказать, что все прямы, делящие одновременно и площадь, и перimetр треугольника пополам, пересекаются в одной точке.
8. См. задачу M110.

10 класс (первый день)

1. См. задачу M106.
2. См. задачу M107, a.
3. Проекции тела на две плоскости — круги. Доказать, что эти круги имеют равные радиусы.
4. См. задачу M111.
5. См. задачу M114.

10 класс (второй день)

6. Куб с ребром длины n разбит на $n^3$ единичных кубков. Выберем несколько кубков и проведем через центр каждой из них три прямы, параллельные ребрам. Какое наименьшее число кубков можно выбрать так, чтобы проведенные через них прямы перечеркнуты все кубики:
   a) Укажите ответ для маленьких значений n: для n=2, 3, 4.

6. Попробуйте найти ответ при n=10.
   b) Решите общую задачу. Если вам не удалось найти ответ, докажите какое-либо неравенства, оценивающие сверху и снизу число отмеченных кубков.
   г) Заметьте, что эту задачу можно сформировать так.
   Рассмотрим всевозможные наборы $(x_1, x_2, x_3)$, где каждая из букв $x_1, x_2, x_3$ принимает одно из n значений 1, 2,…, n. Какое наименьшее число наборов нужно выбрать, чтобы для каждой из остальных наборов среды выбранных нашеся такой, который отличается от него только в одном месте (значением только одной из координат $x_1, x_2, x_3$)? Попробуйте найти оценки для более общей задачи, когда рассматривают наборы не из трех, а из четырех или большого числа букв.

7. a) Расмотрим функцию $f(x, y)=x^2+xy+y^2$. Доказать, что для любой точки $(x, y)$ найдется также целые числа $(m, n)$, что

$$f(x-m, y-n)=(x-m)^2+$$
$$+(x-m)(y-n)+(y-n)^2\leq \frac{1}{2}.$$

6. Обозначим через $f(x, y)$ наименьшее из чисел $f(x-m, y-n)$ при всех целых m и n. Утверждение задачи a) состоит в том, что выполнен неравенство $f(x, y)\leq \frac{1}{2}$ для всех $(x, y)$. Доказите, что на самом деле верно более сильное неравенство $f(x, y)\leq \frac{1}{3}$. Найдите все точки, для которых имеет место равенство $f(x, y)=\frac{1}{3}$.

b) Расмотрим функцию

$$f_a(x, y)=x^2+axy+y^2(a\geq 0).$$

Найдите какое-либо число C (зависшее от a) так, чтобы все $(x, y)$ выполнлось неравенство $|\bar{f}_a(x, y)|\leq C$. Постарайтесь найти точную оценку.

38

не известные жюри способы доказательства.

Камнем преткновения стала задача №4, предложенная во всех классах. Многие проблемы решить эту задачу, но при этом упускали из виду, что расположение крутов может быть достагоно экзотическая: круги могут налегать друг на друга, их центры могут быть расположены близко друг к другу и т.п. По существу, в этой задаче фигура, покрытая кругами, может иметь почти произвольную форму, и нужно придумать такое рассудение, которое годится для любой такой фигуры. У этой задачи есть очень короткое и красное решение. В каждом классе ее удалось решить лишь одному школьнику (в таблице на стр. 39 указано, сколько людей решило каждую задачу полностью или с небольшими процесами). Повторялись в равных классах и другие задачи, однако их формулировки отличались друг от друга. Например, задача 1 в девятом классе отличался от задачи 1 в восемом классе тем, что вместе числа 100 поставлено число $n$. Задание 7 девятого класса отличался от задачи 5а восемого класса тем, что не названа точка, в которой пересекаются прямые, и, таким образом, существенно условена.

В качестве более интересного примера двіпровання мы приведем задачи 3 (8 класс) и 5 (9 класс). Первая из этих задач — просто частный случай второй (для $m=2$, $n=10$), но в формулировке 8 класса более четко выделено, что именно требуется в ее решении: (1) указаать ответ (этот ответ — 11 вопросов — нашли почти

39

все); (2) доказать, что за 11 вопросов узнать все числа можно (это очень просто); (3) доказать, что за 10 или меньше вопросов узнать числа нельзя.

Задача 3 (8 класс). Пусть $a$ и $c$ — какие-то два числа, стоящие в верхней строке, а $b$ и $d$ — числа, стоящие под ними:

$$\dots a \dots c \dots$$
$$\dots b \dots d \dots$$

Условие, которое удовлёт этот число, состоит только в том, что $a+d=c+b$. Перепишем это условие так: $a-b=c-d$. Отсюда следует, что разность между числом в верхней строке и числом, стоящим под ним, для всех столбцов одна и та же; обозначим эту разность через $y$. Таблицу можно записать так:

$$\begin{array}{c c c c c} x_1 & x_2 & \dots & x_9 & x_{10} \\ x_1-y & x_2-y & \dots & x_9-y & x_{10}-y \end{array}$$

здель $x_1, \dots, x_{10}$, $y$ — произвольные числа. Эту таблицу можно определить за 11 вопросов. Например, можно за 10 вопросов найти 10 чисел $x_1, \dots, x_{10}$ из первой строки, а затем, задав один вопрос «какое число стоит во второй строке на первом месте?», найти $y$.

Почти оченьindo, что меньше, чем за 11 вопросов нельзя найти 11 неизвестных. Однако жюри не считало, что это оченьindo, и требовало посяс-

нений. Большую трудность представляла для участников записи их полного и четкого решения задач. Записывать строки и таблицы, состоящие из большого числа элементов, и свободно обращаться с ними, могут очень немного не использоваться трудноность как такого рода.

