Задачи М956—М960; Ф968—Ф972

26

Задачи

M956—М960; Ф968—Ф972

M956. На плоскости проведены четыре окружности одинакового радиуса так, что три из них проходят через точку A и три — через точку B (рис. 1). Докажите, что четыре точки их попарного пересечения, отличные от A и B, — вершины параллелограмма.

В. и И. Каповиц, ученики 10 класса

M957. Докажите, что из 1985 различных натуральных чисел, все простые делители которых содержатся среди первых 9 простых чисел 2,3,…,23, можно выбрать четыре числа, произведение которых —четвертая степень целого числа.

M958*. Пусть $0 \leq i_1 < i_2 < \dots < i_n$ — целые числа. Докажите, что количество нечетных коэффициентов у многочлена

$$(1+x)^{i_1}+(1+x)^{i_2}+\dots+(1+x)^{i_n}$$

не меньше, чем у многочлена $(1+x)^{i_1}$.

M959*. В стране между некоторыми параметрами городов установлено авиационное сообщение. Докажите, что можно закрыть не более $1/(k-1)$ часть авиалиний таким образом, что среди любых $k$ городов найдется два, не соединенные между собой авиалиний, если $k=3$; 6) $k$ — любое натуральное число.

A. A. Разборов

M960*. Если разность между кубами двух последовательных натуральных чисел — квадрат некоторого натурального числа $n$, то число $n$ представляет в виде суммы квадратов двух последовательных натуральных чисел.

a) Докажите это утверждение.

6. Bot один пример таких чисел: $8^3-7^3=(2^2+3^2)^2$; приведите еще хотя один пример.

b) Докажите, что таких примеров существует бесконечно много.

P. Лайнесс (Великобритания)

Ф968. На три параллельных оси, соединенных жесткими стержнями, насажены три зацепленных шестеренки с радиусами $r_1$, $r_2$ и $r_3$ (рис. 2). Оси $B$ и $C$ врашают вокруг неподвижной оси $A$ с угловой скоростью $\omega_0$; при этом размеры треуголь-

27

ника $ABC$ остаточная неизменными, а шестеренка радиуса $r_3$ движется поступательно. С какой угловой скоростью вращается шестеренка радиуса $r_1$?

В. Ванделов (г. Вургас, НРВ)

Ф969. Две банки, сделанные из одного и того же материалов, имеют одну и ту же геометрическую форму, причем все линейные размеры одной банки в $k$ раз меньше, чем другой (рис. 3). В две каждой банки сделано отверстие. Банки одновременно опускают на воду. Какая банка утонет скорее? Во сколько раз?

И. К. Соболев

Ф970. В тонкостенной непрозрачной сферической оболочке находится шар, радиус которого в несколько раз меньше радиуса оболочки. Предложите способ определения плотности вещества, из которой сделан шар. Масса оболочки неизвестна.

С. А. Хорозов

Ф971. В магнитном поле, индукция $\vec{B}$ которого вертикальная, вращается около вертикальной оси так, как показано на рисунке 4, металлический стержень. Угловая скорость вращения равна $\omega$, $R$ и $\alpha$ заданы. Найти разность потенциаль на концах стержня.

Л. Г. Маркович

Ф972. В высокоскоростном киносъемном аппарате, применяемом для съемки быстропroteкционных процессов, пленка движется непрерывно со скоростью $v$. Для предотвращения смазывания изображения между пленкой и объективом установлена четырехгранная стеклянная призма с показателем предомления $n$, вращающаяся с постоянной угловой скоростью (рис. 5). Пренебрегая расфокусировкой изображения, определите, при какой угловой скорости изображение на пленке не смазывается. Определите толщину признамы $d$ при условии, что экспонирование изображения одного кадра проводится в пределах $(-\alpha_0, \alpha_0)$ ее угла поворота, а минимальный размер различных деталей изображения равен $\delta$.

