[О решении в натуральных числах уравнения x^n + y^x = z^k и одной игре с числами]

14

Систематическое изучение теории узлов иницировал великий английский физик Дж. Максвелл. Он пришел к выводу, что волны осуществляют электromagнитные взаимодействия, а потом его осенила еще более смелая мысль: сами взаимодействующие частицы — тоже волны; но так как частицы (атомы) очень маленькие, а волны — длинные, волны-атомы должны замыкаться на себя на небольшом участке пространства: это узелки, в памятки которых хранится вся физико-импециальная информация об atomе, закодированная в самом характере заузливания атома. Максвелл и его ученики приялись за исследование узлов, начали их систематическую классификацию в виде таблиц.

Эстафету в изучении узлов, уже в нашем вке, прияли математики, притом вполне бекорьистно: их привлекала сама красота предмета. Созданные имми тонкие инварианты (а им будет посвящена статья «Узлы, защищения и их полиномы» в 4-м номере «Кванта») позволили значительно продвинутся в изучении узлов,

Наимпитет

Ф. П. Гросу из Кишинева исследует решение в натуральных числах уравнения $x^n + y^m = z^k$. Оказывается, если $k \geq n > m$, $x \geq y$ и $k/n = p$ — натуральное число, то решей нет. Доказательство. Поскольку $x \geq y$, $x^m \geq y^m$ и $x^n + x^m \geq z^k$. Поскольку $(x+1)^n > x^n + x^m$, $(x+1)^n > z^k$. Следовательно, $x > z^p - 1$. С другой стороны, $x = \sqrt[n]{z^k - y^m} < z^p$. Итак, $z^p > x > z^p - 1$, поэтому $x$ не может быть целым числом.

Аналогично доказывается следующее утверждение:

если система уравнения

$$\begin{cases} x^n + y^m = a \\ x^m + y^n = b \end{cases}$$

с $n > m \geq 1$, $a > b$ имеет натуральное решение, то это решение имеет вид

$$x = \sqrt[n]{a}, y = \sqrt[m]{a - \sqrt[n]{a}} = \sqrt[n]{b - \sqrt[n]{a}}^m,$$

где квадратные скобки обозначают целую часть числа. Например,

$$\begin{cases} x^3 + y^2 = 134 \\ x^2 + y^3 = 52 \end{cases}$$

Дессятиклассик И. Григорьев из Актюбинска заменяет, что для унохнения четырех чисел на 6 можно воспользоваться формулой $ab...xy \cdot 6 = ky$, где $k = ab...x + 1/2ab...xy$.

Этот способ унохнения часто проще общного унохнения «в столбик».

В. Е. Кошаков из Ленинграда предложает следующую игру с числами. Возьмем нечетное натуральное число $N$ и представим его в виде суммы двух слагаемых. По каждому разбиению $N$ в сумму вида $p+q$, где $p < q$, построим новое разбиение вида $(2p) + (q-p)$. Что получится, если продолжать этот процесс? Например, разбиение числа $17 = 1 + 16$ приводит к целочке

$$1 + 16 \rightarrow 2 + 15 \rightarrow 4 + 13 \rightarrow 8 + 9 \rightarrow 16 + 1.$$

После этого разбиения повторяется. Такие цепочки автор называет netлями. Вот другой петля числа 17:

$$3 + 14 \rightarrow 6 + 11 \rightarrow 5 + 12 \rightarrow 7 + 10 \rightarrow 3 + 14.$$

Выписанные петли содержат все разбиения числа 17 в сумму двух слагаемых. Обратите внимание на то, что обе петли имеют одинаковую длину. Это не случайно: все петли простого числа имеют равные длины. Попробуйте сами доказать это утверждение.

В. Е. Кошаков продолжал большое количество вычислений и обнаружил числа, имеющие очень много петель. Например, число 65 537 имеет 2048 петель. Подумайте, что будет, если в определенной петле числа заменить унохнение унохнения число.

15

Наш круглый стол

(Начало см. на c. 2)

Тут речь шла о способах расчета полета популярной игрушки «летацшая тарелочка».

