Задачи вступительных экзаменов по математике и физике в различные вузы в 1982 году

54

Задачи
вступительных экзаменов
по математике и физике
в различныхузы
в 1982 году

Предлагаем подборку задач вступительных экзаменов по математике и физике в 1982 году в 6 университетов (Воронежский, Горьковский, Киевский, Тартуский, Ташкентский и Уральский), 4 педагогических института (Казанский, Одесккий, Омский и Ярославский) и 3 политехнических института (Кишиневский, Рijkский и Tomский), а также в Московский архитектурный институт.

Математика
Письменный экзамен
Алгебра

1. Смешали тридцатипроцентный расчет соляной кислоты с десятипроцентным и получили 600 г пятнадцатипроцентного расчетора. Сколько граммов каждой расчетора было взято?

2. Человек удаляется от подножья башни высотой 60 м со скоростью 8 км/ч. Какова его скорость удаления от вершины башни в момент, когда он находится на расстоянии 80 м от ее основания? Движение проискодит в горизонтальной плоскости.

3. Найдите $x$ из пропорции

$$x \cdot 34 \frac{2}{5} = 0,4 + 8 \cdot \left(5 - 0,8 \cdot \frac{5}{8}\right) - 5:2 \frac{1}{2}$$

$$= \frac{90}{1 \frac{7}{8} \cdot 8 - 8,9 + 2,6 : \frac{2}{3}}.$$

4. Упростите

a) $$\left(\frac{3 \sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}{5 + \sqrt{6}} - \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{6}{\sqrt{3} + \sqrt{2}};$$

b) $$a^{\frac{1}{2}} - \frac{a - a^{-2}}{a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}}} + \frac{1 + a^{-2}}{a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}} + \frac{2}{a^{\frac{3}{2}}}.$$

5. Докажите, что значение выражения

$$\left(\frac{a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}}\right)^2 + \left(\frac{a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}}\right)^2 : \frac{b - 2 \sqrt{ab} + a}{\sqrt{a} (\sqrt{b} - \sqrt{a})}$$

не зависит от значений $a$ и $b$.

6. Упростите и продолжайте выражение

$$x = \left[ \frac{4 \sqrt{2} \sin \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\alpha}{2}}{(1 - \cos 2 \alpha)^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\cos \alpha \left(\cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2}\right)} \right]^{\frac{1}{5}}$$

7. Докажите, что $16 \sin 10^\circ \cdot \sin 30^\circ \cdot \sin 50^\circ \cdot \sin 70^\circ \cdot \sin 90^\circ = 1$.

8. Докажите, что если $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, то $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 - 2 \cos \alpha \cdot \cos \beta \cdot \cos \gamma$.

9. Сумма тридцатипрогрессии в 72 раза меньше, чем сумма ее следующих шестидцатипрогрессии. Найдите отношение пятидцатого члена прорессии к десятиому ее члену.

10. Решите уравнение

a) $$\frac{2}{x} - \frac{1}{1-x} = 2;$$

b) $$\left(\frac{1}{8}\right)^x \cdot 4^{\frac{x^2}{2}} = 8^{-\frac{2}{3}x};$$

b) $$\frac{2^{x^2} \cdot 5^{x^2} - 0,1^3 \cdot (10^{3-x})^2}{\sqrt{x+2}} = 0;$$

г) $5 \cdot 4^x - 3 \cdot 10^x - 2 \cdot 25^x = 0;$

д) $1 - \lg (5x) = \lg (x - 1);$

e) $\log_2^2 x + 3 = 2 \log_2 x^2;$

ж) $5 \log_4 x + 3 \log_2 x = 8;$

з) $\sin x (\sin x + \cos x) = 1;$

и) $\sin^4 x + \sin^4 \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{4};$

к) $\cos^3 x + \cos^2 x - 4 \cos^2 \frac{x}{2} = 0;$

л) $tg 5x - tg 3x - 2 tg 2x = 0;$

м) $\sin 2x (2 \sqrt{3} \sin x + 2 \cos x) + \sqrt{8} = \cos 2x (2 \sqrt{3} \cos x - 2 \sin x).$

11. Найдите решение уравнения

$$\sin x - \cos x = \frac{3}{2},$$

которые удовлетворяют $|x| < 3$.

12. Для каждого из корней уравнения

$$4 \cos x \cdot \sin \left(\frac{\pi}{3} - x\right) = \sqrt{3}$$

выражение $2x^2 + 4x - 3$ имеет наименьшее значение?

55

13. Найдите координаты точек пересечения графиков $y=\sin^2 x$ и $y=1+\cos x$ на промежутке $\left[\frac{\pi}{2}; \pi\right]$.

14. При каких значениях $a$ уравнение
    a) $|x^2+2ax|=1$ имеет 3 различных корня?
    b) $a(x^2-x+1)=3x+5$ имеет 2 различных корня?

15. Решите систему
    a) $\begin{cases} \log_1(xy)+y+2=0 \\ 3^{2+y}+17=\frac{18}{xy} \end{cases}$
    b) $\left(\frac{1}{2}\right)^{4-2x}>\left(\frac{1}{2}\right)^{3x^2-2x+4}$
    c) $\frac{2^{4x}+4^{x+1}+3}{2^x-1-4^x}<0$;
    d) $2\log_1(\log_2 x)>\log_1(6-\log_2 x)$;
    e) $\log_{|x-1|}\frac{7}{4}-x)>2$.

16. Изображите на координатной плоскости множество решений системы уравнений
    a) $\begin{cases} x^2+y^2\leqslant16 \\ 3y-6\leqslant0 \\ 2y+6\geqslant0 \end{cases}$
    b) $\begin{cases} -x+y+1\geqslant0 \\ x+y-2\leqslant0 \\ 2x+8\geqslant0 \end{cases}$.

