Многогранный Делоне

2

КВАНТ 2010/№1

Многогранный Делоне

Н.ДОЛБИЛИН

Вместо предисловия

Красивая горная вершина, примыкающая к Белухе, высочайшей вершине Алтая, названа пиком Делоне в честь Бориса Николаевича Делоне – выдающегося математика и удивительного человека Борис Николаевич Делоне был крупным математиком, и математическое творчество является безусловно самой яркой гранью этого замечательного ученого. Но показать лишь эту грань многосторонне одаренной

15 марта 2010 года исполняется 120 лет со дня рождения Бориса Николаевича Делоне. К этой дате приурочена наша статья, которая является существенно переработанным и дополненным вариантом статьи «Пик Делоне», опубликованной в «Кванте», № 3 за 1986 год.

личности – все равно что из сложного полифонического произведения выделить его основную тему в отрыве от других тем. В этом смысле жизнь Б.Н.Делоне, а прожил он 90 лет, можно сравнить с цельным произведением искусства. Эта жизнь была чрезвычайно насыщена. Если бы мы попытались перечислить яркие моменты и факты из его биографии, то хронологически одним из первых шел бы 1897 год – семилетний мальчик читает в подлиннике «Фауста» Гете, знает наизусть отдельные главы поэмы, пишет маслом первые пейзажи. Где-то в конце списка был бы отмечен 1975 год – 6 июля Борис Николаевич на 86-м году жизни проводит ночь на Тянь-Шане при 25-градусном морозе на высоте 4200 метров на леднике под семитысячником Хан-Тенгри. Утром на вертолете он спуска-

3

МНОГОГРАННЫЙ

ДЕЛОНЕ

ется к озеру Иссык-Куль, откуда тут же перелетает во Фрунзе, ныне Бишкек, где стоит 40-градусная жара. Проведя несколько часов в очереди в аэропорту у касс, Борис Николаевич не без помощи академического удостоверения добывает билет на самолет и поздно вечером того же дня оказывается в подмосковном аэропорту, откуда ему предстоит добраться до дачи, расположенной в окрестностях подмосковного Абрамцева. Прибыв на ближайшую станцию последней электричкой глубокой ночью, Борис Николаевич с тяжелым рюкзаком идет к даче через лес, сбивается с пути. Проплутав в ночном лесу, он сбрасывает в укромном месте рюкзак и налегке к рассвету находит свой дом. Эти биографические детали показывают, что, с одной стороны, разностороннее дарование у Б.Н.Делоне проявилось в очень раннем возрасте. С другой стороны, до преклонных лет он сохранил юношеский темперамент, а незаурядное физическое здоровье позволяло ему заниматься с полной отдачей не только научной работой, но и серьезным туризмом. Геометрия чисел, математическая кристаллография, дискретная геометрия – в этих областях Борисом Николаевичем были написаны работы, когда ему было уже за восемьдесят. Алтай и Кавказ, Карпаты и Тянь- Шань – такова география путешествий, совершенных им в преклонном возрасте.

Чудо-ребенок

Борис Николаевич Делоне родился 15 марта 1890 года в Санкт-Петербурге в семье известного профессора математики и механики, автора очень хороших университетских учебников Николая Борисовича Делоне. Род Делоне происходил из Франции. Прадед Б.Н. Делоне, Пьер Делоне (Pierre Delaunay), был доктором в наполеоновской армии, пленен во время войны 1812 года. После освобождения вернулся во Францию, но, влюбленный в прекрасную девушку из знатного российского рода, вернулся в Россию, женился и остался здесь $навсегда...^{1}$ Борис был многосторонне одаренным ребенком и получил, как говорили тогда, прекрасное воспитание. Его занятия музыкой были весьма основательны: он играл многие пьесы Баха и Моцарта, все сонаты Бетховена, много сочинял сам. Учитель музыки видел в нем музыкальную одаренность и рекомендовал непременно поступать в консерваторию по классу композиции. Но не меньше оснований было и у преподавателя рисования, когда он настаивал на том, чтобы Борис поступал в художественную академию. Его занятия рисованием, живописью были пронизаны талантом и серьезным отношением, портреты близких, выполненные в карандаше, поражают сходством. Пока учителя и родители размышляют о будущем Бориса, мальчик не теряет времени. Он путешествует

1 То, что Б.Н.Делоне якобы был праправнуком коменданта Бастилии маркиза Делоне (Delaunay) – первой жертвы французской революции 1789 года, впоследствии не подтвердилось: согласно исследованиям, проведенным А.С.Шаровым, известным астрономом и зятем Б.Н.Делоне, предки Бориса Николаевича происходили из другого рода Делоне.

