Мнимые числа и геометрические задачи

22

Мнимые числа и геометрические задачи

Г. Д. Балк, М. Б. Балк

Какое отношение могут иметь квадратные корни из отрицательных чисел к заданным из области геометрии? Можно ли человеку, решающему планирование задачу, принести осуществую пользову то обстоятельство, что в алгебре рассматривается числа вида $a + b\sqrt{-1}$?

Ответ как будет очевиден: «Не может».

А между тем оказывается, что привлечение таких «минимых» чисел нередко существует облегчает решение трудной планирование задачи — даже если в условиях такой задачи ни о каких «минимостях» и речи нет. Об этом будет расссказано в данной статье *).

Предполагается, что начальные представления о комплексьных числах и действиях с ними (в алгебраической форме) учителя имеют — скажем, в объеме школьного учебника Е. С. и Е. С. Кочетковых «Алгебра и элементарные функции», ч. 2, М., «Просвещение», 1969, стр. 216—220.

Ниже мы приведем дополнительные сведения о комплексьных числах и упражнения, а затем рассмотрим ряд геометрических задач.

Комплексные координаты точек и векторов

Возьем на плоскости декартову систему координат $xOy$ (рис. 1). Пусть

*) Эта статья написана по материалам занятый математик-механического кружка учащихся смоленской школи № 7 (апрель 1971 года).

$Z$ — некоторая точка на плоскости. Ее положение определяется двумя действительными числами — ее декартовыми координатами $(a, b)$. Соответствим точке $Z$ комплекское число $z = a + bi$. Это комплекское число называемом комплексною координатой точки $Z$.

У разжене 1. Каковы комплекские координаты точек $O, P, Q, M$, изображенных на рисунке 1?

Какдому комплексноу числу $z$ соответствует на декартовой плоскости $xOy$ в полне определения точка $Z$, комплексною координатой которого является именно это число $z^*$).

Возьем теперь на координатной плоскости (рис. 1) вектор (направленный отрезок) $OZ$ с началом в начале координат и концом в точке $Z$, имеющей координаты $(a, b)$. Комплексное число $z = a + bi$ называем также комплексною вектора $OZ$.

*) Отметим, что на оси $Oy$ мы откладываем коэффициент при $i$ (действительное число), но отметке 1 на оси $Oy$ соответствует число $i$.

23

Рассмотрим затем любой другой вектор AB, равный вектору OZ*). Вектор AB сопоставим то же самое компликсное число z; будем это число называть компликсной координатой вектора AB. Так, например, на рисунке 2 векторы AB, CD и OZ имеют одну и ту же компликсную координату 2 — 3i. Вообще можно сказать так: если проекция некоморозо вектора на ось Ox равна a, а его проекция на ось Oy равна b, то компликсной координатой вектора называется число z = a + bi.

У практике 2. Какие компликсные координаты имеют векторы KL, MN, PQ, ST, изображенные на рисунке 2?

У практике 3. Нарисуйте на координатной плоскости какие-либо векторы, начала коморых не совпадаетом с началом координат и коморые

*) Это означает следующие: векторы AB и OZ равны по длине, лежат на одной и той же прямой или на параллельных прямых и одинаково направлены.

имеем также компликсные координаты: i, 3 — i, — i — 3, — 2, 1/2 — 4/3 i.

У практике 4. Пусть векторы OA и AB (рис. 3) имеем компликсные координаты z1 и z2, а сумма этих векторов (вектор OB) имеем компликсную координату z. Как выражаемся число z через числа z1 и z2?

Решение. Пусть z1 = a1 + b1 i, z2 = a2 + b2 i. Тогда проекции векторов OA и AB на ось Ox равны соответственно a1 и a2, а проекция их суммы OB на ось Oy равна a1 + a2. Аналогично показывается, что проекция вектора OB на ось Oy равна b1 + b2. Но тогда компликсная координата z вектора OB равна (a1 + a2) + i (b1 + b2), то есть

z = z1 + z2.

Итак, при сложении векторов их компликсные координаты складываются.