17. При каких значениях параметра $a$ уравнения уравнения
    $$\sqrt{9-x^2}\geqslant-a^2x$$
    образуют промежуток длины $\frac{15}{4}$? Что это за промежуток?

18. Найдите область определения функций
    a) $2^{3+\sqrt{x^2-25}}+\frac{x-4}{x-6}$;
    b) $4\pi+\frac{1}{x\sqrt{x+1}}+\log_2(2-x)$;
    c) $\log_{2x-3}\frac{1-x}{x-3}$;
    d) $\frac{\lg\sin x}{\sqrt{15x-x^2}-54}$.

Аналіз

1. Найдите $F''(0)$, если $F(x)=e^x\cdot\cos(x^2+x)$.
2. Найдите уравнение касательной, проведенной к кривой $y=-x^2+2x-1$ в точке с абсциссой $x=2$. Определите угол между этой касательной и прямой $y-x+1=0$.
3. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку $A(3;2)$ и касающейся параболью $y=x^2-2x$.
4. Из точки $x$ оси $Ox$ проведятся 2 негоризонтальные касательные — к графику функции $f(x)=-x^3$ и к графику функции $g(x)=\frac{2}{|x^3|+x^3}$. Для каких значений $x$ угловой коэффициент первого касательной не меньше углового коэффициента второго касательной?
5. Найдите промежутки возрастания и убывания функции $6-3x^2+x^3$.
6. Докажите, что функция $-0,2x^5+0,5x^4-\frac{2}{3}x^3+x^2-x$ убивает на все области определения.
7. Найдите критические точки функции $2\sin\frac{x}{2}+\sin x+x+3$.
8. Найдите точки максимума и точки минимума функции $2\ln x+x\left(\frac{x}{2}-3\right)$.
9. Найдите наиболее и наиболее значения функции $f(x)=x^3+3x^2+5$ на отрезке $[-1;1]$.
10. Движения первой и второй матерIALных точек вдоль одной прямой заданы, соответствующей, уравнениями $s_1(t)=t^3-3t^2+3t+2$ и $s_2(t)=\frac{1}{3}t^3-t^2$.
    Найдите наиболее скорость первого точки в промежутке убывания скорости второй точки.
11. Опишите свойство $-2x+1$ и построите ее график.
12. Исследуйте с помощью произвольной график функции $-x^4+2x^2$ и построите ее график.
13. В плоскости $xOy$ найдите треугольник $ABC$ наименшей площади, если $A(-3;0)$, $B(3;0)$ и вершина $C$ лежит на графике функции $y=3+5^2+(1-x)^4$.
14. У прямого углового треугольника $ABC$ с прямым углом в вершине $C$ $A(4;0)$, $B(x_0,y_0)$ лежит на графике функции $y=x^3$, $1\leq x_0\leq 3$ и $C$ лежит на оси $Ox$. Найдите абсциссу вершины $B$, при которой площадь треугольника будет наиболее.
15. Из точки $A$ окружности радиуса $R$ проведены касательная и хорда $AB$. На касательной выбрана точка $C$ так, что $|AB|=|BC|$. При каком значении $B$ перimetр треугольника, образованного проведенными касательными и осью $Oy$, будет наиболее?
16. К кривой $y=x^2+bx+2$ в точках $x_1=-1$ и $x_2=-3$ проведены касательные. При каком значении $b$ перimetр треугольника, образованного проведенными касательными и осью $Oy$, будет наиболее?
17. Основанием прямой признамы является квадрат. Призма вписана в полушар так, что ее нижнее осование лежит в плоскости большого кругла полушара, а вершины верхнего осование лежат на шаровой поверхности. Найдите величины на большшего объема признамы, если объем полушара равен $Q$.

56

18. При каком значении другранного угла при основании правильной четырехугольной парамиды относение площади поверхности сферы, вписанной в парамиду, к площади боковой поверхности парамиды будет наиболее?

Геометрия

1. Стороны треугольника $ABC$ разделены точками $M, K, P$ так, что $|AM|:|MB| = |BK|:|KC| = |CP|:|PA| = 1:2$. Найдите площадь треугольника, ограниченного прямыми $AK, BP$ и $CM$, если площадь треугольника $ABC$ есть $m$.

2. Найдите угол треугольника, если известно, что стороны, заключющие этот угол, равны $a$ и $b$, а bisсектора угла равна $l$.

3. На катете $BC$ прямогоного треугольника $ABC$ как на диаметре построена окружность, пересекающая гипotenuse $AB$ в точке $D$ так, что $|AD|:|DB| = 3:1$. Найдите перimeter треугольника, если длина высоты, опущенной из вершины прямого угла, равна 3.

4. Площадь параллелограмма $ABCD$ равна $S$. Пусть $E$ — середина стороны $AB, F$ — середина стороны $BC$, а $P$ — точка пересечения отрезков $EC$ и $AF$. Найдите площадь четырехугольника $BFPE$.

5. Около окружности описана трапеция, боковые стороны которого образуют с большей из параллельных сторон углы $a$ и $b$. Определите радиус окружности, если площадь трапеция равна $Q$.

6. В окружности проведены радиусы $OA, OB, OC$. Найдите величины угла $AOB$, если $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC}$.

7. Плоские углы $ASB, BSC, CSA$ террада $SABC$ равны $60^\circ, 60^\circ, 30^\circ$. Вычислите косинус угла между вектором $\overrightarrow{SB}$ и вектором, направленным по bisсекtrice угла $ASC$, если $|SA| = |SB| = |SC| = a$.

8. Четырехугольник $ABCD$ задан координатами вершин $A(-1; 2; 3), B(-1; 3; 1), C(-1; 7; 3), D(-1; 6; 5)$. Докажите, что $ABCD$ — прямой угольник.

9. Через сторону нижнего основания правильной треугольной признамы проведена плоскость, пересекающая противоположное боковое ребро в точке $S$ и наклоненная к плоскости основания под углом $a$. Найдите площадь боковой поверхности образованшейся при этом парамиды с вершиной $S$, если длина сторон основания равна $a$.

10. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно $a$. Через диагональ $AC$ его грани $ABCD$ проведена плоскость параллельно прямой $BO_1$, где $O_1$ — центр грани $A_1B_1C_1D_1$. Определите площадь образованшегося сечения.

11. Ромб $ABCD$ со стороны длины $a$ и углом $\overrightarrow{A} = a$ лежит в основании парамиды $SABCD$, боковые грани которого наклонены к плоскости основания под углом $b$. Найдите площадь сечения парамиды плоскостью, проходящей через вершину $A$ и точки $M$ и $N$, которые делят ребра $SB$ и $SD$ в одном и том же относении 2:1, считая от точки $S$.

Устный экзамен

Алгебра

1. Найдите $\log_{24}54$, если $\log_23 = a$.

2. Сравните значения выражений $\frac{1}{3}\lg 64 + \lg 0,25$ и $\lg 0,3$.

3. Расположите в порядке возрастания числа $\sin 3$, $\sin 1$ и $\sin 0$.

4. Вычислите без таблицы

a) $\cos \frac{191\pi}{3}$;

b) $16\sin 10^\circ \cdot \sin 30^\circ \cdot \sin 50^\circ \cdot \sin 70^\circ \cdot \sin 90^\circ$;

b) $\lg \left(\arccos \frac{1}{2} + \arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)$.

5. Докажите точноество

a) $\frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 1}{\lg(90^\circ - \alpha) - \sin \alpha \cdot \cos \alpha} - 2\lg^2 \alpha = 0$;

b) $\sqrt{8|x| - 1} = \sqrt{4|x| - 1}$;

g) $2^{2x+2\sqrt{x^2-2}} - 5 \cdot 2^{x-1+\sqrt{x^2-2}} = 6$;

d) $\log_3(3^x + 8) = 2 - x$;

e) $2\lg \lg x = \lg(3 - 2\lg x)$;

jk) $4^{\log_2(\lg x)} = \lg x - \lg^2 x + 1$;

3. $\log_3 x - 2\log_1 x = 6$;

i) $3 \cdot 2^{\log_2(3x-2)} + 2 \cdot 3^{\log_2(3x-2)} - 5 \cdot 6^{\log_2(3x-2)} = 0$;

k) $\sin^2(\pi x) + \log_2^2(x^2 - 2x + 1) = 0$;

l) $\cos(5x) = \cos(5x)$;

m) $\sin 3x \cdot \cos 3x = \sin 2x$;

n) $\sin \left(\frac{\sqrt{x} + \sqrt{-x}}{2}\right)^2 = \sin \frac{x}{2}$;

o) $|\sin x| + |\cos x| = 1,4$;

p) $\sqrt{3} \cdot \sin x = \sqrt{2} + \sin x$;

p) $4^{\sin^2(\pi x)} + 3 \cdot 4^{\cos^2(\pi x)} = 8$;

c) $(a^2 - 1)x = a + 1$.

8. При каких значениях $a$ уравнение $x^2 - 2(a-2)x + a^2 - 2a - 3 = 0$ имеет два различных положительных корня?

9. Решите систему

a) $\begin{cases} x + y + z = 4 \\ 2xy - z^2 = 16 \end{cases}$

b) $\begin{cases} y^2 = 1,5 + y^{-x} \\ y^2,5 + x = 64 \end{cases}$

b) $\begin{cases} x^{\log_3 y} + 2y^{\log_3 x} = 27 \\ \log_3 y - \log_3 x = 1 \end{cases}$

10. Решите неравенство

a) $3 - \frac{2x-17}{x-5} > \frac{x-5}{x+2}$;

b) $|x^3 - 1| > 1 - x$;

c) $\sqrt{x^2 - 3x - 10} > x - 2$;

g) $\frac{1}{2^x - 1} > \frac{1}{1 - 2^x - 1}$;

d) $0,1^{\log_2\left(\frac{2x-1}{x+3}\right)} < 10$;

57

e) $\log_x 17 > \log_x 11$;
ж) $\log_x \left(\frac{2x-1}{x-1}\right) > 1$;
з) $\sqrt{\lg x} < x-13\pi$;
и) $\frac{2x-1}{\log_2 x} < 0$;
к) $2 \cos \left(\frac{\pi}{2} + x\right) \leqslant 1$;
л) $\sin x \cdot \cos x > 0$.
11. Изображение на координатной плоскости множество решений
a) уравнения $|x| + x = |y| + y$;
b) неравенства $\log_{xy} y < 0$;
b) системы неравенств
$$\begin{cases} y - x \leqslant 0 \\ x + y \geqslant 0 \\ xy \leqslant 3. \end{cases}$$
12. При каких значениях параметра $a$ множество решений неравенства
a) $x^2 + ax - 1 < 0$ будет инвервалом длины 5?
b) $x^2 - ax - 6a < 0$ будет инвервалом, длина которого превышает 5?
13. При каких значениях параметров $a, b$ множество решений неравенства
$$\sqrt{x-a} > \sqrt{2x-b}$$

совпадает с промежутком [1; 5]?
14. При каких значениях параметра $a$ имеет решения системы неравенств
a) $\begin{cases} ax > -1 \\ x + a > 0 \end{cases}$?
b) $\begin{cases} x^2 - (a+1)x + a < 0 \\ x^2 + (a+3)x + 3a < 0 \end{cases}$?
15. Найдите область определения функций
a) $\frac{\sqrt{x-2} - \lg(5x)}{\lg(5-x)}$;
b) $\sqrt{\cos x}$;
b) агссos $\frac{x+1}{x-2}$.
16. Найдите область значений функций $\sqrt{x-1} + \sqrt{12-2x}$.
17. Построите график функции
a) $\sqrt{x^2 - 4x + 4} + \sqrt{x^2 - 6x + 9} + x$;
b) $\log_{0.5} |1-2x| + 2$;
b) $\log_2 \sin x$.
18. На приём $y = 2x + 5$ и параболе $y = x^2 + 3x - 1$ найдите точки, симметричные относительно оси $Ox$.