Б.Н.Делоне собирается в лыжный поход (начало 1970-х годов) в горы и пишет пейзажи, занимается музыкой и играет в футбол, воспроизводит в карандаше «Тайную вечерю» Леонардо да Винчи и лазает по деревьям (с младшей сестрой на плечах для нагрузки), наблюдает за звездным небом и ставит физические опыты. Свою комнату он превратил в физическую лабораторию, в которой немало устройств было сделано им самим. Много лет спустя Делоне часто с чувством гордости вспоминал о маленьких хитростях, которые позволили ему получить с помощью лейденской банки «в-о-о-о-т такую искру» (это «в-о-о-о-т» сопровождалось красноречивым жестом). Увлекаясь астрономией, он построил телескоп, зеркало для которого шлифовал сам. Рассказывая об этом, Борис Николаевич никогда не забывал добавлять: «шлифовать зеркало из бронзы было глупо – и трудоемко, и быстро тускнело». Нельзя не упомянуть еще об одном увлечении Б.Н.Делоне в школьные годы. Его отец Николай Борисович был дружен со знаменитым ученым Николаем Егоровичем Жуковским, «отцом русской авиации». Под его влиянием Николай Борисович Делоне в 1907 году (он тогда работал профессором в Киевском политехническом институте) организовал в Киеве первый в России планерный кружок. Семнадцатилетний Борис стал одним из членов кружка и в течение следующих двух лет построил один за другим пять планеров, постоянно совершенствуя их. Последний, пятый, планер был наиболее удачным. Однажды кинематографисты, при-

4

КВАНТ 2010/№1

Крайний слева – Б.Н.Делоне, крайняя справа – его жена М.Г.Делоне, в центре – известный математик академик Я.В.Успенский, его жена и сестра (1924 год) ехавшие снять материал о кружке, уговорили Бориса, несмотря на сильный ветер, показать полет. Порыв ветра опрокидывает планер, и авиатор падает примерно с 15-метровой высоты, к счастью, на глубоко вспаханное поле. С точки зрения современных представлений об авиации, достижения кружка кажутся наивными: полеты на несколько десятков метров, запуски летом при помощи лошади, жгута, велосипеда, а зимой – при помощи санок. Но, заметим, это было время зарождения авиации, и деятельность кружка носила пионерский характер. Работа кружка оказала влияние на развитие отечественного авиастроения. Одним из кружковцев был Игорь Сикорский, который впоследствии, получив необходимые средства, построил огромный по тем временам 4-моторный самолет, знаменитый в истории российского самолетостроения под названием «Илья Муромец». После октябрьской революции И.Сикорский эмигрировал в США, где со временем стал знаменитым конструктором вертолетов. Один из вертолетов Сикорского совершил трансатлантический перелет. Отметим также еще один любопытный эпизод, связанный с кружком. Крупнейший наш авиаконструктор Андрей Николаевич Туполев, рассказывая в своих мемуарах об огромном значении, которое имело для него знакомство с Жуковским, отмечал, что познакомил его, тогда еще студента, с Жуковским именно Б.Н.Делоне. Прежде чем обсудить место, которое занимала математика в жизни Бориса Делоне в его детские годы, следует отметить еще одно увлечение, которое продолжалось всю жизнь. Это увлечение – альпинизм – впервые проявилось у Бориса Николаевича в возрасте 12–15 лет в Швейцарских Альпах, куда в начале 1900-х годов семья Делоне выезжала на летние каникулы. Позже Делоне рассказывал о своих восхождениях и походах в окрестностях вершин Монте-Роза и Маттерхорн над Церматом в Валлийских Альпах. Математическое дарование Делоне проявилось весьма рано. В 12 лет он был знаком с основами математи-

ческого анализа, чуть позднее приступил к изучению алгебры, теории чисел. Обстановка в семье способствовала развитию математического таланта. Отец, к примеру, в 1904 году взял сына на Международный конгресс математиков в Гейдельберг, где 14-летний Борис видел Гильберта и Минковского, присутствовал на их лекциях. Для будущей научной работы Бориса Николаевича оказалось важным, что в начале 1900-х годов его отец работал профессором Варшавского $университета^{2}$ одновременно с выдающимся математиком Георгием Феодосьевичем Вороным. Г.Ф.Вороной (1868–1908) был одним из самых блестящих представителей знаменитой Петербургской школы теории чисел. Николай Борисович подружился с выдающимся математиком, и Вороной стал частым гостем в доме Делоне. Борис Николаевич вспоминал, что когда беседы между отцом и Вороным затягивались допоздна, то он, мальчик, уже «находясь в кровати в своей комнате, прислушивался к их разговору через полуприкрытую дверь, ведущую в залу». Кстати, Г.Ф.Вороной тоже участвовал в работе конгресса в Гейдельберге, много общался с Минковским. Результатом общения двух создателей нового направления в математике – геометрии чисел – стала грандиозная программа, которую наметил себе на последующие годы Вороной. И хотя, к огромному сожалению, судьба отпустила ему только четыре года, Георгий Феодосьевич успел написать несколько фундаментальных работ по геометрии положительных квадратичных форм и теории параллелоэдров, в которых были решены принципиальные задачи из теории покрытий, упаковок и разбиений. Эти работы определили направление исследований на столетие вперед.