У практике 5. Две точки Z1 и Z2 координатной плоскости xOy (рис. 4) имеем компликсные координаты z1 и z2. Какую компликсную координату имеем вектор Z1 Z2?

Решение. Обозначим через z компликсную координату вектора Z1 Z2. Так как OZ2 = OZ1 + Z1 Z2, то z2 = z1 + z, откуда

z = z2 — z1.

Итак, компликсная координата вектора равна разности между компликсной координатой его конца и компликсной координатой его начала.

У практике 6. Концы отрезка Z1 Z2 (рис. 5) имеем соответствие.

24

ственно комплекские координаты $z_1$ и $z_2$. Какова комплекская координата $z$ середины $Z$ эмного отрезка?

Решение. Векторы $Z_1Z$ и $ZZ_2$ равны, и поэтому они имеют одну и ту же комплексу координату; обозначим ее через $c$. Так как $OZ = OZ_1 + Z_1Z$ и $OZ_2 = OZ + ZZ_2$, то $z = z_1 + c$, $z_2 = z + c$.

Исключая $c$, найдем

$$z = \frac{1}{2}(z_1 + z_2).$$

Итак, комплексаная координата середины отрезка равна получиме комплексы координат его концов.

У правание 7. Точки $A$ и $B$ на координатной плоскости имеем комплексы координаты $\sqrt{3} - i$ и $-\sqrt{3} + 3i$. Какую комплексу координату имеем вектор $AB$? Какую комплексу координату имеем середина отрезка $AB$?

Напомним понятие modуля и аргумента комплекского числа. Если число $z = a + bi$ — комплексаная координата вектора $AB$ (рис. 1), то длина $r$ этого вектора называется modulum комплекского числа $z$ (обозначается так: $|z|$). Ясно, что $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. Угол $\alpha$ наклона вектора $AB$ к оси $Ox$ (отсутстваемый в полскительном направлении, то есть против часовой стрелки) называется аргументом числа $z$ (обозначается так: $Arg z$). Понято, что у каждой комплексаного числа $z$ имеется бесконечно много аргументов $^*$). Из очевидных соответствий $a = r \cos \alpha$, $b = r \sin \alpha$ следует так называемая триюнометрическая форма комплексною числа: $z = r (\cos \alpha + i \sin \alpha)$.

У правание 8. Пусть $z_1$ и $z_2$ — два комплексы числа. Как геометрические истолковать число $|z_2 - z_1|$?

У правание 9. Можно ли modуль суммы двух комплексы чисел быть больше суммы этих чисел?

*) Если $z \neq 0$, то аргументы $z$ отличаются на кратное $2\pi$, а $Arg0$ вообще произвольен.

Формула Эйлера и формула Myabра
Выражение вида $\cos \varphi + i \sin \varphi$ встреется в математике и ее приложениях весы часто. Для него использоваться различные сокращенные обозначения. Например, в картофели его обозначают знаком $1_\varphi$, а в работах по математике — через $exp(i\varphi)$ или $e^{i\varphi}$. Таким образом, по определению

$$e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi.$$

У правание 10. Какие комплекские числа заданы выражениями:

$$e^{i\cdot 0}; e^{i\frac{\pi}{2}}; e^{i\frac{\pi}{3}}; e^{i(-\frac{\pi}{4})}?$$

Обозначение (1) определяно сходством в свойств выражений вида $e^x$ (степень с вещественным показателем $x$) и выражений вида $e^{i\varphi}$. В самом деле, известно, что для вещественных $x$, $x_1$ и целых $n$ верны такие формулы:

$$e^x \cdot e^{x_1} = e^x + x_1$$

$$e^{-x} = \frac{1}{e^x},$$

$$(e^x)^n = e^{nx}.$$

Иными словами, при переменной степени с одним и тем же основанием показатели складываются; при возведении какой-либо степени в целую степень показатели переменнойются. Например для выражения вида $e^{i\varphi}$ аналогичные формулы (ниже $\varphi$, $\varphi_1$ — произвольные действительные числа, $n$ — любое целое число $^*$):

$$e^{i\varphi} \cdot e^{i\varphi_1} = e^{i(\varphi + \varphi_1)}$$

$$e^{-i\varphi} = \frac{1}{e^{i\varphi}},$$

$$(e^{i\varphi})^n = e^{in\varphi}.$$

Верны ли эти равенства? Оказывается, да. В этом можно убедиться, пользоваться формулами сложения трионометрических функций. Справдливость формул $(2') - (4')$ и определение введение обозначения (1).