Аналіз

1. Вычисление
   $$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1}$$.
2. Найдите произвольную функцию $2 \sin(1,8x - 3\pi) + \cos x \cdot \sin x$.
3. Найдите уравнение касательной к параболе $y = 2x^2 - 6$ в точке с абсциссой $x = 1$.
4. Найдите уравнение касательных к кривой $y = x^2 - 4x + 3$, проходящих через точку $M(2; -5)$.
5. Найдите промежутки возрастания и убывания функций
   a) $x + \frac{4}{x}$;
   b) $\cos x - 2x$.
6. Найдите наибольшее значение функции $f(x) = 2 \cos x - \sin^2 x$ на отрезке [0; 2π].
7. В прямогольный треугольник с гипотенузой длины 32 см и углом 60° вписан прямогольник, основание которого лежит на гипотенузе. Какова должа быть длина сторона прямогольника, чтобы его площадь была наибольшей?
8. Найдите наибольшее значение функции, касающей друг друга. Найдите относение их радиусов.
9. В получивый α, вписаны две окружности, касающей друг друга. Какой радиус имеет эти окружности, если радиус полукругга равен $R$?
10. Две стороны треугольника равны $a$ и $b$ ($a \geqslant b$). В каких пределах меняются а) его периметр?

6. радиус описанной около него окружности?

6. Строона треугольника равна $a$, противолежащий угол — α. В каких пределах может меняться его площадь?
7. Два конгрузных квадраты имеют общий центр. Стороны одного из них параллельны диагоналям другого. Вычислите площадь общей части этих квадратов, если площадь каждого из них равна $S$.
8. К окружности с центром $O$ проведены две касательные, пересекающие в точке $P$. Разложите вектор $\vec{P}O$ по $\vec{PA}$ и $\vec{PB}$, если известно, что $A$ и $B$ — точки касания и $\vec{APB} = 120^\circ$.
9. Векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ компланарны и образуют попарно друг с другом углы $\frac{2\pi}{3}$. Разложите вектор $\vec{a}$ по векторам $\vec{b}$ и $\vec{c}$, если $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, $|\vec{c}| = 1$.
10. Плоскость, параллельная основанию прямых, делит ее объем на две равные части. В каком относении эта плоскость делит ее высоту?
11. Если в каждой из двух многогранников можно вписать шар, причем радиус обихх шаров одинаковый, то объем этих многогранников относится так же, как площади их поверхности. Почему?

Физика
Писмений экзамен
Вариант 1

1. Выберите один несколькоправильный ответ на следующие вопросы.
2. Ускорение математического матрика минимально: a) при прохождения точки равновесия; b) в момент остановки в наиболее точке; b) при приближении к точке равновесия.

58

2. Инертость тела характеризуется:
   a) массой; 6) весом; в) плотность; г) объемом.
3. Соотношение между температурой, выраженной по шкале Кельвина (T), и температурой, выраженной по шкале Цельсия (t), следующие: a) $t=T+273$; 6) $T=t+273$; b) $T=1/273+t$; c) $t=1/273+T$.
4. Какая из перечисленных единиц является единицей удалной тепломкости: a) Н; 6) К; в) Дж/кг; г) Дж/(кг·К); д) Вт?
5. Как изменится показание амператора при замыкании ключа (рис. 1):
   a) увеличится в 2 раза;
   b) уменьшится в 2 раза;
   c) увеличится в 4 раза;
   d) не изменится?
6. Работа трансформатора основана на:
   a) законе Ома; 6) законе Кулона; в) законе электромагнитной индукции; г) законе Джоуля — Ленца.
7. Через $p-n$ переход протекает обратный ток, если: a) потенциаль полученника $p$-типа положительный, $n$-типа отрицательный; b) потенциаль полученника $p$-типа отрицательный, $n$-типа положительный.
8. При помощи собирающей линзы получаем минимое избражение, если предмет находится: a) между фокусом и линзой; b) между линзой и двойным фокусным расстоянием; c) дальше, чем двойное фокусное расстояние.
9. Луч света переходит из воздуха в воду. Какому условию удовлетворяет угол преломления β, если угол падения равен α: a) β>α; 6) β≤α; b) β=α?
10. Какое из перечисленных физических явлений используется в счетчике Гейгера — Мюлера: a) фотоэфект; 6)онизация атомов при стольнових частях; b) конденсация пересыщенного пара?

II

1. Сформируйте третий закон Ньютона.
2. Что такое круговая часть?
3. Сформируйте законFotoэфекта.
4. Сформируйте закон Джоуля — Ленца.
5. Дайте определение единицей индуктивности — генри.
6. Сформируйте постулаты Бора.

III

1. Тело массой $m=200$ г бросают вертикальное в начальное скорость $v_0=50$ м/c. Найдите потенциальную энергию тела в конце второй секунд.
2. На графике представлен процесс изотермического расширяния идеального газа (рис. 2). Запишите для данного процесса уравнение $p=p(V)$.
3. Наряжение в цепи изменяется по закону $u=150$ sin $\omega t$ (в единицах СИ). Какое количество теплоты выделится за $t=5$ мин, если в цепь включили электрическуюплиту сопротивлением $R=50$ Ом?
4. Точный источник света находится на глубине $h=2$ м под водой. Найдите радиус круга на поверхности воды ($n=1,33$), через которых луч света выходит в воздух?
   Вариант 2
5. a) Кинетическая энергия, ее физическая смысл.

6. Поступаты Бора.
   b) Определите длину звуковой волны свистка локомотива если она соответствует частоте 600 колебаний в 1 секунду. Скорость звука $v=330$ м/c.

