Варианты вступительных экзаменов по математике 1972 года

ВАРИАНТЫ ВСТУПИТЕЛЬХ ЭКЗАМЕНОВ
ПО МАТЕМАТИКЕ 1972 года

Московский государственный университет имени
М. В. Ломоносова

Химический факультет

1. Пристань $A$ расположена в 27 км от пристанини $B$ ниже по течение реки. От пристанини $A$ по направлению к пристанини $B$ отходит первая лодка, а через час после ее отхода навстречу ей от пристанини $B$ отходит вторая лодка. Лодки встречаются в 18 км от пристанини $B$.

Если бы лодки отошли от пристаней $A$ и $B$ навстречу друг другу одновременно, то они встретились бы через два с четырьмя часа. Найти скорость первой лодки в стоячей воде, если известно, что она вдвое больше скорости течение реки.

2. Решить уравнение
   $$\log_{x^2+6x+8}[\log_{2x^2+2x+3}(x^2-2x)] = 0.$$

3. В трапеции $ABCD$ углы $A$ и $D$ при основании $AD$ соответственно равны 60° и 30°. Точка $N$ лежит на основании $BC$, причем $BN:NC = 2$. Точка $M$ лежит на основании $AD$, прямая $MN$ перpendикулярна основанием трапеции и делит ее площадь пополам. Найти отношение $AM:MD$.

4. Основанием треугольной прямиды $SABC$ служит прямогольный треугольник $ABC$ с прямым углом в вершине $B$. Ребро $SA$ перpendикулярно плоскости треугольника $ABC$. Через середины $D$ и $E$ соответственно ребер $AC$ и $BC$ проведена плоскость, параллельная ребру $SC$ и образующая в сечении четырехугольник $DEFH$ (точка $F$ лежит на ребре $SB$). Найти площадь четырехугольника $DEFH$, если известно, что $BC=a$, $AC=b$, $SA=h$.

5. Найти все значения $x$, для которых выражение
   $(\sin 4x + \sin 2x)(3\cos^2x + 2\sin 2x - 6\cos x)$ положительное.

Географический факультет и почвенное отделение биологического факультета

1. В двух автоколоннах, по 28 автомобильей в каждой, было 11 «Жигуляй», остальные — «Московчи». Сколько «Московчи» было в каждой автоколонне, если известно, что в первой автоколонне на каждой машину «Жигуляи» приходилось в два раза больше «Московчи», чем во второй?

2. Найти все решения уравнения
   $$\sqrt{3}\sin x + 2\cos x = \sqrt{3} + \sin 2x,$$
   удовлетворяющие условия 0 < x < 2.

3. Найти все значения $x$, для которых справедливо неравенство
   $$\log_2 x - \log_x 32 < 4.$$

4. Найти все числа $x$ и $y$, для которых
   $$\begin{cases} 2^{x+1} = y^2 + 4, \\ 2^{x-1} \leq y. \end{cases}$$

5. Через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ проведена okружность, которая пересекает сторону $AB$ в точке $K$ и сторону $AC$ в точке $E$. Найти $AE$, зная, что $AK = KB = a$, $BCK = \alpha$, $CBE = \beta$.

Биологическое отделение биологического факультета

1. Из пункта $A$ отправляется машина, а через час — мотоцикл, который догоняет машину в пункт $B$. В этот момент из $A$ отправляется второй мотоцикл, и душий с той же скоростью, что и первый. Второй мотоцикл догоняет машину через шесть часов после своего отправления. За какое время мотоцикл проходит путь от пункта $A$ до пункт $B$?

2. Упростить выражение
   $$tg 4x \cdot tg (40^\circ - 2x) + tg 4x \cdot tg (50^\circ - 2x) + tg (50^\circ - 2x) \cdot tg (40^\circ - 2x).$$

3. Решить уравнение
   $$5\sqrt{\log_3 x + \log_5 9} \log_5 3 = 3^{1 \log_3 1.8}.$$

4. Найти все решения уравнения
   $$\sin x + \sin (\log_3 x^3 \pi x) = \cos x - \cos \left(\log_3 \frac{x^3 \pi x}{x}\right).$$

5. В треугольнике $ABC$ библиотрисы $AD$ и $BE$ пересекаются в точке $O$. Найти отношение площади треугольника $ABC$ к площади четырехугольника $ODCE$, зная, что $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$.