Доказем формулы $(2') - (4')$.

$$e^{i\varphi} \cdot e^{i\varphi_1} = (\cos \varphi + i \sin \varphi) (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1) = (\cos \varphi \cdot \cos \varphi_1 - \sin \varphi \cdot \sin \varphi_1) + i (\sin \varphi \cdot \cos \varphi_1 + \cos \varphi \cdot \sin \varphi_1) = \cos (\varphi + \varphi_1) + i \sin (\varphi + \varphi_1) = e^{i(\varphi + \varphi_1)}$$.

*) Записи вида $e^{-i\varphi}$, $e^{\varphi i}$, $e^{ni\varphi}$ следует, естественно, понимать как $e^{i(-\varphi)}$, $e^{i(n\varphi)}$.

25

(3’). Полягая в (2’) $\varphi_1 = -\varphi$, получим $e^{i\varphi} \cdot e^{-i\varphi} = e^{i \cdot 0} = 1$, откуда следует (3’).

(4’). Доказательство этой формулы для натуральных $n$ проведем методом математической индукции. При $n = 1$ формула (4’), оченьindo, верна. Пусть (4’) справедлива для некоторого $k$:

$$(e^{i\varphi})^k = e^{i(k\varphi)}.$$

Покажем, что в таком случае формула (4’) верна и для следующего номера (то есть при $n = k + 1$). Действительно, в силу формул (5) и (2’) имеем

$$(e^{i\varphi})^{k+1} = (e^{i\varphi})^k \cdot e^{i\varphi} = e^{i(k\varphi)} \cdot e^{i\varphi} = e^{i(k\varphi)+\varphi}.$$

Итак, из (5) следует (5’). Согласно принципу математической индукции формула (4’) верна для всех натуральных $n$.

Пусть теперь $n$ — целое отрицательное число; тогда $n = -m$, где $m$ — натуральное число, и поэтому $(e^{i\varphi})^m = e^{im\varphi}$.

Следовательно,

$$(e^{i\varphi})^n = (e^{i\varphi})^{-m} = \frac{1}{(e^{i\varphi})^m} = \frac{1}{e^{im\varphi}} = e^{-im\varphi} = e^{in\varphi},$$

то есть (4’) верна и для всех целых отрицательных $n$ (для $n = 0$, как обычно, $z^0 = 1$).

Формулы (2’)—(4’) позволяют произвольить преобразования с выражениями вида $\cos \varphi + i \sin \varphi$ так, как будто это обычные степени.

Формулу (1) называют формулой Эйлера, а формулу (4’) — формулой Муавра *). Большое распространена другая запись формулы (4’):

$$(\cos \varphi + i \sin \varphi)^n = \cos n \varphi + i \sin n \varphi.$$

Формула Эйлера позволяет каждое комплексное число $z$ записать компактно в виде $z = re^{i\varphi}$, где $\varphi$ — аргумент числа $z$, а $r$ — его модель (показательная или экспоненциальная форма записи компактного числа).

У практике 11. Пользовать показатель формулой записи комплексных чисел, вычисте, как выражаемся модель и аргумент произведения двух комплексных чисел через модели и аргументы компонентей.

Решение.e. Пусть $z = z_1 \cdot z_2$. Запишем каждый компонент в экспоненциальной форме:

$$z_1 = r_1 e^{i\varphi_1}, \quad z_2 = r_2 e^{i\varphi_2}.$$

*) Леонард Эйлер (1707—1783) — один из величайших математических мира, член Петербургской академии наук, родом из Швейцарии. Абрахам Муавр (1667—1754) — англійский математик.