Д. Л. Абаров. Сейчас интернант становится подразделением Университета *, осуществляя идею Ломоносова: «При Университете должно быть гипназия». Разумеется, материалное обеспечение должно быть лучше, чем у обычной школи. Пока, к сожалению, наш материално-технический уровень не соответствует уровню преподавания. Например, сейчас у нас 2 класса с вычислительной техникой, а нужно — 4—5. Входение в состав МГУ позволяет полнее использовать огромный потенциал Университета. Создается полигон для отработки учебных курсов, написания книг, издания литературы — целого спектра учебных пособий, задачников. Ведь сейчас, что греха тайть, многие методические нахождения просто пропадают.

А. А. Егоров. Добавлено к этому, что первые годы существования интерната — это время, когда под руководством А. Н. Колмогорова проискодила модернизация школьных программ по математике. И именно в интернате отработывались идеи Андрея Николаевича. Он очень хотел написать учебник для интерната. К сожалению, больше помещала ему это сделать.

Г. Ш. Фридман. Я участник первой школы в Новосибирске. Она прошла летом 1962 года. Волее 600 школьников со всех концов страны собрались в Академгородке. Идея такой школи родилась еще в 30-е годы, но не случайно ее удалось реализовать лишь в начале 60-х (время оттепели) — и в Сибири (далеко от Москвы). Школа продолжалась 45 дней! Преподаватели — молодые сотрудники СО АН СССР, аспираты,

*) В октября 1988 года вышло постановление Совета Минстров СССР об организации специальizations учебно-начальных центров Московского и Новосибирского государственных университетов, в состав которых вошли соответствующие специальizations школьного интернатины.

студенты НГУ — заменательное собрание лодей. Лекции читали организаторы школи академики М. А. Лаврентьев, Г. И. Будker, член-корреспондент АН СССР А. А. Ляпунов. Разъехались ребята, кончились школа… Подумали: а не вернуть ли их назад. М. А. Лаврентьев идею эту принял, одобрил. Нашли значение, способы финансоврования. И таким вот образом в января 1963 года мы начали учиться в ФМШ при НГУ.

Первый научный руководитель школи — А. А. Ляпунов. У нас превозходно преподавались не только математика и физика, но и биология (единстенная школа страны, где изучалась генетика!). Издавался руководственный журнал, работал позтический клуб. А. А. Ляпунов кроме математических курсов читал придуманный им самим интерсейший курс «Землеведение». У себя на дому он проводил занятия кружка по теории множества, а после занятия, уже за чаем, шли разговоры об всем: о науке, музыке, живописи, литературе.

В. Н. Дубровский. Яучился в интернате в 1965—67 года, а с 1969 года, еще будучи студентом, начал преподавать. Дух первых лет школи вспоминало с огромным удовлетворением. Наш любимый лектор и преподаватель А. В. Сосинский преподавал нам не только математику, но и английский язык. Часту уроков математики шла на английском языке. Вспоминало вечера «Зеленая лампа»: на них Ю. А. Ким и Е. В. Гайдуков читали стихи символистов, «Мастера и Маргариту», Гумилева, Бальмонта. А какие были уроки литературы Н. И. Герасимова — под его влиянием мы заpoем читали, несмотря на очень интенсивные занятия математикой. По-настоящему увлекательны были уроки истории Р. А. Ostroй. Ее огромные знания,垦андартные подходы, приобщение к исторической литературе (например, «Наполеон» Е. В. Тарле) очень много нам дали: мы знали историю значительной лучше выпускников обучных школ.

17

«Пюоший камень»
и собственные части резонатора

В окрестностях Баку, там, где начинается каменная пустыня Кобыстана — «Страны оврагов», есть удивительный камень. Он так прославился, что даже имеет собственное имя — Нагарадаш, т. е. «Каменный бубен» (нагара — азербайджанский ударный музыкальный инструмент, даш — камень). Эта каменная глыба обладает замечательными аккутическими свойствами. Если ударять по ней камнем (и все, кто оказываются рядом, продолжают это с большим удовольством), то разделяется такой громкий и чистый звук, что кажется, будто ударили по хорошо звучащему колоколу…

Попробуем описать аккутические свойства «пюошнего камня» на языке физики. Понятно, что преждевременно в этом случае резьдолжна идти о частоте, на которой звучит камень. Посмотрим, как связана часть звуковых колебаний $f$ с размерами «бубна» $l$.

