Научимся обращаться с абсолютной величиной

45

НАУЧИМСЯ ОБРАЩАТЬСЯ С АБСОЛЮТНОЙ ВЕЛИЧИНОЙ

Е.Б.Ваховский, А.Б.Волынский

Идет экзамен. Абитуренту предложено тригонометрическое уравнение:

$$\sqrt{\cos^2 x - \cos 2x} - 1 = \sin x.$$

В процессе его решения абитурент выписывает следующую уравнение:

$$\sqrt{\cos^2 x - \cos^2 x + \sin^2 x} - 1 = \sin x,$$

$$\sin x - 1 = \sin x, -1 = 0.$$

Полученное ложное числовое равенство означает, говорит абитурент, что данное уравнение не имеет решения.

Ответ неверный. В этом легко убедиться, подставив в первоначальное уравнение число $x = -\frac{\pi}{6}$, которое оказывается корнем.

Ошибка абитурента, кстати, очень распространенная, состоит в том, что не для всякого действияного $a$

$$\sqrt{a^2} = a$$

(1)

(в данном примере, в частности, абитурент считал, что $\sqrt{\sin^2 x} = \sin x$).

На самом деле единственное верным является то жество

$$\sqrt{a^2} = |a|,$$

(2)

в то время как равенство (1) справедливо лишь при $a \ge 0$ (см. Е. С. Кочетков, Е. С. Кочетков «Алгебра и элементарные функции», § 77).

Таким образом, решая приведенное выше уравнение, абитурент должен получить

$$|\sin x| - 1 = \sin x.$$

Если $\sin x \ge 0$, то последнее уравнение записется так: $\sin x - 1 = \sin x$, откуда $-1 = 0$, и в этом случае решение нет.

Если $\sin x < 0$, то $|\sin x| = -\sin x$, и мы получим $-\sin x - 1 = \sin x$, откуда $\sin x = -\frac{1}{2}$, что согласно с условиям $\sin x < 0$.

Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$ где $n=0, \pm 1, \pm 2, \dots$.

Познакомимся теперь более подробно с понятием абсолотной величины.

Прежде всего заметим, что графики модели числа $x$ есть простое расстояние от точки $x$ числовой оси до начала отчета (см. рис. 1).

Приведенное сообщение облегчает решение большого класса неравенств.

Пример 1. Решить неравенства

$$|x| < a \quad (a > 0),$$

(3)

$$|x| > a \quad (a > 0).$$

(4)

Решение. Нераевенству (3) удовлетворяют только те точки числовой оси, расстояния от которых до начала отчета меньше $a$, то есть точки, лежащие между $-a$ и $a$ (рис. 2).

Ответ: $-a < x < a$. Это означает, что $x$ удовлетворяет системе

46

неравенств

$$\begin{cases} x > -a, \\ x < a. \end{cases}$$

По аналогичным соображениям решениями неравенства (4) служат значения $x$, удовлетворяющие совокупности двух неравенств: $x < -a; x > a$ (рис. 3).

Следует заметить, что при $a \leq 0$ неравенство (3) не имеет решения. Неравенству (4) при $a < 0$ удовлетворяет все действительные числа, а при $a = 0$ — все, кроме $x = 0$.

Поэтому в примерах подобного типа мы должны в первую очередь интерсоваться знаком правой части. Так, например, неравенство $|x| < |a|$ часто автоматически решают с разбором случая $a \geq 0$ и $a < 0$, полагая, что это необходимо, раз число $a$ стоит под знаком modуля. Однако проще всего здесь заметить, что $|a| > 0$ при $a \neq 0$. Отсюда мы легко получаем ответ: если $a \neq 0$, то $|a| < x < |a|$, если $a = 0$, то решений нет.

К неравенствам типа (3) и (4) свойства неокоторые неравенства, не содержащие знаков абсолотной величины.

Пример 2. Решить неравенство $4 < x^2 < 9$.

Решение. Извлечем из всех трех частей неравенства (арithmetic) квадратный корень. Полученное равnocильное неравенство $2 < |x| < 3$ легко решается с помощью графического представления (рис. 4).

