Задачи

35

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

ШКОЛЬНИКОВ

Задачи

Дана дробь 2/3. Разрешается много раз в любом порядке выполнять следующие операции: прибавлять 2013 к числителю или прибавлять 2014 к знаменателю. Можно ли с помощью только этих операций получить дробь, равную 3/5? К.Кохась

4. Сумасшедший конструктор создал часы с 150

В ящике у Гарри Поттера 100 шариков – красных, белых и зеленых. Три из них – волшебные, они время от времени меняют цвет (на любой из этих трех). Однажды Гарри Поттер заглянул в ящик и увидел, что красных шариков больше, чем белых, а белых больше, чем зеленых. Заглянув через минуту, он увидел, что все стало наоборот: зеленых больше, чем белых, а белых больше, чем красных. Сколько белых шариков он увидел, когда заглядывал в ящик первый раз? Д.Максимов стрелками. Первая стрелка крутится со скоростью один оборот в час, вторая делает 2 оборота в час,…, 150-я стрелка делает 150 оборотов в час. Часы запустили из положения, когда все стрелки смотрели строго вверх. Когда в процессе работы часов встречаются две стрелки или более, эти стрелки немедленно отваливаются. Через какое время после запуска отвалится стрелка, вращающаяся со скоростью 74 оборота в час? К.Кохась

Иллюстрации Д.Гришуковой

Джентльмены всегда говорят правду знакомым и лгут незнакомым. Собрались как-то 50 джентльменов, и каждый сказал каждому из остальных какую-то из фраз: У меня четное число знакомых в этой компании или У меня нечетное число знакомых в этой компании. Может ли так быть, что первая фраза была произнесена ровно 2013 раз? А.Солынин

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6–8 классов. Эти задачи предлагались на районном туре LXXX Cанкт- Петербургской олимпиады школьников по математике.

а) Разрежьте клетчатый прямоугольник размером 9 ¥ 10 клеток на несколько квадратов так, чтобы среди них было ровно два квадрата с нечетной стороной. Разрезы должны идти по сторонам клеток. б) Клетчатый прямоугольник размером 19 ¥ 20 клеток разрезан на несколько квадратов (все разрезы идут по сторонам клеток). Какое наименьшее число квадратов с нечетной стороной может оказаться среди них? К.Сухов

37

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

6 класс

1. Докажите, что в любом натуральном шестизначном числе, делящемся на 101, можно поменять местами две цифры так, чтобы получилось шестизначное число, также делящееся на 101. 2. Имеется 20 последовательных натуральных чисел. Могло ли оказаться так, что первое число делится на 1, второе – на 2, третье – на 3, …, девятнадцатое – на 19, а двадцатое – на 400? 3. В натуральном числе, не оканчивающемся на цифру 0, вычеркнули два нуля подряд. В результате этого число уменьшилось в k раз, где k – натуральное число. Найдите наибольшее возможное значение k. 4. Можно ли окрасить каждое натуральное число в синий, зеленый или красный цвет так, чтобы все три цвета присутствовали и цвет суммы любых двух разноцветных чисел не совпадал с цветами слагаемых? 5. В Министерстве Пропаганды работали честные сотрудники (которые всегда говорили правду) и патологические лжецы (которые всегда лгали). Каждый сотрудник знал про любого другого, честный тот или лжец. Вновь назначенный Министр Пропаганды у каждого подчиненного спросил про какого-то другого подчиненного, честный тот или лжец. При этом ни про какого подчиненного Министр не спрашивал дважды. После опроса Министр выгнал из Министерства всех сотрудников, которые были названы честными. Могло ли у Министра остаться ровно 2013 подчиненных? 6. В доисторические времена на побережье круглого острова было 2013 деревень и каждые две соседние деревни были соединены двумя разными дорогами с односторонним движением разного направления. Вождь-строитель может между любыми двумя деревнями проложить новую дорогу с односторонним движением, а также посредине любой дороги построить новую деревню. Докажите, что в любой момент времени найдется циклический маршрут по четному числу деревень, который через каждую деревню проходит не более одного раза. 7. Шахматный конь (обозначенный на рисунке буквой K) может совершать ходы в восьми направлениях. Назовем ходы на клетки, обозначенные цифрой 1, казанскими, а на клетки, обозначенные цифрой 2 – вятскими. Может ли конь обойти шахматную доску $8\times 8,$ побывав на каждой ее клетке ровно по одному разу и последним ходом вернувшись в исходную клетку так, чтобы казанские и вятские ходы чередовались? 8. На плоскости проведено 100 прямых. Оказалось, что среди любых четырех из них найдутся две параллельные. Докажите, что среди любых семи из них найдутся три параллельные. 9. Внутри квадрата со стороной 20 проведено несколько отрезков суммарной длины 160, которые разбивают его на несколько прямоугольников. При этом концы каждого проведенного отрезка принадлежат

ШКОЛЬНИКОВ

другим отрезкам или сторонам квадрата и никакие два отрезка не имеют больше одной общей точки. Докажите, что хотя бы у одного прямоугольника периметр не меньше площади. 10. Десять школьников посылали в течение вечера sms-ки друг другу. Каждый послал sms-ки ровно пяти другим школьникам. Какое наибольшее число школьников могло не получить ни одной sms-ки?

