«Стойте справа, проходите слева...»

Квант 1982, №5 с. 30-33 Тег ROY9

«Стойте справа, прохождение слева…»

Если вы живете в большом городе, где есть метрополитен — самый удобный и надежный вид городского транспорта, то вы, конечно же, много раз слышали эту фразу, усиленную громкоговорителими, гулко звучую под сводами тоннеля. Безусловно, многие из вас, опаздывая на какое-нибудь важное дело, не оставливались ступив на экскалатор, а, добно стуча каблуками по ступенкам, мчались вниз, лавируя, как слаомист, междуStoryми справа и прохождения слева. Но довольно часто вы неудержимо движение вперед где-то вниз наталкивалось на плотную людскую массу, почему-то не желаюшую прохождение ни слева, ни справа. Возможно, вы даже заметили, что в часы пик всегда движущаяся lectница светху донизу заполненаStoryми людьми, которые, несмотря на настоящие признавы дежурного по экскалатору, никак не хотят прохождение. Давайте повременим неодоваты на несознатьность пассажиров, а взглянем на эту ситуацию объективным взором исследователья. Но прежде — такой пример.

Рассмотрим движущуюся ленту (транспортер), на котором примерно на одном и том же расстоянии друг от друга лежат какие-то предметы. Пусть на единице линейы ленты помещается $n$ предметов; величины $n$ называют концентрацией. В случае ‘расположения предметов вдоль линей ее можно назвать так-

жке линейной плотностью. Она имеет размерность 1/m или, если хотите, 1/cm, 1/км, 1/ярд — в зависимости от выбора единиц длины. Пусть, далее, лента движется со скоростью $v$ mismo наблюдается, который считает эти предметы. (Впрочем, роль такого наблюдается может играть и электронный счетчик с фотоземом, наполобие употребляемых в автоматических туриктах на станциях метро). Возникает вопрос: сколько предметов будет регистрации наблюдаемых в единницу времени? На этот вопрос ответить очень легко. За время $t$ mismo наблюдается продукт и имеет размерность 1/c (или 1/min, 1/год — в зависимости от выбора единиц длины). Мы будем обозначать поток буквой Ф (это — заглавная греческая буква «Фи»). Итак,

$\Phi = nv.$

Теперь представим себе, что наш транспорт имеет конечную длину и что расположенные на его ленте предметы, одной до конца, попадают на ленту другого транспорта, движущуюся с другой скоростью $v'$ . Очевидно, что наблюдается, стоящий около второго транспорта, в единницу времени насчитывает столбко же прохождения mismo него предметов, сколько их насчитает и первый наблюдается. Если их будет меньше, то можно ручаться, что какие-то золушиленики где-то по дороге похожают предметы. Если же их оказывается (что значительное добавление подкладаваются на вторую ленту дополнительные предметы. Таким образом, поток $\Phi = nv$ и $\Phi' = n'v'$ , регистрации обоими наблюдающими, должны быть равны друг друга:

$nv = n'v'.$

Отсюда сразу видно, что концентрация $n'$ предметов на втором

транспортере будет не такой, как на первом, а именно

$n' = n \frac{v}{v'}$

Если скорость $v'$ меньше скорости $v$ , то концентрация $n'$ будет больше концентрации $n$ . может даже лучше, что на ленте второго транспорта предметы не смогут помещаться без интервалов, а будут громоздиться друг на друга.

Вы, конечно, понимаете, что для наблюдаемого совершенного безразлично, находятся ли предметы на ленте, движущейся со скоростью $v$ , или же они самостоятельно движутся со скоростью $v$ по неподвижной ленте (полу, тротуару). Важно только, что их скорость относительно наблюдаемого предмета, регистрирующего поток, равна $v$ . Следовательно, поток есть величины, зависимости от системы координат, в которой он изменяется. Так, если наблюдаемый сам находится на другой ленте, движущейся параллельно первой с такой же скоростью $v$ , то относительная скорость $v_{\text{отн}}$ , а значит, и изменяемый наблюдаемый поток $\Phi = nv_{\text{отн}}$ будет равны нулю.

А сейчас самое время вернуть к вопросу о том, что же происходит на экалаторе в часы пик. Поток пассажиров, стоящих справа, равен $\Phi_1 = n_1v_9$ , где $n_1$ — концентрация стоящих пассажиров, $v_9$ — скорость экалатора. Поток пассажиров, проходящих слева, равен $\Phi_2 = n_2(v_9 + v_n)$ , где $n_2$ — концентрация идущих пассажиров, $v_n$ — скорость пешекодов относительно экалатора, а $v_9 + v_n$ — скорость идущих пассажиров относительно неподвижного наблюдаемого наблюдаемого. Естественно, что по окончании спуска обе группы пассажиров начинают движаться с одинаковой скоростью $v_n$ . При этом правый поток не претерпевает каких-либо сердезных изменений, поскольку $v_n$ приближительно равна $v_9$ . А вот пассажеры, находившиеся на экалаторе слева, теперь движутся примерно вдвое медленнее (относительно неподвижных стен), чем раныше, и, согласно выщесказанному, концентрация пассажиров в этой группе должна возрастти примерно вдвое.

По целому ряду причин люди не любят ходить, тесно прижавшись друг к другу, поэтому левый поток сможет движаться нормально, если люди, идущие по экалатору, держат между собой дистанцию раза в два большие, чем при обычной ходьбе по платформе, или же если внизу поток может расширяться в стороны. В часы пик обе эти возможности, как правило, не могут быть реализованы из-за большого степени народа. Вот почему люди на экалаторе разумнее строить и справа, и слева. Иначе внизу обязаτεльно возникнет затор.