Киевский университет, семинар Граве

Хотя впоследствии работы Вороного оказали серьезное влияние на исследования Делоне, прямых научных контактов у Бориса-гимназиста с маститым ученым не было. Вороной умер неожиданно в возрасте 40 лет в том самом 1908 году, когда Борис Делоне поступил на физико-математический факультет Киевского университета. На этот факультет примерно в одно время поступили учиться несколько исключительно талантливых и амбициозных молодых людей, среди них Отто Шмидт и Николай Чеботарев. Николай Григорьевич Чеботарев (1894–1947) стал выдающимся алгебраистом мирового уровня, член-корреспондентом АН СССР. Академик Отто Юльевич Шмидт (1891–1956) – многогранно талантливый человек невероятной энергии. В истории российской математики Шмидт известен не только как крупный алгебраист, автор хорошо известной книги «Абстрактная теория групп», но и как основатель знаменитой московской алгебраической школы. В 1934 году имя Героя Советского Союза Шмидта стало легендарным: он был начальником знаменитой полярной экспедиции на ледоколе «Челюскин», а после гибели ледокола организовал зимовку на льдине и в

2 В то время Польша была частью Российской Империи.

5

МНОГОГРАННЫЙ

течение нескольких месяцев полярной ночи, вплоть до благополучной эвакуации экспедиции, как руководитель сделал все, чтобы все люди остались живы. Борис Делоне, Отто Шмидт, Николай Чеботарев, Александр Островский, Абрам Безикович составили ядро семинара, возглавляемого известным математиком профессором Дмитрием Граве. Этот семинар, существовавший в Киевском университете на рубеже 1910-х годов и вошедший в историю отечественной математики как воспитавший плеяду математиков экстракласса, предопределил направление исследований Делоне на многие годы. Студенческая работа Бориса Делоне «Связь между теорией идеалов и теорией Галуа» была удостоена Большой золотой медали университета, и Борис был оставлен «для подготовки к профессорскому званию», или, говоря по-нынешнему, в аспирантуру. Первая опубликованная работа Делоне «Об определении алгебраической области посредством конгруэнтности» была посвящена новому доказательству знаменитой теоремы Кронекера об абсолютно абелевых полях.

Диофантовы уравнения третьей степени

В это же время Б.Н.Делоне начал исследования по теории диофантовых уравнений третьей степени с двумя неизвестными. Цикл работ по теории кубических диофантовых уравнений оказался, по собственному признанию Бориса Николаевича, лучшим достижением во всей его математической карьере. Диофантово уравнение – это уравнение вида

$p ( x_{1}$, … $, x_{n} ) = 0$,

(1) где $p ( x_{1}$, … $, x_{n} )$ – многочлен с целыми коэффициентами, для которого нужно найти целые, иногда рациональные, решения. Так, известное уравнение $x^{2} + y^{2} = z^{2}$, в котором нужно найти все целые решения, есть пример уравнения 2-й степени с тремя неизвестными. Оно имеет бесконечно много целых решений, хорошо известных под названием пифагоровы тройки, потому что они соответствуют прямоугольным треугольникам с целыми сторонами: (3,4,5), (5,12,13) и $т.д.^{3}$ В одной из 23 знаменитых проблем, а именно в 10-й проблеме, Гильберт поставил вопрос: существует ли алгоритм, позволяющий определить по коэффициентам уравнения (1), существует или нет решение этого уравнения? Сейчас, после работы Ю.В.Матиясевича, решившего 10-ю проблему Гильберта (1970), точно известно, что такого алгоритма не существует. Надо сказать, что специалисты по диофантовым уравнениям, которые прекрасно знали, с каким трудом давался каждый шаг в этой области, всегда сомневались в существовании такого алгоритма. Простейший вид диофантова уравнения – это линейное уравнение с двумя неизвестными:

ax + by = 1, где a и b – целые. Впервые это уравнение было

3 Подробнее см., например, «Квант» №1 за 1986 год, с.11.

ДЕЛОНЕ

исследовано индийским математиком Ариабхатой еще в V–VI веках. Диофантовы уравнения 2-й степени оказались гораздо труднее. Они были полностью изучены великими математиками Леонардом Эйлером (полная теория квадратных уравнений Пелля $ax^{2} + y^{2} = 1$, где a не равен квадрату целого числа), а также Ж.Лагранжем, К.Гауссом. Что касается диофантовых уравнений степени 3 и выше, глубокий и неожиданный результат был получен норвежским математиком Акселем Туэ в 1908 году. Туэ доказал, что диофантово уравнение вида f ( x, y ) = c, где f ( x, y ) – однородный многочлен степени 3 или выше, может иметь лишь конечное число целых решений. Здесь предполагается, что многочлен f ( x, y ) не раскладывается в произведение многочленов степени 2 и ниже. В этом случае решение уравнения высокой степени можно свести к решению квадратного диофантового уравнения. А квадратные уравнения, например квадратное уравнение Пелля, имеют бесконечное число решений. Напомним, что многочлен называется однородным (или формой), если все входящие в него одночлены имеют одну и ту же степень. Однако нужно заметить, что теорема Туэ не давала никаких средств для нахождения решений. Из нее нельзя было получить никакой верхней оценки для значений решений, что давало бы возможность найти целые решения хотя бы путем грубого перебора. Журнала с работой Туэ в Киеве в то время никто не видел. Борис Николаевич решил исследовать давно стоявшую проблему решения неопределенных кубических уравнений. Как оказалось в дальнейшем, работы Делоне обозначили едва ли не первый после Эйлера и Лагранжа серьезный прогресс в направлении конкретного исследования диофантовых уравнений более высокого порядка, а именно, уравнений вида

