Собака бежит наперерез

15

Собака безит направрез

М. Л. Гервер

Помните, в «Кванте» № 2 за 1973 год была заметка «Про лису и собаку»? Лиса безкала по прямой l с постоянной скоростью, а собака с той же скоростью безкала прямо на лису из некоторой точки C₀. Спрашивалось, при каких C₀ собака доогнит лису.

В заметеке было доказано, что лиса всегда убегает от собаки, кроме единственного случая, когда C₀ расположена на прямой l, перед лисой.

《Ну ладно,— мог сказать читатель, прочтя заметку,— все это хорошо, только уж очень глупа собака! Безкала бы направрез…》

§ 1. Постановка задачи

Ладно, путь собака может безать как углоно, не обязательно прямо на лису. Но только путь тогда уж и лиса безжит не по прямой, а тоже, как захочет. Про скорости лисы и собаки по-прежнему предполагается, что они равны по величины. И еще нужно предположить, что все проискодит на огороженном участке *).

Если изменить так условия, то мы прием к известной задаче о погоне, придуманной P. Радо. Только в задаче Радо вместе лисы и собаки фирурировали лев и человек. В книге английского математика Дж. Литлвуда «Matematическая смесь» эта задача формулируется так: «Лев и человек, находящиеся на огороженной круглой арене, имеют одинаковую

*) Иначе, если начальные положения лисы и собаки Л₀ и C₀, то лиса просто побежит по прямой C₀Л₀ от C₀.

makсимальную скорость. Какой стратегии должны придерживать лев, чтобы быть уверенным в своей трапеze?》 Ostroymная, но уж сликом кровожданая формулировка — так что будем называть участников погони, как прежде, собакой и лисой.

На первый взгляд кажется, что лисе не спастись, если собака выберет следующую стратегию. Сначала она занимает место в центре кругга O, а затем безжит так, чтобы все время находиться на радиuce OЛ, страясь при этом максимально (насколько позволяет скорость) приблизиться к лисе. Лисе как будто ничего не остается, как безжать по окружности (неидти же ей самой на сбижение с собакой!). Что получится в этом случае, видно из рисунка 1.

Когда собака заняла центр O, лиса находилась в точке Л₀. Обозначим через Л₁ такой точку на окружности, что угол Л₀ОЛ₁ = π/2. На отрезке ОЛ₁ построим, как на диаметре, вспомогательную окружность s. Исходную (ввое большую ) окружность обозначим через S. Пусть лиса побежала из Л₀ в Л₁ по окружности S, и путь Л — произвольная точка на дуге Л₀Л₁, а C — точка пересечения радиуса OЛ и окружности s. Тогда дуги Л₀Л и OC имеют (проверьте это!) одинаковую длину. Таким образом, собака (руководствуясь выбранной стратегией) побежит из O в Л₁ по окружности s; в точке Л₁ она появляется лису.

Неожиданная смена направления на противоположное не поможет лисе: если лиса добежит до точки Л (рис. 2), а потом бросится назад в точку Л₂, то собака (в соответствии со

16

своей стратегией) побежит из $C$ в $\ell_2$ по дуге, симметричной $C\ell_1$ относительно радиуса $O\ell$.

Итак, единственный шанс на спаесение для лицы — соей с окружности $S$. Навстречу собаке? Это представляется бессмысленным, и должно время считалось, что лисе не избежать позиции.

Сравнительно недавно профессор А. С. Безникович опроверг это заблуждение. Ниже мы приведем его решение сначала в случае, когда собака придерживается радиуса $O\ell$, а потом в случае совершенного произвольного поведения собаки. Лисе в обихх случайх не нужно сразу убегать на окружность. Она должна отступать из некоторой внутренней точки круга очень постепенно, многократно меняя направление, по замысловатом спиралеобразному пути.

§ 2. Две суммы

При изложении решения мы будем строить ломаны, состоящие из бесконечного множества все более коротких звенев. Нужно будет, чтобы эти ломаны имели бесконечную длину, но целиком помещались внутри круга. Чтобы потом не перевыть изложения, проведем заранее неокторые вычисления. Выпишем две суммы:

$$L_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n},$$

$$K_n = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2}.$$

Как они ведут себя при увеличении $n$? Возрастают — это ясно (потому что добавляются все новые положительные слагаемые). Но возрастют безгранично или остаются меньше неокторого числа? Оказывается, первая сумма с ростом $n$ растет неограннично, а вторая при любом $n$ меньше 1.

Доказательство

1. Воспользовемся неравенствами

$$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} > \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2},$$

$$\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} > \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} +$$

$$+ \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2},$$

$$\frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{16} > \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$$ и т. д.

Отсюда $L_4 > 1$, $L_8 > \frac{3}{2}$, $L_{16} > 2$ и вообще для $n = 2^k$, $L_n > \frac{k}{2}$. Если $k$ равно двум миллионам, то $L_n$ больше миллиона. Если $k = 2 \cdot 10^9$, то $L_n$ больше миллиарда и т. д. Вообще какое бы число $N$ ни взяты, найдется такое $n$, что $L_n > N$ (достаточно положить $n = 2^2M$, где $M$ — натуральное число, больше $N$, при $m > n$ неравенство $L_m > N$ выполняется и подавно). Итак, $L_n$ с ростом номера $n$ неограниченно возрастает.

2. Докажем, что $K_n < 1$ при любом $n$.

Вычислим сумму $S_n = \frac{1}{2 \cdot 1} + \frac{1}{3 \cdot 2} + \dots$

$$\dots + \frac{1}{n(n-1)}.$$

Так как $\frac{1}{m(m-1)} = \frac{1}{m-1} - \frac{1}{m}$, то $S_n = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right).$

Раскрыв скобки и перегруппировав слагаемые, получаем $S_n = 1 + \left(-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) + \left(-\frac{1}{3} + \frac{1}{3}\right) + \dots + \left(-\frac{1}{n-1} + \frac{1}{n-1}\right) - \frac{1}{n} = 1 - \frac{1}{n}$.

Так как $\frac{1}{m^2} < \frac{1}{m(m-1)}$, то $K_n < S_n$. Итак, при любом $n$

$$K_n = \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{n^2} < 1.$$

Следствие. Пусть $O$-центр круга радиуса $r$. $\ell_0$ — точка на расстоянии $r_0$ от центра, $r_0 < r$. Положим $a = \sqrt{r^2 - r_0^2}$ и построим ломанную $L$ так (рис. 3): $\ell_0\ell_1 = \frac{a}{2}$, $\ell_0\ell_1 \perp O\ell_0$; $\ell_1\ell_2 = \frac{a}{3}$,

Рис. 3.