Тогда

$$z = r_1 e^{i\varphi_1} \cdot r_2 e^{i\varphi_2} = (r_1 \cdot r_2) e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}.$$

Отсюда видно, что число $z$ имеет своймодул число $r_1 \cdot r_2$, а аргумент — число $\varphi_1 + \varphi_2$. Можно это запись так:

$$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|,$$

Arg $(z_1 \cdot z_2) = \varphi_1 + \varphi_2$.

Итак, при умножении комплексных чисел их модили переменнойся, а аргументы складываются.

Отметим еще два следствия из формулы Эйлера. Заменяя в (1) $\varphi$ на $-\varphi$, имеем

$$e^{-i\varphi} = \cos \varphi - i \sin \varphi.$$

Из (1) и (6) следуют интересные следствия:

2 cos $\varphi = e^{i\varphi} + e^{-i\varphi},$

2i sin $\varphi = e^{i\varphi} - e^{-i\varphi},$

откуда

$$\cos \varphi = \frac{e^{i\varphi} + e^{-i\varphi}}{2},$$

$$\sin \varphi = \frac{e^{i\varphi} - e^{-i\varphi}}{2i}.$$

Уражнение 12. Пусть $z_1$ и $z_2$ — комплексные координаты двух мочек, расположенных на окружности радиуса $R$ с центром в нулей (начале координат) (рис. 6); $\alpha$ и $\beta$ — аргументы чисел $z_1$ и $z_2$, $0 < \alpha < \beta < 2\pi$. Проверяем справедливость следующего подходства:

$$z_2 - z_1 = |z_2 - z_1| \cdot e^{i \frac{\alpha + \beta}{2}} \cdot i.$$

Решение. Так как $z_2 - z_1 = Re^{i\beta} - Re^{i\alpha}$, то

$$\frac{z_2 - z_1}{ie^{i\alpha}} = \frac{1}{i} R \left(e^{i \frac{\beta - \alpha}{2}} - e^{-i \frac{\beta - \alpha}{2}}\right) = 2R \sin \frac{\beta - \alpha}{2} > 0.$$

Отсюда

$$|z_2 - z_1| = 2R \sin \frac{\beta - \alpha}{2}.$$

Из (8) и (9) следует (7).

Формула (7) будет нам в дальнейшем использована.

26

Одна геометрическая задача

Задание 1. Через центр правильного n-уедольника проведем произвольную прямую и подсчитаем сумму S квадратов расстояний от вершин многоугольника до этой прямой. Будем ли полученная сумма заисеть от выбора прямой?

Решение. Пусть (рис. 7) $A_1A_2 \dots A_n$ – данные многоугольник, $R$ – радиус описанной околного окружности, $O$ – ее центр, $MN$ – прямая, проходящая через O. Пусть $\Rightarrow NOA_1 = \alpha$. Полягая $\varphi = \frac{2\pi}{n}$, имеем

$$S = R^2 \left\{ \sin^2 \alpha + \sin^2 (\alpha + \varphi) \right. + \sin^2 (\alpha + 2\varphi) + \dots + \sin^2 [\alpha + (n-1)\varphi] \}.$$

Требуется выяснить, зависит ли S от $\alpha$. Ясно, что $S = \frac{1}{2} R^2 (n-T)$, где

$$T = \cos 2\alpha + \cos (2\alpha + 2\varphi) + \cos (2\alpha + 4\varphi) + \dots + \cos [2\alpha + (2n-2)\varphi].$$

Вычислим сумму T. Из формулы Эйлера ясно, что T является действительной частью суммы

$$P = e^{i \cdot 2\alpha} + e^{i (2\alpha + 2\varphi)} + e^{i (2\alpha + 4\varphi)} + \dots + e^{i [2\alpha + (2n-2)\varphi]}.$$

Сначала вычислим P, получясь формулой для суммы членов геометрической прогрессии:

$$P = e^{i \cdot 2\alpha} \frac{1 - e^{i 2n\varphi}}{1 - e^{i 2\varphi}}.$$

Но $2n\varphi = 2n \cdot \frac{2\pi}{n} = 4\pi$, а $e^{i \cdot 4\pi} = 1$, поэтому $P = 0$. Но тогда и $T = 0$, то есть $S = \frac{1}{2} R^2 n$.