$ax^{3} + bx^{2} y + cxy^{2} + dy^{3} = 1$,

(2) где слева – форма 3-й степени с целыми коэффициентами и с отрицательным дискриминантом. «Отрицательность дискриминанта» означает, что кубическое уравнение $at^{3} + bt^{2} + ct + d = 0$ имеет единственный вещественный корень. Сначала Б.Н.Делоне приступил к важному частному случаю кубических уравнений с отрицательным дискриминантом – кубическому аналогу уравнения Пелля:

$x^{3} q + y^{3} = 1$,

(3) где q – целое, но не куб целого. (Если q является кубом целого, то форма была бы разложимой:

(

) (

)

$x^{3} q + y^{3} = x^{3} q + y x^{2} 3 q^{2} - x^{3} qy + y^{2}$, и проблема свелась бы к решению диофантовых уравнений степеней 1 и 2.) Уравнение (3) в целых числах всегда имеет тривиальное решение (0; 1). Задача – найти остальные решения, если такие, конечно, имеются. Делоне ввел в

7

МНОГОГРАННЫЙ

Несмотря на то, что в каждом рассмотренном уравнении этот «алгоритм» срабатывал, уверенность в том, что получены все решения, возникала лишь тогда, когда у уравнения уже найдены 3 решения. Верхняя же оценка для решений уравнения через коэффициенты формы при условии, что степень не меньше 3, была получена лишь в 1960-е годы А.Бейкером. За свою работу Бейкер был удостоен Филдсовской медали. После классических результатов Эйлера, Лагранжа, Гаусса по диофантовым уравнениям второй степени работы Делоне представляли серьезный прорыв в теории кубических уравнений и оставались непревзойденными вплоть до 1960 годов (А.Бейкер). Как писал член-корреспондент АН СССР Д.К.Фаддеев, «по конкретности анализа, простоте и ясности цикл работ Б.Н.Делоне, посвященных неопределенным уравнениям, является исключительным в математике ХХ века с ее часто громоздким аппаратом и абстрактными построениями. По своему стилю этот цикл близок к лучшим образцам классических работ Гаусса и Чебышева».

Жизнь в Киеве, переезд в Санкт-Петербург (Ленинград)

Успех явился результатом, как говорил Делоне, нескольких тысяч часов интенсивной работы. Борис Николаевич любил добавлять, что решение трудной математической проблемы отличается от решения олимпиадной задачи тем, что «олимпиадная задача требует 5 часов, а проблема – 5 тысяч часов». Следует отметить, что ему удалось добиться крупного успеха в теории диофантовых уравнений, несмотря на чрезвычайно тяжелые политические и жизненные условия, существовавшие в Киеве в то время. В годы первой мировой войны Киев был оккупирован немецкими войсками, и вместе со многими другими университетскими профессорами семья Делоне в 1915–1916 годах выезжала в Саратов. Туда же приехал из Киева и Николай Чеботарев, который был на четыре года младше. Именно в Саратове его общение с Б.Н.Делоне оказалось для Чеботарева определяющим. Когда Делоне вернулись в Киев, наступила революция и кровопролитная гражданская война. Киев оказался в центре этих жестоких событий. Одна власть сменяла другую непрерывно. Немецкие войска были выбиты из Киева Красной Армией. Красные, в свою очередь, уступали город белым, белые вытеснялись опять красными, красные – жовтоблакитными, те – зелеными, белополяками и т.д. Политическая карусель в Киеве, сопровождавшаяся террором, продолжалась несколько лет. Делоне часто рассказывал не без юмора об одном эпизоде из его жизни в те годы. Его младший брат Александр – в семье его называли Алик – был офицером в деникинской армии. Однажды, когда белые скоропалительно сдали город красным, Алик, переодевшись в гражданское платье, вынужден был бежать из Киева. Форма белого офицера осталась в доме отца, где жил также и Борис. Ночью

