Метод интервалов

18

Математика 9—10

Метод интегралов

Эта статья предназначена девятиклассикам и десятиклассикам. Она также может быть использована абитриентами при подготовке кступительным экзаменам вузы.

В школьном курсе алгебры неравенства отводится значительное место: сначала это — линейные неравенства, потом — квадратичные, потом — неравенства, в которых участвует логарифмические, показательные и тригонометрические функции. Постепенно неравенства условияются — появляются всевозможные комбинации функции, изучаемых в школе. В этой статье мы на несколько примерах проиллюстрируем один важный метод решения неравенств, который обычно называют «метод интегралов». Мы будем рассматривать здесь неравенства, права часть которых равна нулю, а левая часть представлена в виде произведения или частиного функций с известными промежутками знакопостояства. Метод интегралов основан на следующей идее: знак произведения (частиного) определяется знаками сомножителей (дelimного и делителя).

Задача 1. Решить неравенство

$$\frac{(2x-1)(x^2-x-2)}{3-x} < 0.$$

Линейная функция с ненулевым угловым коэффициентом меняет знак при перехождения через корень, причем справа от корня знак функции совпадает со знаком углового коэффициента (рис. 1); квадратный трехчлен с положительным дискриминантом тоже меняет знак при перехождения каждой корень, причем правее больше корня знак квадратного трехчлена совпадает со знаком его старшего коэффициента (рис. 2).

Эти сообщения приводят к следующей схеме решения неравенства.

1. Находим корни каждой «комно-jителя»: $x=\frac{1}{2}; x=-1, x=2; x=3$.

2. Числовая ось разбилась на пять промежутков. На самом правом из них каждой сомножитель совпадает со знаком его старшего коэффициента: $2x-1>0, x^2-x-2>0, 3-x<0$.

Следовательно, дробь на этом промежутке отрицательна.

3. При перехождение через каждой из отмеченных корней один и только один из сомножителей меняет знак, и потому каждой раз меняется знак дроби. Учитывая это, рассставляем в этих промежутках знаки (как показано на рисунке 3).

4. Выбираем промежутки, на которых дробь отрицательна.

Ответ:

$$]-\infty; -1[\cup]\frac{1}{2}; 2[\cup]3; +\infty.$$

Задача 2. Решить неравенство

$$\frac{4-x^2}{(5x-2)\lg x} \ge 0.$$

Будем решать это неравенство по той же схеме, но не на всех оси, а на промежутке $]0; +\infty[$ — области оп-

19

пределеня логарифмической функции.

1. Корни «сомножитель»: $x=2; x=0,4; x=1$ (рис. 4).

2. Полуось $]0; +\infty[$ разбилась на четыре промежутка. На самом правом из них $4-x^2<0, 5x-2>0, lgx>0$. Следовательно, на этом промежутке лежая часть неравенства отрицательна.

3. При переходе через каждый корень меняет знак один и только один из сомножителей. Учитывая это, расставляем знаки на остальных промежутках (рис. 4).

4. Мы решили строое неравенство. Остается присоединить к полученному множество решений корни уравнения

$$\frac{4-x^2}{(5x-2)lgx}=0,$$

то есть корни числителя дроби (входящие в область определения неравенства).

Ответ: $]0; 0,4[\cup]1; 2]$.

Задача 3. Решить неравенство

$$\frac{(10^x-2)(x^2-5x+7)}{x+3} \leq 0.$$

Решение изобразено на рисунке 5. Квадратный трехлен в числитель дроби не имеет корней и потому не меняет знак, который совпадает со знаком его старшего коэффициента.

Ответ: $]-3; lg2]$.

Задача 4. Решить неравенство

$$(x^2-2x-3)(6+x-x^2) \geq 0.$$

1. Находим корни сомножителей: $x=-1, x=3, x=-2, x=3$.

2. При $x>3$ левая часть неравенства отрицательна.

3. При переходе через точку $x=3$ оба сомножителя меняют знак ($x=3$ — их общий корень), так что знак произведение не меняется.

