Работа и мощность электрического тока

45

Работа и мощность электрического тока

При перемещении заряда $q$ в электрическом поле совершается работа $A = q(\varphi_1 - \varphi_2) = qU$,

где $U = \varphi_1 - \varphi_2$ разность потенциальов начального и конечного положений заряда. Электрический ток — это направленное движение зарядов. За время $t$ через поперечноеечение проводника, по которой течение проводника, по которой течение ток $I$, проходит заряд $q = It$. Поэтому полная работа, которую может совершить электрический ток в проводнике, равна

$$A = qU = UIt.$$

Отсюда получается известная формула для полной мощности тока:

$$P = UI.$$

Количество теплоты, выделяемое током в проводнике, определяется законом Джоуля—Ленца:

$$Q = I^2Rt.$$

Соответственно, мощность теплых потерь определяется формулой:

$$P_T = I^2R.$$

Для общного проводника, для которого справедливзакон Ома $U = IR$, формулы (1) и (2) эквивалентны, и, следовательно, все работа электрического тока переходит в тепло. При этом для мощности можно пользоваться еще и такой формулой:

$$P = P_T = \frac{U^2}{R}.$$

Предпочтительно использовать использование какой-либо из формул (1), (2) и (3) определяется постоянной конкретиной задачи.

Задача 1. Две электрические лампочки, расширяные на включение в семь с напряжением $U = 220$ В, имеем мощности $P_1 = 25$ Вт и $P_2 = 100$ Вт. Какая из лампок будем гореть ярче, если их включить в семь, соединив между собой последовательно?

Найдите отношение ярстей каждой лампочки при общном (одиночном) и последовательном включениях.

Считать, что ярстей пропорционально мелковой мощности, выделяемой в лампочке.

При последовательном соединении лампочки через них течение один и тот же ток. Поэтому для сравнения выделяемых в них мощностей удобнее пользоваться формулой (2):

$$\frac{P'_1}{P'_2} = \frac{I^2R_1}{I^2R_2} = \frac{R_1}{R_2}.$$

Для нахождения отношения сопротивления восполняемя формулой (3), так как известные номинальные мощности $P_1$ и $P_2$ соответствуют одному и тому же напряжению $U$ на лампочках:

$$\frac{P_1}{P_2} = \frac{U^2/R_1}{U^2/R_2},$$ и $$\frac{R_1}{R_2} = \frac{P_2}{P_1}.$$

Таким образом, получаем:

$$\frac{P'_1}{P'_2} = \frac{P_2}{P_1} = 4$$

— лампочка мощностью в 25 Вт при последовательном включении будет гореть в 4 раза ярче.

Сравним теплыми мощностями, выделяемые в каждой лампочке при общном (одиночном) и последовательном включениях. В первом случае

$$P_1 = \frac{U^2}{R_1}$$ и $$P_2 = \frac{U^2}{R_2}.$$

Отсюда можно найти сопротивления лампочки $R_1$ и $R_2$:

$$R_1 = \frac{U^2}{P_1}$$ и $$R_2 = \frac{U^2}{P_2}.$$

Когда лампочки соединены последовательно, через них течение ток $I = \frac{U}{R_1 + R_2}$. Выделяемые в лампочках мощности можно найти по формуле (2):

46

$$P_1' = \frac{U^2 R_1}{(R_1 + R_2)^2} \text{ и } P_2' = \frac{U^2 R_2}{(R_1 + R_2)^2}.$$

Тогда для отношений мощностей получаем:

$$\frac{P_1}{P_1'} = \left(1 + \frac{P_1}{P_2}\right)^2 = \frac{25}{16} \text{ и } \frac{P_2}{P_2'} = \left(1 + \frac{P_2}{P_1}\right)^2 = 25$$

— обе лампочки при последовательном включении горят менее ярко, однako для второй лампочки уменьшение мощности в 16 раз больше.

Когда на участке цепи имеет источник ЭДС $\&$, выражения для полной мощности и мощности тепловых потерь (формулы (1) и (2)) перестановить быть эквивалентными, и поэтому в балансе энергий необходимо учитывать работу сторонних сил $\& It$. При этом направление $U$ на участке отличается от ЭДС $\&$ на величины направления $IR$:

$$U = \& \pm IR$$

(зnak «минус» относится к случанию, когда направление тока на участке совпадает с направлением тока, создаваемого ЭДС, «пллюс»— к противоположному случанию). Соответствие, полная мощность тока $U_1$ не равна тепловой мощности $I^2 R$:

$$U_1 = \& I \pm I^2 R.$$

Задача 2. Определить работу электрических сил и количество теплоты, выделенное за $t=1$ с, в аккумуляторе: а) при его зарядке током $I_1=5$ А, разность потенциаль между полосами аккумулятора $U_1=20$ В, ЭДС аккумулятора $\&=12$ В; б) при зарядке мощнее же аккумулятора на внешнее сопротивление, ток разрядки $I_2=1$ А.

