Наш круглый стол

2

НАШ КРУГЛЫЙ СТОЛ

25 лет назад по инциативе ведущих ученых страны академиков А. Н. Колмогорова, И. Г. Петровского, П. С. Александрова, И. К. Кикона и М. А. Лаврентьева были созданы специальизированные физико-mатематические школи-интернаты в Москве, Ленинграде, Киеве и Новосибирске. Задача этим школа была поставлена так: школьникам, живущим вдалеке от научных центров, предоставить те же возможности вывяжения в научку, что и ученикам университетских городов.

Недавно в нашей редакции состоялась встреча, посвященная двадцатилетию физико-mатематической школи-интерната при МГУ. Представляем ее участников: Д. Л. Абаров — директор школи, В. В. Василов — доцент МГУ, член редакlerin «Кванта», В. Н. Дубровский — преподаватель школи-интерната при МГУ, член редакlerin «Кванта», А. А. Егоров — научный сотрудник АПН СССР, преподаватель школи-интерната при МГУ, О. Н. Найда — быстроизвольный научный школ, ныне научный работник, кандидат физико-mатематических наук, А. В. Сосинский — доцент МИЭМ, член редакlerin «Кванта», Г. Ш. Фридман — доцент Омского государственного университета, выпускник ФМШ при НГУ.

Д. Л. Абаров. Главный результат работы любой школи — это выпускники. Наш интернат за 25 лет существования выпускил более 4000 человек. Практические все они поступили вузы (главным образом, в МГУ и МФТИ), многие закономили аспирантуру, зашитыли диссертации.

Среди наших выпускников — более 400 кандидатов и 20 докторов наук, есть лауреаты Ленинской и Государственной премии, премий Совета Министров СССР и Ленинского комсомола.

Наш выпускник Ю. А. Матиясевич решил 10-ю проблему Гильберта, выдающей работы выполнены А. Н. Варченко, Е. В. Шепиным, И. М. Кричевером, В. В. Никулиным и др. Сейчас максимальный возраст выпускников — 43 года, они успешно работают в различных научных институтах, вычислительных центрах, учебных заведений.

Среди преподавателей интерната 25 кандидатов и 3 доктора наук. Это позволяет вести учебные курсы нестандарто, развивать и поддерживать интерес к науке. Нас радют успехи наших учеников на оптимизации всех уровней — от Московских до международных.

Еще в 60-е годы появился традиция: выпускники интерната, став студентами, возвращались в школе преподаватель. Невозможно перечислять всех. Назову лишь А. П. Веселова, В. Н. Дубровского, А. Н. Дранишникова, Б. М. Ивлева, Т. Н. Трушанину, Е. В. Шепина — это ведущее преподаватель, давно и творческий работающее в интернате.

О. Н. Найда. В 1962—63 годах по поручению комитета комсомола физика МГУ я помогал И. К. Кикону в его работе со школьниками. Буквално на моих глазах весной 1963 года И. К. Кикон составил письмо в адрес правительства с предложением открыть в Москве интернат, аналогичный новосибирскому, который уже работал в то время благодарим инциативе М. А. Лаврентьева. Письмо подписали ректор МГУ И. Г. Петровский,резидент АН СССР М. В. Келдыш, а также руководители выпускных школ, просвещения и ведущих отражений промышленности. Результатом их настоящности было постановление Совета Министров СССР об организации школи-интернатов при Киевском, Ленинградском, Московском и Новосибирском университетах.

Потом была огромная работа по проведению первого набора в школе. Первые 19 учеников (11-й класс) были набраны из числа победителей III Всеросский математический Olympiadы. Их пригласили в Летнюшку в Красновидово под Можайском,

3

где с ним непосредственно занимаются А. Н. Колмогоров со своим помощниками. Последней школь все они были зачислены в интернат:

У меня сохранилась до сих пор контрольная работа Гены Архипова. Сейчас он — доктор физико-mатематических наук, известный специалист по теории чисел. Он всегда был влюблен в математике, а сколько выдуми и остроумя проявил, решая эту контрольную по физике!

Наш интернат начал работать в декабря 1963 года. Нado было видеть, с каким интересом ребята проводили лабораторные работы, изготовляли счетчики космических лучей — еще бы — при проведе части загорались лампочки. Отромным успехом пользовались курсы теоретической физики. Хочется пожелать нынешним учительам и ученикам такой же веселой работы, как это было в первые годы.