Отсюда видно, что сумма S не зависит от выбора прямой MN.

Мнимые числа и задача Птолемея

Формула Эйлера и ее следствия позволяют найти новый способ для решения одной задачи, которое впервые решил во втором веке нашей эры древнегреческий геометр и астроном Клавдий Птолемей.

Задание 2. Пусть в окружности висан выпуклый четырехугольник $A_1A_2A_3A_4$ (рис. 8). Требуется выразить сумму произведений промивоположных строкон через диаэроны четырехугольника.

Решение. Будем считать, что центр окружности взят в качестве начала координат и что при обходе окружности против часовой стрелки мы последовательно встречем вершины $A_1, A_2, A_3, A_4$. Их комплексные координаты обозначаем через $z_1, z_2, z_3, z_4$. Пусть $z_k = Re^{i\alpha_k}$, где $k = 1, 2, 3, 4$.

Теперь мы воспользуемся ранее выведенными формулами (см. упр.8,12):

$$A_1A_2 \cdot A_3A_4 + A_2A_3 \cdot A_4A_1 = |z_2 - z_1| \cdot |z_4 - z_3| + |z_3 - z_2| \cdot |z_4 - z_1| = \frac{z_2 - z_1}{i \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}} \cdot \frac{z_4 - z_3}{i \frac{\alpha_3 + \alpha_4}{2}} +$$

27

Итак, в каждом вписанном выпуклом четырехугольнике сумма произведений противоположных сторон равна произведению его диагоналей.

Теорема Птолемея доказана.

Задча 3. Может ли произведение диагоналей выпуклою четырехугольника $A_1A_2A_3A_4$ быть больше, чем сумма произведений противоположных сторон?

Решение. Мы уже пользовались точекdestом, верным для любых комплексных чисел $z_1, z_2, z_3, z_4$:

$$(z_2 - z_1)(z_4 - z_3) + (z_3 - z_2)(z_4 - z_1) = (z_4 - z_2)(z_3 - z_1).$$

Операция на свойства моделей комплексных чисел, получим

$$|z_4 - z_2| \cdot |z_3 - z_1| \leq |z_2 - z_1| \times |z_4 - z_3| + |z_3 - z_2| \cdot |z_4 - z_1|.$$

то есть всегда $A_1A_3 \cdot A_2A_4 \leq A_1A_2 \times A_3A_4 + A_2A_3 \cdot A_1A_4$.

Мы доказали такое дополнительное к теореме Птолемея: в каждом четырехугольнике произведение диагоналей не больше суммы произведения его противоположных сторон.

Комплексный множество как оператор поворота и растяжения

Остановимся еще на одном важном геометрическом толковании комплексного числа.

Пусть на плоскости имеется вектор OZ (рис. 9), и пусть $z$ — его комплексная координата. Повернем вектор OZ вокруг его начала $O$ на угол $\alpha$ (против часовой стрелки, если $\alpha > 0$, и по часовой стрелке, если $\alpha < 0$) и растянем этот вектор (не меняя его начала) с коэффициентом растяжения $\rho$. В результате мы получим новый вектор OW; его комплексную координату обозначим через $\omega$. Как выражается число $\omega$ через $z$, $\alpha$, $\rho$?

Пусть $z = re^{i\varphi}$. Ясно, что $|\omega| = \rho r$, Arg $\omega = \alpha + \varphi$. Поэтому $\omega = (\rho r)e^{i(\alpha + \varphi)} = (\rho e^{i\alpha})(re^{i\varphi})$. Обозначим через $c$ комплексное число $c = \rho e^{i\alpha}$. Обратно, если комплексную координату $z$ некоморою вектора OZ умножить на комплексное число $c = \rho e^{i\alpha}$, то новое число $w = c \cdot z$ представляют собой координату вектора OW, полученное из вектора OZ путем поворота на угол $\alpha$ и растяжения с коэффициентом $\rho$.

