Устоит ли наш кораблик?

42

КВАНТ 2008/№4

стью до подобия) непрямоугольный треугольник, который можно разрезать на пять подобных ему.

Рис. 9

Итак, задача, поставленная в начале статьи, полностью решена. Просуммируем. На n треугольников, подобных исходному, можно разрезать: g при n = 2, 3 – любой прямоугольный треугольник и никакой другой; g при n = 4 и n ³ 6 – любой треугольник; g при n = 5 – любой прямоугольный треугольник, а также треугольник с углами $120^\circ, 30^\circ, 30^\circ$. Упражнение 1. Для прямоугольных треугольников результат следует из задачи 3. Для равнобедренных и равносторонних он очевиден: проведем высоту. Обратно, пусть треугольник разрезан на два подобных. Они прямоугольны (аналогично решению задачи 3). Два неразрезанных угла либо равны между собой (т.е. треугольник равнобедренный или равносторонний), либо равны двум разным острым углам прямоугольного треугольника. Тогда их сумма равна $90^\circ$, и исходный треугольник – прямоугольный. Упражнение 2. а) Разделим каждую сторону треугольника на n равных частей. Через точки деления проведем прямые, параллельные сторонам треугольника. б) Аналогично упражнению 1 получаем, что малые (полученные при разрезании) треугольники прямоугольные и имеют общий катет. Так как треугольники равны, то вторые катеты тоже равны. Это означает, что в исходном треугольнике одна из высот является медианой, т.е. прилежащие стороны равны. в) Из решения п. б) с учетом задачи 3 видно, что треугольник – равнобедренный и прямоугольный. Такой треугольник, очевидно, допускает требуемое разрезание.

Упражнение 3. Ответ тот же, что в упражнении 1: все прямоугольные, равнобедренные и равносторонние треугольники и только они. Для таких треугольников разрезание на три подобных понятно из предыдущего. Обратно, пусть треугольник разрезан на три подобных. Если разрезаны все три его угла, то получаем конфигурацию с рисунка 8; рассуждая как в п.б) решения задачи 9, получаем, что треугольник равносторонний. Если один из углов не разрезан, то, рассуждая как при решении задач 4 и 3, получаем, что малые треугольники прямоугольные и еще один угол исходного треугольника не разрезан. Тогда либо один из неразрезанных углов прямой, либо два таких угла равны между собой (и треугольник равнобедренный или равносторонний), либо они равны двум разным острым углам малого треугольника. В последнем случае их сумма составляет $90^\circ$, и исходный треугольник прямоугольный. Осталось неисследованным единственное значение: n = 5. Не всякий треугольник разрезается на 5 попарно подобных $треугольников.^{3}$ Из упражнения 1 и задачи 3 видно, что годятся все прямоугольные, равнобедренные и равносторонние треугольники: разрезаем их на два подобных прямоугольных, а затем режем один из них на четыре подобных ему. Заметим, что и треугольник с рисунка 9 – равнобедренный. Тем не менее, в статье C.A.Jones, P.Jones and A.B.Bolt, упомянутой выше, приведены шесть неравнобедренных и непрямоугольных треугольников, допускающих разрезание на 5 попарно подобных. Неизвестно, можно ли расширить этот список. Возможно, кто-то из заинтересовавшихся читателей сумеет это доказать (или опровергнуть). Автор признателен С.В.Маркелову за сведения об указанной статье и о некоторых других публикациях, упомянутых выше.

3 В «Кванте» №7 за 1990 год опубликована задача А.Сойфера (М1234) на эту тему (а два ее решения опубликованы А.Сойфером и Н.Васильевым в №12 за тот же год).

ЛАБОРАТОРИЯ «КВАНТА»

Устоит ли наш кораблик?

С.БОГДАНОВ, О.ПОПОВ, Д.ТАРАСОВ

МНОГИЕ ИЗ НАС МАЛЬЧИШКАМИ МАСТЕРИЛИ КО- раблики – из досок, брусков, коробок, а иногда и из скорлупы ореха или старой калоши. Они получались разными: то легкими и верткими, как индейские каноэ, то тяжелыми и неповоротливыми, как старинные броненосцы. Некоторые были вовсе неказистыми, плавали лишь на боку, с креном, или даже переворачивались. Были и разные книги с рисунками сказочных по красоте судов с замысловатым такелажем, гордыми форштевнями и полным парусным вооружением. Был, наконец, и курс механики в университете – с отточенной простотой формул и емкими формулировками, строго очерчивающими реалии и границы возможного: «судно остойчиво, если метацентр расположен выше центра тяжести». Все доказательно, четко и понятно, и ясны алгоритмы расчета и принципы совершенствования корпусов судов, их обводных линий, киля и шпангоутов. И все же, притягивает то далекое, когда все было впереди и, хотя неопределенно и туманно, все было возможно. Когда чувство гордости мастера и профессионала еще не заменяло безотчетной радости от неожиданных открытий в простых делах, с обычными вещами… А простые вещи по-прежнему дают повод и для удивления, и для маленьких открытий. А иногда позволяют по-новому посмотреть и на сложное. Наш кораблик. Рассмотрим, например, длинный брусок прямоугольного сечения – чем не модель судна, ведь это основа корпуса, а остальное можно довообразить и потом достроить. Как водится, будем даже для простоты считать брусок бесконечно длинным (или, как сказал бы корабел, откажемся от рассмотрения дифферента и возможных продольных ко- Рис. 1

49

ОЛИМПИАДЫ

3. На сторонах АВ и ВС треугольника ABC выбраны точки K и М соответственно так, что KM || AC. Отрезки AM и KС пересекаются в точке О. Известно, что АK = АО и KМ = МС. Докажите, что АМ = KВ. М.Мурашкин

