Полулогарифмическая и логарифмическая сетки

2

1. В 12 номере «Кванта» за 1972 год была опубликована статья «Экспонента». В ней показано, что многое величины меняются во времени так, что скорость их изменения пропорциональна уже достигуному им значению. Общий вид такой показатель зависимости $y$ от $t$ записьвается формулой

$$y = y_0 a^t,$$

(1)

где $y_0$ — значение величины $y$ при $t = 0$. Положив

$$k = \lg a, \quad z = \lg y, \quad b = \lg y_0,$$

из (1) получаем $z = kt + b$.

Мы видим, что зависимость $z$ от $t$ линейна. Ее график есть прямая линия. Начертив обычным способом этот график, мы можем на основе $(n)$ или на параллельной ей прямой) поставить отметки соответствующих значений $y = 10^z$. Тогда по нашему прямолинейному графику можно будет при любом заданном $t$ непосредственно считывать значения $y$. На рисунке 1 такой способ графикаского изображения применен к функциям $y = 100^t$ и $y = e^t$ ($e = 2,718 \ldots$). Их графики в декартовой системе координат изображены на рисунке 2.

В магазинах продается пологарнифический бумага. На этой бумаге вертикальные линии проведены с промежутками в 1 мм, как на обычной миллиметровой бумаге, горизонтальные же линии проведены так, что их расстояние от нижней кромки равно 100 lgy, $y$ принимает значения

$$1 \quad 1,05 \quad 1,10 \quad 1,15 \ldots$$

$$2 \quad 2,1 \quad 2,2 \quad 2,3 \ldots$$

4

и т. д. (разберитесь по рисунку 3, как устроена эта шкала!). В нижней части рисунка 3 показано, как построить на полугарifiфицированной бумаге графики функций вида (1) по двум точкам $(t=0, y=y_0)$, $(t=1, y=y_0a)$.

На полугарifiфицированной бумаге приращению $\Delta t=1$ соответствует 10 см. Такой же масштаб мы выбрали на рисунке 3 по оси $y$. Поэтому угловой коэффициент наших графиков равен $k=\lg a$. Это не что иное, как относительная скорость изменения $y$ при изменении $t$:

$$\frac{1}{y} \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta t} = \frac{y'}{y} = \lg a = k$$

(здесь $y'$ — производная функция $y = f(t) = y_0a^t$). Если масштаб по оси $y$ выбрана иначе, то нужен перечет, с которым вы легко справите смоctоятельно.

Графики на полугарifiфицированной бумаге вычерчивают, когда требуется выяснить, можно ли заданную таблицей зависимости $y=f(t)$ хотя бы приближенно считать подчиняющейся закону показательного роста (или убывания). Рассмотрим в виде, примера объем промышленной продукции в СССР, выраженный в процентах к продукции 1940 года:

1937 1940 1945 1950 1955 1960 1965 1970
77 100 92 173 320 524 791 1190

7

Замечание. Во всей про-
мышленной продукции группа А в 1913 году составляла 35,1%, а в 1970 году 74,8%.

Таблица

| Год | Группа А | Группа В |
| :— | :— | :— |
| 1913 | 100 | 100 |
| 1917 | 81 | 67 |
| 1928 | 155 | 120 |
| 1932 | 424 | 187 |
| 1937 | 1013 | 373 |
| 1940 | 1340 | 460 |
| 1945 | 1504 | 273 |
| 1950 | 2746 | 566 |
| 1955 | 5223 | 996 |
| 1960 | 8936 | 1498 |
| 1965 | 14156 | 2032 |
| 1970 | 21359 | 3281 |

Рис. 8.