Ташкентский государственный университет им. В. И. Ленина

48

Ташкентский государственный университет им. В. И. Ленина

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1
(математический факультет)

1. Решите уравнение
   $$3^x + 2(\sqrt{3})^x - 3 = 0.$$
2. Решите неравенство
   $$x - 17 \geq \frac{60}{x}.$$
3. Решите уравнение
   $$\sin x + \sin 3x = -2.$$
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{8}$, $x = \frac{\pi}{4}$ и $y = \sin 2x$.
5. Объем конуса, вписанного в правильную четырехугольную парамиду, равен $Q$. Двугранный угол, образованный смежными боковыми граями парамиды, равен $a$. Найдите длину стороны основания парамиды.
   Вариант 2
   (факультет прикладной математики и механики)
6. Решите уравнение
   $$\sqrt{\frac{2x}{x+1}} - \sqrt{\frac{2(x+1)}{x}} = 1.$$
7. Решите неравенство
   $$\frac{x+1}{x-1} \geq \frac{x+5}{x+1}.$$
8. Решите уравнение
   $$3\cos^2 4x + 4\cos^2 2x - 3 = 0.$$
9. Прямогольный треугольник с гипотенузой $d$ вращается вокруг одного из катетов. Какими должны быть острыые углы этого треугольника, чтобы объем тела вращения был наиболее?
10. Основание прямой признамы — прямогольный треугольник с перimetром $2p$ и острым углом $a$. Найдите боковую поверхность признамы, если известно, что в нее можно вписать шар.
    Вариант 3
    (физический факультет)
11. Решите уравнение
    $$\log_2 x \cdot \log_2 x = \log_4 2.$$
12. Решите неравенство
    $$\frac{x^2 - 4x + 5}{x^2 + 5x + 6} \geq 0.$$
13. Решите уравнение
    $$2\sin^2 x - 5\sin x + 2 = 0.$$
14. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = 2x^3 - 39x^2 + 252x + 1$ на [5; 8].
15. Из основания высоты правильной треугольной парамиды опущен на боковое ребро перпендикуляр, равный $l$. Найдите объем парамиды, если двугранный угол между ее боковыми граями равен $f$.
    Задачи устного экзамена
16. Найдите $tg\left(\frac{a}{2}\right)$, если $\sin 2a = 0,6$ и $0 < a < \frac{\pi}{4}$.
17. Что больше a) $\sin 3$ или $\cos 3$?
18. Нарисуйте график функции a) $y = \sin |2x|$;
19. Докажите, что корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ и $cx^2 + bx + a = 0$ взимно обрабатыва.
20. Решите уравнение a) $4^x + 6^x = 9^x$;
21. $\sin^3 x + \sin^2 x = 1 + \sin x$.
22. Сколько корней уравнения $\cos^2 x + \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \sin x - \frac{\sqrt{3}}{4} - 1 = 0$ лежит в отрезке $[-\pi; \pi]$?
23. Решите неравенство a) $\frac{x^2 - 7x + 12}{x - 4} \geq 0$;

6. $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 2x + 4) > -2.$

8. Вычислите $y'(0)$, если $y = \ln (2 - \sqrt{2x + 1})$.
9. Напишите уравнение касательной к линиям $y = \frac{1}{x} + 3\sqrt{x} + \frac{x}{9} - \sqrt{3}x^2$ в точке с абсциссой $x_0 = 9$.
10. Средние всех прямогольников с заданной площадью $a$ найдите тот, у которого наибольший перimetр.
11. Средние всех прямогольников с заданным перimetром $a$ найдите тот, у которого наибольшая площадь.
12. Перimetр кругового сектора равен $l$. Каким должно быть центральный угол сектора, чтобы его площадь была наибольшей?
13. Площадь кругового сектора равна $Q$. Каким должно быть центральный угол сектора, чтобы его перimetр был наибольшим?
14. Материальная точка движения по закону $s(t) = \frac{1}{2} t^2 + 1980t + 1981 + 4 \ln (t + 1)$, $t \geq 0$. При каком значении $t$ ее скорость будет минимальной?
15. При каком значении $k$ площадь функции, ограниченной линиями $y = x^2 - 3$ и $y = kx + 2$, будет минимальной? Вычислите эту площадь.
16. Вычислите площадь, ограниченной линиями $y = \sin x$, $y = \frac{2}{\pi}x$, $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$.
17. Квадрат со стороны $a$ повернуть вокруг круглого центра на $45^\circ$. Найдите пло-