ДЕЛОНЕ

в квартиру пришел для проверки краснофлотский патруль. Во время обыска командир патруля подошел к двухстворчатому гардеробу, где за левой дверью висел мундир Алика, и резко отворил… правую. Неожиданно с верхней полки упала на пол огромная кукла и начала плакать. Привезенная из Парижа плачущая кукла, а в то время это казалось настоящим чудом, настолько поразила матросов, что они забыли открыть другую дверь шкафа… А ведь время было жестоким и беспощадным, расстрел, что называется, на месте был делом обычным. В тот период Борис Николаевич работал учителем математики в гимназии и доцентом в Киевском политехническом институте. В 1920 году он написал большую работу по кубическим диофантовым уравнениям и прекрасно оформленную рукопись отослал в качестве докторской диссертации в Санкт-Петербургский, тогда Петроградский университет. Комиссия под руководством $А.А.Маркова^{4}$ высоко оценила диссертацию, и в 1922 году Б.Н.Делоне был приглашен в Петроградский университет в качестве профессора. Это было действительно очень почетно, так как университет был «домом» знаменитой Санкт-Петербургской школы теории чисел, семена которой были посеяны еще Эйлером и которая расцвела во второй половине XIX века под руководством П.Л.Чебышева. Во времена Чебышева ядро этой школы составляли А.А.Марков, А.Н.Коркин, Е.И.Золотарев, А.А.Ляпунов. В то время, в соответствии с традициями знаменитой теоретико-числовой школы, ее выдающийся представитель Георгий Вороной «одел» свою исключительно геометрическую по идее работу о параллелоэдрах в «аналитические одежды». В противоположность этой традиции, Делоне, обладая несомненным геометрическим даром, в течение многих лет занимался геометризацией нескольких важных алгебраических работ, включая алгоритм Вороного для вычисления основной единицы в кольце, соответствующей кубической форме отрицательного дискриминанта. В этой и других работах он интерпретировал кольцо кубических иррациональностей как целочисленную решетку с естественным правилом умножения. Здесь мы завершаем обзор исследований алгебраических вопросов геометрическими методами, чтобы рассказать об одной простой, но важной теории, которую Борис Николаевич начал еще в начале 1920-х годов, – о так называемом методе пустого шара и связанном с ним разбиении пространства на специальные многогранники. Где-то в 1980-е годы, уже после смерти Б.Н.Делоне, эти разбиения получили название «триангуляции Делоне».

(Окончание следует)

4 Академик Андрей Андреевич Марков (1856–1922) – выдающийся русский математик, внес крупный вклад в теорию чисел и особенно в теорию вероятностей («марковские цепи и процессы»).

10

КВАНТ 2010/№1

годы, прежде чем существование этого замечательного явления было бы подтверждено экспериментально. С этого момента техника ЯМР стала бурно развиваться. Она получила широкое применение в научных исследованиях в областях физики конденсированного состояния, химии, биологии, метрологии и медицины. Наиболее известным применением стало получение с помощью ЯМР изображения внутренних органов.

Как осуществляется визуализация внутренних органов посредством ЯМР

До сих пор мы неявно предполагали, что, в пренебрежении влиянием слабых электронных токов в катушках, магнитное поле, в которое помещаются ядра, однородно, т.е. имеет одну и ту же величину во всех точках. В 1973 году Пол Латербур предложил проводить ЯМР-исследования, помещая образец в магнитное поле, меняющееся от точки к точке. Понятно, что в этом случае и резонансная частота для исследуемых ядер изменяется от точки к точке, что позволяет судить об их пространственном расположении. А поскольку интенсивность сигнала от определенной области пространства пропорциональна числу атомов водорода в этой области, мы получаем информацию о распределении плотности вещества по пространству. Собственно, в этом и заключается принцип техники ЯМР-исследования. Как видите, принцип прост, хотя для получения реальных изображений внутренних органов на практике следовало получить в распоряжение мощные компьютеры для управления радиочастотными импульсами и еще долго совершенствовать методологию создания необходимых профилей магнитного поля и обработки сигналов ЯМР, получаемых с катушек. Представим себе, что вдоль оси x расположены маленькие заполненные водой сферы (рис.3). Если магнитное поле не зависит от x, то возникает одиночный сигнал (см. рис.3,а). Далее предположим, что посредством дополнительных катушек (по отношению к той, которая создает основное, направленное по оси z, магнитное поле) мы создаем дополнительное, меняющееся вдоль оси x, магнитное поле $B_{0}$, причем его величина возрастает слева направо. При этом понятно, что для сфер с различными координатами сигнал ЯМР теперь будет соответствовать различным частотам и измеряемый спектр будет содержать в себе пять характерных пиков (см. рис.3,б). Высота этих пиков будет пропорциональна количеству сфер (т.е. массе воды), имеющих соответствующую координату, и, таким образом, в рассматриваемом случае интенсивности пиков будут относиться как 3:1:3:1:1. Зная величину градиента магнитного поля (т.е. скорость его изменения вдоль оси x), можно представить измеряемый частотный спектр в виде зависимости плотности атомов водорода от координаты x. При этом можно будет сказать, что там где пики выше, число атомов водорода больше: в нашем примере числа атомов водорода, соответствующих положениям сфер, действительно соотносятся как 3:1:3:1:1. Расположим теперь в постоянном магнитном поле $B_{0}$ некоторую более сложную конфигурацию маленьких