При ударе проискодит кратковременная деформация камня, и от точки удара во все стороны распространяется звуковые волны. Они бегут с определенной скоростью $v$, которая не зависит от размеров камня. Но волна распространяется безпрерывственно только в однородной безграничной среде, а ведь все предметы имеют границы, где одно вещество соприкается с другим (в нашем случае — камень с воздейством). Дойдя до границ, волна частично проникает в другую среду (звук из камня проникает в воздейству, достигая в дальнейшем нашихушей), а частично отражается назад. Чем больше отличия скорости звука в двух средах, тем эффективнее проискодит его отражение. В граните $v \approx 4 \cdot 10^3$ м/c, а в воздействие $v \approx 3,3 \cdot 10^2$ м/c, поэтому только не больше часть звуковой энергии выходит в воздейству, а основная ее должна «запретой» внутри камня. (Звук мог бы выйти и в каменистую почву, но «пюоший камень», лежащий на других камнях, имеет слабую «акустическую связь» с почвой — он соприкается с ней только в нескольких точках.)

Такие предметы, внутри которых быстроиспользуется колебательная энергия, называются резонаторами (от латинского слова resonо — звучу в ответ, откликаюсь). Если колебания в резонаторе затухают слабо, говорят, что резонатор имеет высокую добротность.

Однако вернемся к тому, что происходит внутри «пюошнего камня» после удара. Звуковые волны, многоократно отражаются от стенок и интерферияру друг с другом, либо успливаются, либо взаимно ослабляются. Усиление колебаний проискодит в том случае, когда волна, испытов одно или несколько отражений, возвращается в данную точку в той же фазе, с которой начался ее путь. Учитывая, что время прохождения волны вдоль звучшего предмета туда и обратно равно приблизительно $2l/v$, получим условие усиления колебаний: $2l/v \approx nT=n/f$ ($n=1, 2, 3, ...$ — целое число). Отсюда следует формула для частот, которые называются собственными частотами резонатора:

$$f_n \approx \frac{v}{2l} n.$$

При $n=1$ получается наимизация, или, как говоря, основная часть $f_1 \approx v/2l$.

Может возникнуть вопрос: почему в формуле (1) равенство приближенной, а не точное? Это легко понять, если вспомнить, что буквой $l$ мы обозначили «размеры» резонатора.

18

Что это означает для «пюшшего камня», не очень понятно — то ли длина, то ли высота. Для того чтобы написать точную формулу собственной части резонанта, надо знать его формулу.

Рассмотрим, например, простейший «одномерный» резонантор — тонкий натягуточно струну. Здесь вопрос о том, что такое $l$, не возникает — это длина струны между ее закрепленными концами. Поэтому приближение равенство (1) в случае струны становится точным.*)

В дальнейшем нам понадобится также формула для собственных частот «двухмерного» резонантора — тонкой сферической оболочки радиуса $R$:

$$f_n = \frac{v}{2\pi R} \sqrt{n(n+1)}.$$

Эта формула похожа на предыдущую: полный путь волны в струне от одного конца до другого и обратно, равный $2l$, заменяется в случае сферы длиной экрана $2\pi R$. С трехмерным (объемным) резонантом дело обстоятель несколько сложнее, и мы приведем здесь только выражение для основной части собственных звуковых колебаний шара радиуса $R$:

$$f_1 \approx 0.33 \frac{v}{R}.$$

Видно, что и в этом случае $f_1$ мало отличается от приближения этого приближения (1), если считать в последнем $l=R$ и $n=1$.

Резонатор может звучать на разных частотах

В выписанных выше формулах фигуррует целое число $n$. Пока неизвестно, чем оно равно, нельзя сказать на какой частоте (или на каких частотах) будут произдать колебания. Это зависит от того источника, который поставляет энергию в резонантор. При кратковременном возбжении (удар) звуковая энергия сама распределяется по собственным частотам,

*) Значение $f_n$ зависит, конечно, и от диаметра струны, от свойств материалов, от силы натяжения. Но все эти зависимости включаны в $v$, так что мы рассматриваем струны, отличующей друг от друга длиной.

или гармоникам, которые будут звучать одновременно (в формуле (1) возникает целый набор $n$). Какие именно гармоники будут возникать с сильнее, а какие слабеет, зависит от места удара. Поэтому, ударя по «пюшему камню» в разных местах, можно извлечь из него определенную мелодию, т. е. Нагарадаш «работает» как настоящий музыкальный инструмент!