2. Понятие о спектральном анализе. Инфракрасная и ультрафилотовая части спектра. Спектры излучения и поглощения.
3. Электронологическая трубка.
4. Из одной точки над поверхностью Земли одновременно начинают двигаться два тела: одно вертикальное вверх с начальной скоростью $v_0=39,2$ м/c, другое — свободно падать. Через какое время расстояние между ними будет $l=117,6$ м?
5. Какой длины необходимо нижмовый провод для нагрева, в котором за $t=6$ мин можно нагреть $m=400$ г воды от $t_1=10^\circ C$ до $t_2=100^\circ C$, если коэффициент полезного действия $\eta=90\%$, а напряжение $V=120$ В? Поперечное сечение провода $S=0,1$ mm². Удельная тепломкость воды $c=4,19 \cdot 10^3$ Дж/(кг·К), удельное сопротивление нижома $q=1,1 \cdot 10^{-6}$ Ом·м.

Задание устного экзамена

Механика

1. Под каким углом к горизонту следует бросить камень из точки $A$, сообщив ему скорость $v_0=2\sqrt{gl}$, чтобы камень упал в точке $B$ (рис. 3)? Нарисуйте траекторию камня (спротивлением воздуха пребывания).
2. С вершины башни высотой $h=125$ м, стоящей на экваторе, свободно падает тело. Определите отклонение точки падения тела к востоку (от вертикали), связанное с суточным врашением Земли ($T=1$ суткам).
3. Две книги лежат горизонтально одна на другой. Если нижнюю книгу приподнять за край, то верхняя равномерно сокользет с нижней при угле наклона к горизонту $α=30^\circ$. Чему равен коэффициент третья между книгами?

59

4. Два груза с массами $m_1$ и $m_2$, соединенные нитью, движутся по гладкой плоскости. Когда сила $F=100$ Н была приложена к правому грузу массы $m_2$, натяжение нити было равно $T=30$ Н. Каким будет натяжение нити, если эту силу приложить к левому грузу?

5. Оdnородная балка массой $m=60$ кг и длиной $l=4$ м опирается о гладкий пол и выступил $B$, находящей на высоте $h=3$ м над полом (рис. 4). Балка образует угол $\alpha=30^\circ$ с вертикалью и удерживает вервкой $AC$, протянутой у самого пола. Вычислите натяжение вервки, реакцию пола и реакцию высупа $B$.

6. Прямогольная трапеция вырезана из однородного листового материала. Основание трапеции в два раза больше ее высоты и верхнего основания, равного единице длины. Определите графический пложение центра масс трапеции.

7. Два пассажира одинаковой массы $m=70$ кг находятся на платформе, стоящей неподвижно на рельсах. Масса платформы $M=280$ кг. Каждый пассажир начинает бежать с одинаковой относительной платформы скоростью $u=6$ м/с. Какую скорость прибретет платформа, если они спрыгнут в одну сторону одновременно и последовательно? А если в разные стороны?

8. Пуля, летящая со скоростью $v_0$, пробивает несколько одинаковых досок, расположенных на некотором расстоянии друг от друга. В какой по счету доске пуля застрянет, если ее скорость после прохождения первой доски равна $v_1=0,8$ $v_0$?

9. С какой высоты брошен шарик, если он погрузился в воду на глубину $h=0,1$ м? Плотность шарика $q_{\text{ш}}=0,4 \cdot 10^3$ кг/м$^3$, плотность воды $q_{\text{в}}=10^3$ кг/м$^3$. Соответствие воздуха и воды пренебрежь.

10. Коньбожец массой $M=60$ кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении камень массой $m=2$ кг со скоростью $v=9$ м/с. Найдите, на какое расстояние откатится коньбожец, если известно, что коэффициент трея коньков оледи $\mu=0,02$.

11. У основания наклонной плоскости, высота которой $H=1,2$ м и угол наклона к горизонту $\alpha=45^\circ$, закреплена массивная стальная плита. С вершины наклонной плоскости начинает скользить без начальной скорости стальная шайба. На какую высоту

Рис. 4. Рис. 5. Рис. 6.

поднимается шайба после упругого удара о лигу, если коэффициент трея между шайбой и наклонной плоскостью $\mu=0,2$?

12. На дошечке укреплен ствол приложенного листового массива $m=20$ г (рис. 5). Дошечка, имеющая вместе со стволом массу $M=200$ г, положена на гладкий горизонтальный стол. Легкаяружинка жесткости $k=2,2 \cdot 10^2$ Н/м скжата до длины $l=5$ см при свободной длине $l_0=10$ см. Определите относительной скорость разлега шарика и допущения после выстрела. Оцените время выстрела (время выталькивания шарика приложенной).

Жидкость и газы

1. Полный цинковый шар ($\varphi=7,1 \cdot 10^3$ кг/м$^3$), внешний объем которого $V=2 \cdot 10^{-4}$ м$^3$, плавает так, что половина его находится в воде. Найдите объем свободного пространства внутри шара.

2. Примогольный ponton, масса которой $M=700$ кг, имеет размеры: длину $l=5$ м, ширину $d=3$ м и высоту $h=0,7$ м. Найдите осадку pontona без нагрузки и предельную группоподъемность при высоте бортов над waterlinей $h'=0,2$ м.

3. В длиной вертикальной трубе с гладкими стенками, опущенной одним концом в воду, плавает легкий поршень (рис. 6). Площадь поршня $S=100$ см$^2$. Какую работу следует совершить, чтобы поршень медленно подняться до высоты $H=20$ м? Атмосферное давление $p_0=10^5$ Pa, плотность воды $\varphi=10^3$ кг/м$^3$, а ускорение земного тяготения считать равным $g=10$ м/с$^2$.

Молекулярная физика.