Можно короче сказать так: умножение на комплексное число $c$ действует как оператор поворота на угол $\alpha = \text{Arg } c$ и растяжения с коэффициентом растяжения, равным $|c|$.

Понятно, что сделанный выше вывод легко обобщется на тот случай, когда началом вектора служит не начало координат. Например, если векторы KL и MN имеют комплексные координаты $z$ и $\omega$, причем $\omega = -3i \cdot z$, то это означает, что после поворота вектора KL на угол $-\frac{\pi}{2}$ разделан $(\text{Arg}(-3i) = -\frac{\pi}{2})$ и растяжения с коэффициентом 3 (так

28

как $|-3i|=3$ получим вектор, равный вектору МN.

Особо отметим случай, когда $|c|=1$. Такому комплексному числу $c$ (он имеет вид $e^{i\alpha}$) соответствует оператор поворота. Например, комплексную числу $i$ ($i=e^{\frac{\pi}{2}}$) соответствует оператор поворота на угол $90^\circ\left(\frac{\pi}{2}\right)$ в положительной направлении.

Упражнение 13. Дан квадрат ОАВС (рис. 10). Вектор ОА имеет комплексную координату $z=3-i$. Вычисление комплексные координаты векторов OB (обозначим ее через $w_1$), AC ($w_2$).

Решение. Вектор OB получается из ОА поворотом на угол $+\frac{\pi}{4}$ радиан и растяжением с коэффициентом растяжения $\sqrt{2}$. Поэтому

$$w_1 = \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}} \cdot z = \sqrt{2} \left(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\right) (3-i) = (1+i) (3-i) = 4+2i.$$

Если вектор OB повернуть на $90^\circ$ в положительной направлении, то получим вектор, равный вектору AC. Поэтому $w_2 = iw_1 = i \cdot (4+2i) = -2+4i$.

Упражнение 14. На рисунке 11 $Z_1C=CZ_2=CZ$, $CZ \perp Z_1Z_2$. Известные комплексные координаты $z_1$ и $z_2$ точек $Z_1$ и $Z_2$. Вычисление комплексную координату $z$ мощи $Z$.

Решение. Вектор OC имеет комплексную координату $\frac{1}{2}(z_1+z_2)$. Вектор CZ получается из вектора CZ$_2$ поворотом на $+\frac{\pi}{4}$ радиан. Но вектор CZ$_2$ имеет комплексную координату $\frac{1}{2}(z_2-z_1)$, поэтому комплексная координата вектора CZ равна $i \cdot \frac{1}{2}(z_2-z_1)$. Из равенства OZ = OC + CZ находится $z = \frac{1}{2}(z_1+z_2) + \frac{1}{2}i(z_2-z_1)$.

Теперь показем, как операторное толкование комплексного числа может быть использовано при решении планиметрических задач.

Задача 4. На сторонах AB и AC треугольника ABC (рис. 12) построены квадраты AB$_1$A$_1$ и ACC$_1$A$_2$, перекрывающегося с этим треугольником. Верно ли, что медиана AM перpendикулярна A$_1$A$_2$? Вычисление также относение A$_1$A$_2$: AM.

Решение. Расмотрим на плоскости декартоvy системы координат $xAy$ с началом в вершине A. Обозначим комплексные координаты векторов AB, AC, AM и A$_2$A$_1$ через $b$, $c$, $m$ и $w$.

Тогда $m = \frac{1}{2}(b+c)$. Вектор AA$_1$ получается из вектора AB поворотом на $+\frac{\pi}{2}$ радиан. Поэтому AA$_1$ (а также точка A$_1$) имеет комплексную координату ib. Аналогично находится точка A$_2$ имеет комплекс-

29

ную координату $-ic$. Позному $w = ib - (-ic) = i(b + c)$. Таким образом, $w = 2im$. А это значит, что $A_2A_1 \perp AM$ и $A_2A_1:AM = 2$.

