Задачи М1146—М1150; Ф1153—Ф1157

34

Задания

M1146—M1150, Ф1153—Ф1157

M1146. Точка $K$ — середина стороны $AB$ равностороннего треугольника $ABC$. На сторонах $AC$ и $BC$ взяты точки $M$ и $N$ так, что $\angle MKN=60^\circ$. Доказите, что перimetр треугольника $MCN$ равен половине перimetра треугольника $ABC$.

Э. Г. Готман

M1147. Задано несколько точек, соединенных отрезками двух цепев: некоторые пары точек — головными отрезками, некоторые другие — красьми. Известно, что в любом замкнутом пути, состоящем из нескольких отрезков, число красьх отрезков четно. Доказите, что все точки можно разить на два множества так, что каждой краской отрезок соединяет точки из разных множества, а каждый голубой — точки из одного и того же множества.

M1148. Доказите, что для нецелого $a>1$ (причем $a\neq \sqrt[p]{q}$, где $p$ и $q$ — натуральные числа) и натурального $n$ выполняется равенство

$$[\log_a 2]+[\log_a 3]+...+[\log_a n]+[a]+[a^2]+...+[a^k]=nk,$$

где $k=[\log_a n]$ ([x] — целая часть числа $x$).

Р. В. Алексеев, Л. Д. Курляндчик

M1149. На плоскости заданы два луца $p, q$ с вершинами в точках $P$ и $Q$ соответственно. Две окружности — одна с центром на луце $p$, проходящая через точку $P$, и другая с центром на луце $q$, проходящая через $Q$, — касаются друг друга в точке $M$ внешним образом. Найditе множество точки $M$.

В. В. Шабунин

M1150. Доказите, что при любых положительных $a_1, a_2, a_3, ..., a_n$ выполено неравенство

$$\frac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{2(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)} \leq \frac{a_1}{a_2+a_3} + \frac{a_2}{a_3+a_4} +...+\frac{a_n}{a_1+a_2}.$$

Е. Г. Моисеев, ученик 10 класса

Ф1153. Жидкий расчет бетана налили в кузов самосвала доверху. Оценить, какая доля растора остanetся в кузове после резкого торможения. Предполагается, что вы хорошо представляется явление, может сами задать необходимые для решения величины, выбрать достаточно разумные их числовые значения и получить числовой результат.

Г. В. Меледин

Ф1154. На гладком горизонтальном столе лежат два одинаковых кубика массой $m$ каждай. Один из кубков приклеен к столу (рис. 1). Кубик отрывается от стола, если к нему приложить горизонтальную силу $F$. Между кубками имеется несовомая свободнаяружина жесткостью $k$. Незакрепленному кубку сообщили скорость $v$. С какими скоростями разлетятся кубики после столковения?

Г. В. Федогович