Совсем иначе обстоит дело, если возбждается резонантор не кратковременным ударом, а непрерывно действующим гармоничским вибратором (источником синусодальных волн). В этом случае колебания проискодят на частоте возбжидателя $f$, которая может отличаться от всех $f_n$. Однако, когда $f$ совпадает с одной из собственных частот, амплитуда колебаний резко возрастает. В этом заключится суть явления резонанса.

На каких частотах «звенит» Земля?

От «пюшшего камня» размерами в несколько метров легко перевести мышление к огромной скале и еще дальнейше — ко всей Земле в целом. Интересно разробаться, на каких частотах может «звучать» такой глобальный, т. е. охватывающий всю планету, резонантор и какие источники способны его возбжать.

Земной шар, имеющий сложное внутреннее строение, окружен еще и атмосферой, верхние слоны которого (ноносфера) обладают высокой электрической проводимость. Учитывая все это, можно ожидать возникновения глобальных резонансов трех типов. Два из них связаны с механическими колебаниями внутри Земли и в ее атмосфере, а третьий — с электромагнитными волнами в промежуточке между земной поверхностью и иonosфераю. Соответствие существуют три серии собственных частот глобального резонанта, которые можно оценить с помощью приведенных выше формул.

Начнем с механических колебаний внутри Земли. Согласно сейчасмческим данным, скорость звука (сейсмических волн) в земных недрах воз-

19

Каждое землетрясение характеризуется своим «почерком» на сейсмограммах, но на определенных частотах, одинаковых для всех землетрясений, наблюдаются резонансные пики. свидетельствует о возбуждении собственных колебаний Земли.

растает с глубиной от 4—8 km/c у поверхности Земли до 7—13 km/c на нижней границе мантии.*) В адрес скорость звука снова уменьшается. Для оценки основной (наинизшей) собственной частоты сейсмических колебаний Земли воспользуемся формулой (3), положив в ней $v \approx 6$ km/c и $R = 6400$ km. Таким образом находим $f_1 \approx \frac{0,33 \cdot 6}{6,4 \cdot 10^3} \approx 3 \cdot 10^{-4}$ Гц, а соответствующей период — $T_1 \approx 55$ мин.

Услышать «голос Земли», конечно, нельзя из-за очень низкой частоты, но на лентах сейсмографов он должен себя проявить, если только найдется достаточно мощный источник возбуждения. Таким образом является землетрясения и взрывы. Каждый землетрясение характеризуется своим «почерком» на сейсмограммах, но в начале 60-х годов нашего века было обнаружено, что на некоторых частах (одинаковых для всех землетрясений!) наблюдаются резонансные пики, свидетельствует о возбуждении собственных колебаний Земли. Соответствующие периоды оказались равными 54; 35,5; 25,8; … мин, что не противоречит оценкам основной частоты $f_1$ по формуле (3) (хотя последняя, учитывая сложное строение Земли).

Оценку скорости распространения ВГВ по порядку величины можно получить из сообщений размерности.

*) Внутри Земли могут распространяться звуковые (сейсмические) волны двух типов (продольные и поперечные) с разными скоростями.

Ли, является весма приближенной). Собственные колебания Земли затухают сравнительно медленно. Достаточно сказать, что длительное запися на сейсмограммах после землетрясений может достигать несколько минут и десять минут, хотя само событие — землетрясение, взрыв — продолжается несколько секунд или даже доли секунды. Обнаружение собственных колебаний Земли относится к крупнейшим достижням современной геофизики. С помощью глобальных резонансов, сравнимая расчетеные и экспериментальные данные, проверяют правильность тех или иных модели внутреннего строения нашей планеты.

Атмосфера Земли — это тоже резонантор

Положина всея массы atmosферного воздуха заключена в признаном слое толщиной ~6 km, а если подняться на высоту 30 km, то визу остается уже ~99 % всея atmosферы. Поэтому условно можно говорить о «границе» atmosферы. Представим себе, что в каком-нибудь месте «граница» под действием некоторых сил немного приподнялась, после чего сила перестала действовать. Силаяжестии вернет возникший «горб» обратно, но возникших, движясь по инерции, опустится еще ниже, и на месте «горба» появится «впадина». Колебания толщиной atmosферы распространяется во все стороны от места возмущения в виде волн, подобных тем, которые наблюдаются на поверхности океана. Но поскольку резкой границей atmosферы не существует, волнообразные колебания охватывают всю ее толщину, их называют внутренними гранитными волнами (ВГВ)*.

