От точки росы до точки кипения

41

ШКОЛА

В

«КВАНТЕ»

Работа при этом выполняется такая же, что и в первом случае (при перемещении сосуда). Отличие условий первой части задачи от второй сводится, таким образом, всего лишь к порядку действий. Нарушения закона сохранения энергии не обнаруживается. Задача 4. Сосуд наполовину заполнен водой, в которой плавает кусок льда. Поверх льда наливают керосин, верхний уровень которого устанавливается на высоте h от дна сосуда. Как изменится эта высота, когда лед растает? Эта задача была опубликована в «Задачнике «Кванта» (Ф113) в 1971 году. В журнале приведено строгое математическое решение этой (не очень сложной) задачи. Можно, однако, обойтись и без расчетов. В случае, когда лед оказывается под поверхностью керосина, ответ очевиден: вода, полученная после плавления льда, занимает меньший объем, значит, верхний уровень керосина понизится. Интерес представляет анализ ситуации, когда лед выступает над поверхностью керосина. Идея эквивалентных деформаций порождает соблазн деформировать лед так, чтобы его вершина оказалась под поверхностью керосина. Таким образом, казалось бы, можно свести рассматриваемую задачу к предыдущей. Однако этот «фокус» не проходит: погружение выступающей части льда в керосин сопровождается повышением уровня жидкости, а после плавления уровень понижается – следовательно, конечный результат не будет очевидным. Итак, деформация оказывается неэквивалентной. Но если эквивалентная деформация льда не проходит, не стоит ли двинуться в противоположном направлении: оставить лед в покое, а «деформировать» жидкости? Попробуем.

Для этого слой керосина толщиной $H_{1}$ заменим таким слоем воды, который сохраняет положение льда неизменным (рис.4). Поскольку плотность воды больше плотности керосина, высота этого слоя $H_{2} < H_{1}$. При плавлении льда уровень воды (как было замечено выше) не меняется. Если теперь осу- Рис. 4 ществить обратную замену и вернуть на место керосин (для этого следует оставить след поверхности льда, как показано на рисунке 5), то выяснится, что слой керосина над поверхностью, которую ранее образовывала вода, растекается по большей площади и уровень керосина понижается (по сравнению с исходным). Итак, уровень керосина Рис. 5 понижается независимо от того, покрывает керосин ледяную глыбу полностью или частично. Несмотря на то, что эквивалентную деформацию льда осуществить не удалось, сама идея метода оказалась плодотворной.

От точки росы до точки кипения рый, наверное, без труда ответит любой читатель, таит в себе если и не загадки, то уж подвохи точно. Вот ему мы и посвятим нашу статью. Итак, с чего же все-таки начинается история росинки? С конденсации, конечно, это всем известно. Поэтому уточним вопрос: а когда и при каких условиях начинается конденсация? Давайте обсудим все по порядку. У воды, как у всякого вещества, есть три агрегатных состояния – твердое, жидкое и газообразное. Логично ожидать, что между тремя состояниями имеются две температурные границы: температура плавления и температура кипения. А теперь задумаемся: при какой температуре газообразная вода превращается в жидкую? Если горячий водяной пар, взятый при температуре выше $100 ^\circ$ С, начать охлаждать, то первые росинки (жидкость) появятся в нем…, ну конечно, в точке росы – недаром же эта температура так называется! Постойте, а что же тогда такое точка кипения? Почему же не в ней – в этой пограничной точке между жидким состоянием и газообразным – происходит превращение газа в жидкость? В каком же тогда смысле она является границей? Прежде чем ответить на эти вопросы, подумаем: а при какой температуре вода как жидкость превращается в пар? Да при любой! И из чашки с горячим чаем поднимается пар, и из блюдца с холодной водой, которое вы оставили для котенка, вода рано или поздно испарится. Даже мокрая простыня на морозном зимнем ветру успевает высохнуть быстрее, чем замерзнуть и «превратиться в камень». В чем же тогда особенность температуры кипения? Ответ хорошо известен: при температуре кипения происходит не просто испарение, а именно кипение, т.е. интенсивное испарение по всему объему жидкости.

В.ПТУШЕНКО, А.ПЯТАКОВ

Есть разница меж них. И есть единство. И.Бродский

РАЗНООБРАЗНЫМ НЕОБЫЧНЫМ (ДА И САМЫМ ОБЫЧ- ным тоже) свойствам воды и водяного пара в «Кванте» было посвящено много статей – от сугубо практических, например о заваривании чая, о русской бане или сохранении урожая в поле в холодные осенние ночи, до почти романтической «истории одной $росинки».^{1}$ А с чего начинается история росинки? Этот нехитрый вопрос, на кото-

1 См. статьи И.Мазина «Приглашение в парную» («Квант» №8 за 1985 г.), А.Варламова и А.Шапиро «Пока чайник не закипел …» («Квант» №8 за 1987 г.), А.Абрикосова (мл.) «История росинки» («Квант» №7 за 1988 г.), А.Стасенко «Костры в поле и русская баня» («Квант» №1 за 2002 г.).

