Задачи М806—М810; Ф818—Ф822

Квант 1983, №6 с. 43-45 Тег 8WC5

Задачи

M806—M810; Ф818—Ф822

M806. а) Докажите, что если
$a_1 + \frac{a_2}{2} + \frac{a_3}{3} + \ldots + \frac{a_n}{n} = 0,$
то многочлен $a_n x^{n-1} + a_{n-1} x^{n-2} + \ldots + a_2 x + a_1$ имеет корень между 0 и 1.

Докажите, что если для некоторого $p > 0$
$\frac{a_1}{p+1} + \frac{a_2}{p+2} + \frac{a_3}{p+3} + \ldots + \frac{a_n}{p+n} = 0,$
то этот многочлен также имеет корень между 0 и 1.

А. Гохбере, М. Овецкий, ученики 10 кл., Донецк

M807. а) Из произвольной точки $M$ внутри равностороннего треугольника опущены перпендикуляры $MK_1, MK_2, MK_3$ на его стороны. Докажите, что сумма векторов $\vec{MK}_1 + \vec{MK}_2 + \vec{MK}_3$ равна $\frac{3}{2} \cdot \vec{MO}$ , где $O$ — центр треугольника.

Из произвольной точки $M$ опущены perпендикуляры $MK_1, \ldots, MK_n$ на все стороны равильно $n$ -угольника (или их продолжения). Докажите, что
$\vec{MK}_1 + \ldots + \vec{MK}_n = \frac{n}{2} \vec{MO},$
где $O$ — центр $n$ -угольника.

в) Из произвольной точки $M$ внутри равностороннего треугольника опущены perпендикуляры $MK_1, MK_2, MK_3, MK_4$ на его грани. Докажите, что
$\vec{MK}_1 + \vec{MK}_2 + \vec{MK}_3 + \vec{MK}_4 = \frac{4}{3} \vec{MO},$
где $O$ — центр треугольника.

В. В. Прасолов

М808. На бесконечном листе клетчатой бумаги две играют в такую игру: первый окрашивает какую-нибудь клетку в красный цвет, второй — $k$ (неокрашенных) клеток — в синей цвет, затем снова первый одну (неокрашенную) — в красный, второй — $k$ клеток — в синей и т. д. Первый стремится к тому, чтобы какие-нибудь четыре красные клетки расположились в вершинах квадрата (so сторонами, параллельными линяям сетки). Сможет ли второй ему помещать a) при $k=1$ ; 6) * при $k=2$ ; в) ** при каком-либо $k>1$ ?

Д. Г. Азов

М809. Найдите сумму
$\frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \dots + \frac{n-1}{n!}$
(через $k!$ обозначается произведение $1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot k$ ).

В. В. Произволов

М810*. Доказите, что в любой выпуклый многоугольник $M$ можно помещить прямой угольник, площадь которого не меньше 1/4 площади многоугольника $M$ .

Ф. В. Вайинтейн

Ф818. Два жестких стержня длины $l$ каждой шарнироскреплены в точке $A$ (рис. 1). Стержень $BA$ жестко закреплен в точке $B$ , а точка $C$ стержня $AC$ может скольнить по направлению $BC$ . Стержень $BA$ начинают врашать в плоскости рисунка вокруг точки $B$ с постоянной угловой скоростью $\omega$ . Чему будет равны максимальная скорость иускорение точки $C$ , если в начальной момент стержни вытянуты вдоль направляющей $BC$ ( $B\hat{A}C = \pi$ )?

Л. Г. Маркович

Ф819. При небольших тела, массы которых относится как 3:4:5 (масса самого легкого тела равна $m$ ), удерживаются в трех различных точках на внутренней поверхности гладкой полусферической части радиуса $R$ , которая в нижней точке прикреплена к горизонтальной поверхности. В некоторых моментах отпускают и представляют самим себе. Какое максимальное количество тепла может выделиться в этой системе? При каком начальном положении тел это осуществится? Все соударения тел абсолотно неупругие.

С. К. Строков

Ф820. Процесс $A—B—C—A$ производит над одним молем идеального одноатомного газа (рис. 2). Определить КПД цикла.

А. Г. Изерцин, Ю. П. Малышев, В. Р. Саулит

Ф821. В схеме, приведенной на рисунке 3, трансформатор идеальный. Параметры схемы указаны на рисунке. Найти амплитуду тока и сдвиг фаз в первичной цепи.

Р. З. Александров

Ф822. Ваш собственник, следующий направив вас, носит очки. Сможете ли вы определить, каким дефектом зреня — близорукостью или дальнейзоростью — он обладает? (Естественно, вы не станете просить собственника дать примеры его очки и не будете заводить о них разговор.)

М. В. Семенов

Problems

M806—M810; P818—P822

M806. a) Prove that if

$a_1 + \frac{a_2}{2} + \frac{a_3}{3} + \ldots + \frac{a_n}{n} = 0,$

then the polynomial $a_nx^{n-1} + a_{n-1}x^{n-2} + \ldots + a_2x + a_1$ has a root between 0 and 1;

b) Prove that if, for some $b > 0$ ,

$\frac{a_1}{b+1} + \frac{a_2}{b+2} + \frac{a_3}{b+3} + \ldots + \frac{a_n}{b+n} = 0,$

then this polynomial also has a root between 0 and 1.

A. Gohberg, M. Ovetski, 10th grade students, Donetsk.

M807. a) Perpendiculars $MK_1, MK_2, MK_3$ to the sides of an equilateral triangle are drawn from an arbitrary point $M$ inside it. Prove that the vector sum $\overrightarrow{MK_1} + \overrightarrow{MK_2} + \overrightarrow{MK_3}$ equals $(3/2)$ . $\overrightarrow{MO}$ , where $O$ is the triangle’s centre.

b) Perpendiculars $MK_1, \ldots, MK_n$ to all the $n$ sides of a regular polygon are drawn from an arbitrary point inside it. Prove that

$\overrightarrow{MK_1} + \overrightarrow{MK_2} + \overrightarrow{MK_3} + \overrightarrow{MK_4} = \frac{4}{3} \overrightarrow{MO},$

where $O$ is the centre of the polygon.

c) Perpendiculars $MK_1, \ldots, MK_4$ to the faces of a regular tetrahedron are drawn from an arbitrary point inside it. Prove that

$\overrightarrow{MK_1} + \overrightarrow{MK_2} + \overrightarrow{MK_3} + \overrightarrow{MK_4} = \frac{4}{3} \overrightarrow{MO},$

where $O$ is the centre of the tetrahedron.

M808. Two persons play the following game on an infinite plane square lattice: the first player colours one node in red, the second colours $k$ (uncoloured) nodes in blue, then the first colours one more node in red, the second $k$ more in blue, and so on. The first player’s goal is to colour four nodes forming the vertices of a square with sides parallel to the lines of the lattice. Can the second player prevent him from doing this a) when $k=1$ ; b) when $k=2$ ; c) for some $k>1$ ?

D. G. Azov