Оценку скорости распространения ВГВ по порядку величины можно получить из сообщений размерности.

*) Слово «гравитационные» указывает в данном случае на то, что эти волны могут распространяться только в поле тяжестии (в отличие от звуковых волн). В физике тот же термин используется и совсем в другом смысле: так называют волны гранитции, которые пересят со скоростью света изменения поля тяготения в вакууме.

20

В искому формулу должны войтиускорение силы тяжести $g$ ($\text{m/c}^2$) и характеристим масштаб $H$ ($\text{m}$) изменения плотности воздуха с высотой. Из этих двух величины единственным образом образуется тревая, имеющая размерность скорости $v$ ($\text{m/c}$): $v \sim \sqrt{gH}$. Поскольку $g \approx 10 \text{ m/c}^2$, а $H \approx 10 \text{ km}=10^4 \text{ m}$, получаем $v \sim 300 \text{ m/c}$. ВГВ очень слабо затухают и в отличие от звуковых волн способны многоократно огибать земной шар. Кругосветные волны в атмосфере (они регистрации с помощью барометров) впервые были обнаружены в 1883 году после мощнейшего взрыва вулкана на острове Краkatay в Индонезии. Падение Тунгуского meteorита в 1908 году также сопровождалось аналогичными явлениями.

Толщина атмосферы очень мал по сравнению с радиусом Земли, поэтому для оценки собственных частот глобального атмосферного резонанта можно воспользоваться формулой (2). С указанным выше значением $v$ находится частоту $f_1 \sim 10^{-5}$ Гц и соответствующей период $T_1 \sim 30$ ч. Конечно, это всего лишь оценка по порядку величины, но из нее следует, что для возникления резонанса необходимо источник, способный колбать всю толщу atmosферы с периодом порядка десятика часов. Таким способами обладают приливные силы, действующие на atmosферу состояны Луньи и Солнца.*) О приливах в морях и океанах знает каждый, но это является наблюдается не только на водяных просторах. Существуют приливы и отливы и в твердой корезного шара, хотя высота приливных волн здесь очень мал (на широте Москвы она равна ~40 см), и в воздухной оболочке, где, наоборот, амплитуда веса значитela.

Рассмотрим сначала солнечные приливы. Действие силы прияжения Солнца на атмосферу (так же как и в воду, и на твердую кору) приводит к тому, что вдоль линии, соединяющей

*) О приливов и отливов можно прочитать в статье Л. Г. Асламазова «Лунный гормоз» в 8-м номере «Квата» за 1987 год.

центры Земли и Солнца, возникают два приливных горба, а в поперечном направлении — две впадины (отливы). Допустим, что в исходный момент времени мы находимся в месте максимального прилива — в точке 1 (см. рисунок). Через 6 часов вследствие суточного вращения Земли точка 1 переместится в 2, и в ней будет наблюдаться наиболее сильный отлив, поскольку приливные горбы остаются неизменно на линии Солнце — Земля. Еще через 6 часов точка 2 передет в 3, где прилив снова максимален. Таким образом, приливные деформации атмосферы, связанные с Солнцем, имеют период $T_\odot=12$ ч. Аналогичным образом действует на atmosферу и Луна, но за счет ее собственного вращения вокруг Земли возникнет несколько иной период приливных деформаций — $T_2 \approx 12,4$ ч. Поскольку Луна гораздо ближе к Земле, чем Солнце, связанные с него приливные силы должны быть согласно расчетам в 2,5 раза с сильнее солнечных.

Для океанских приливов этот вывод хорошо подтверждается на практике. Однако наблюдаемые приливов в атмосфере (они проявляются, в частности, в виде регулярных периодических колбаний atmosферного давления в тропиках с амплитудой ~2 мм рт. ст.) показывают, что амплитуда «солнечных» приливов (с 12-часовым периодом) примерно в 16 раз больше, чем «лунных». Следовательно, наблюдаемые соотношение амплитуд двух приливных возмущений atmosферы (солнечного и лунного) отличается от расчетного в 40 раз! Столь большое расхождение показывает, что в теоретических рассуждениях упущено что-то существенно.