А. Б. Сосинский. Я начал работать в интернат в 1964 году одновременно с таким замечательными математиками как В. М. Алексеев, В. И. Арнольд, В. М. Тихомиров, Д. Б. Фукс и др. — одно их присутствие в школе задавалорезвычайно высокий уровень преподавания. Очень любили и ребята, и педагоги одного из лучших учитель-математиков Москвы А. А. Шершевского. Большую роль в становлении интерната сыграли и более молодые математики, работавшие там в первые годы его существования: Е. В. Гайдуков, Д. И. Гордеев, А. А. Егоров, Ю. А. Ильяшенко, И. Г. Журбенко, А. С. Мишенко, В. А. Скворцов. Чрезвычайно интересно и живо была поставлена физика. Занятия вели молоды преподаватели, аспираты и студенты физика МГУ и МФТИ. Первый директор интерната П. А. Кузнецов очень много сделал за свое непродолжительное директорство (через год с небольшим он перешел работу директором в другую школе). Его сменила Р. А. Острая — фронтовик, историк по специальности (Ранса Аркадьевна окончила Институт физофини, литературы и искусства), человек велико-лепно образованный, интеллектный в самом высоком смысле этого слова. Она сразу попала и приняла идею создателей шкoles: в интернате следует приобретать не только к точным наукам, но и к культурным ценностям.

При оборе предодаателей Андрей Николаевич Колмогоров считал важным не только знание математики или физики, но научанность, понимание музыки, истории, некоторые спортивные науки. Не зря ФМШ иногда расшифровывает как «футбольно-mатематическая школа» — имеются в виду горяние поedinки между командами учеников и учитель по футболу, баскетболу, волейболу и другие соревнования.

Коллектив предодаателей perвых лет — люди не намного старше своих учеников — сумел вовлечь питания в интересную интенсивную интеллектуальную жизнь. Устраивались музыкальные вечера, коллективные чтения Пастернака, Булгакова, Хлебникова, Заболцкого, Ахматовой.

Об этом периоде интерната можно сказать славами из замечательного стихотворения «19 октября» известного сейчас позта-барда Ю. Кима, предодаавшего в интернате литературу и историю. Там есть такие строки:

Под твоей бессертной сенью
Научиться бы волне
Везозладному веселю,
Вескористному доверю,
Вольнодумной глубине…

Однако многим пришлось не по душе «безоглядное веселое», вызывало недоверие «бескорbstное доверье» и ужсовсем отравительной казалась «вольнодумная глубина». В 70-e года развитие интерната пошло не в ту сторону. Он все больше превращался в нечто вроде подготовительных курсов для школьников из провинции, причем все большеную роль при поступлении в интернат играло социальное происхождение, а не настоящие способности к науке, так что с 70-х годов наблюдалось падение научной интенсивности жизни интерната.

Сейчас в интернат пришли новые люди, и верится, что интернат — это замечательное явление нашей культуры.

4

А. Н. Колмогоров считает лекцию.

ры — вернется к своей истинно просветительской деятельности.

А. А. Егоров. Я работаю в интернате с конца 1963 года — с момента его открытия, так что вся история школи у меня в памяты.

Интернат осуществлял и осуществляет идео его создателя А. Н. Колмогова: дать возможность одаренному школьнику как можно раньше (начиная с младших курсов университета) включиться в научную работу. Таким образом, главная задача преодавания — это развитие устойчивого интереса, даже потребности к самостоятельным исследованием, творчеству. Мы показываем ученикам различных подходы к задачам, учит смотреть на проблему с разных сторон. К сожалению, часто в школах математику преодают так, как в армии учат «Устав», и к нам иногда приходят ребята, хотя и способные, но уже заторможенные своим школьными учительами. Растормозить их, заставить их мозги работать, научить учиться и привить вкус к учению — вот, что мы стремимся сделать.

