Оптические системы

35

Практикум абитурения

Е. Морозов

Оптические системы

Оптической системе принято называть совокупность различных оптических элементов: линз, зеркал, прisms, плоскопаральных пластин и т. п. Их действие основано на простейших законах геометрической оптики — на законах отражения и преломления света.

Основными элементами многохоптических систем являются тонкие линзы и плоские зеркала (именно о таких системах и поддет речь в статы). Напомним основные результаты применения для них законов отражения и преломления света.

Для тонкой линзы справедлива формула

$$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F},$$

которая позволяет найти расстояние $f$ от линзы до изображения по известному расстоянию $d$ от предмета до линзы и фокусному расстоянию линзы $F$. Пользовать этой формулой, надо аккуратно соблюдать правила знаков. Так, следует иметь в виду, что фокусное расстояние $F$ всегда положительное для собирающей линзы и отрицательное для рассеивающей. (Именно поэтому собирающий линз называют также положительным, а рассеивающим — отрицательным.) Расстояние $d$ считается положительным для реализации (действительного) предмета или его изображения, полученного ранее с помощью какого-то другого оптического элемента и расположенного с

36

На каком расстоянии от второй линии находится изобранение $S_2$ предмета $S$, расположенное перед первой линии на расстоянии $d$ от нее? Какова будет оптическая система этих двух lines, если расстояние $l$ между ними становится нулю?

Очевидно, что решение задачи заключается в последовательном применении формулы линзы к линзам $\varLambda_1$ и $\varLambda_2$. Предварительно заметим, что из этой формулы просто образом выражаются не соответствующие расстояния, а обратные им величины, поэтому именно с ними и удобно операровать. В противном случае, как показывает опыт, громоздкость вычисления часто приводит к ошибкам результатам.

Для первой линии формула дает

$$\frac{1}{f_1} = \frac{1}{F_1} - \frac{1}{d_1} = \frac{1}{F_1} - \frac{1}{d},$$

где $f_1$ — расстояние до изобранения $S_1$. Это промежутное изобранение представляет от второй линии на расстоянии $d_2 = l - f_1$. Применя формулу линзы второй раз, приходим к искомому результату:

$$\frac{1}{f_2} = \frac{1}{F_2} - \frac{1}{d_2} = \frac{1}{F_2} - \frac{1}{l - f_1} =$$

$$= \frac{1}{F_2} + \frac{\frac{1}{f_1}}{1 - l \frac{1}{f_1}} = \frac{1}{F_2} + \frac{\frac{1}{F_1} - \frac{1}{d}}{1 - l \left(\frac{1}{F_1} - \frac{1}{d}\right)}.$$

Отсюда в принципе можно найти и само расстояние $f_2$.

Если линзы сложены вплотную, то есть $l = 0$, то полученное выражение упрощается:

$$\frac{1}{f_2} = \frac{1}{F_2} + \frac{1}{F_1} - \frac{1}{d}.$$

Чтобы найти формуле расстояния такой системы, положим $d \to \infty$.

$$\frac{1}{f_2} = \frac{1}{F_{\text{системы}}} = \frac{1}{F_1} + \frac{1}{F_2},$$

или

$$D_{\text{системы}} = D_1 + D_2$$

— оптическая система двух сложенных вплотную тонких lines равна сумме их оптических сил. Этот результат можно обобщить и на случай большого числа lines.

Задача 2. Заполнитель линзой с формуным расстоянием $F$ перендикулярно оптической оси lines на расстоянии $l$ от нее расположено плоское зеркало (рис. 4). Перед линзой на расстоянии $d$ находится точный источник света $S$. Определите полжение изобранения.

37

При каких значениях d изображение будет действительным и при каких — минимальным (расстояние случай l=0)?

Лучи от источника света, попав на линзу, преломляются в ней, затем отражаются от зеркала и еще раз преломляются линзой.

После первого преломления линзой лучи сойдуться в точке $S_1$. Величину отрезка $f_1$ найдем из формулы линзы:

$$\frac{1}{f_1} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d_1} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d}.$$

Изображением точки $S_1$ в плоском зеркале будет точка $S_2$, расположенная на таком же расстоянии от зеркала, что и точка $S_1$, но по другую сторону от него. Это расстояние $d_2 = f_2 = l - f_1$.

Отразившись от зеркала, лучи снова падают на линзу, как бы исходя из точки $S_2$, находящейся от линзы на расстоянии

$$d_3 = l + (l - f_1) = 2l - f_1.$$

После второго преломления линзой лучи (или их продолжения) сойдуться на расстоянии $f_3$ от нее, причем

$$\frac{1}{f_3} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d_3} = \frac{1}{F} - \frac{1}{2l - f_1} =$$

$$= \frac{1}{F} - \frac{\frac{1}{f_1}}{2l \frac{1}{f_1} - 1} = \frac{1}{F} - \frac{\frac{1}{F} - \frac{1}{d}}{2l \left(\frac{1}{F} - \frac{1}{d}\right) - 1} =$$

$$= \frac{2l \left(\frac{1}{F} - \frac{1}{d}\right) + \frac{F}{d} - 2}{F \left(2l \left(\frac{1}{F} - \frac{1}{d}\right) - 1\right)}.$$

Отсюда искомая величины

$$f_3 = \frac{F \left(2l \left(\frac{1}{F} - \frac{1}{d}\right) - 1\right)}{2l \left(\frac{1}{F} - \frac{1}{d}\right) + \frac{F}{d} - 2}.$$

ТеперЬ проанализируем, когда полученное изображение будет действительным, а когда — минимым. Очевидно, что окончательное изображение оказывается минимым, если точка $S_2$ находится между линзой и ее правым фокусом, то есть $d_3 < F$. Следовательно, точка $S_1$ должна находиться справа от зеркала на расстоянии $d_2 > l - F$ от него и на расстоянии $f_1 > 2l - F$ от линзы. Тогда из формулы линзы получим

$$\frac{1}{d} = \frac{1}{F} - \frac{1}{f_1},$$

илли

$$d = \frac{Ff_1}{f_1 - F} < \frac{F(2l - F)}{2(l - F)}$$

— при таких расстояниях источника $S$ от линзы его изображение будет минимым.