Рис.3. В случае однородного магнитного поля имеется единственный ЯМР-сигнал (а). В случае же меняющегося в пространстве поля сигналы, соответствующие ядрам, расположенным в разных точках, имеют несколько отличающиеся частоты, и спектр позволяет определить их координаты (б)

заполненных водой сфер и наложим дополнительное магнитное поле, изменяющееся вдоль всех трех осей координат. Измеряя радиочастотные спектры ЯМР и зная величины градиентов магнитного поля вдоль координат, можно создать трехмерную карту распределения сфер (а следовательно, и плотности водорода) в исследуемой конфигурации. Сделать это гораздо сложнее, чем в рассмотренном выше одномерном случае, однако интуитивно понятно, в чем этот процесс заключается. Техника восстановления образов, сходная c той, которую мы описали, и осуществляется при ЯМРтомографии. Закончив накопление данных, компьютер посредством весьма быстрых алгоритмов начинает «обработку» сигналов и устанавливает связь между интенсивностью измеренных сигналов при определенной частоте и плотностью резонирующих атомов в данной точке тела. В конце этой процедуры компьютер визуализирует на своем экране двумерное (или даже трехмерное) «изображение» определенного органа или части тела пациента.

Поразительные «образы»

Чтобы полностью оценить результаты ЯМР-исследования внутренних органов человека (например, различных сечений головного мозга, которые физикмедик сегодня может получить не дотрагиваясь до черепа!), следует прежде всего понимать, что речь идет о компьютерном воссоздании именно «образов», а не о реальных тенях, возникающих на фоточувствительной пленке при поглощении рентгеновских лучей в процессе получения рентгеновского снимка.

11

ЧТО

ТАКОЕ

ЯМР-ТОМОГРАФИЯ?

Рис.4. Изображения черепа и позвоночного столба, которые с прекрасной анатомической точностью в зависимости от контраста показывают белую или серую ткань мозга, позвоночник и спино-мозговую жидкость

Человеческий глаз является чувствительным датчиком электромагнитного излучения в видимом диапазоне. К счастью или несчастью, излучения, происходящие от внутренних органов, до наших глаз не доходят – мы видим человеческие тела только извне. В то же время, как мы только что обсуждали, в определенных условиях ядра атомов внутренних органов человеческого тела могут излучать электромагнитные волны в диапазоне радиочастот (т.е. частот, гораздо меньших, чем для видимого света), причем частота слегка меняется в зависимости от точки излучения. Глазом его не увидеть, поэтому такое излучение регистрируется с помощью сложной аппаратуры, а затем собирается в единое изображение с помощью специальной компьютерной обработки. И тем не менее, речь идет о совершенно реальном видении внутренней части предмета или человеческого тела. К такому поразительному успеху человечество пришло благодаря ряду фундаментальных достижений научной мысли: это и квантовая механика с ее теорией магнитного момента, и теория взаимодействия излучения с веществом, и цифровая электроника, и математические алгоритмы преобразования сигналов, и компьютерная техника. Преимущества ЯМР-томографии по сравнению с другими диагностическими методами многочисленны и значительны. Оператор может легко выбирать, какие сечения тела пациента просканировать, а также может подвергать исследованию одновременно несколько сечений выбранного органа. В частности, выбирая соответствующим образом градиенты магнитного поля, можно получить вертикальные сечения изображения внутренностей нашего черепа. Это может быть центральное сечение или сечения, смещенные вправо или влево. (Такие исследования практически невозможны в рамках рентгеновской радиографии.) Оператор может «сужать» поле наблюдения, визуализируя сигналы ЯМР, происходящие только от одного выбранного органа или только от одной из его частей, увеличивая таким образом разрешение изображения. Важным преимуществом ЯМР-томографии является также и воз-

можность прямого измерения локальной вязкости и направления течения крови, лимфы и других жидкостей внутри человеческого тела. Подбирая необходимое соотношение между соответствующими параметрами, например длительностью и частотой импульсов, для каждой патологии оператор может достигать оптимальных характеристик получаемого изображения, скажем повышать его контрастность (рис.4). Суммируя, можно сказать, что для каждой точки изображения (пикселя), соответствующей крошечному объему исследуемого объекта, оказывается возможным извлечь различную полезную информацию, в некоторых случаях включая и распределение концентрации тех или иных химических элементов в организме. Для повышения чувствительности измерений, т.е. увеличения отношения интенсивности сигнала к шуму, следует накапливать и суммировать большое число сигналов. В этом случае удается получить качественное изображение, адекватно передающее реальность. Именно поэтому времена проведения ЯМР-томографии оказываются довольно большими – пациент должен относительно неподвижно пребывать в камере несколько десятков минут. В 1977 году английский физик Питер Мэнсфилд придумал такую комбинацию градиентов магнитного поля, которая, не давая особенно хорошего качества изображения, тем не менее позволяет получать его чрезвычайно быстро: для соответствующего построения хватает единственного сигнала (на практике это занимает приблизительно 50 миллисекунд). С помощью такой техники – ее называют планарным эхом – сегодня можно следить за пульсациями сердца в реальном времени: в таком фильме на экране чередуются его сокращения и расширения. Можно ли было представить себе на заре создания квантовой механики, что через сто лет развитие науки приведет к возможности таких чудес? Нельзя не отметить, что в 2003 году Пол Лотербур и Питер Мэнсфилд были удостоены Нобелевской премии в области медицины «за изобретение метода магнитно-резонансной томографии».