Телловые явления

1. Определите плотность воздуха при давлении $p=3,8 \cdot 10^4$ Pa и температуре $t=0^\circ C$, если при нормальных условиях плотность воздуха $q_0=1,29$ кг/м$^3$.

2. Объем комнаты $V=100$ м$^3$. Какова масса вышедшего из комнаты воздуха при повышении температуры от $t_1=10^\circ C$ до $t_2=25^\circ C$, если atmospheric давление $p_a=102$ кПа? Плотность воздуха при нормальных условиях $q_0=1,29$ кг/м$^3$.

3. Два сосуда одинакового объема $V=10^{-2}$ м$^3$ соединены узкой трубой с краном. Кран закрыт. При одинаковой температуре $T=300$ К давление кислорода в одном сосуда равно $p_1=0,8 \cdot 10^5$ Pa, во втором — $p_2=1,2 \cdot 10^5$ Pa. Найдите массу газа, перемещено из одного сосуда в другой при открытии крана, если температура осталась неизменной. Масса одного моля кислорода $q=0,032$ кг/моль, универсальная газовая постоянная $R=8,31$ Дж/(моль·К).

60

4. Оцените расстояние между близкими номами кубического решетки поваренной соли, если ее плотность $q=2,18 \cdot 10^3$ кг/м$^3$, а молярная масса $\mu=0,058$ кг/моль.

5. На нагреватель поставили открытый сосуд с водой. Через $\tau_1=40$ мин после начала кипения в сосуд добавили воду, масса которой равна массе выкпевшей за это время воды. При неизменных условиях нагрева вода в сосуд с значимая спустя время $\tau_2=3$ мин. Какова была первоначальная температура добавленной воды? Удельная температура воды $c=4,2 \cdot 10^3$ Дж/(кг·К), удельная температура парообразования воды $L=22,6 \cdot 10^5$ Дж/кг, атмосферное давление — нормальное.

6. При изготовлении дроби капли расплавленного свинца падают в воду с температурой $t_0=17^\circ$ С. Определите массу свинца, которая доведет $m_0=1$ кг воды до температуры кипения $t_k=100^\circ$ С. Температура плавления свинца $t_{\pi_1}=327^\circ$ С, удельная температура плавления свинца $\lambda=25$ кДж/кг, удельная температуре свинца $c=0,126$ кДж/(кг·К), удельная температуре воды $c_0=4,18$ кДж/(кг·К).

Основы электродинамики

1. Одинаковые по модели ($q=1,8 \cdot 10^{-8}$ Кл), но разные по значу заряды расположены в двух вершинах равностороннего треугольника. Сторона треугольника $a=2$ м. Определите направность электрического поля в третьей вершине треугольника.

2. Atom водорода состоит из ядра, вокруг которого врашается единственный электрон. С какой частотой врашается электрон вокруг ядра, если его орбитя — окружность с радиусом $r=3 \cdot 10^{-10}$ м? Масса электрона $m=9 \cdot 10^{-31}$ кг, заряд электрона $e=1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл, заряд ядра $q=e$, электрическая постоянная $\varepsilon_0=8,85 \cdot 10^{-12}$ Ф/м.

3. Электрон со скоростью $v_0=13$ 300 km/cвляется в середину плоского конденсатора параллельно его пластинам и вылетает у края одной из пластин. Удельный заряд электрона $e/m=1,76 \cdot 10^{11}$ Кл/кг. Разность потенциаль между пластинами $U=1000$ В. Определите направление и модель скорости вылета электрона из конденсатора.

4. Шарик массой $m=1$ г перемещается из точки $A$, потенциаль которого $\varphi_A=600$ В, в точку $B$, потенциаль которого $\varphi_B=0$. Определите скорость шарика в точке $A$, если в точке $B$ его скорость $v_B=20$ см/с. Заряд шарика $q=10^{-8}$ Кл.

5. Источник с ЭДС и внутренним сопротивлением $r$ включает в схему, изображенную на рис. 7.

6. Два источника тока соединены последовательно. ЭДС первого элемента $\varepsilon_1=2$ В и внутреннее сопротивление $r_1=0,5$ Ом, ЭДС второго элемента $\varepsilon_2=1,2$ В и внутреннее сопротивление $r_2=1,5$ Ом. Сопротивление внешней цепи $R=5$ Ом. Определите напряжение на внешнем участке цепи и напряжение на клеммах каждой источника.

7. Три электропитические ванны соединены так, как показано на рис. 8. В двух из них имеется растор AgNO$_3$, в третьей — растор CuSO$_4$. Соколько сербра выделилось в первой ванне, если во второй выделилось $m_2=60,4$ мг сербра, а в третьей — $m_3=41,5$ мг мед? Электрохимический эквивалент сербра $k_c=1,118$ мг/Kл, меди — $k_m=0,329$ мг/Kл.

8. Электрон влетает в однородное магнитное поле со скоростью $v=400$ km/c под углом $\alpha=60^\circ$ к вектору магнитной индукции $B=(10^{-3})$ Тл. Соколько витков опшет электрон вдоль магнитного поля на расстоянии $r=10000$ км? Удельный заряд электрона $e/m=1,76 \cdot 10^{11}$ Кл/кг.

9. Рамка, имеющая $r=100$ витков площадью $S=5$ см$^2$ каждый, замкнута на галванометр с сопротивлением $R=10$ кОм. Рамка находится в однородном поле с индукцией $B=10^{-2}$ Тл, причем линей поля перpendicular к плоскости рамки. Какой заряд протечет поцелуй галванометра, если направление магнитного поля изменить на противоположное? Можно считать, что индукция магнитного поля с течение времени изменялась равномерно.

10. Над закрепленным проводочным колцом с разрезом высит на нити магнит (рис. 9). Нить пережгают, и магнит пропадает сквозь колцо. Определите относение разностей потенциальов между точками $A$ и $B$ в моменты прохождения плоскости колцца северного и южного концов магнит. Приведите качественный график зависимости разностей потенциальов от времени, выбрав за начало отсчета момент пережгания нити.

