[Заочная школа МИФИ]

Квант 2010, №1 с. 56, 64 Тег 918Z

КВАНТ 2010/№1

слушателей. Лекции часто имеют междисциплинарный характер и посвящены вопросам, далеким от традиционных областей общей механики и робототехники. Например, были представлены такие темы: явление кавитации; математические модели систем управления объектами национальной значимости; вулканические извержения; свойства зрения живых существ и их использование при создании систем технического зрения; различные аспекты биомеханики (т.е. науки, стоящей на стыке механики и биологии) – тренажеры для космонавтов, современные материалы и их использование при протезировании костей, а также разработанная только недавно теория, удовлетворительно объясняющая измерение артериального давления крови с помощью простого прибора, состоящего из резиновой надувной манжеты, груши и манометра. Организуются экскурсии на уникальные экспериментальные установки Института механики МГУ (гидродинамическая труба, аэродинамическая труба, гидроканал и т.п.). Ознакомление с современной механикой и робототехникой важно не только для школьников, но и для учителей средней школы. Поэтому в рамках нашей Программы проводятся курсы повышения квалификации учителей. Важное направление Программы – создание списка научно-исследовательских задач, предлагаемых школьникам. В настоящее время он включает более 30 заданий. Так, ежегодно объявляется конкурс на постановку и проведение эксперимента по исследованию свойств сухого трения. Со списком задач и объявлением о конкурсе можно познакомиться на сайте, указанном в конце статьи.

Для подготовки видеокурса лекций ведется их видеозапись и создается видеотека – основа для дистанционного обучения (включая работу со школами для детей с ограниченными возможностями). Все перечисленные выше мероприятия Программы для школьников и учителей, осуществляемые на традиционных площадках, проводятся на бесплатной основе. Однако, по согласованию, возможно также проведение выездных лекций и семинаров, кружков, осуществление других форм сотрудничества. Принять участие в любом мероприятии Программы (прослушивание лекций, участие в конкурсе, решение задач) может любой желающий школьник. Обращаем внимание на то, что по многим направлениям (конкурсы, научноисследовательская работа и т.п.) возможно дистанционное участие. Регулярно обновляемая информация обо всех мероприятиях Программы представлена на сайте Института механики http://www.imec.msu.ru/school Наш электронный адрес: [email protected] Почтовый адрес для переписки: 119192 Москва, Мичуринский проспект, д.1, Институт механики МГУ, Научнообразовательная программа по механике. Приглашаем всех заинтересованных лиц и организации принять участие в нашей Программе! Публикацию подготовили С.Довбыш, Б.Локшин, М.Салмина

КВАНТ 2010/№1

Пусть K, L, M – середины сторон BC, DE, FA соответственно, P – середина EI. Тогда $S_{KLM} > S_{MPB} > S_{ABI} = S_{XYZ}$ .

Оба неравенства следуют из следующего очевидного утверждения: Пусть TUVW – параллелограмм, точка R и отрезок VW лежат по разные стороны от прямой TU. Тогда

Рис. 7

$S_{RVW} > S_{RTU}$ .

(В первом неравенстве используется параллелограмм BKLP, во втором – AIPM.) Замечание. В этой задаче есть досадный второй случай, который не учитывает приведенное решение: когда шестиугольник и треугольник, данные в условии, ориентированы по-разному (т.е. шестиугольник при чтении букв – названий вершин – обходится по часовой стрелке, а треугольник – против). В этом случае, если достраивать на одной из сторон шестиугольника наш треугольник, он будет торчать наружу! Вот набросок решения для этого случая. Он сводится к первому следующей перестройкой шестиугольника (рис.8). Здесь