14

КВАНТ 2010/№1

К счастью, существует и другой альтернативный подход, связанный с так называемыми оптическими наноструктурированными материалами – средами, оптические свойства которых (например, показатель преломления) изменяются в пространстве на масштабе менее нескольких сотен нанометров. Ярким примером таких материалов являются фотонные кристаллы. Фотонные кристаллы – это периодические диэлектрические или металло-диэлектрические материалы, которые воздействуют на распространяющиеся по ним световые волны таким же образом, как и периодический потенциал в кристаллах влияет на движение электронов, приводя к образованию разрешенных и запрещенных энергетических зон. Поскольку в основе идеи фотонного кристалла лежат явления дифракции и интерференции, то период структуры фотонного кристалла должен быть порядка длины волны электромагнитного излучения в веществе, т.е. около 300 нм для работы в диапазоне видимого света. Примером одномерных фотонных кристаллов служит многослойная структура из чередующихся слоев прозрачных веществ с двумя различными показателями преломления (рис.2,а). Система параллельных отверстий в диэлектрическом слое формирует двумерный фотонный кристалл (рис.2,б), а плотно упакованные наносферы

Рис.2. Одномерные (а), двумерные (б) и трехмерные (в) фотонные кристаллы

кварца представляют собой трехмерный фотонный кристалл (рис.2,в). Чем же замечательны наноструктурированные материалы и, в частности, фотонные кристаллы? Тем, что их оптические свойства – направление, интенсивность и поляризация отраженного и прошедшего света – определяются не только и даже не столько показателями преломления веществ, из которых они сделаны, а их структурой. Специально подобранная структура вещества приводит к явлениям интерференции и дифракции, существенно меняющим условия прохождения света через материал. Так, в фотонных кристаллах возникают запрещенные зоны – области частот света, при которых свет не может проникнуть внутрь фотонного кристалла и полностью отражается от него. Появление наноструктурированных материалов фактически открывает новое направление в создании оптических сред. Необходимые оптические свойства материала достигают теперь не путем подбора оптимального химического состава (как это было в старом подходе), а путем создания геометрической или фазовой структуры с характерным размером, не превышающим нескольких сотен нанометров. Поскольку наноструктурированные материалы создают искусственно, их часто называют метаматериалами.

Намагниченные фотонные кристаллы Если наноструктурированный материал содержит магнитные вещества, то можно ожидать, что в нем будут наблюдаться магнитооптические эффекты, аналогичные тем, что возникают в обычных однородных средах, но, возможно, несколько измененные. Идея использовать для управления света в фотонном кристалле магнитные вещества впервые была предложена в конце 90-х годов минувшего столетия японскими учеными. Они рассмотрели эффект Фарадея в одномерных фотонных кристаллах, представляющих собой многослойные пленки из хаотично чередующихся слоев висмут-замещенного иттриевого феррита-граната и кварца. Для определенных частот излучения при оптимально подобранных параметрах структуры было обнаружено увеличение эффекта Фарадея более чем в 300 раз по сравнению с аналогичной однородной средой. На примере одномерного случая можно выделить несколько разновидностей магнитных фотонных кристаллов. Прежде всего, это стандартные системы, состоящие из чередующихся четвертьволновых (толщина равна одной четвертой длины волны света в веществе) магнитных (например, церий-замещенный иттриевый феррит-гранат) и немагнитных (например, гадолинийгаллиевый гранат) слоев. Такие фотонные кристаллы обладают запрещенной зоной с центром на проектировочной длине волны, т.е. не пропускают свет с длиной волны в некоторой области вокруг данной. Под проектировочной длиной волны подразумевают длину волны света вне кристалла, при которой в каждом из его слоев укладывается одна четвертая длины волны. На рисунке 3,а и б показаны зависимости коэффициента пропускания и угла Фарадея для одномерного фотонного кристалла, настроенного на ближний инфракрасный диапазон (проектировочная длина волны 1,55 мкм). Кристалл состоит из 30 пар магнитного и немагнитного слоев. Усиление эффекта Фарадея возникает на границе запрещенной зоны, т.е. в районе длин волн 1,49 мкм и 1,61 мкм. Оказывается, именно на этих длинах волн резко возрастает групповая скорость света. Это приводит к тому, что возрастает эффективное время взаимодействия волны с намагниченностью материала, а значит, и увеличивается эффект Фарадея. Важной особенностью резонансов на граничных частотах является то, что максимумы прохождения и фарадеевского вращения практически совпадают. Это позволяет использовать фотонные кристаллы в качестве миниатюрных элементов, вращающих плоскость поляризации на большие углы. Оптимальный подбор магнитных материалов, их геометрических размеров и расположения позволит создать новое поколение оптических устройств, управляемых магнитными полями. При этом нужно иметь в виду не только инфракрасный, но и видимый диапазон света. В одномерных магнитных фотонных кристаллах можно создать структурные дефекты – несколько раз инвертировать порядок следования слоев и тем самым получить один или несколько слоев с удвоенной толщиной. Наличие таких дефектов приводит к появлению в