Д. Л. Абраров. Я прошел путь от ученика (окончил интернат в 1977 году) до директора школи. Годы пребывания в интернате запомнились мне на всю жизнь ученьем и интересным бытьом. Я благодарен преподавателем, поддерживающим и развивающим наш интерес к математике и физике. В нашем классе решались задачи, предлагаемые Научным обществом учащихся. Очень трудные, исследовательские задачи, порой проблемы. Каждый ученик мог пытаться их решать. На кникух бывалое желание ответиться и отспаться, но очень скоро в руках оказалась книга, и дни отдельных проходили в самостоятельных занятиях. Такие трудные книги, как книга Колмогорова и Фомина «Элементы теории функций и функционирования анализа», дополнительно подогревали интерес своей непонятностью. Увлеченное делали матрификум (порой нас по новам разогоняли джурные преодаватели, когда мы решали задачи, забившись в какой-нибудь украмный уголок). Это, впрочем, и сейчас есть.

В. В. Вавилов. Дмитрий Леонардович Абраров упомянул замечательный учебный предмет — математический практику. В комнате, где мы сейчас беседуем, есть стенд со всеми вышедшими до середины него дня номерами «Кванта». Так вот, я вижу по меньшей мере 7 обложек, на которых изображены картины, выполеные школьниками при подготовке заданий по практикуму. Что же он представляет собой? Приблизительно один раз в месяц в интернате читателя лекции, а затем вывешиваются задания по практикуму. Выполняя задания, школьники должны освить теории, произвести расчеты и выполнить графическое часть работы. Задания эти уникальные, требуют отучащся умення ориентироваться в неизнакомой ситуации, самостоятельности и глубины усвоения материала — по существу это исследовательская работа. Однако из тем: «Легаюшие тарелочки».

(Окончание см. на c. 15)

7

КОСЫ И УЗЛЫ

Кандидат физико-mатематических наук
А. В. СОСИНСКИЙ

Плетение кос и завязывание узлов — разве это математика?

Приложный ученик объявно выносит из шкOLS такую точку зрения: математика занимается абстрактными понятями, а также предметы быта, как косы и узлы, к математике имеет отношения не могут.

Но это не так. Математики в нашей время занимаются не только возникшими проблемами — теории чисел, расчетом космических полетов, исследованием стихотворных размеров, — но и земными, повседневными вопросами: экономических подсчетами и даже… теории очередей.

И теории кос. Это реализая и живая наука, возникшая в 20-х годах нашей века; еще не завершена и не исчерпала своих приложений. А по красоте теория кос не уступает классической, но застывшей в своем величини математике античности и XVII веков, которую только и изучают в школе.

Наш расссказ начем с примеров кос (рис. 1). Косу можно себе представлять так: в верхний и нижний край вертикальной доски вбито по n гвоздиков (n может равять 1, 2, 3,…) — каждый из гвоздиков верхнего основания соединен нитью с одним из гвоздиков нижнего; нити попарно не пересекаются и все время должны опускаться вниз (нить не имеет права, повернутьись, начать подниматься вверх: фигуры на рисунке 2, например, косами не являются).

Две косы считаются эквивалентными (т. е. одинаковыми), если одну можно превращать в точную копию другой, двигая нити (без разрывов и склеиваний) так, чтобы каждая точка каждой нити перемещалась только в горизонтальной плоскости. Такое движение показано на рисунке 3.

На рисунке 1 вверху у начала каждой нити художник указал ее порядковый номер. Внизу снова указаан номер каждой нити — но здесь номера не обязательны и по порядку: каждой косе соответствует перестановке номеров ее нитей. Так, косам $K_1$, $K_4$, $K_5$ на рисунке 1 отвечают перестановки

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 1 \end{pmatrix}.$$

Рис. 1. Примеры кос из трех и четырех нитей: $K_1$ — «девицы кос»; $K_2$ — тривальная кос; $K_3$ — ?; $K_4$ — крашенная кос; $K_5$ — циклическая кос.

8

Рис. 2. Эти фигуры не являются коэффициентами их ниги и имеют восходящие участи.

Рис. 3. Геометрическое доказательство тривиальности косы $K_3=1$: «эгоризонтальные» движениями косы превращается в косу из четырех вертикальных косей.

Среди кос на рисунке 1 выделяется крашеная коса $K_4$; так она называется вовсе не потому, что художник нарисовал ее ниги разными цветами: крашеной называется любая коса, который отвечает тождественяя перестановка

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \dots & n \\ 1 & 2 & 3 & \dots & n \end{pmatrix},$$

т. е. коса, сохраняющая порядок номеров нитей. Тривиальная коса, все нити которого вертикальные прямы, — частный случай крашеной косы.