42

КВАНТ 2009/№1

Это короткое формальное определение, подобно сказочному ларцу, внутри содержит гораздо больше, чем можно предположить, глядя снаружи. Внутри этого «ларца» прячется одно из основных представлений физики – понятие равновесия. Чтобы жидкость могла долгое время просуществовать, она должна находиться в равновесии со своим окружением. Но разных видов равновесия может быть много – столько же, сколько существует разных видов «движения», т.е. любого изменения системы жидкость–газ. Например, есть механическое равновесие между всеми силами, действующими на жидкость изнутри и снаружи. Есть тепловое равновесие, стремясь к которому, горячий чай остывает до комнатной температуры. А еще есть физикохимическое равновесие с кислородом, который из воздуха стремится проникнуть в воду и раствориться в ней, давая жизнь вашим аквариумным рыбкам… Так какие же виды равновесия важны в данном случае? Давайте посмотрим на жидкость под микроскопом: мы увидим в ней мельчайшие пузырьки воздуха. Водяной пар норовит заполнить собой эти пузырьки и «взорвать» жидкость изнутри. Сделать это ему не позволяют водяной пар вместе с воздухом, находящиеся снаружи, над поверхностью жидкости: они «сдавливают» жидкость, это давление передается внутрь от одного слоя к другому, «ощущается» в каждом уголке заполненного жидкостью объема и сдерживает рост пузырьков. Кроме опасности быть взорванной изнутри, жидкости грозит еще одна опасность – улетучиться, молекула за молекулой, через открытую поверхность в окружающее пространство. Но этому может помешать водяной пар, который уже заполняет это пространство над поверхностью жидкости. Молекула за молекулой, он может возвращаться обратно в жидкость, т.е. конденсироваться, компенсируя испарение. Такое фазовое равновесие наступает, например, в банке, накрытой крышкой, в которой находится вода, а над ней – влажный воздух с насыщенным водяным паром. Роль крышки могут играть также неподвижные воздушные массы при соответствующих атмосферных условиях, и тогда на земле долго не высыхают лужи, а белье на веревках остается влажным, нарушая все планы хозяек. А что же происходит при кипении? При температуре кипения давление насыщенного пара становится слишком большим – вырастает до атмосферного, пузырьки растут неудержимо, из-под крышки вырывается пар. Нарушаются оба типа равновесия жидкости. Крышка подпрыгивает и позвякивает, напоминая об этом. Можно, конечно, крышку «укрепить», чтобы не прыгала, – тогда получится скороварка$^{2}$, оба равновесия восстановятся, но только давление под крышкой будет уже больше атмосферного. Обратите внимание: для поддержания фазового равновесия жидкости с открытой поверхностью важен только ее собственный пар, его парциальное давление, а какие еще газы есть в атмосфере и в каком количестве – совершенно не важно. А вот для сохранения равновесия пузырьков, для того чтобы не происходило кипения, необходимо над поверхностью жидкости иметь еще какой-нибудь газ, кроме самого водяного пара. Если вы ухитритесь из-под закрытой крышки откачать весь сухой воздух, оставив там только водяной пар, то жидкость вскипит. Ничего удивительного: вы понизили внешнее давление до величины, создаваемой лишь одним насыщенным водяным паром, т.е. как раз создали условия кипения.