Задача 6 (8 класс). Будем доказывать утверждение задачи от противного. Допустим, что либо сумма двух чисел из 25 либо их разность содержится среди остальных чисел.

Расположим данные числа в порядке возрастания:

$$a_1 < a_2 < \dots < a_{24} < a_{25}.$$

Рассмотрим наиболее числа $a_{25}$ в паре с любым из остальных чисел. Очевидно, что сумма таких чисел не содержится среди данных чисел, так как

$$a_{25} + a_i > a_{25} \quad (i=1, 2, \dots, 24).$$

Следовательно, разности этих чисел

$$a_{25} - a_{24} < a_{25} - a_{23} < \dots < a_{25} - a_1$$

должны содержаться среди данных чисел. Единственный возможный вариант:

$$a_{25} - a_{24} = a_1, a_{25} - a_{23} = a_2, \dots, a_{25} - a_1 = a_{24}$$

или, что то же самое,

$$a_{24} + a_1 = a_{23} + a_2 = \dots = a_{13} + a_{12} = a_{25}.$$

Число участников, решивших каждую задачу

| 8 класс | № задачи | I день | | | II день | | | | |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| | Решило | 1 | 2 | 3 | 4 | | 5 | 6 | 7 | 8 |
| | | 30 | 7 | 22 | 1 | | | 42 | 15 | 13 |
| 9 класс | № задачи | 1 | 2 | 3 | | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| | Решило | 56 | 31 | 0 | | 1 | 6 | 9 | 1 | 16 |
| 10 класс | № задачи | 1 | 2 | 3 | | 4 | 5 | 6* | 7* | 8* |
| | Решило | 26 | 43 | 65 | | 1 | 5 | 32 | 1 | 18 |

• Различные результаты, полученные участниками по этим задачам, не укладываются точно в рамках формulierованных вопросов; указано число школьников, полученных наиболее полные и точные результаты, построенных примеры и т.п.

40

Теперь рассмотрим число $a_{24}$ в пале с любым из первых двацати трех чисел. С парой чисел $a_1$ и $a_{24}$ все в порядке, так как $a_{24}+a_1=a_{25}$. Суммы же чисел

$$a_{24}+a_2,\dots,a_{24}+a_{23}$$

не содержатся среди данных чисел, так как

$$a_{24}+a_i>a_{24}+a_1=a_{25},$$

($i=2,3,\dots,23$).

Следовательно, разности этих чисел должны содержаться среди данных чисел. Запишем их в порядке возрастания:

$$a_{24}-a_{23}<a_{24}-a_{22}<\dots<a_{24}-a_2.$$

Из равенства $a_{23}+a_2=a_{25}$ следует, что $a_{24}-a_2<a_{23}$ и поэтому единственный возможный вариант:

$$a_{24}-a_{23}=a_1, \quad a_{24}-a_{22}=a_2, \dots, a_{24}-a_{12}=a_{12}, \dots, a_{24}-a_2=a_{22}.$$

Но в таком случае разность $a_{24}-a_{12}$ не содержится среди оставшихся чисел, а сумма $a_{24}+a_{12}$ вообще не содержится среди данных чисел. Получили противоречие. Тем самым утверждение задачи доказано.

Задача оказывается верной и для $n$ чисел, где $n \geq 4$. Доказательство можно проверить аналогичным образом, причем для четного $n$ можно получить противоречение на первом же шаге наших рассужdeniens. Попробуйте сами записать это доказательство.

Неожиданным для жюри является сравнительное легкой теоремтической задачи 3 (10 класс). Задача оказысь посильной лишь одной трети десятиклассников. Это свидетельствует, пожалуй, о том, что пространственное представление у большинства участников олимпиады развитого недостаточного.

Задача 3 (10 класс). Тут речь идет об общий ortогональной проекции. Определение проекции тела на данную плоскость содержится в школьном учебнике. Нам понадобится определение проекции тела на прямую.

Проекцией точки на данную прямую называется на данную прямую, то ее проекцией будет сама эта точка.

Проекцией тела на данную прямую называется на данную прямую, то ее проекцией будет сама эта точка.

Пусть $P$ — плоскость и $l$ — прямая, лежащая на $P$. Из теоремы о трех перепределениях следует, что проекция любой точки на прямую $l$ может быть получена последовательным проектированием этой точки на плоскость $P$ и проектированием полученной точки на прямую.

По условияю задачи проекция тела на две плоскости — кругги. Допустим, что эти плоскости пересекаются по прямой $l$. Из сказанного следует, что проекция тела на прямую $l$ совпадает с проекциями каждой из кругов на $l$. Отсюда заключаем, что проекции обихку кругов $l$ совпадают друг с другом.

Ясно, что проекция круга на прямую $l$ лежащую в его плоскости, представляем собой отрезок, равный диаметру круга. Следовательно, эти круги имеют одинаковые diameters и одинаковые радиусы.

Случай, когда данные плоскости параллельны друг друг доступно очень удобным.

Можно сказать, что остальные задачи первого дня у десятиклассников, хотя и были более трудными, но все допускали значительное количество решений, чем приведенное выше решение задачи № 3.

Вариант девятого класса нужно признать несколько перегруженных: здесь не было ни одной «совсем простой» задачи. В частности, задача 3 никаким не было решена полностью.

Особенно тяжелим был второй тур, где собраны задачи, требующие длительного размышления. А поскольку так же, как в десятом классе,