Кстати, на рисунке 1 показана не одна, а две тривиальные косы. Две? — Да, именно две: коса $K_3$ тривиальная, либо она легко превращается (см. рис. 3) в косу из четырех вертикальных нитей.

Среди всех кос следует выделить, кроме крашенных, в известном смысле противоположные им циклические косы: это косы, переставляющие все номера нитей по единому циклу, как это делает коса $K_5$:

$$1 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 3 \rightarrow 1.$$

Косы — один из простейших геометрических объектов, легко поддающих «алгебраизации»: косы с одинаковым числом нитей можно умножать. Делается это совсем просто (см. рис. 4): нужно приложить одну кругой, склеив соответствующее нити, и удалить ставшие ненужными гвоздики (нижние гвоздики первой косы и верхние — второй). Такое умножение обладает рядом свойств общного умножения чисел: выполняется ассоциативный закон

$$K_1(K_2K_3)=(K_1K_2)K_3,$$

есты аналогичны — тривиальная коса $K_2=1$, для которого

$$1 \cdot K=K \cdot 1=K.$$

Есть и аналог деления: у каждой косы $K$ имеет обратная коса $K^{-1}$; для нее

$$K^{-1} \cdot K=K \cdot K^{-1}=1.$$

Послений факт не оченьiden, и мы предлагаем читателю самому придумать, как построить косу, обратную данной. Ну а если не получится, можно посмотреть ответ на следующее странице (рис. 5). Умножение кос, однако, не коммутативно: $K \cdot L$ не обязательно равно $L \cdot K$ (пример приведен ниже).

Получившийся алгебраический объект — он называется группой кос из $n$ нитей и обозначется $B_n$ — не слишком прост, но основательно изучен. Начнем изучать группу кос и мы. Для этого потребуется элементарные косы $S_1, S_2, \dots, S_{n-1}$ из $n$ нитей (рис. 6).

9

Рис. 4. Умножение кос: верх второй косы прикладывается к низу первой и соответствующие нити склеиваются.

Оказывается, что любая коса представляется в виде произведения элементарных кос $S_1$, $S_2$, … и обратных к ним. Например, очевидно, что

$$K_1 = S_1 S_2^{-1} S_1 S_2^{-1} S_1 S_2^{-1} S_1 S_2^{-1}.$$

Далее

$$K_3 = S_2 S_1 S_3^{-1} S_1^{-1} S_3 S_2^{-1} S_1 S_3 S_1^{-1} S_3^{-1};$$

это становится очевидным, если надлежащимшевлением нитей немного опустить 4 двойные точки, находящиеся справа на косе $K_3$ (рис. 7).

Упражнение 1. Представьте косы $K_4$, $K_5$ (см. рис. 1) в виде произведения элементарных кос $S_1$, $S_2$, $S_3$ и обратных к ним.

В теории кос, как в анализической геометрии, алгебраическая запись позволяет геометрическе рассуждения заменить совершенное механическими вычислениями, основными на следующих точеках:

I. Тривальные соотношения

$$S_i S_i^{-1} = S_i^{-1} S_i = 1,$$

$$S_i \cdot 1 = 1 \cdot S_i = S_i (i=1, 2,..., n-1).$$

II. Далекая коммутирование

$$S_i S_j = S_j S_i$$ при $|i-j| \geq 2$

($i, j=1, 2,..., n-1$).

III. Соотношения сплетения

$$S_i S_{i+1} S_i = S_{i+1} S_i S_{i+1}$$ ($i=1, 2,..., n-2$).

Справедливо эти точки очередна (рис. 8). Из них выво-

Рис. 5. Коса, обратная к данной: зеркальный образ кос $K$ (относительно горизонтальной плоскости, проходящей через ее нижнее основание) и есть обратная к $K$ кос $K^{-1}$.

Действительно, симметричные относительное этой плоскости пары двойных точек кос $KK^{-1}$ можно попарно уничтожить, последовательно дв歧аясь от центра косы к ее краям.