Вот здесь-то и кроется подвох, который часто мешает пониманию процессов кипения и испарения. При их объяснении главную роль играют парциальное давление водяного пара и полное (атмосферное) давление. Полное внешнее давление, как правило, считается неизменной величиной, в то время как парциальное давление водяного пара, наоборот, может изменяться по мере испарения воды. И действительно, в кухне, где долго кипит чайник, вы можете вполне явственно ощутить повышение влажности, в то время как имеющийся в кухне барометр показывает все то же атмосферное давление. Почему же это давление не повышается? В обычных условиях потому, что уменьшаются остальные слагаемые: водяной пар, заполняя кухню, частично вытесняет из нее азот и кислород, их парциальные давления падают, и суммарное давление остается неизменным. А в необычных условиях – например, в уже упоминавшейся нами скороварке, в подземных камерах гейзеров и т.п. – рост парциального давления водяного пара вполне может приводить и к росту суммарного давления, так что оно уже перестает быть постоянным и изменяется, например с температурой. Теперь мы можем вернуться к вопросам, с которых начали статью. Только сделаем последний шажок – чтобы наглядней сопоставить определения точек росы и кипения, слегка переформулируем одно из них. (Переформулировать классические определения – неблагодарное дело. Но, надеемся, читатель оценит методический смысл этого приема и простит нам эту «фамильярность» по отношению к классике.) Как известно, точка росы – это температура, при которой водяной пар, содержащийся в атмосфере (наряду с азотом, кислорода и пр.), будет насыщенным. А точку кипения определим как температуру, при которой был бы насыщенным водяной пар, целиком «единолично» образующий атмосферу. Отсюда сразу понятно, что точка кипения – это верхняя граница для точки росы и граница для существования жидкости (при заданном внешнем давлении, как правило атмосферном). Поэтому, охлаждая горячий влажный воздух, вы можете обнаружить первые капли жидкости при любой температуре, но только ниже точки кипения: если влаги в воздухе немного, то заставить молекулы воды «собраться вместе» удастся, лишь сильно понизив температуру. Если почти весь объем воздуха заполнен паром, то точка росы может оказаться довольно близко к точке кипения (вспомните, как выходящий из кипящего чайника пар покрывает капельками даже очень горячие на ощупь крышку или носик). Подведем итог сказанному. Процессы испарения и кипения жидкости определяются двумя разными факторами: взаимодействием жидкости с ее собственным паром и с атмосферой в целом. Суммарное атмосферное давление газа над жидкостью определяет равновесие между жидкостью и образующимися внутри нее пузырьками, т.е. возможность ее вскипания. А парциальное давление пара определяет равновесие жидкости с окружающим паром, т.е., в частности, возможность ее полного испарения или, наоборот, начала конденсации в точке росы. Будем надеяться, что наша статья поможет читателю увереннее ориентироваться в этих, хотя и очень привычных, однако все же не всегда простых для понимания вопросах. Но если она породит новые вопросы – будет еще лучше!

Авторы благодарны Георгию Евгеньевичу Пустовалову за исключительную поддержку и внимание к данной работе.

2 Подробнее о принципе работы скороварки см. в упомянутой статье А.Варламова и А.Шапиро.

45

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

транзитивностью. Им обладают и наши «идеальные» игроки, если сравнивать их рейтинги. Но оказывается, что транзитивность в групповых играх выполняется далеко не всегда. Ниже указаны три команды по три игрока в каждой (даны рейтинги игроков): A: 5 2 2 B: 4 4 1 C: 3 3 3

Эти команды при любом способе проведения соревнований обыгрывают друг друга циклически. Действительно, в I случае результаты игр таковы: A: B = B: C = C: A = 2: 1. Во II случае A: B = 5: 4, B: C = C: A = 6: 3. Между тем, существуют тройки команд, обладающие транзитивностью только для одного способа проведения соревнований. Так, команды A: 6 3 3 2 B: 5 5 3 1 C: 4 4 3 3 обыгрывают друг друга циклически, соревнуясь I способом: A > B, B > C, C > A. При II способе цикличности нет, но и транзитивности тоже нет: А = B, B > C, C > A. Если из этих команд убрать игроков третьей доски (у них одинаковый рейтинг 3), то соотношение команд в I случае, конечно, не изменится, а во II случае тоже появится цикличность: A > B, B > C, C > A. Этот пример показывает, что цикличность – «крайний» случай нарушения транзитивности: отсутствие транзитивности не обязательно сопровождается цикличностью. Команды A: 5 2 2 B: 4 3 1 C: 3 3 2 обладают цикличностью во II случае: A > B, B > C, C > A. В I случае нет ни цикличности, ни транзитивности: A > B, B = C, C = A. В соревнованиях команд, состоящих из двух игроков, цикличность невозможна, хотя нарушения транзитивности наблюдаются. Задача 2. Докажите, что для команд из двух игроков цикличность невозможна.

Парадокс 3

Существуют тройки команд с разнонаправленной для разных типов соревнований цикличностью.

Этот парадокс как бы объединяет в себе парадоксы 1 и 2. Пример – команды

A: 11 9 6 3 1 B: 10 7 5 5 4 C: 8 7 7 5 2. В соревнованиях I типа A > B, B > C, C > A; в соревнованиях же II типа – A < B, B < C, C < A. Везде преимущество минимальное – 1 очко. Задача 3. Найдите еще один или более примеров этого парадокса для команд из пяти игроков. Примечание. Решение должно существенно отличаться от приведенного примера. Легко построить «новое» решение из приведенного, лишь изменив рейтинги игроков так, чтобы ни один результат личных встреч не изменился. Это достигается, например, сдвигом рейтингов или умножением их на некоторый коэффициент. Поэтому вводится дополнительное условие: все рейтинги – целые положительные числа и занимают без пропусков некоторый диапазон целых чисел 1: k (в примере – 1: 11).