А. А. ЛанUDEC

Problems

M956—M960; P968—P972

M956. Four circles of the same radius are drawn on the plane so that three pass through the point $A$ and three through the point $B$ (Fig. 1). Prove that the four pairwise intersection points (other than $A$ and $B$) are the vertices of a parallelogram.

V. and I. Kapovich, 10th form students

M957. Prove that it is possible to choose four numbers whose product is the fourth power of an integer from any distinct 1985 natural numbers whose prime divisors are all contained in the set {2, 3, …, 23} of the first nine primes.

M958*. Suppose $0 \leq i_1 < i_2 < ... < i_n$ are integers. Prove that the number of odd coefficients of the polynomial

29

мы отбрасываем более легкий и сравниваем более тяжельый с новым камнем из группы T; после отбрасывания $n$ камней остатся нужный — самый тяжелый. Аналогично за $n$ взвешиваний из группы Л выделяется самый легкий камень.

Можно предложить и много других правилных алгоритмов, позволяющих выбрать самый тяжелый и самый легкий камень из $2n+2$ за $3n+1$ взвешиваний. Оставляем читательм более трудную задачу: выяснить, за какое наименьшее число взвешиваний можно выбрать самый тяжелый и самый легкий из $N$ камней. (Похожая задача: за сколько попарных сравнений можно выбрать $k=2, 3, \dots$ самых тяжелих из $N$ камней — обсуждение в статье «Кто пойдет в Рио» Г. Адельсона-Вельского, И. Берштейна и М. Гервера («Квант», 1972, № 8, с. 2), а также в разделе книг о сортировке и поиске — например, в т. 3 книги Д. Кнута «Искусство программирования» (М.: «Мир», 1978).)

С. В. Фомин,
Н. В. Васильев

M937. Существует ли такая фигура $F$, что его нельзя накрыть полукруг радиуса 1, а двумя ее экземплярами можно накрыть круглой фигура 1, если $F$ — а) произвольная фигура; б) выпуклая фигура?

Ответ на оба вопроса a) и б) положительный. Примеры представлены на рисунке. Для ответа на вопрос a), кроме разнообразных вариантов фигуры в виде «пропелера» или древнекистского символа «Янь и инь», годится и такой вырожденный пример: из кругга радиуса 1 с центром $O$ выкальваются три точки — вершины равностороннего треугольника с центром $O$. Для ответа на вопрос 6) подходит такая фигура: окружность радиуса 1 с центром $O$ разбиается на четыре дуги величины $\varepsilon, \varepsilon, \pi-\varepsilon, \pi-\varepsilon$ и строится «выпуклая оболочка» двух несмежных дуг. (Левый нижний рисунок соответствует $\varepsilon=\pi/2$.) Заметим, что при малом $\varepsilon$ построенная фигура имеет площадь, сколь уголно близку к площади полукругга.

Доказательство, что построенная фигура не покрывает полукруг, во всех случаях опирается на такое сообщение: концы диаметра полукруга находится на расстоянии 2, следовательно, их могут закрыть лишь такие две точки построенной фигуры, которые являются диаметрально противоположными точками кругла radiуса 1, из которого мы ее вырезаем; таким образом, наша фигура должна быть содержать цель полукруг с центром $O$ radiуса 1.

Тот факт, что двумя экземплярами фигуры можно покрыть круг, оченьiden (во всех примерах достаточно повернуть фигуру относительно центра круга на некоторый угол или отражать от некоторой прямой, проходящей через центр).

Н. В. Васильев

M938. Радиус круга с центром $O$ равномерно врачается, поворачивая за одну секунду на угол $360^\circ/n$ (эде $n$ — натуральное число, больше 3). В начальной момент он занимаем Ом$_0$, через секунду — положение Ом$_1$, еще через 2 секунды — положение Ом$_0$, Ом$_1$, …, Ом$_{n-1}$ делят круг на $n$ равных секторов в том и только в том случае, когда $n=2^k$ (к — натуральное число; на рисунках изображены случан $k=2$ и $k=3$).