Рис. 6. Элементарные косы: $i$-я элементарная коса $S_i$ ($i=1, 2,..., n-1$) состоит из $(n-2)$ вертикальных нитей, а ее $i$-я нить меняется местами $c$ ($i+1$)-й (проход над ней).

10

Дятся и другие соотношения, например более общая форма далекой коммутитивности:

Упражнение 2. Докажите, что $S_i^e S_j^\delta = S_j^e S_i^\delta$ при $\varepsilon$, $\delta \in \{1, -1\}$, $|i - j| \geq 2$.

Разберем еще один пример: доказем соотношение $K_3 = 1$ (установленное геометрическим путем на рисунке 3) прямым вычислением. Имеем:

$$K_3 = S_2(S_1 S_3^{-1}) S_1^{-1} S_3 S_2^{-1} S_1(S_3 S_1^{-1}) S_3^{-1} = S_2 S_3^{-1}(S_1 S_1^{-1}) S_3 S_2^{-1}(S_1 S_1^{-1})(S_3 S_3^{-1}) = S_2 S_3^{-1} \cdot 1 \cdot S_3 S_2^{-1} \cdot 1 \cdot 1 = S_2(S_3^{-1} S_3) S_2^{-1} = S_2 S_2^{-1} = 1.$$

Здесь мы вначале воспользовались далекой коммутитивностью, а затем все «само» сократились (за счет тривальных соотношений).

Упражнения
3. Докажите точдества

Рис. 7. Представление кosci $K_3$ через элементарные кosci $S_1, S_2, S_3$ и обратные к ним. Для этого малым движением нитей все двойные точки расположются на разных уровнях, после чего алgebraическую запись $K_3$ можно просто прочитать по рисунку: $K_3 = S_2 S_1 S_3^{-1} \times S_1^{-1} S_3 S_2^{-1} S_1 S_3 S_3^{-1}$.

Рис. 8. Доказательство основных соотношения теории кosci: (I) тривальные соотношения (для кос из двух нитей); (II) далекая коммутитивность (для кос из четырех нитей); (III) соотношение сплетения (для четырех нитей). Для случая большого числа нитей все доказывается аналогично.

11

навливаемся. Отметим лишь то, что с их помощью геометрическая теория кос превращается в вычислительную науку, в котором все конкретные вопросы могут, в принципе, быть решены компьютером.

Скептический читатель спросит: ну и что? а зачем нужно уметть решать эти «конкретные вопросы»?

Попробую ответить. Дело в том, что теория кос, как уже говорилось, имеет много приложений как в математике, так и за ее пределами. Я остановилось здесь лишь на одном приложении, которое особо ценно — приложении к теории узлов.

Рассмотрим для начала несколько примеров узлов (рис. 9). Узел — это замкнутая линия в пространстве, гладкая или ломанная, которая может быть как угдоно закручана и переплетана. Полезно себе представляется, что узел сделан из тонкой, гибкой и растяжимой нити; мы считаем, что два узла одинаковы (эквивалентны), если можно один превращать в точную копию другого, двигая, изгибая, растягивая и скимая эту нить в пространстве, не разрывая ее. Среди узлов выделяются тривиальный узел (собственно, и не узел вовсе) — общная, незначенная окружность: $Y_0$ на рисунке 9. Впрочем, на этом рисунке показано два изображения тривиального узла: узел $Y_7$ тоже тривиально — его легко распутать, превращив в большую окружность (проделяте это мысленно или с помощью карандаша и ластика!). Более того, на рисунке 9, кроме $Y_0$ и $Y_7$, есть еще одна пара эквивалентных узлов.

Упражнение 5. Найдите два нетривиальных эквивалентных узла на рисунке 9.

Matematикам удобнее иметь точное определение эквивалентности узлов, а не наглядное описание, подобное данному нами выше. Приведем такое определение. Для этого мы условия считать, что узел — не плавано изгибающая кривая, а ломанная. Тогда элементарной операцией называется замена одного звена ломанной — скажем, ломанной $AB$ на рисунке 10 — на двухненно ломанную $ACB$ (и обратный переход от $ACB$ к $AB$), при условии, что узел не содержит внутренних точек треугольника $ABC$. Два узла будут эквивалентными, если от одного к другому можно перейти с помощью конечной последовательности элементов операций (рис. 10). Разглядев этот рисунок, вы без труда поймете, что этому определению эквивалентности действительное obtueает приведенное выше наглядное описание.