В первом случae—при зарядке аккумулятора— направление электрического тока противоположно направлению тока, создаваемого ЭДС (рис. 1, а), поэтому в формулах (4) и (5) необходимо поставить знаки «пллюс». Это означает, что полная работа электрических сил, равная

$$A_1 = U_1 I_1 t = 100 \text{ Дж},$$

складывается из работы $\& I_1 t$ против сторонних сил (заряда аккумулятора).

$Q_1 = A_1 - \& I_1 t = (U_1 - \&) I_1 t = 40 \text{ Дж}$.

Формула (4) позволяет также определить и внутреннее сопротивление $r$ аккумулятора:

$$U_1 = \& + I_1 r, \text{ и } r = \frac{U_1 - \&}{I_1}.$$

Во втором случae—при зарядке аккумулятора— ток на интерсуюшем нас участке совпадает по направлению с током, создаваемым ЭДС (рис. 1, б), поэтому работа электрических сил равна

$$Q_2 = I_2^2 r t = \frac{I_2^2 (U_1 - \&)}{I_1} t = 1,6 \text{ Дж}.$$

Задача 3. Источник мока с ЭДС $\&$ и внутренним сопротивлением $r$ замкнут на рестам с переменным сопротивлением $R$ (рис. 2, а). Построить графики зависимости силы мока $I$, направления на источнике $U$, мощности $P$, выделяемой во внешней цепи, полной мощности мока $P_\pi$, а также КПД $\eta$ при изменении сопротивления рестма $R$.

Напишем вначале аналогичные выражения для указанных зависимостей. Сила тока находится по закону

47

Ома для замкнутой цепи:

$$I = \frac{\varepsilon}{R + r}$$

Напряжение на источнике равно напряжение на внешнем сопротивлении:

$$U = I R = \frac{\varepsilon R}{R + r}$$

Мощность, выделяемая во внешней цепи, равна мощности тепловых потерь; ее можно определить по формуле (2):

$$P = I^2 R = \frac{\varepsilon^2 R}{(R + r)^2}$$

Полная мощность тока равна мощности сторонних сил или суммарной мощности тепловых потерь на внутреннем и внешнем сопротивлениях:

$$P_\pi = \varepsilon I = I^2 (R + r) = \frac{\varepsilon^2}{R + r}$$

Для коэффициента полезного действия имеем:

$$\eta = \frac{P}{P_\pi} = \frac{R}{R + r}$$

Соответствие графики показаны на рисунках 2, б—e. Обратите внимание на наличие максимума у мощности $P$, выделяемой во внешней цепи (показите самостояльно, что мощность $P$ максимальная при равенстве внешнего и внутреннего сопротивлений).

Другой пример, когда не все работы электрических сил переходит в теплло, дают электромоторы.

Задача 4. Электромотор включен в сеть постмояною мока с напряжением $U = 220$ В. Сопротивление обмотки момора $R = 5$ Ом. Сила потребляемого мока $I = 10$ А. Найти механическую мощность момора и его КПД.

Полная мощность электрического тока в данном случае складывается из механической и тепловой мощностей:

$$UI = P_\pi + I^2 R$$

позетом

$$P_\pi = UI - I^2 R = 1700 \text{ Вт}$$

и КПД мотора

$$\eta = \frac{P_\pi}{P} = \frac{UI - I^2 R}{UI} \approx 0,77 = 77\%$$

Задача 5. Какую максимальную полезную (механическую) мощность $P_{\text{max}}$ может развить электромотор, имеющий сопротивление об-

48

момки $R$ и включенный в семь с напряжением $U$? Какой ток при этом потребляется?

Найдите значение мока через обмотку момора при мощности $P_M < P_{M_{\text{max}}}$. Какой физический смысл имеет неоднозначность объема?

Из решения предыдущего задачи следует, что зависимости $P_M$ от тока $I$ является квадратичной и графическими изображениями параболой (рис. 3).

Максимальная мощность $P_{M_{\text{max}}} = \frac{U^2}{4R}$ достигается при тока $I = \frac{U}{2R}$ (проверьте это).

Как видно из рисунка 3, одна и та же мощность $P_M < P_{M_{\text{max}}}$ развивается при двух значениях тока

$$I_1 = \frac{U - \sqrt{U^2 - 4P_M R}}{2R}$$

и

$$I_2 = \frac{U + \sqrt{U^2 - 4P_M R}}{2R}.$$

Объясним физический смысл этой неоднозначности. Запишем закон Ома для обмотки мора:

$$U = \frac{E_{\text{инд}}}{I R} + I R,$$

где $E_{\text{инд}}$ — ЭДС индукции, которая возникает вседействие вращения обмотки в магнитном поле (знак «плосс» в формуле выбран в соответствии с правилом Ленца). По закону электромагнитной индукции $E_{\text{инд}}$ пропорционально скорости вращения. Следовательно, различные значения тока соответствуют разным значениям ЭДС и, соответственно, разным скоростям вращения мора: одна и ту же механическую мощность motor может развивать, поднимая медленно тяжелый груз или быстро — легкий.