Поскольку точки $M_0, M_1, M_2, \dots, M_{n-1}$ попадают в вершины правильно $n$-угольника с центром $O$, для того, чтобы $n$ радиусов Ом$_0, OM_1, \dots, OM_{n-1}$ делили круг на равные секторы, необходимо

31

ки таблицы $N \times N$ раскрашены в $N$ цветов так, что клеток каждой цветаровно $N$, и $N > (n-1)^2$, то найдется строка или столбец, в котором есть клетки $n$ разных цветов (в нашей задаче было $N=10$, $n=4$).

Предлагаем читательям доказать, что эта оценка точная, и подумать над возможными обобщениями этой задачи (например, для прямогольных таблиц, на трехмерный слуаей).

Н. Н. Константинов, Л. Д. Курляндчик

M940*. a) Квадрат разбит на прямогольники. Назовем «целочкой» такое множество этих прямогольников, что их проекции на одну из сторон квадрата целиком покрывают эту сторону без перекрытия. Докажите, что любые два прямогольника входят в некоторую цепочка.

б) Докажите аналогично утверждение для куба, разбито на прямогольные параллеленды (в определении цепочки сторону квадрата нужно заменить на ребро куба). б) Верно ли, что любые два параллеленда в разбении куба приадлежат одному «слюю» — множество параллелендов, проекции которых на некоторую границу заполняют ее цепком, не належая друг на друга?

Рис. 1.

Будем называть прямогольники (в пункте 6) — параллеленпеды), на которые разбит квадрат (куб), «кирицами», а сам квадрат (соответственно, куб) — «домом». Удобно считать, что «дом» — произвольный прямогольник (примогольный параллеленед).

Оба утверждения a) и 6) можно доказать примерно одинаково — индукцией по числу $n$ киричей, составляющих дом. Мы подробно изложим доказательство a), а затем укажем дополнительные сообщения, которые нужны в пункте 6).

Для $n \leq 2$ киричей утверждение очевидно. Предположим, что для числа киричей, меньше $n$, оно доказано. Пусть $\alpha$ и $\beta$ — два из $n$ киричей, составляющих дом, которые мы хотим соединить цепочкой. Будем говорить, что цепочка идет «вдоль стороны $a$», если проекция составляющих цепочки на $a$ покрывают $a$ в один слой. Заметим, что достаточно построить часть цепочки между $\alpha$ и $\beta$, идущей вдоль $a$ (указать киричей, проекции которых на $a$ заполняется в один слой отрезок между проекциями киричей $\alpha$ и $\beta$), — после этого ее легко дополнить до цепочки: для этого достаточно найти от $\alpha$ и $\beta$ по направлению $a$ до перpendикularных к $a$ сторон и включить в цепочку встретились при этом киричии (рис. 1).

Слушай, когда киричии $\alpha$ и $\beta$ можно пересечь одной прямой, параллельной стороне дома, очевиден: все киричии, пересекаемые такой прямой, образуют нужную цепочку. Поэтому можно считать, что для каждой стороны дома найдется прямая, разделяющая киричии $\alpha$ и $\beta$. В этом случае найдется вершина киричия $\alpha$, близжайшая к $\beta$, — обозначим ее $A$. Среди прямых оценки к ней киричей найдется, кроме $\alpha$, еще по крайней мере один киричий $\gamma$, для которого $A$ служит вершиной и которойPrimыает к $\alpha$ по стороне. Он отделен от $\alpha$ некоторой прямой $l$ (идущей по сторонам $\alpha$ и $\gamma$, рис. 2).