Для узлов, как и для кос, можно ставить пробелу классификации: указать (бесконечный) список узлов (без повторений) и алгоритм, относший любому узлу его номер в этом

12

Рис. 10. Элементарные операции над узлом: отрезок АВ заменяется на ломанную АСВ при условии, что узел не пересекает треугольник АВС; последовательное применение таких операций позволяет деформировать узлы.

списке. Хотя эта проблема сегодня в принципире решена, решение это настолько громоздко, что практический ползы от него нет. Нельзя ли свести эту проблуку к (ужже решенной) проблеме классификации кос? Здесь направляется следующий ход.

Возьемм косу, изогнем ее дугой и склеим конец с началом (рис. 11). Получится узел. Впрочем, всегда ли такое замыкание косы дает узел?

Рис. 11. Замыкание косы: соединяем начало и конец простейшей косы, получаем узел («трилистник»).

Рис. 12. Раскручивание положительного узла в косу. Вертикальная полуплоскость a раздавается, открывается как книжка и узел развоивается в косу. Эта операция — обратная к замыканию косы (рис. 11).

Управнения

6. Нарисуйте замыкания кос $K_1, K_4$ (рис. 1). Когда получается одна кривая, а когда несколько? Опишите косы, замыкание которых — одна кривая, т. е. узел.

7. Найдите косу, замыкание которой — узел: a) $Y_1, 6)$ $Y_3, b)$ $Y_4, r)$* $Y_2$ (см. рис. 9).

Итак, некоторые классификые косы, как убедились читатели, продолжали упражнение 6) при замыкании дают узлы. Все ли узлы могут быть получены таким образом? Оказывается — все!

Замечательный американский математик Дж. Александер доказал в 1925 году, что любой узел является замыкением некоторых косы. Мы не будем подробно доказать эту теорему, но указываем два основных приема, использых при ее доказательстве.

Первый пример («раскручивание»). Нарисуем узел, выберем на нем направление и возьмем произвольную точку $O$ вне его. Наозем звено узла положительным (относительно точки $O$), если направление движения по нему видится из точки $O$ слева направо; так все звенья узла кроме $AB$ и $FG$ на рисунке 13, а положительны. Узел назовем положительным (относительно точки $O$), если все его звенья положительны. Для положительных уз-

13

Лов легко найти косу, замыканием которого он является: нужно разрезать и раскрутить узел так, как показано на рисунке 12.

Второй примем («триок Александера»). Отрицательные звенья узла (рис. 13, б, в) заменяются на двухзвенные положительные ломаны, охватывающие точку O. После учитокжения всех отрицательных звеньев применяется первый примем.*)

Так доказывается, что каждый узел — замыкание неокоторой косы, а косы можно классифицировать. Нельзя ли воспользоваться этим для классификации узлов? Увы, нет. Дело в том, что замыкание разных кос не всегда приводит к разным узлам. Например, коса (из трех нитей), показанная на рисунке 14, не совпадает с косой (из двух нитей) на рисунке 11, но при замыкании тоже дает трилистник (проверьте!).

Таким образом, неопределенно свести классификацию узлов к классификации кос не удается. Однако теорема Александера — лишь первый шаг замыслового хода мысли, связая

*) Придирчивый читатель может возразить, что кроме положительных и отрицательных, узел может иметь и звенья, которые нельзя приписать знак. Если такая «непряятность» произошла, нужно слегка пошевить эти звенья.

зывающего красивейших обитателей трехмерного пространства — косы и узлы.

---

В заключение для читателей, который красота не кажется достающим основанием для изучения предмета, попробует ответить на вопрос: «А зачем это все нужно?». Отчасти ответ содержит в самом истории возникновения теории кос и узлов.

Теория кос была создана в двадцатьые годы нашего века еще молодым немецким алгебраистом Э. Артином по заказу… ткацкой фабрики: он выполнял, как бы сказали сегодня у нас, хозяйговорную работу для этого предприятия.

Истоки теории узлов — более древние, и интересные обстоятельства непосредственного ее возникновения — почти забиты. А дело было так.

Рис. 14. Замыкание этой косы — тоже узел «трилистник» (сравните с рисунком 11). Проверте!