Колебания и волны

1. Во сколько раз изменится период колбаний математического магнитка при пересечении его с Земли на Луну? Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а радиус Земли в 3,7 раза больше радиуса Луны.

2. Ракета поднимается вверх сускорением $a=3g$. Соколько полных колбаний совершит помещений в ракете магнитик длиной $l=1$ м за время, в течение которого ракета поднимается на высоту $H=1480$ м? Зависимость

61

Ускорения свободного падения от высоты претенбрець.

3. Шарик, имеющий массу $m=10$ г и заряд $q=2 \cdot 10^{-4}$ Кл, подвешен на нерастворимой нити длиной $l=25$ см в поле плоского горизонтального конденсатора. Разность потенциальов между пластинами конденсатора равна $U=120$ В, расстояние между ними $d=30$ см. Чему равен перiod колебаний шарика на нити?

4. Колебательный контур, состоящий из катушки индуктивности и воздушного конденсатора, настроен на длину волны $\lambda_1=300$ м. При этом расстояние между пластинами конденсатора $d_1=4,8$ мм. Камим должно быть это расстояние, чтобы контур был настроен на длину волны $\lambda_2=240$ м?

Оптика

1. Два плоских зеркала образуют прямой двугранный угол. В плоскости, перpendикулярной ребру угла, на одно из зеркал падает луч света под углом $\alpha=60^\circ$. Точка падания находится от ребра угла на расстоянии $d=10$ см. Определите угловое и линейное смешения двухграниного луча по отношению к падающему.

2. На стеклянную пластину с показателем преломления $n=1,5$ падает луч света. Каков угол падения луча, если угол между отраженными и преломленными лучами $\gamma=90^\circ$?

3. Предельный угол полного отражения стека на границе с воздухом равен $\alpha_{01}=42^\circ$ ($\sin 42^\circ=0,669$), а на границе с водой $-\alpha_{02}=62^\circ 30'$ ($\sin 62^\circ 30'=0,887$). Найдите скорость света в воде.

4. На две сосуда, наполненного жидкостью до высоты $h$, находится точный источник света. На поверхности плавает круглая непрозрачная пластинка таким образом, что ее центр находится над источником света. Какой наимененный радиус должен эта пластинка, чтобы ни один луч не мог выйти через поверхности жидкости?

5. На горизонтальном дне водоема лежит плоское зеркало. Какова глубина водоема, если луч, отраженный от зеркала, выходит на поверхности воды на расстоянии $l=3$ м от места своего входения в воду? Угол падения луча на поверхности воды $\alpha=30^\circ$, показатель преломления воды $n=1,33$.

6. Собирающая линия дает действительное и увеличенное в $\Gamma=2$ раза изобравнение predmeta. Определите фокусное расстояние линии, если расстояние между линии и изобравнем predmeta $f=24$ см.

7. Ход луча 1, прошедшего рассеивающего линзу, изобравен на рисунке 10. В каком направлении подет луч 2 после линзы?

Список читателей, приславших правильные решения

(Начало см. на с. 52)

72, 74, 75, 78; А. Малай (Каушаны) 69, 74, 77, 78, 84; А. Марков (Москва) 85; Л. Маркович (Брест) 69, 70, 73—75, 85; С. Марук (Фрунзе) 70, 73—75; И. Медков (Москва) 74, 75, 77, 83—85; А. Мишуров (Железноводск) 84; В. Мороз (Минск) 73, 74, 77; Х. Муртазаев (Анджан) 75; С. Мусаев (Баку) 69, 70, 73, 74, 83, 85; Д. Набутовский (Новосибирск) 69, 71, 74, 77, 84, 85; О. Ницора (Горький) 85; А. Носков (Москва) 69; Я. Олейник (Москва) 69; С. Орлов (Москва) 69, 73, 75, 83, 86; А. Охапкин (Львов) 74; А. Павельев (Фризино) 85; И. Пильникков (Тамбов) 74, 75, 84; Р. Позосян (Баку) 74; О. Пузырко (Пряну) 78, 83—85; М. Пустильник (Свердловск) 69—75, 83, 84; Ш. Рзаев (Баку) 73, 74; С. Родцов (п. Болшево Московской обл.) 69, 73, 74; М. Розенбере (Ленинград) 69, 70, 73, 77, 78, 85; И. Розенбин (Киев) 70, 74, 78, 84; В. Ромашин (Донецк) 69, 70, 74, 75, 77; В. Рыбенков (Махачкала) 69, 74, 75, 81, 84, 85; А. Рыляков (Саратов) 69—71, 73—75, $d=10$ см. Определите угловое и линейное смешения двухграниного луча по отношению к падающему.

2. На стеклянную пластину с показателем преломления $n=1,5$ падает луч света. Каков угол падения луча, если угол между отраженными пластинками конденсатора $\gamma=90^\circ$?

3. Предельный угол полного отражения стека на границе с воздухом равен $\alpha_{01}=42^\circ$ ($\sin 42^\circ=0,669$), а на границе с водой $-\alpha_{02}=62^\circ 30'$ ($\sin 62^\circ 30'=0,887$). Найдите скорость света в воде.

4. На две сосуда, наполненного жидкостью до высоты $h$, находится точный источник света. На поверхности плавает круглая непрозрачная пластинка таким образом, что ее центр находится над источником света. Какой наимененный радиус должен быть это расстояние, чтобы контур был настроен на длину волны $\lambda_2=240$ м?

5. На горизонтальном дне водоема лежит плоское зеркало. Каков глубина водоема, если луч, отраженный от зеркала, выходит на поверхности воды на расстоянии $l=3$ м от места своего входения в воду? Угол падения луча на поверхности воды $\alpha=30^\circ$, показатель преломления воды $n=1,33$.