Разрезав дом вместе с киричами этой прямой $l$, мы получим содержащий киричии $\gamma$ и $\beta$, но меньше исходного (по числу киричей) дом. В нем, по предположению индукции, можно соединить $\gamma$ и $\beta$ цепочкой; нас интересует часть $\gamma$, $\delta_1$, $\delta_2$, …, $\delta$, $\beta$ от $\gamma$ до $\beta$. Если она идет вдоль направления $l$, то можно заменить в ней $\gamma$ на $\alpha$, и нужно нам часть цепочки от $\alpha$ до $\beta$ готова: $\alpha, \delta_1$

32

δ₂, …, δ, β (мы пользовемся здесь тем, что A — ближайшая к β вершина α, рис. 2, а). Если же целочка γ, δ₁, δ₂, …, δ, β идет в перепределкулярном l направлении, то к ней можно просто добавить α (рис. 2, б).

Перейдем к решению б). Здесь следует, когда кирпичи α и β можно пересечь плоскостью, параллельной грани дома, свойится к пункту a). Остается случай, когда α и β разделены tremя плоскостями, параллельными разным граням дома. Через ближайшую к β вершину A кирпича α проходят три плоскости его граней. Они делят пространство на 8 окантов, и каждый из примыкающих к A кирпичей занимает один, два или четыре из них (в окрестности A). Поскольку число 8—1=7 нечетно, среди них найдется, кроме α, еще один кирпич γ, для которого A служит вершиной (занимающий один окант) и который отделен от α неокторой плоскостью p.

Дальше рассуждение проводится так же, как в пункте a): плоскость отрезает меньше дом, содержащий γ и β; остается рассмотреть два случая — когда существующая по предположению индукции целочка от γ до β идет в направлении, параллельном плоскости p или перепределкулярном ei.

в) Это утверждение, вообще говоря, неверно. Простой пример — куб 2×2×2, составленный из двух кубков 1×1×1, примыкающих к противоположным вершинам куба, и трех параллелепидов 2×1×1 (рис. 3). Легко видеть, что кубки здесь не принадлежат одному слюю.

Аналогичный пример дома 3×3×3 из трех кубков 1×1×1, расположенных по диагонали, и шести кирпичей 2×2×1 легко представят себе владелцы «кубика Рубика».

Н. В. Васильев,
А. И. Гольбер

Ф948. Известно, что в небольшей «просвет» между машинами, стоящими у тротуара, рекомендуется заезжать задним ходом, а не передним. Почему?

Пусть машина заехала в небольший просвет между двумя стоящими у тротуара машинами (см. рис.нок). Поставим вопрос так: как легче машине теперь выехать — передним или задним ходом?

При повороте руля сразу поворачиваются передние колеса, а задние сначала сохраняют прежнюю ориентацию; так что при любом маневрировании машины центр окружности, по которой она в данной момент движется (вперед или назад), всегда лежит на прямой, проходящей через центр задних колес.

На рисунке показана траектория, по которой машина может выехать из просвета. Видно, что при выезд задним ходом она скорее заднет соседнюю машину, чем при выезд передним ходом.

Легко понять, что выезд машины — это обращенный во времени везд. Следовательно, заезжать в небольший просвет машинами следует задним ходом.

С. С. Кротов,
Г. Я. Мякшев

33

Ф949. Одинаковы ли показания термометров, один из которых помещен у поверхности кипящей жидкости, а другой — в ее глубине?

Чтобы образователься в жидкости при кипении пузырек, наполненый насыщенным паром, не схлопнулся, давление внутри пузырька должна быть равно внешнему давлению, то есть давление окружающей пузырек жидкости. Если пузырек находится в глубине жидкости и высота столька жидкости над ним равна $h$, то внешнее давление равно

$$p = p_0 + \rho gh,$$

где $p_0$ — давление над поверхностью жидкости. Следовательно, чем глубже находится пузырек, тем большим должно быть давление $p_H$ насыщенного пара в пузырьке, чтобы он не схлопвался. Но большему значению давления $p_H$ соответствует более высокая температура. Значит, существование пузырьков в глубине кипящей жидкости возможно при более высокой температуре, чем выше поверхности.