Ответ: $-3 < x < -2; 2 < x < 3$.

Пример 3 (МГУ, мек. mat., 1966). Решить неравенство

$$|3^{tg\pi x} - 3^{1-tg\pi x}| \geq 2.$$

Решение. Это неравенство равnocильное совокупности двух неравенств: $3^{tg\pi x} - 3^{1-tg\pi x} \leq -2; 3^{tg\pi x} - 3^{1-tg\pi x} \geq 2$.

Обозначая $3^{tg\pi x}$ через $y$, мы получим совокупность неравенств:

$$y - \frac{3}{y} \leq -2; y - \frac{3}{y} \geq 2 (y > 0).$$

47

Решение. Прежде всего надо избавиться от знаков абсолотной величины. Однако для этого надо знать, какой знак имеет числа $1 - x$ и $x^2 - x - 6$, стоящие под знаком modуля. Но каково число $x$, заранее неизвестно, поэтому необходимо разобрать несколько случаев. Для того, чтобы сделать это наиболее экономным образом, разложим трехчлен $x^2 - x - 6$ на множители и представим данное неравенство в виде

$$\frac{6x - |x+2| |x-3|}{|x-1|} \leq 3 + 5x.$$

Поскольку всегда $|x-1| \geq 0$, это неравенство равносильно системе

$$\begin{cases} 6x - |x+2| |x-3| \leq \\ \leq (3+5x) |x-1|, \\ x \neq 1. \end{cases}$$

Чтобы решить систему (5), нанести на числовую ось точки $-2, 1$ и $3$ (рис. 5), которые разобьют ее на четые области. Для числа $x$ из каждой такой области ясно, какой знак имеет числа $x+2, x-1, x-3$.

Например, если точка $x$ лежит в самом левой области $(x < -2)$, то $|x+2| = -(x+2), |x-1| = 1 - x, |x-3| = 3 - x$. Таким образом, наше неравенство равносильно совокупности четырех систем:

$$\begin{cases} x < -2, \\ 6x - (x+2)(x-3) \leq (3+5x)(1-x); \\ -2 \leq x < 1, \\ 6x + (x+2)(x-3) \leq (3+5x)(1-x); \\ 1 < x \leq 3, \\ 6x + (x+2)(x-3) \leq (3+5x)(x-1); \\ x > 3; \\ 6x - (x+2)(x-3) \leq (3+5x)(x-1). \end{cases}$$

Первая система не имеет решения. Решения остальных системы:

$$-\frac{3}{2} \leq x < 1, \quad 1 < x \leq 3, \quad x > 3$$

соответственно. Окончательный ответ: $$-\frac{3}{2} \leq x < 1, \quad x > 1.$$

Перейдем к следующему типу задач, связанных с абсолотной величиной.

Рассмотрим неравенство вида $|A| \leq B$, где $A$ и $B$ — некоторые выражения, содержащие неизвестное $x$.

В силу сообщений, которые мы приводили в примере 1, это неравенство равносильно либо системы

$$\begin{cases} B \geq 0, \\ -B \leq A \leq B, \end{cases}$$

либо совокупности системы:

$$\begin{cases} A \geq 0, \\ A \leq B; \quad A < 0, \\ -A \leq B. \end{cases}$$

Точно так же неравенство $|A| \geq B$ равносильно либо совокупности системы

$$\begin{cases} B < 0, \\ A - \text{любое}; \quad B \geq 0, \\ A \leq -B, \quad A \geq B, \end{cases}$$

либо совокупности системы

$$\begin{cases} A \geq 0, \\ A \geq B; \quad A < 0, \\ -A \geq B. \end{cases}$$

В каждом конкретном примере такого типа надо уметить наиболее полезные путь.