Нам кажется, что теперь вы не будете сердиться на непредвиденную задержку на экалаторе, а постарается выйти из дома минут на пять раныше.

Понятие потока, конечное же, имеет относение не только к рассмотрению случая; оно очень широко используется в физике.

Пусть есть пучок частиц, движущихся в пространстве в одном направлении с одной и той же скоростью $v$ . Число частиц в единице объема пучка, как и в линейном случае, тоже называется концентрацией $n$ (или объемной плотностью) и имеет размерность $1/\text{m}^3$ . Произведение $\Phi = nv$ имеет теперь размерность $1/(m^2 \cdot c)$ и равно числу частиц, проходящих ежесекундно через единицу площади секения, перпендикулярного направлению движения пучка. Поэтому величины $\Phi$ называют плотностью потока частиц; умножив ее значение на площадь секения пучка, мы получим полный поток частиц в пучке.

Если каждая движущая часть обладает каким-то свойством и это свойство «переносится» вместе с ней, то целесообразно ввести понятие плотности потока этого свойства

$\Phi_a = anv$

где $a$ — количество характера данного свойства. Пусть, например, $a = m$ — масса одной частицы в потоке, тогда $\Phi_m = mnv$ — это плотность потока массы (ее размерность равна $\kappa/(\text{m}^2 \cdot c)$ ). Или,

если $a = q$ — электронческий заряд, переносимый каждой частией, то $\Phi_q = qnv$ — плотность потока электронского заряда (количество электронства). Величину $\Phi_q$ , имеющий размерность $KL/(m^2 \cdot c)$ , называют также плотностью электронского тока, поскольку сила электронского тока — это количество электронства, прохождение в единицу времени через поперечное сечение проводника. (Это следует также и из сообщений размерностей: $KL/(m^2 \cdot c) = (KL/c)/m^2 = A/m^2$ .) Аналогично определяются и другие плотности потоков (энергии, импульса и т. д.).

Рассмотрим теперь несколько конкретных задач, которые помогут лучше усвоить понятия потока или его плотности.

Попробуйте оценить пропускную способность автоматистрали, то есть максимальное число автоматических которые могут пройти по данной дороге за час.

Такие расчеты необходимы при проектировании дорог и для правильной организации движения, особенно в больших городах и на крупнейших международных трассах.

Пусть магистраль двухсторонняя, и в каждом направлении движение происходит в два ряда с максимальной допустимой скоростью $v = 60$ km/ч (таковы, например, условия движения на Московской колцевой автоматической дороге). На интересует поток автоматielen, то есть число автоматии, прохождения в единицу времени mismo неподвижного наблюдается. Используя полученные выше формулы, мы напишем $\Phi = Nnv$ , где $N=4$ — общее число рядов движения, $n$ — число машин на единицу длины дороги, которое можно связать с дистанцией $L$ между автоматыми: $n = 1/L$ . Таким образом, $\Phi = Nv/L$ . Руководства по управлению автоматами рекомендуют держать дистанцию между автоматыми, численно равную в метрах половине скорости, выраженной в километрах в час. В нашем случае при скорости $v = 60$ km/ч $L = 30$ м, и пропускная способность автоматистрали равна

$\Phi = N \frac{v}{L} = 8000 \text{ 1/ч.}$

Люди стоят на эскалаторе, движущемся вниз, на расстоянии $L = 1$ м друг от друга. Каждый поток пассажиров зарецептурют:
a) дежурный по эскалатору, стоящий внизу; b) наблюдает, стоящий на другом эскалаторе, движущемся вверх? Скорость движения эскалторов приять равной $v = 2$ м/c.

Мы уже говорили о том, что поток зависит от системы отчета, в данном случае — от наблюдаателя. Относительно дежурного по эскалатору пассажиров спускается со скоростью, равной скорости эскалатора, поэтому

$\Phi_1 = nv = \frac{v}{L} = 2 \text{ } 1/\text{c}.$

С точки зрения наблюдаателя, находящемся на эскалаторе, движущемся со скоростью $v$ вверх, поток пассажиров будет вдвое больше, так как относительно него скорость потока $v_{\text{отн}} = 2v$ , и поток

$\Phi_2 = nv_{\text{отн}} = 2nv = 4 \text{ } 1/\text{c}.$

Грузовую машину грузоподъемностью $M = 2$ т зарружают arbuzami с помощью транспорта. Средняя масса arbuzа $m = 5$ кг, скорость движения транспорта $v = 0,5$ м/c, расстояние между arbuzами на ленте $L = 0,75$ м. Найдите время погрузки.

В данном случае имеем дело с потоком массы. По определению он равен $\Phi_m = mnv = mv/L$ . Тогда искомое время погрузки

$t = \frac{M}{\Phi_m} = \frac{ML}{mv} = 600 \quad c = 10 \text{ мин.}$

Оцените скорость движения электров в металлическом проводнике, когда по нему протекает электрический ток.

Будем исходить из того, что по правым техника безопасности по проводам с естественным воздействием охлаждения разрешается пропускать электрический ток плотностью до $10 \text{ A}/\text{mm}^2 = 10^7 \text{ A}/\text{m}^2$ . Следовательно, речь пойдет о плотности тока, то есть о плотности потока электрического заряда $\Phi_q = qnv$ , где $q$ — заряд одного носителя колiectства электричества, $n$ — концентрация носителя, $v$ — скорость их упорячего движения