Оценим, насколько отличается температура $T_h$ на глубине $h = 0,5$ м от температуры $T_0$ на поверхности кипящей воды. Дополнительное давление на этой глубине $\Delta p = \rho gh \approx 5 \cdot 10^3$ Pa. Считая, что над поверхностью воды давление равно нормальному атмосферному, то есть $p_0 = 1,033 \cdot 10^5$ Pa, из таблицы зависимости давления насыщенного пара от температуры находится на сколько температуре водяного пара должна быть выше $100^\circ\text{C}$, чтобы давление его было больше $p_0$ на $5 \cdot 10^3$ Pa: $\Delta T \approx 1^\circ\text{C}$.

Т. С. Петрова

Ф950. В запаянной капиллярной трубке находится два столька рути, разделенные капелькой водного раствора электролита $\text{HgI}_2$. Внутренний диаметр трубки $d = 0,3$ мм. Трубка подключана последовательно с резистором с сопротивлением $R = 390$ кОм к батарее с ЭДС $\mathcal{E} = 10$ В (см. рис.ок). Через какое время капелька сместится на одно деление шкалы?

◆ Протекание электрического тока в электроплете связано с переносом массы. В данном случае на катоде происходит восстановление металлической рути из растора электролита, а на аnde — окисление рути, то есть переход ее в растор электролита. В соответствии с законом электролиза Фарадей масса рути, которая выделится на катоде за время $t$, равна

$$m = \frac{1}{F} \frac{M}{n} I t,$$

где $F = 9,65 \cdot 10^4$ Кл/моль — число Фарадей, $M = 0,201$ кг/моль — молярная масса рути, $n = 2$ — валентность рути, $I$ — протекающий ток. Этот ток практически определяется сопротивлением $R$, так как по сравнению с ним сопротивление металлической рути и электролита и внутреннее сопротивление источника ничтожно малы. Позотому $I = \mathcal{E}/R$, и

$$m = \frac{M \mathcal{E}}{FnR} t. \tag{1}$$

Выделение рути на катоде и расторение ее на аnde приводит к смешению капельки электролита в стороны аnde на расторение $l$ такое, что

$$m = \rho \frac{\pi d^2}{4} l, \tag{2}$$

где $\rho = 13,6 \cdot 10^3$ кг/м$^3$ — плотность рути.

34

Из (1) и (2) находится время, за которое капелька электропита смеится на расстояние $l$:

$$i = \frac{\pi d^2 F n_0 R l}{4 M C}.$$

Подставив значения, приведенные в условия, и $l = 1$ см, получим $t = 100$ ч.

Подобные другие часы нашли применение в электронной технике в качестве малогабаритных временадоших устройств, счетчиков времени наработки. Их используют также для измерения заряда — построения кулонметров.

Е. Н. Юносов, И. В. Яминский

Ф951. Определить емкость системы конденсатора, приведенной на рисунке. У каждой конденсатора указано значение его емкости, измеренной в микрофарадах.

◆ Представить исходную схему как систему параллельно и последовательно соединенных конденсаторов неудается. В таких случаях необходимо, как говоря, упростить схему. Например, что под этим подразумевают.

Объчно, исходя из сообщений геометрической или физической симметрии, какие-то узлы схемы разъединиют или, наоборот, соединяют, какие-то конденсаторы удаляют и т.п., добавясь того, чтобы новая схема из последовательно и параллельно соединенных конденсаторов была эквивалентна исходной, то есть чтобы при подаче на исходную и преобразованную схемы одинаковых напряжений схемы заряжались одинаково, — в этом случае емкость схем одинаковы, и расчитывают емкость и преобразованной схемы.