Гипотеза, обьясяющая преобладание солнечных atmosферных приливов, была высказана впервые в конце прошло века англійским физиком У. Томсоном (воспедствии он получил титул лорда Кельвина). Суть ее заключается в следующем. Если период собственных колбаний atmosферы равен в точности 12-ти часам, то действие солнечной приливной силы (с 12-часовым периодом) приводит

21

к резонансу — резкому увеличению амплитуды колебаний атмосферы. Наши очень приближительные оценки $T_1$ не годятся для проверки резонансной гипотезы, поэтому следует обратиться к экспериментальным данным. Перiod собственных колебаний атмосферы был определен на основе наблюдений за теми кругосветными волнами давления, которые возникли после взрыва вулкана Кракатуу и падания Тунгусского meteorита, о чем мы уже упоминали. Найdenный таким образом период $T_1$ оказался равным 10,5 ч. Это значение не противоречит нашей грубой оценке $T_1$ по порядку величины, но совершено не согласуется с предположением о резонансе. Казалось бы, резонансную гипотезу следует отбросить. Но в конце 30-х годов нашего века она снова возродилась, в более сложном варианте.

Главной особенность новой теории является предположение о двух перiodах собственных колебаний атмосферы: $T_{1\text{н}}=10,5$ ч — для нижних слоев и $T_{1\text{в}}=12$ ч — для верхних (выше ~50 км). Если это действительно так, то можно представить себе, что взрывы на поверхности Земли возникдают короткоперидные колебания атмосферы, а приливы, охватывающие всю толщу атмосферы, — долговеридные. Однако чем изолированы друг от друга нижние и верхние слоны? Роль баррера между ними может играть слой воздуха с повышенной температурой, который слабо пропускает ВГВ сизу вверх, а те волны, которые возникли наверху, не пропускает вниз.

Расчеты показывают, что 12-часовой период колебаний в верхней атмосфере может возникнуть, если температура воздуха на высоте 50—60 км достигает 320—340 К. После этого максимума температура спадает, а начиная с высоты 80—100 км снова растет. Приемые изменения, которые стали возникними с появлением meteorologicalческих пакетов, подтвердили наличие предсказанного максимума! Однако возрастание температуры оказалось не столь значительным ($T_{\text{макс}} \approx 270—280$ К), как это следует из резонансной теории.

Таким образом, теория наблюдается перiodически получочных изменений параметров atmosферы пока полностью не завершена.

Глобальные электромагнитные резонансы

Под действием солнечного излучения в верхних слоях atmosферы происходит ионизация atomов и молекул, появляются свободные заряды, и электропроводность воздуха, начиная с высоты 50—60 км, сильно возрастает. Здесь начинается ионосфера, которая на больших расстояниях от Земли «смЫкается» с межпланетным пространством. Нижние слоны atmosферы толщиной в несколько десятиков kilометров обладают очень малой электромагнитные волны (радиволны). Каковы собственные частоты этого сферического резонанса? Ответ словается с помощью формулы (2), но с заменой в ней скорости звука $v$ на скорость света $c=3 \cdot 10^8$ м/с. В результате получается следующий набор собственных частот глобального электромагнитного резонанса:

$$f_n = \frac{3 \cdot 10^8 \cdot \sqrt{n(n+1)}}{2 \cdot 3,14 \cdot 6,4 \cdot 10^6} \approx 10,6; 18,3; 25,9; \dots$$

Основным источником возвратия резонанса служат молнии. На всем

22

На спектре электромагнитного шума отсутствuo видны максиммы, соответствующие собственным частотам глобального электромагнитного резонанта Земля — ионосфера.

земном шаре в каждой данный момент времени бушют тысячи гроз, каждую секунду вспыхивает в среднем около 100 молний. После каждого разряда резонантор Земля — ионосфера «звенит» подобно колоколу на собственных частотах. Но не успет этот «звон» затихнуть, как проискодит следуюший разряд, и колебания возникают заново. Поскольку вспышки молний проискодят случайно, их непрерывная последовательность возбуждает в резонанте электромагнитный шум, который легко обнаружить с помощью несложного приемного устройства, состоящего из антенны, усилителя (без детектора) и регистрации прибора. В качестве последнего использется анализатор спектра, позволяющий определить амплитуды электромагнитных колебаний на разных частотах (от единиц до десятов Гц). На полученных таким образом спектрах электромагнитного шума (см. рисунок) отсутствuo видны максиммы на собственных частотах, близких к расчитанным выше. Наблюдая можно проводить в любом месте земного шара (резонансы являются глобальными), желательно

22