Рис. 3.

Задача 6. Какую полезную мощность развивается мотор, включенный в семь с напряжением $U = 220$ В, при потребляемом тока $I_1 = 10$ А? Известно, что при полном заморживании якоря через обмотку мчемток $I_2 = 40$ А.

При полной остановке мтора ЭДС индукции в обмотке равна нулю; следовательно, $U = I_2 R$. Отсюда найдем сопротивление $R$ обмотки мора: $R = U/I_2 = 5,5$ Ом. Полезная (механическая) мощность при тока $I_1$ равна

$$P_M = UI_1 - I_1^2 R = 1650 \text{ Вт.}$$

Теперь обсуждим вопрос о тепловых потерях при передаче энергии по проводам на далекие расстояния. Как известно, для того чтобы тепловые потери сделать минимальным, в линиях передач используют высокое напряжение. Не следует путать передаваеме напряжение $U$—разность потенциаль между проводами линии электропередачи и падание на пряжении в линии $\Delta U = IR$, которое связано с текущим по проводам током $I$ и сопротивлением линии $R$. Передаваемая по проводам мощность равна $P = UI$, а тепловые потери—$P_T = I^2 R = \frac{\Delta U^2}{R}$. Однако и ту же мощность $P$ можно передать при меньше тока, если уvelличить передаваемое напряжение $U$. При этом падение на пряжении в линии $\Delta U$ и тепловые потери $P_T$ уменьшается.

Задача 7. Линия электропередачи должна передать мощность $P = 100$ кВт на расстояние $L = 100$ км. Помери энергии не должны превышать 2%. Какое минимальноеечение провода (с удельным сопротивлением $\rho = 1,7 \cdot 10^{-8}$ Ом·м) пригодно для этой цели, если передаваемое напряжение $U = 5000$ В?

Во сколько раз можно уvelличитьечение провода при уvelличении напряжения в 10 раз?

Сила тока в линии $I = P/U$. Максимальные тепловые потери $P_T = I^2 R = \frac{P^2 R}{U^2}$ должны составлять 0,02 $P$. Отсюда сопротивление линии равно $R = \frac{U^2}{50P}$. Используя известное выражение

49

Использование соответствия, для отношения напряжения на источнике получаем:

$$\frac{U_{n2}}{U_{n1}} = \frac{100 + n}{10(1 + n)}$$

Так как передаваемый ток уменьшается в 10 раз, то для того чтобы напряжение потребляла ту же мощность, ее сопротивление необходимо увеличить в 100 раз.

Упражнения

1. Имеется путь электрических лампок, расчитанных на напряжение 110 В. Мощность трех лампок 40 Вт, а двух — 60 Вт. Как следует включить их в сеть с напряжением 220 В, чтобы все они горели полным накалом?

2. Кольцо из однородной проводки включено в цель, как показано на рисунке 5. При каком положении движка B в колце будет выделяться минимальное количество теплоты? Считать, что напряжение на источнике постоянное.

3. Аккумулятор с внутренним сопротивлением $r=0,5$ Ом замкнут на внешнюю цель. При токе $I_1=2$ А на внешнем сопротивлении выделяется мощность $P_1=8$ Вт. Какая мощность выделится во внешней цели при токе $I_2=1$ А? Чему равна ЭДС аккумулятора?

4. Почему электриотор, работаюший в холодную, нагревается меньше, чем когда он нагружен? В каком случае в обмотке motor выделяется наиболее количество теплоты?

5. Двигатель локомотива массой $m=50$ т при подъеме в гору с уклоном $\alpha=0,01$ потребляет ток $I_1=100$ А, а при спуске с той же горы — ток $I_2=50$ А. Найти скорости поезда в обихах служах. Напряжение в линии $U=2000$ В; КПД двигателя $\eta=0,7$; коэффициент трения $k=0,02$.

6. Obъясните, почему при включении в сеть электриоприборов, потребляющих большую мощность, яркость горяших лампок уменьшается. Расчитайте, во сколько раз уменьшается яркость лампочки с номинальной мощностью $P_1=100$ Вт при включении параллельно ей утюга мощность $P_2=1000$ Вт (считать, что яркость лампочки пропорциональна выделяемой мощностью в ней количество теплоты). Сопротивление подводящих провода от источника номинального напряжения $U=127$ В до розетки $R=2$ Ом.