Задача 5. На сторонах треугольника $A_1A_2A_3$ (рис. 13) посмотренки квадраты, не имеющие с треугольником общих внутренних мочек; в квадратах отметили их центры $B_1, B_2, B_3$. Проверить справедливость подсказываемых чертежом соответствию: $B_1B_2 = A_3B_3, B_1B_2 \perp A_3B_3$.

Решение. Выберем в плоскости треугольника декартоvy системы координат $xOy$. Комплексные координаты точки $A_1, A_2, A_3; B_1, B_2, B_3$ и векторов $B_1B_2$ и $A_3B_3$ обозначим соответствию через $a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3, z$ и $w$. Выразим $z$ и $w$ через $a_1, a_2, a_3$. Имеем $z = b_2 - b_1$, $w = b_3 - a_3$. Найдем $b_2$ (как в упражении 14):

$$b_2 = \frac{a_3 + a_1}{2} + i \frac{a_3 - a_1}{2}.$$

Аналогично

$$b_3 = \frac{a_1 + a_2}{2} + i \frac{a_1 - a_2}{2},$$

$$b_1 = \frac{a_2 + a_3}{2} + i \frac{a_2 - a_3}{2}.$$

Тепер нетрудно подсчитать, что

$$z = \frac{a_1 - a_2}{2} + i \frac{2a_3 - a_1 - a_2}{2},$$

$$w = \frac{a_2 + a_1 - 2a_3}{2} = i \frac{a_1 - a_2}{2}.$$

Отсюда видно, что $w = iz$. Это означает, что при повороте вектора $B_1B_2$ на $90^\circ$ против часовой стрелки получим вектор, равный вектору $A_3B_3$. Но в таком случае $A_3B_3 = B_1B_2, A_3B_3 \perp B_1B_2$.

Задача 6. Вершины какдооиз двух правильных треугольников на плоскости прочитерованы против часовой стрелки. Вершины с одинаковыми номерами coединины отрезками. Докажите, что середины этих отрезков являются вершинами правильного треугольника (коморный может выродиться в точку).

Решение. Пусть $A_1A_2A_3$ и $B_1B_2B_3$ — данные треугольники, $C_1, C_2, C_3$ — середины отрезков $A_1B_1, A_2B_2, A_3B_3$ и $a_k, b_k, c_k$ (где $k = 1, 2, 3$) — комплектные координаты расматриваемых девятки. Тогда вектор $A_1A_3$ имеет компплексную координату $a_3 - a_1$, а вектор $A_1A_2$ — компплексную координату $a_2 - a_1$. Так как треугольник $A_1A_2A_3$ — правильный, то вектор $A_1A_3$ может быть получен из вектора $A_1A_2$ поворотом на $\frac{\pi}{3}$ радиан против часовой стрелки, поэтому

$$a_3 - a_1 = e^{i \frac{\pi}{3}} (a_2 - a_1).$$

Аналогично

$$b_3 - b_1 = e^{i \frac{\pi}{3}} (b_2 - b_1).$$

Так как $C_1$ — середина отрезка $A_1B_1$, то

$$c_1 = \frac{1}{2} (a_1 + b_1).$$

Аналогично

$$c_2 = \frac{1}{2} (a_2 + b_2), c_3 = \frac{1}{2} (a_3 + b_3).$$

Из полученных соотношений следует, что $c_3 - c_1 = e^{i \frac{\pi}{3}} (c_2 - c_1)$. Но это означает, что вектор $C_1C_3$ получается из вектора $C_1C_2$ поворотом на угол $+\frac{\pi}{3}$ радиан, то есть $\triangle C_1C_2C_3$ — правильный.

30

Реальные применимя
мнимых чисел

Мнимые числа обязаны своим рождеением одной волне реального математической задаче — решению уравнения третий степени. Правда, с квадратными корнями из отрицательных чисел математики встречались и равны, еще при решении квадратных уравнений. Решение наугад взятого уравнения вида
$$x^2 + px + q = 0,$$
(1)

где $p, q$ — «объичные», то есть действительные числа, по общизвестной формуле приводило иногда к числам вида $A + \sqrt{B}$, где $B$ — отрицательное число. А что такое «квадратный корень из отрицательного числа», какой смысл следует придать такому выражению, никто не знал. Оdnako выход из такого затруднения был несколько: просто обявлялось, что выражение $\sqrt{-1}$ (или $\sqrt{B}$, где $B < 0$) не имеет смысла. И это представлялось в полне разумным: каждый раз удалалось показать, что при $B < 0$ корнем уравнения (1) не может быть ни положительное число, ни отрицательное, ни нуль. Когда же дело должно до решения кубических уравнений (то есть уравнение третий степени), то оказалось уже невозможным просто отмахнуться от квадратных корней из отрицательных чисел.