В основе применения описанного выше метода лежит теорема единственности, суть которой в нашем случае совпадается к следующему. Если на схему подать неокоторое напряжение, то напряжения (и, соответственно, заряды) на всех конденсаторов примут единственно возможные значения. Приведем не очень строгое доказательство этой теоремы методом от противного.

Предположим, что существует две возможность зарядам «рассествия» на конденсаторов схемы при подаче на нее напряжения $U_0$. Это означает, что по крайней мере на одном из конденсаторов, например, с емкостью $C_0$, заряды в первом и во втором случаях будут разные. Подадим на схему включенные насстечу источники напряжения $U_0$ и — $U_0$ (то есть суммарное напряжение, поданное на схему, равно нулю). Вследствие принципиации схема независимым образом «отрегирует» на напряжения $U_0$ и — $U_0$; в первом случае на конденсаторе $C_0$ оказывается заряд $q_0$, а в ответ на напряжение — $U_0$ конденсатор зарядится зарядом $q'_0$ с противоположной полярноостью, причем $|q_0 + q'_0| \neq 0$. Таким образом, на схему было подано нульевое напряжение, работа внешних источников была равна нулю, а на конденсаторе $C_0$ оказался запас электрической энергии $\frac{(q_0 + q'_0)^2}{2} \neq 0$. Противоречие.

Обратимся теперь к нашей схеме. Пропорциональноность значений емкости горизонтальных участков схемы наталкивает на следующую стратегию — упрощение схемы путем удаления конденсаторов между параметрами точек: $c$ и $d$, $e$ и $f$, $f$ и $g$.

Действительно, если удалить конденсаторы и подать на упрощенную схему неокоторое напряжение, то потенциальы соответствуют точек будут одинаковыми: $\varphi_c=\varphi_d$, $\varphi_e=\varphi_f=\varphi_g$ (показите это самостояльно!). Вернем на место удаленные конденсаторы. Переаспределяния зарядов на других конденсаторов схемы вследствие теоремы единственности не производит. Поэтому емкости исходной и преобразованной схем будут одинаковы.

Емкость преобразованной схемы равна

$$C_{AB}=1:\left(\frac{1}{12}+\frac{1}{6}+\frac{1}{4}\right)+1:\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right)+1:\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}\right)=\frac{9}{2} \text{ мкФ.}$$

А. И. Буздин, C. С. Кротов

Ф952. Наблюдатель расматривает удаленный предмет и фотографию этого предмета, сделанную из той точки, в которой находится наблюдатель. Что ему кажется большим — предмет или его фотографическое изображение? Во сколько раз? Фотография была сделана annaparatом, объективного которого имеет фокусное расстояние $F=3$ см; при печатании снимка было сделано увеillance $k=2,5$.

Размер изображения предмета на сетчатке глаза прямо пропорционален $tg\varphi$, где $\varphi$ — угол зрения для данного предмета. Поэтому видимое увеличение при расматривании предмета на фотографию равно

$$\Gamma=\frac{tg\varphi}{tg\varphi},$$

где $\varphi_1$ — угол зрения, под которым виден предмет на фотографии, $\varphi$ — угол зрения при непосредственном расматривании предмета. Если $l$ — размер предмета на снимке, а $D$ — расстояние, с которой расматривается снимок, то $tg\varphi_1=l/D$. Найдем $l$.

При фотографировании удаленных предметов резкое изображение получается в фокальной плоскости. Поэтому расстояние от объектива до фотопленки в этом случае должно быть равно фокусному расстоянию $F$. Размер изображения на фотопленке равен $l_1=F tg\varphi$. После печатания размер изображения на фотографии становится равным $l=kl_1=kF tg\varphi$.

Таким образом,

$$\Gamma=\frac{kF}{D}.$$

При нормальном зрении $D$ не меньше 25 см. Подставив для оценки $D=25$ см, получим $\Gamma=0,3$ — при расматривании фотографии предмета каждый примерно в 3 раза меньше, чем при непосредственном наблюдении.

В. С. Рыбин