Движение по окружности

51

Для описания движения по окружности наряду с линейной скоростью вводят понятие угловой скорости. Если точка при движении по окружности за время $\Delta t$ описывается дугу, угловая мера которой $\Delta \varphi$, то угловая скорость $\omega = \frac{\Delta \varphi}{\Delta t}$.

Угловая скорость $\omega$ связана с линейной скоростью $v$ соотношением $v = \omega r$, где $r$ — радиус окружности, по которой движется точка (рис. 1). Понятие угловой скорости особенно удобно для описания врашения твердого тела вокруг оси. Хотя линейные скорости у точек, находящихся на разном расстоянии от оси, будут неодинаковыми, их угловые скорости будут равны, и можно говорить об угловой скорости врашения тела в целом.

Задча. Диск радиуса $r$ камтся без просkalзывания по горизонтальной плоскости. Скорость цепи диска постоянная и равна $v_{\pi}$.

Рис. 1. Рис. 2.

С какой угловой скоростью при этом врачается диск?

Каждая точка диска участвует в двух движениях — в поступательном движении со скоростью $v_{\pi}$ вместе с центром диска и во врашательном движении вокруг центра с некоторой угловой скоростью $\omega$.

Для нахождения $\omega$ воспользуемся отсутствием просkalзывания, то есть тем, что в каждый момент времени скорость точки диска, соприкасающейся с плоскостью, равна нулю. Это означает, что для точки $A$ (рис. 2) скорость поступательного движения $v_{\pi}$ равна по величины и противоположна по направлению линейной скорости врашательного движения $v_{BP} = \omega r$. Отсюда сразу получаем $\omega = \frac{v_{\pi}}{r}$.

Задча. Наименование модели $B$, $C$ и $D$ можно же диска (рис. 3).

Рассмотрим вначале точку $B$. Linейная скорость ее врашательного движения направлена вертикально в равна $v_{BP} = \omega r = \frac{v_{\pi}}{R} r = v_{\pi}$, то есть по величины скорости поступательного движения, которая, однako, направлена горизонтально. Складывая векторно эти две скорости, находим, что результатирующая скорость $v_B$ по величины равна $v_{\pi} \sqrt{2}$ и обращает угол $45^\circ$ с горизонтом. У точки $C$ скорости врашательного и поступательного движения направлены в одну сторону. Результирующая скорость $v_C$ равна $2v_{\pi}$ и направлена

53

автомобиль, направлен к центру поворота и сообщает центростремительное ускорение: $F_{\text{тр}} = \frac{mv^2}{R}$.
Максимальное значение силы трения $F_{\text{тр} \max} = kN = kmg$, поэтому минимальное значение радиуса окружности, по которой еще возможно движение со скоростью $v$, определяется из уравнения $\frac{mv^2}{R} = kmg$. Отсюда $R = \frac{v^2}{kg} \approx 130(m)$.

Сила реакции дороги $N$ при движении автомобиля по окружности не проходит через центр тяжестестия должны, чем больше скорость автомобиля. Величина силы трения тем больше, чем больше скорость автомобиля ($F_{\text{тр}} = \frac{mv^2}{R}$). При некотором значении скорости момент силы трения превыстит момент силы реакции и автоматLIB опрокинется.

Задча a. При какой скорости автомобиля, движущийся по душе окружности радиуса $R = 130m$, может опрокинться? Центр тяжестестия автомобиля находится на высоте $h = 1m$ над дорогой, ширина слева автомобиля $l = 1,5m$ (рис. 4).

В момент опрокинывания автомобиля как сила реакции дороги $N$, так и сила трения $F_{\text{тр}}$ приложены

Рис. 4.

к «внешнему» колесу. При движении автомобиля по окружности со скоростью $v$ на него действует сила трения $F_{\text{тр}} = \frac{mv^2}{R}$. Эта сила создает момент относительно центра тяжестестия автомобиля $M_{\text{тр}} = \frac{mv^2}{k}h$. Максимальный момент силы реакции дороги $N = mg$ относительно центра тяжестестия равен $mg\frac{l}{2}$ (в момент опрокинывания силы реакции проходит через внешнее колесо). Приравнивая эти моменты, найдем уравнение для максимальной скорости, при которой автоматLIB еще не опрокинется:

$$\frac{mv^2}{R}h = -\frac{mgl}{2},$$

откуда

$$v = \sqrt{\frac{glR}{2h}} \approx 30m/c \approx 110km/u.$$

Чтобы автоматLIB мог двигаться с такой скоростью, необходимо коэффициент трения $k \geq \frac{v^2}{gR}$ (см. предыдущую задачу).

Аналогичная ситuation возникает при повороте мотоцикла или велосипеда. Сила трения, созданная пространством ускорение, имеет момент относительно центра тяжестестия, стремящаяся опрокиннуть мотоцикл. Поэтому для компенсации этого момента моментом силы реакции дороги motoциклист накладяется в сторону поворота (рис. 5).

Задча a. Момощикст едет по горизональной дороге со скоростью $v = 70km/u$, делая поворот радусом $R = 100m$. На какой угол $\alpha$ к горизонному он должен при этом наклониться, чтобы не упасть?