но выше, мы сможем помешать Али-Бабе уравнять все цифры на отмеченных местах. Алгоритм выигрыша Али-Бабы для $2^{k}$ мест будем строить индуктивно. База для k = 1 очевидна. Пусть у нас есть алгоритм $A_{m}$ для m мест. Построим $A_{2m}$ . Начнем с частных случаев. Разобьем круг на m пар противоположных мест и установим соответствие между парами для 2m и местами для m. 1) Пусть мы знаем, что в каждой паре цифры равны. Применим алгоритм $A_{m}$ , заменяя места целыми парами. Ясно, что когда замок открылся там, он откроется и тут. 2) Пусть мы знаем, что четность суммы в каждой паре одинакова. Применим $A_{m}$ для пар. Если не открылось, то все суммы были нечетны. Но меняя оба числа пары, мы не меняем четности. Значит, все суммы остались нечетными. Изменим m цифр подряд (назовем эту операцию D). Теперь все суммы четны. Еще раз применив $A_{m}$ для пар, откроем замок. Назовем алгоритм для этого случая B. 3) Применим теперь $A_{m}$ для пар другим способом: цель – сделать суммы в парах одной четности. По-прежнему на каждом шагу мы выбираем набор пар согласно $A_{m}$ , но меняем в каждой выбранной паре только по одной цифре. Назовем алгоритм C. Он гарантирует, что на каком-то шагу (мы не знаем, на каком) четности сумм совпадут. Дверь это, понятно, не откроет. Но мы схитрим: после каждого шага C применим B, а затем D. При совпадении сумм четностей B откроет дверь, а иначе BD не изменит четностей сумм.

НОМЕР ПОДГОТОВИЛИ

C.А.Дориченко, А.А.Егоров, Е.М.Епифанов, С.П.Коновалов, А.Ю.Котова, В.А.Тихомирова, А.И.Черноуцан

Рис. 8

$AC_{1} = CB, C_{1} D_{1} = EF, BF_{1} = FA, F_{1} E_{1} = DC$ . Отсюда легко следует, что $K_{1} L_{1} = LK, K_{1} M_{1} = MK, L_{1} M_{1} = ML$ , т.е. серединный треугольник не изменился. 7. При $N = 2^{k}, k = 0, 1, 2,$ … Заменим бочонки на нули и единицы, стоящие по кругу. Пусть $N \ne 2^{k}, k = 0, 1, 2,$ … Покажем, что при невезении Али-Баба никогда не откроет пещеру. Можно считать, что мы играем против Али-Бабы, вращая круг, и что он заранее говорит нам, на каких местах он будет менять цифры на каждом (в том числе и на первом) ходу. Рассмотрим сначала случай, когда N нечетно. Расставим на круге нули и единицы так, чтобы Али-Баба не выиграл первым своим (известным нам) ходом (т.е. чтобы после его хода на круге были как нули, так и единицы). Пусть Али-Баба на очередном ходу выбрал для замены определенные k мест. Он выиграет, только если эти k мест совпадут либо со множеством всех нулей, либо со множеством всех единиц. Но число нулей не равно числу единиц (сумма чисел нечетна!). Значит, каких-то цифр – не k штук. Загнав поворотом такую цифру на одно из выбранных k мест, мы не дадим Али-Бабе выиграть следующим ходом. Случай, когда N четно, но имеет нечетный делитель m, сводится к разобранному. Отметим на большом круге m равноотстоящих мест и забудем про остальные. Действуя, как описа-

НОМЕР ОФОРМИЛИ

Д.Н.Гришукова, А.Е.Пацхверия, В.М.Хлебникова, П.И.Чернуский

ХУДОЖЕСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР

Е.В.Морозова

КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРУППА

Е.А.Митченко, Л.В.Калиничева

Журнал «Квант» зарегистрирован в Комитете РФ по печати. Рег. св-во №0110473

Адрес редакции: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» Тел.: 930-56-48 Е-mail: [email protected], [email protected], [email protected] Сайт: kvant.info

Отпечатано в ОАО ордена Трудового Красного Знамени «Чеховский полиграфический комбинат» 142300 г.Чехов Московской области, Сайт: www.chpk.ru E-mail: [email protected] Факс: 8(49672) 6-25-36, факс: 8(499) 270-73-00 Отдел продаж услуг многоканальный: 8(499) 270-73-59