А дело было так. Более 400 лет назад несколько иtalянских математков научились решать уравнения третий степени. Способ, изложенный в учебнике алгебры одного из них, Иеронима Карданов (1545 г.), сводится (в современных обозначениях) к следующему: корни уравнения вида
$$x^3 + px + q = 0$$
(2)

могут быть вычислены по формуле (ее теперь называют формулой Карданов)
$$x = \sqrt[3]{-q/2 + \sqrt{D}} + \sqrt[3]{-q/2 - \sqrt{D}},$$
(3)

где
$$D = \left(\frac{p}{3}\right)^3 + \left(\frac{q}{2}\right)^2.$$

Увы, эта формула дает осечку в том случае, когда уравнения (2) имеются три различных действительных корня! Наример, легко проверить, что корнями уравнения $x^3 - x = 0$ служат числа 0,1, -1. Но если мы попытались решить это уравнение по формуле Карданов, то получили бы
$$x = \sqrt[3]{V - \frac{1}{27}} + \sqrt[3]{V - \frac{1}{27}}.$$

Каким же образом можно из этой формулы извлечь числа 0, 1, -1? Чтобы ответить на подобные вопросы, математик XVI — XVII веков не обходи и мо было научиться обращаться с выражениями вида $A + \sqrt{B}$, где $B < 0$, и, в частности, из таких выражений кубические корни.

Matematик крайне неохотно шли на изучение таких выражений. Они называют их «мнимыми» числами, не существующими, невозможными, «число софистическими» числами, «потайными решениями уравнений». Считалось очень удивным, что они не имеют никакого реального содержания.

Один из величайших математков мира Г. В. Лейбниц (1646—1716), относявшийся к минимум числам с восхшением, в то же время называл их «выродком мира идеей», «почти двойственным существом, находящимся между «быть» и «не быть»; говоря,

31

что он даже завезал на свой могиле знак $\sqrt{-1}$ как символ перехода от «мира реального» в «мир потусторонний».

А между тем эти «невозможные», «несуществующие» числа все настоящие стучались в двери математической науки. Еще в XVII—XVIII веках было обнаружено, что многое сложные и громоздкие выражения, встречалось в элементарной и высшей математике, легко вычислить, если воспользоваться минимыми числами. Но недоверие к этим числам было настолько велико, что передко математики поступали так: сначала вычисления с помощью минимых чисел, а затем доказывали полученную таким образом формулу «стого», без привлечения этих чисел, других средствми.

В течение последних 200 лет к мелексые числа (так предположил называть минимые числа знаменный немецкий математик К. Ф. Гаусс) нашли многочисленные и совершенное неожиданные применения. Так, например, с помощью комплексы чисел Гаусс (в 1796 году) сумел найти ответ на чисто геометрический вопрос: при каких намуральных номерах n можно построить циклелем и линейкой правильный n-уедольник *)?

Широкое применение нашли комплексы числа в картографини, в электроннике, в гидродинамике, в теории фильтрации почв, в теоретической физике. Уже в нашем столейном комплексы числа и комплексы функций (то есть такие функции, у которых и значения аргумента и значения функций — комплексы числа) успешно применялись советскими математики и механиками Н. Е. Жуковским, С. А. Чаплягиным, В. В. Голубевым, М. В. Кельышем в теории самолета. Советские математики Г. В. Колосов, Н. И. Мусхели-

*) Подробно об этом рассказываюсь в статье С. Г. Гиндикина «Дебют Гауса», «Квант» № 1, 1972 г.