КРУЖОК

Для решения этой задачи можно составить компьютерную программу; без компьютера задача кажется трудной. С помощью такой программы было установлено, что в соревнованиях команд, состоящих из трех игроков, цикличность возможна, если количество различных рейтингов игроков k ³ 5. Для команд из четырех игроков уже при k = 4 возможна цикличность, но только в соревнованиях II типа. При k £ 3 цикличность невозможна для команд любого размера. Проблема 1. Доказать, что в соревнованиях команд из трех игроков при количестве различных рейтингов игроков k £ 4 цикличность невозможна. Проблема 2. Доказать, что в соревнованиях II типа команд из четырех игроков при количестве различных рейтингов игроков k £ 4 цикличность невозможна. Проблема 3. Доказать, что при количестве различных рейтингов игроков k £ 3 цикличность невозможна в соревнованиях команд любого размера.

«Волшебные» кубики (игральные кости)

Представьте себе, что у вас есть три кубика. Обычные шестигранные кубики, на каждой грани которых написаны некоторые числа. Вы предлагаете своему партнеру взять любой кубик, который ему больше понравился, а себе выбираете один из двух оставшихся кубиков. Далее вы начинаете играть: каждый бросает свой кубик, и выигрывает тот, на чьем кубике выпадет большее число. Так вот, кубики могут быть такими, что при большом числе бросаний в среднем вы будете в выигрыше, то есть будете чаще выигрывать у партнера. Даже если партнер поменяет кубик, например, возьмет кубик, которым играли вы, то он все равно будет проигрывать, если вы воспользуетесь правом выбрать себе кубик из двух оставшихся. Может ли такое быть? Оказывается, может. Весь секрет в числах, которые расставлены на гранях кубиков. Задача заключается в том, чтобы найти эти числа и расставить их на гранях трех кубиков так, чтобы кубики обладали описанным выше «волшебным» свойством. Интересно, что решением этой задачи может служить частный случай цикличности в командных соревнованиях. Действительно, возьмем три команды по шесть игроков, циклически обыгрывающие соперников в соревнованиях II типа. Это легко сделать, например, «удвоив» игроков в первом примере парадокса 2: A: 5 5 2 2 2 2 B: 4 4 4 4 1 1 C: 3 3 3 3 3 3 Далее возьмем три кубика, используемые в азартных играх, и вместо цифр 1 – 6 нанесем на их грани рейтинги трех команд. Теперь кубики стали «волшебными» – они обладают описанным выше свойством, помогающим их обладателю выигрывать у партнера. Какой бы кубик ни выбрал ваш партнер, среди двух оставшихся всегда имеется один, который дает вам больше шансов выиграть, чем партнеру. Для этого вам нужно выбирать кубик, чья «команда» сильнее «команды» партнера. Действительно, одновременное бросание двух кубиков – это выбор одной из 36 партий соревнования II типа. Если «ваша команда» обыгрывает «команду партнера» со счетом m: n, где m > n, m + n = 36, то из 36 возможных исходов бросания вы выигрываете в m случаях, а партнер – в n случаях. Вероятность вашего выигрыша P = m/36, P > > 1/2. Результаты «командных игр» для наших кубиков следующие: A: B = 20: 16, B: C = C: A = 24: 12.

46

КВАНТ 2009/№1

Таким образом, в наихудшем случае, когда ваш партнер выбирает кубик B, а вы – кубик A, вероятность вашего выигрыша P = 20/36 = 5/9. В остальных случаях эта вероятность будет больше. Проблема 4. Какую наибольшую вероятность выигрыша (в случае использования самой «плохой» пары) может обеспечить владельцу наилучший набор из трех волшебных кубиков? Примечание. Конечно, можно с помощью компьютерной программы перебрать все варианты (так как имеется всего конечное число существенно различных вариантов – смотрите предыдущее примечание). Интересно, однако, определить эту вероятность или хотя бы получить для нее оценки снизу и сверху чисто математически. Задача 4. Сконструируйте тройку «волшебных кубиков» так, чтобы на всех гранях кубиков фигурировали только четыре числа 1, 2, 3, 4 (разумеется, с повторениями). (Выше приведен пример «волшебных кубиков» с числами 1, 2, 3, 4, 5. Четыре числа, согласно утверждению проблемы 3, – это минимальный набор). Задача 5. Сконструируйте тройку «волшебных кубиков» так, чтобы на всех 18 гранях были различные числа.