18

КВАНТ 2010/№1

Нобелевской премии, – это физика твердого тела (полупроводников) и явление внутреннего фотоэффекта. В формулировке премии есть термин «ПЗС-матрица». Это прибор с зарядовой связью, предназначенный для перемещения небольшого избыточного отрицательного заряда по цепочке одинаковых устройств, образующих линейку или сумму линеек – матрицу. Вначале Бойл и Смит разрабатывали ПЗС как оригинальное устройство компьютерной памяти. Работает оно следующим образом. Маленькая пластинка полупроводни-

Рис. 1

ка р-типа (монокристалл кремния, легированный акцепторной примесью бора) покрывается более тонким слоем диэлектрика и металлической пластиной (рис.1). Между этой пластиной и подложкой полупроводника прикладывается разность потенциалов. Таким образом образуется своеобразный двухслойный конденсатор. Толщина полупроводника порядка 10 мкм, диэлектрика – 1 мкм, а металлического слоя – еще меньше. В примесном полупроводнике р-типа концентрация основных носителей – дырок – составляет величину порядка $10^{22} м^{-} 3$, тогда как концентрация собственных носителей заряда – электронов и дырок – много меньше и при комнатной температуре равна примерно $10^{16} м^{-} 3$. В электрическом поле дырки (основные носители тока) перемещаются по направлению поля, поэтому концентрация дырок вблизи границы полупроводника с диэлектриком становится меньше. Зато в этой области увеличивается концентрация собственных (неосновных) носителей – появляется электронное облако. Если рядом будет находиться такое же устройство, то электронное облако почувствует «чужое» электрическое поле и передвинется к соседнему элементу, в котором тоже возникнет несимметрично расположенное облако электронов (рис.2,а). Если теперь выключить поле в элементе 1, то облако в элементе 2 станет симметричным (рис.2,б). Если же рядом с элементом 2 окажется элемент 3, на который подано электрическое поле, то электронные облака в этих элементах сдвинутся (рис.2,в). И если теперь выключить поле в элементе 2, то появившееся в элементе 3 облако станет снова симметричным (рис.2,г). Из таких элементов можно составить линейные цепочки и, усложнив конструкцию, создать двумерную матрицу, в которой информация о наличии заряда и о его величине будет перемещаться от места появления заряда к выходному элементу, где она может быть выражена числом в двоичной системе. Пара элементов, в которых заряд как бы переходит от одного элемента к другому, получила название пиксель. Однако выяснилось, что малая концентрация собственных электронов в полупроводнике не обеспечивает надежности передачи информации. Эту концентрацию следовало увеличить. И появилась идея – увеличить ее за счет фотоэффекта. При поглощении фотона может разорваться валентная связь электрона в кристаллической решетке, и электрон станет свободным (внутри кристалла). Такой фотоэффект называ-

Рис. 2

ется внутренним, а сам полупроводник – фотодиодом. Образующиеся дырки будут перемещаться по направлению поля (на рисунке 2 – вниз), а электроны – к границе с диэлектриком, увеличивая концентрацию электронного облака. Причем концентрация будет пропорциональна числу поглощенных фотонов, т.е. освещенности. Квантовый выход (КПД) такого фотоэффекта оказывается очень высоким – до 80%. Информация от каждого пикселя побежит по строчкам матрицы к прибору, переводящему ее в «цифру». При этом включения и выключения напряжения на отдельных элементах нужно производить с такой частотой, чтобы образующиеся фотоэлектроны не успевали «найти» дырки, с которыми они могли бы рекомбинировать. На пластинке – чипе – размером $8_{¥} 15$ мм можно разместить матрицу, состоящую из пяти миллионов пикселей, т.е. получать информацию об освещенности в нескольких миллионах точек изображения. Потом в конструкцию элементов были внесены изменения. В качестве диэлектрика теперь используется пластинка из кварцевого стекла, а металлической обкладкой конденсатора является очень тонкий (не более 0,1 мкм) слой алюминия, наносимый напылением, – такой слой достаточно прозрачен. Чтобы иметь информацию о цвете, нужно поочередно подавать к пикселям свет, прошедший через различные светофильтры. Подытоживая, можно сказать, что такой чип представляет собой интегральную микросхему, состоящую из светочувствительных фотодиодов и использующую технологию приборов с зарядовой связью. Этот чип – «сердце» цифровых видеои фотокамер, которые практически вытеснили обычные (аналоговые) приборы. Л.Белопухов