4. Турнир, в котором участвовали 20 спортсменов, судили 10 арбитров. Каждый сыграл с каждым один раз, и каждую встречу судил ровно один арбитр. После окончания каждой игры оба участника фотографировались с арбитром. Через год после турнира была найдена стопка из всех этих фотографий (по фотографии неясно, кто на ней игроки, а кто – арбитр). Оказалось, что не про каждого можно определить, кем он является – спортсменом или арбитром. Сколько могло быть таких людей? Б.Френкин

5. Поставьте на плоскости 9 точек так, чтобы никакие 4 не лежали на одной прямой, но из любых шести нашлись 3, лежащие на одной прямой. (На рисунке проведите все прямые, на которых лежат по три отмеченные точки.) А.Акопян

6. У игрока есть М золотых и N серебряных монет. В начале каждого раунда игрок ставит какие-то монеты на красное, какие-то на черное (можно вообще ничего не ставить на один из цветов, часть монет можно никуда не ставить). В конце каждого раунда крупье объявляет, что один из цветов выиграл. Ставку на выигравший цвет крупье отдает игроку, удваивая в ней количество монет каждого вида, а ставку на проигравший цвет забирает себе. Игрок хочет, чтобы монет одного вида у него стало ровно в три раза больше, чем другого (в частности, его устроит остаться совсем без денег). При каких М и N крупье не сможет ему помешать? А.Чеботарев

9 класс

1. Две команды КВН участвуют в игре из четырех конкурсов. За каждый конкурс каждый из шести судей выставляет оценку – целое число от 1 до 5; компьютер находит среднее арифметическое оценок за конкурс и округляет его с точностью до десятых. Победитель определяется по сумме четырех полученных компьютером значений. Может ли оказаться, что сумма всех оценок, выставленных судьями, у проигравшей команды больше, чем у выигравшей? А.Горбачев

2. Велосипедист путешествует по кольцевой дороге, двигаясь в одном направлении. Каждый день он проезжает 71 км и останавливается ночевать на обочине. На дороге есть аномальная зона длиной 71 км. Если велосипедист останавливается в ней на ночлег на расстоянии у км от одной границы зоны, просыпается он в противоположном месте зоны, на расстоянии у км от другой ее границы. Докажите, что в каком бы месте велосипедист ни начал свое путешествие, рано или поздно он в этом месте заснет или проснется. Г.Колюцкий

3. Пусть AL – биссектриса треугольника ABC, О – центр описанной около этого треугольника окружности, D – такая точка на стороне АС, что AD = АВ. Докажите, что прямые АО и LD перпендикулярны. Р.Женодаров

4. Назовем усложнением числа приписывание к нему одной цифры в начало, в конец или между любыми двумя его цифрами. Существует ли натуральное число, из которого

невозможно получить полный квадрат с помощью ста усложнений? А.Горбачев

5. У Васи есть 100 банковских карточек. Вася знает, что на одной из карточек лежит 1 рубль, на другой 2 рубля, и так далее, на последней 100 рублей, но не знает, на какой из карточек сколько денег. Вася может вставить карточку в банкомат и запросить некоторую сумму. Банкомат выдает требуемую сумму, если она на карточке есть, не выдает ничего, если таких денег на карточке нет, а карточку съедает в любом случае. При этом банкомат не показывает, сколько денег было на карточке. Какую наибольшую сумму Вася может гарантированно получить? И.Митрофанов

6. Покажите, что существует выпуклая фигура, ограниченная дугами окружностей, которую можно разрезать на несколько частей и из них сложить две выпуклые фигуры, ограниченные дугами окружностей. И.Иванов-Погодаев, А.Малистов

10 класс

1. Аудитория имеет форму правильного шестиугольника со стороной 3 м. В каждом углу установлен храпометр, определяющий число спящих студентов на расстоянии, не превышающем 3 м. Сколько всего спящих студентов в аудитории, если сумма показаний храпометров равна 7? А.Каибханов

2. Андрей и Борис играют в следующую игру. Изначально на числовой прямой в точке р стоит робот. Сначала Андрей говорит расстояние, на которое должен сместиться робот. Потом Борис выбирает направление, в котором робот смещается на это расстояние, и т.д. При каких р Андрей может добиться того, что за конечное число ходов робот попадет в одну из точек 0 или 1 вне зависимости от действий Бориса? Д.Баранов

3. Все целые числа от –33 до 100 включительно расставили в некотором порядке и рассмотрели суммы каждых двух соседних чисел. Оказалось, что среди них нет нулей. Тогда для каждой такой суммы нашли число, ей обратное. Полученные числа сложили. Могло ли в результате получиться целое число? И.Богданов

4. Докажите, что если некоторый многочлен с целыми коэффициентами принимает в k целых точках значения среди чисел от 1 до k – 1, то при k ³ 6 эти значения равны. М.Малкин

5. Высоты AA¢ и CC¢ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке Н. Точка $B_{0}$ – середина стороны АС. Докажите, что точка пересечения прямых, симметричных $BB_{0}$ и $HB_{0}$ относительно биссектрис углов ABC и АНС соответственно, лежит на прямой A ¢ C ¢. А.Заславский

6. Натуральные числа покрашены в N цветов. Чисел каждого цвета бесконечно много. Известно, что цвет полусуммы двух различных чисел одной четности зависит только от цветов слагаемых (например, полусумма синего и красного всегда желтая). а) Докажите, что полусумма чисел одной четности одного цвета всегда окрашена в тот же цвет. б) При каких N такая раскраска возможна? А.Шаповалов