(на любой доске). Здесь команда является как бы набором игроков, играющих в разные игры, и игроки в командах упорядочиваются по названиям «игр» (вкус, цвет, запах). Это только облегчает построение примеров нетранзитивности. Мы можем сделать следующие выводы: 1. Наличие нетранзитивных троек в таблице «правильных» оценок группы сложных многофакторных объектов вполне закономерно и определяется внутренними свойствами этих объектов. 2. «Степень нелогичности» таблицы оценок таких объектов ни в коей мере не может служить мерилом компетентности эксперта, поскольку она зависит еще и от свойств самих объектов. Судить о компетентности эксперта по «степени нелогичности» таблицы его оценок можно лишь в том случае, если оценивалась группа простых однофакторных объектов, единственная характеристика которых допускает «одномерную» оценку. Задача 6. Постройте нетранзитивную тройку объектов с двумя характеристиками (дайте рейтинги характеристик каждого объекта).

О логичных и нелогичных турнирах

Мы рассмотрели упрощенную модель соревнований. Результат партии между «идеальными» игроками полностью определяется их рейтингами. В турнирной таблице таких игроков не может быть нетранзитивных троек. Реальный мир сложнее и интереснее. Рейтинги реальных игроков влияют лишь на вероятность исхода партии и определяют статистику результатов в достаточно большой серии встреч. И отличие не только в этом. Реальный игрок является сложным «объектом», на игру которого влияют несколько независимых факторов (в шахматах это, например, дебютная подготовка, умение вести позиционную борьбу, умение комбинировать, знание эндшпилей, способность играть в цейтноте и прочее). Поэтому даже статистика партий между двумя отдельными игроками не всегда соответствует их рейтингам, поскольку рейтинг отражает среднюю силу игрока в полной совокупности всех его противников, а из-за особенностей «многофакторных» качеств игрока у него появляются «удобные» и «неудобные» противники. Автор благодарит В.К.Титова, который с помощью волшебных кубиков заинтересовал его тематикой статьи и активно участвовал в ее написании.

В 1997 году в журнале «Квант» (№5) была опубликована статья А.Заславского с таким названием. В статье изучаются некоторые свойства таблиц соревнований, проводящихся по круговой системе, когда каждый участник соревнований встречается со всеми остальными участниками. Вводится величина – степень нелогичности турнира, равная количеству нетранзитивных троек в таблице результатов, и выводятся формулы для вычисления этой величины через результаты участников. В конце статьи указывается, что величина степени нелогичности используется в теории экспертных оценок для определения компетентности экспертов, оценивающих качество каких-либо объектов. Эксперту предлагается оценить группу однотипных объектов путем их полного попарного сравнения. Чем больше степень нелогичности таблицы оценок (т.е., чем больше в таблице нетранзитивных троек), тем менее компетентным признается эксперт. Напрашивается следующая мысль: при такой оценке компетентности эксперта считается, что правильная оценка объектов любого типа должна быть транзитивной, а любая нетранзитивная тройка в таблице – следствие ошибки эксперта. В действительности все не так просто. Предположим, что объекты имеют несколько независимых характеристик (например, вкус, цвет, запах и тому подобное). При сравнении пары объектов лучшим будем считать тот из них, который имеет большее количество лучших характеристик. Таким образом мы сводим сравнение пары объектов к командному соревнованию I типа, где объекты становятся командами, а игроками являются характеристики этих объектов. Мы видели, что в таких соревнованиях транзитивность не соблюдается, и следовательно, такая оценка объектов не является транзитивной. Ситуация не изменится, если считать, что характеристики не равнозначны, и суммировать «победы» с некоторыми весами. В этом случае в нашей модели нужно считать, что в «команде» есть несколько «игроков» каждого типа (равной «силы»), и их количество пропорционально весу соответствующей характеристики. Исследуя соревнования I типа, мы всегда упорядочивали игроков в команде по рейтингу. Здесь это не требуется, и, более того, это невозможно. Ранее предполагалось, что каждый игрок может, в принципе, сыграть на любом месте

Заключение

Вниманию наших читателей!

Поправка

В «Кванте» №6 за 2008 год в статье «Новый прием в школы-интернаты при университетах» во вступительном задании по математике для поступающих в 11 класс в задаче 2 допущена опечатка. Приводим правильное условие задачи.

2. Четырехугольник АВСD вписан в окружность, центр O которой лежит внутри него. Найдите площадь четырехугольника, если углы BAO и DAC равны, а диагонали АС и ВD равны m и n соответственно.