6. Собирающая линия дает действительное и увеличенное в $\Gamma=2$ раза изобравнение predmeta. Определите фокусное расстояние линии, если расстояние между линии и изобравнем predmeta $f=24$ см.

7. Ход луча 1, прошедшего рассеивающего линзу, изобравен на рисунке 10. В каком направлении подет луч 2 после линзы?

63

e) ] 1; +∞ [; ж) ] $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ ; $\frac{1}{2}$ [U] 1;
$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ [; 3) $x=\frac{\pi}{2}+2\pi k$ (k=7, 8, 9, …);
и) ] $\frac{1}{2}$ ; 1 [; к) $\left[-\frac{\pi}{6}+2\pi k ; \frac{7}{6}\pi+2\pi k \right]$ (k∈Z); л) ] $\pi k ; \frac{\pi}{2}+2\pi k$ [(k∈Z). 11. a) См.
рис. 1; 6) См. рис. 2; в) См. рис. 3.
12. a) $-\sqrt{21}, \sqrt{21}$; 6) ] $-\infty; -25$ [U] 1;
+∞ [. 13. a=-3, b=2. 14. a) ] $-1; +∞$ [;
6) ] $-\infty; 0$ [. 15. a) [2; 4 [U] 4; 5 [;
6) $\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi k ; \frac{\pi}{2}+2\pi k \right]$ (k∈Z);
в) ] $-\infty; \frac{1}{2}$ . 16. $[\sqrt{5}; \sqrt{15} ]$ .

17. a) Указание. $\sqrt{x^2}=|x|$; 6) Указание.
    В одной и той же системе координат построите последовательно графики функций $\log_{0.5} x, \log_{0.5} |x|, \log_{0.5} |2x|,$
    $\log_{0.5} |2x-1|, \log_{0.5} |2x-1|+2$; 18. A (-1; 3)
    и $A' (-1; -3), B (-4; -3)$ и $B' (-4; 3)$.

Аналіз

1. -1. 2. -3,6 sin 1,8x+cos 2x. 3. $y=4x-8$.
2. $y=-4x+3$ и $y=4x-13$. 5. a) Промежутки возрастания ] $-\infty; -2$] и [2; +∞ [,
   промежутки убывания ] $-2; 0$ [ и ] 0; 2 ];

6. Убывает на R. 6. max $f(x)=f(0)=2$.
   [0; 2π]

7. 16 см и $4\sqrt{3}$ см.

Геометрия

1. $\frac{bc}{b+c} \sqrt{2}$ . 3. $\frac{1+\sin \frac{\alpha}{2}}{1-\sin \frac{\alpha}{2}}$ . 4. $(\sqrt{2}-1)R$.

2. a) ] 2a; 2(a+b) [; 6) $[\frac{a}{2}; +\infty$ .

3. ] 0; $\frac{a^2}{4}$ ctg $\frac{\alpha}{2}$ . 7. 2($\sqrt{2}-1$)S. 8. $\vec{P O}=$ $=2\vec{P A}+2\vec{P B}$ . 9. $\vec{a}=-\frac{3}{2}\vec{b}-3\vec{c}$ . 10. $\frac{1}{\sqrt{3}\sqrt{2}-1}$ .

4. Потому что $V=1/3rS$ (V – объем многограника, r – радиус вписанного в него шара, S – площадь его поверхности).

Физика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. 1a, 2a, 36, 4г, 5д, 6в, 76, 8a, 96, 106.
   III. 1. $E=mg(v_0-t-gt^2/2)=160$ Дж. 2. $p=$ $=1,6 \cdot 10^5/V$ . 3. $Q=U_M^2\tau/(2R)=67,5$ кДж.
2. $r=h/\sqrt{n^2-1} \approx 2,28$ м.
   Вариант 2
3. $t=l/v_0=3$ с. 5. $l=U^2\tau\eta S/(cm\Delta t\eta) \approx 2,8$ м.
   Задание устного экзамена

Механика

1. Возможны два случая: a) камень брошен вниз под углом $\alpha=1/2$ arctg (1/2) к горизонту;

6. камень брошен вверх под углом $\alpha=90^\circ-1/2$ arctg (1/2) к горизонту.

2. $x=\frac{2\pi}{T} \sqrt{\frac{2h^3}{g}} \approx 4,5$ см.
3. $\mu=tg \alpha \approx 0,58$.
4. $T'=F-T=70$ H.

Жидкость и газы

1. $V'=V(1-\rho_B/(2\eta))=1,86 \cdot 10^{-4}$ м$^3$.
2. $h_0=M/( \rho_B ld ) \approx 5$ см; $m=\rho_B ld(h-h')-M=$ $6,8 \cdot 10^3$ кг $=6,8$ т.
3. $A=p_0S(H-h)+p_0Sh/2=1,5 \cdot 10^4$ Дж.

Молекулярная физика. Телловые явления

1. $\rho=\rho_0p/p_0=0,48$ кг/$\mathrm{m}^3$.
2. $m=\frac{p_aV\rho_0T_0}{p_0}\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right)=6,35$ кг.
3. $\Delta m=\mu(p_2-p_1)V/(2RT) \approx 2,6 \cdot 10^{-3}$ кг.
4. $r=\sqrt[3]{\mu/(2\eta N_A)} \approx 2,8 \cdot 10^{-10}$ м, где $N_A=$ $6 \cdot 10^{23}$ моль $^{-1}$ число Авогадро.
5. $T=T_K-L\tau_2/(c\tau_1) \approx 333$ К, или $t \approx 60^\circ$ C.
6. $m=\frac{c_0(t_K-t_0)}{\lambda+c(t_{\pi\pi}-t_K)} \approx 6,5$ кг.

Основы электроннаямики

1. $E=2q \cos 60^\circ/(4\pi\varepsilon_0 a^2)=40,5$ В/$\mathrm{m}$.