Пример 5. Решить неравенство

$$5 + 2 \cos 2x \leq 3 \quad |2 \sin x - 1|.$$

Решение. Здесь направляется первый способ, так как $5 + 2 \cos 2x > 0$ для всех $x$. Предложенное неравенство равносильно совокупности неравенств:

$$3 (2 \sin x - 1) \leq -5 - 2 \cos 2x; \quad 3 (2 \sin x - 1) \geq 5 + 2 \cos 2x.$$

Каждеое из этих неравенств после подстановки $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$ становится квадратным относительно sin $x$. Решая их с учетом неравенства $|\sin x| \leq 1$, приходим к совокупности

$$\sin x \leq -\frac{1}{2}, \quad \sin x \geq 1.$$

48

Ответ: $2\pi n - \frac{5}{6} \pi \leqslant x \leqslant -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad \text{где } n, \quad k = 0, \quad \pm 1, \dots$

Пример 6. Решить неравенство $|x^3 - 8| \leqslant x^3 + x + 8$.

Решение. Здесь первый способ просто не применим, поскольку не имеем возможность решить неравенство $x^3 + x + 8 \geqslant 0$. Второй способ сводит задачу к совокупности системы

$$\begin{cases} x^3 - 8 \geqslant 0, \\ x^3 + x + 8 \geqslant x^3 - 8; \\ x^3 - 8 < 0, \\ x^3 + x + 8 \geqslant -x^3 + 8, \end{cases}$$

которая в свою очередь сводится к совокупности системы

$$\begin{cases} x \geqslant 2, \\ x \geqslant -16; \end{cases}$$

$$\begin{cases} x < 2, \\ x(2x^2 + 1) \geqslant 0. \end{cases}$$

Решение первого: $x \geqslant 2$, решение второй: $0 \leqslant x < 2$.

Ответ: $x \geqslant 0$.

Легко проверить, что уравнение $|A| = B$ также можно решать двумя способами, оно эквивалентно системе

$$\begin{cases} B \geqslant 0, \\ \pm B = A, \end{cases}$$

или

$$\begin{cases} A \geqslant 0; \\ A = B; \end{cases}$$

$$\begin{cases} A < 0, \\ -A = B. \end{cases}$$

Пример 7 (МАИ, 1970). Решить уравнение:

$$x - \frac{|3x - 2|}{5} = 3 - \frac{2x - 5}{3}$$.

Решение. После простых преобразований мы получим

$$3 |3x - 2| = 25x - 70$$.

Приименим первый способ. После уравнения равносильно совокупности системы

$$\begin{cases} 25x - 70 \geqslant 0, \\ 3(3x - 2) = 25x - 70; \\ 25x - 70 \geqslant 0, \\ 3(3x - 2) = -25x + 70. \end{cases}$$

Решение первого системы $x = 4$; вторая система несовместна.

Ответ: $x = 4$.

Пример 8 (МГУ, физ. фак., 1963). Наимену дейстримельные решения уравнения

$$\begin{cases} x^2 - \frac{3}{2}x - 1 = -x^2 - 4x + \beta. \end{cases}$$

Решение. В этом случае первый способ, включая знака правой части, неудобен, так как параметр $\beta$ будет входить не только в уравнение, но и в соответствующей неравенства. Приименим второй способ.

Предложенное уравнение равносильно следующего совокупности системы:

$$\begin{cases} x^2 - \frac{3}{2}x - 1 \geqslant 0, \\ x^2 - \frac{3}{2}x - 1 = -x^2 - 4x + \beta; \end{cases}$$

$$\begin{cases} x^2 - \frac{3}{2}x - 1 < 0, \\ -(x^2 - \frac{3}{2}x - 1) = -x^2 - 4x + \beta. \end{cases}$$

Первая система сводится к системе

$$\begin{cases} x \leqslant -\frac{1}{2}, x \geqslant 2, \\ x_1 = \frac{-5 - \sqrt{57 + 32\beta}}{8}, \\ x_2 = \frac{-5 + \sqrt{57 + 32\beta}}{8}. \end{cases}$$

Так как $x_1 < 0$, то должны выполнять неравенства $x_1 \leqslant -\frac{1}{2}, x_2 \leqslant -\frac{1}{2}, x_2 \geqslant 2$.

Подставляя вместо $x_1$ и $x_2$ их выражения и решая относительно $\beta$ irrationalные неравенства, получа-