Сила трения между motoциклом и дорогой $F_{\text{тр}} = \frac{mv^2}{R}$, так как она сообщает motoциклисту центростремительное ускорение. Сила реакции дороги $N = mg$. Условие равенства моментов силы трения и силы реакции относительно центра тяжестестия дает уравнение:

$$F_{\text{тр}} \cdot l \sin \alpha = Nl \cos \alpha,$$

где $l$ — расстояние $OA$ от центра тяжестестия со слева motoцикла (см. рис. 5).

57

$v_A = \sqrt{gR}$ сила реакции дороги обращается в нуль только в верхней точке петли. В самом деле, скорость автомобиля на других участках петли будет большей, и как легко видеть из решения предыдущей задачи, сила реакции дороги тоже будет большей, чем в точке $A$. Поэтому, если автомобиль в верхней точке петли имеет скорость $v_A = \sqrt{gR}$, то он нигде не оторвется от петли.

Теперь определяем, какую скорость должны иметь автомобиль в нижней точке петли $D$, чтобы в верхней точке петли $A$ его скорость $v_A = \sqrt{gR}$. Для нахождения скорости $v_D$ можно воспользоваться законом сохранения энергии, как если бы автомобиль двигаляя только под действием силы тяжести. Дело в том, что сила реакции дороги в каждой момент направлена перpendикулярно перемещению автомобиля, а следовательно, ее работа равна нулю (напомним, что работа $\Delta A = F \Delta s$ cos $\alpha$, где $\alpha$ — угол между силой $F$ и направлением перемещения $\Delta s$). Силой треня между колесами автомобиля и дорогой при движении с выключенным motorом можно пренебречь. Поэтому сумма потенциальной и кинетической энергии автомобиля при движении с выключенным motorом не меняется.

Приравняем значения энергии автомобиля в точках $A$ и $D$. При этом будем отсчитывать высоту от уровня точки $D$, то есть потенциальную энергию автомобиля в этой точке будем считать равной нулю. Тогда получаем

$$\frac{mv_D^2}{2} = \frac{mv_A^2}{2} + 2mgR.$$

Подставляя сюда значение $v_A = \sqrt{gR}$ для исключой скорости $v_D$, находим:

$$v_D = \sqrt{5gR} \approx 70 \text{ m/c} \approx 260 \text{ km/ч}.$$

Если автомобиль выдет в петлю с такой скоростью, то он смотет совершить ее с выключенным motorом.

Определим теперь, с какой силой при этом автомобILITY будет давить на дорогу в точке $B$. Скорость автомобиля в точке $B$ опять легко находится из закона сохранения энергии:

$$\frac{mv_D^2}{2} = \frac{mv_B^2}{2} + mgR(1 + \cos \alpha).$$

Подставляя сюда значение $v_D = \sqrt{5gR}$, находим, что скорость $v_B = \sqrt{gR(3 - 2\cos \alpha)}$.

Воспользовавшись решением предыдущего задачи, по заданной скорости находится силу давления в точке $B$:

$$N_B = \frac{mv_B^2}{R} - mg\cos \alpha = 3mg(1 - \cos \alpha) \approx 2 \cdot 10^3 \text{ N}.$$

Аналогично можно найти силу давления в любой другой точке «мертвой петли».

Упражнения

1. Найти угловую скорость искусственного спутника Земли, врашающегося по круговой орбите с периодом обращения $T = 88 \text{ min}$; Найти линейную скорость движения этого спутника, если известно, что его орбита расположена на расстоянии $R = 200 \text{ km}$ от поверхности Земли.

2. Диск радиуса $R$ помещен между двумя параллельными рейками. Рейки движутся со скоростями $v_1$ и $v_2$. Определить угловую скорость врашения диска и скорость его центра. Просkalьзывание отсутствует.

3. Диск катится по горизонтальной поверхности без прокалывания. Показать, что концы векторов скоростей точки вертикального диаметра находятся на одной прямой.

4. Самолет движется по окружности с постоянной горизонтальной скоростью $v = 700 \text{ km/час}$. Определить радиус $R$ этой окружности, если корпус самолета наклонен на угол $\alpha = 5^\circ$.

5. Груз массей $m = 100 \text{ e}$, подвешенный на нитки длины $l = 1 \text{ m}$, равномерно врашается по кругу в горизонтальной плоскости. Найти период обращения груза, если при его врашении нить отклонена по вертикали на угол $\alpha = 30^\circ$.

Определить также натяжение нити.

6. Автомобиль движется со скоростью $v = 80 \text{ km/ч}$ по внутренней поверхности вертикального цилиндра радиуса $R = 10 \text{ m}$ по горизонтальной муку гругу. При каждом минимальном коэффициенте треня между шинами автомобиля и поверхности цилиндра этого воздуха?

7. Груз массей $m$ подвешен на нерастяжимой нити, максимальное возможное натяжение которого равно 1,5 mg. На какой максимальный угол $\alpha$ можно отклонить нить от вертикали, чтобы при дальнейшем движения груза нить не оборвалась? Чему будет равно при этом натяжение нити в тот момент, когда нить составляет угол $\alpha/2$ с вертикалью?