В частности, когда $l = 0$, изображение оказывается минимым при значениях $d < F/2$ и действительным при $d > F/2$.

Задача 3. Из стека с показателем преломления $n = 1,5$ сделана толстая линза. Радиус ее первой выпуклой поверхности $R_1 = 20$ см, радиус второй поверхности, которая бысть как выпуклой, так и военутой, $R_2 = 5$ см. Найдите толщину линзы, если известно, что параллельный лучок света линза оставляет параллельным.

Поскольку линза толстая, формула тонкой линзы к ней не применена. Для решения задачи нам предется пользоваться непредределенно законом преломления света.

Рассмотрим параллельный лучок лучей, падающих на первую сферичесу поверхности раздела двойной оптической оси линзы. После преломления лучи соберутся в некоторой точке на оптической оси. Найдем положение этой точки.

Для этого выберем один луч из лучка — луч $AB$, удаленный от оси на расстояние $h$, и найдем точку $S$ пересечения его с осью после преломления (рис. 5, а). Проведем радиус $OB$ в точку падения луча. Тогда угол $\alpha$ будет углом падения, а $\beta$ — углом преломления, причем, согласно закону преломления,

$$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = n,$$ или $\sin \beta = \frac{\sin \alpha}{n}$.

Из треугольника COB

$$\sin \alpha = \frac{h}{R_1},$$ и $\sin \beta = \frac{\sin \alpha}{n} = \frac{h}{nR_1}$.

Заметим, что все оптические системы дают четкие изображения предметов, только если используются уже присевые лучки лучей. В данном случае это означает, что $h \ll R_1$, так что синусы углов падения и преломления можно заменить самими углами:

$$\alpha = \sin \alpha = \frac{h}{R_1},$$

39

фокусная линия. Перемещением этой линии достигается фокусировка на более или менее удаленные предметы.

Задача 4. Найдите область фокусировки зрительной трубы с фокусирующей линии, фокусное расстояние которого равно фокусному расстоянию объекта. В каких пределах при этом перемещается фокусирующая линия? Какова должа быть длина трубы без фокусирующей линии, но с такой же области фокусировки?

Когда труба настроена на бесконечность, фокусирующая линия не должна никака смесьть изображение, создаваемое объективом; следовательно, она должна находиться там, где получается это изображение, то есть в общей фокальной плоскости объекта и окуляра.

Чем дальше от этой плоскости расположить фокусирушую линию, тем больше сместится изображение, создаваемое объективом. В пределном случае линии можно вплотную привинуть к объективу. Найдем, на какое минимальное расстояние $d$ оказывается при этом фокусированной зрительной труба.

Поскольку две одинаковые линии (фокусирующая линия и объектив) свинуты вплотную, их общое фокусное расстояние будет равно половине фокусного расстояния объекта, то есть $F_{06}/2$. Изображение, создаваемое системой этих линии, должно получить на расстоянии $f=F_{06}$. Тогда из формулы тонкой линии найдем $d$:

$$\frac{1}{d} + \frac{1}{F_{06}} = \frac{2}{F_{06}}, \text{ и } d=F_{06}.$$

Таким образом, зрительная труба может быть фокусирована на предметы, находящиеся от трубы на расстояниях от $d=F_{06}$ до $d \to \infty$. При этом фокусирующая линия перемещается непосредственно от объекта к общей фокальной плоскости объекта и окуляра, то есть на расстояние, равное $F_{06}$.

Очевидно, что зрительная труба без фокусирующей линии не может иметь столь большие пределы фокусировки, так как для этого линии трубы должны быть бесконечно большой.

Упражнения

1. На системе из трех линз, главные оптические оси которых совпадают, падает паральный пучок света. Найдите положение точки пересечения лучей после прохождения системы, если фокусные расстояния линии равны $F_1=+10$ см, $F_2=-20$ см и $F_3=+10$ см, расстояние между первой и второй линии равно $l_1=15$ см, а расстояние между второй и третьей — $l_2=6$ см.

2. Плоская поверхность плосковыпуклой линии с фокусным расстоянием $F$ покрыта хорошего отражающим слоем. На расстоянии $d$ от линзы со стороны ее выпуклой поверхности расположен точчный источник света. Определите положение изображения. При каких значениях $d$ изображение будет действительным и при каких — минимым?

3. Объектив с переменным фокусным расстоянием состоит из двух одинаковых тонких плосковыпуклых линз, пространство между которых может заполнять различными жидкостьми (рис. 7). Считая объектив тонкой линии, найдите зависимости его фокусного расстояния $F$ от показателя преломления жидкости $n$ и изобраните эту зависимость графически. Радиусы сферических поверхностей линии $R=20$ см, показатель преломления материалов линз $n_1=1,5$.

4. Зачем крокодилу плоские глаз?