При переходе через каждый из двух других корней левая часть, как и в предыдущих примерах, меняет знак (рис. 6).

Ответ: $[-2; -1]\cup\{3\}$.

Из этой задачи видно, что, применя метод интегралов, необходимо следить за тем, сколько сомножителей меняют знак при переходе через данный корень. Возможны сомножители, которые не меняют знак при переходе через свой корень (например, квадратный трехлен с дискриминантом, равным нулю).

Идей решения следующего на интуитивно ясной теореме, точно доказательство которого дает в курсах математического анализа: если функция нерерывна на промежутке и не имеет в этом промежутке корней, то она сохраняет в этом промежутке знак.

20

Задание 7. Решить неравенство
$$\sqrt{x+2} > x.$$ (1)

Функция $y = \sqrt{x+2} - x$ определяна и непрерывна на промежутке $[-2; +\infty]$.

Найдем корни этой функции, то есть решим уравнение
$$\sqrt{x+2} = x.$$ (2)

Возведя обе части уравнения (2) в квадрат, приdem к квадратному уравнению $x^2 - x - 2 = 0$ с корнями $x = -1$, $x = 2$. Проверка показывает, что корнем уравнения (2) является только $x = 2$. Эта точка разбиает область определения неравенства (1) на два промежутка: $[-2; 2[$ и $]2; +\infty[$. На каждом из этих промежутков функции $y = \sqrt{x+2} - x$ сохраняет знак, то есть либо все точки такого промежутка удовлетворяют неравенству (1), либо ни одна из них не удовлетворяет. Поэтому достаточно подставить в неравенство (1) по одной точке из каждой промежутка. Выберем точки $x = -2$ и $x = 7$. Так как $x = -2$ удовлетворяет неравенству (1), а $x = 7$ этому не удовлетворяет, множество решений неравенства (1) является промежуток $[-2; 2[$ (рис. 9).

Ответ: $[-2; 2]$.

Задча 8. Решить неравенство
$$x\sqrt{10-x^2} \geq x^2 - 6.$$

1. Области определения функции $\sqrt{10-x^2}$: $[-\sqrt{10}; \sqrt{10}]$.

2. Решаем уравнение:
   $$x\sqrt{10-x^2} = x^2 - 6, x^2(10-x^2) = (x^2 - 6)^2; x^4 - 11x^2 + 18 = 0.$$

Получаем четыре корня: $x = \pm \sqrt{2}, x = \pm 3$. Проверка оставляет два корня: $x = -\sqrt{2}, x = 3$ (рис. 10).

3. Подставляем в неравенство числа $x = -\sqrt{10}, x = 0, x = \sqrt{10}$. Число $x = 0$ удовлетворяет неравенству, а числа $x = \pm \sqrt{10}$ ему не удовлетворяют.

Ответ: $[-\sqrt{2}; 3]$.

Как известно, линейная, квадратная, степенная, показательная, логарифмическая и тригонометрическая функция, а также их композиции и функции, получаемые из них с помощью арифметических действия, неправильны в своей области определения. Поэтому метод интегралов можно применять при решении практических всех неравенств школьного курса. Метод интегралов позволяет представить множество решений неравенства в виде объединения промежутков, границы которых — либо корни соответствующего уравнения, либо граничные точки области определения неравенства.

Требование непрерывности существено для применения метода интегралов. В этом можно убедиться на следующей задаче.

Задание 9. Решить неравенство
$$[x] \leq x - \frac{1}{2}.$$

Построим графики левой и правой части неравенства (рис. 11). Корнями уравнения $[x] = x - \frac{1}{2}$ являются числа вида $k + \frac{1}{2}$, где $k$ — любое целое число. В то же время множество решений неравенства — объединение промежутков вида $[k + \frac{1}{2}; k + 1]$, граничными точки которых является, в частности, все целые числа, которые не являются при этом ни корнями уравнения, ни граничными точки области определения.

Ю. И. Ионин, В. В. Некрасов