7 класс

1. Для любых попарно различных целых чисел x, y и z докажите неравенство

$( x - y )^{3} + ( y - z )^{3} + ( z - x )^{3} \ge 6$.

2. На доске записано 100 подряд идущих натуральных чисел. Вася перемножил 50 чисел: 25 самых больших и 25 самых маленьких. Потом он перемножил 50 оставшихся чисел. Могла ли сумма полученных произведений равняться 100! (т.е. $1 \cdot 2 \cdot$ … $\cdot$ 100)? 3. На доске написано натуральное число. Каждую минуту к нему прибавляют удвоенное количество его натуральных делителей (считая 1 и само число) и записывают полученное число на доску вместо исходного. Какое наибольшее количество точных квадратов может оказаться на доске за сутки? 4. На тропинке между домом Винни-Пуха и домом Пятачка на середине пути поселилась Сова, и еще гдето поселился Тигра. Проходя мимо дома Совы, под впечатлением от увиденного, Винни-Пух уменьшает скорость по сравнению со своей обычной скоростью на 20%. Проходя мимо дома Тигры, под впечатлением от увиденного, Винни-Пух увеличивает скорость по сравнению со своей обычной скоростью на 20%. Оказалось, что появление новых соседей никак не изменило время, необходимое Винни-Пуху, чтобы дойти до Пятачка и вернуться домой. Где мог поселиться Тигра? От дома Пятачка Винни-Пух идет с той же скоростью, с которой к нему подошел. 5. Диего хочет покрыть квадрат $6\times 6$ восемнадцатью фигурками домино $1\times 2.$ Может ли он так разместить в квадрате три фигурки (без наложений), чтобы оставшуюся часть квадрата можно было покрыть оставшимися фигурками единственным способом? 6. При каких натуральных k можно разрезать какойнибудь треугольник на k четырехугольников равной площади? 7. В остроугольном треугольнике ABC проведена биссектриса BD. В треугольнике ADB проведена высота DE, а в треугольнике BCD – медиана DF. Оказалось, что BC + FD = 2BE. Найдите угол DFC. 8. На шахматной доске отмечены 32 клетки. Какое наибольшее количество коней можно гарантировано поставить на эти клетки так, чтобы они не били друг друга? 9. В летний лагерь приехали 300 школьников. Оказалось, что количество троек попарно знакомых школьников больше, чем количество пар знакомых школьников. Докажите, что найдется школьник, знакомый хотя бы с пятью другими. 10. В первый класс простоквашинской средней шко-

45

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Пусть касательные, проведенные в точках А и В к окружности $\omega$, пересекают прямую $A_{1} B_{1}$ в точках X и Y соответственно и пересекаются в точке Z (рис.5). Докажем важную для дальнейшего лемму.

КРУЖОК

Упомянутые соображения являются мощным инструментом. Скажем, из утверждений 3, 4, 5 вытекает, что треугольник, образованный касательными, проведенными к $\omega$ в точках A, B, C, и ортотреугольник гомотетичны, причем прямая OH (она соединяет центры вписанных окружностей этих треугольников) проходит через центр гомотетии. Используя вспомогательные утверждения и лемму 1, можно решить, например, следующую непростую задачу.

Упражнение 4 (Ю.Блинков, Турнир математических боев имени А.П.Савина, 2008). Прямые MH, $A_{1} B_{1}$ и $ZC_{1}$ пересекаются в одной точке $( C_{1}$ – основание высоты из вершины С.) Докажите это.

Рис. 5

Лемма 1. М – центр вписанной окружности треугольника XYZ. Доказательство. 1) Так как ZA = ZB, то ZM – биссектриса угла XZY (см. рис.5). 2) Заметим, что $MA = MB_{1}$, т.е. М лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB_{1}$. Из касания угол XAC равен углу B, но из утверждения 3 угол $XB_{1} A$ также равен углу B. Значит, треугольник $XAB_{1}$ равнобедренный, и точка X тоже лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB_{1}$, который является биссектрисой $\angle AXB_{1}$. Итак, M лежит на биссектрисе $\angle AXB_{1}$, что и требовалось.

Ну, а что же точка Р? Оказывается, она имеет к данной конструкции самое непосредственное отношение. Задача 5 (Ю.Зайцева, Московская устная олимпиада по геометрии, 2012). Докажите, что описанные окружности треугольников ABC и XYZ касаются в точке Р. Для решения этой трудной задачи нам опять потребуется вспомнить еще два факта и доказать лемму. Утверждение 6. Точки $H_{a}, H_{b}$ и $H_{c}$, симметричные ортоцентру относительно соответствующих сторон треугольника АВС, лежат на его описанной окружности и образуют треугольник, гомотетичный ортотреугольнику. Утверждение 7 (основное свойство симедианы). Треугольник AВС вписан в окружность. Касательные к окружности, проведенные в точках А и В, пересекаются в точке Z. Тогда прямая CZ содержит симедиану (прямую, симметричную медиане CM относительно биссектрисы угла C) треугольника АВС. Лемма 2. Точки Z, P и $H_{c}$ лежат на одной прямой. Доказательство. Согласно основному свойству симедианы, PZ – симедиана треугольника РАB. Остается понять, что $H_{c}$ также лежит на симедиане. Ясно, что точка $H '$ из утверждения 1 (симметричная H относительно M) симметрична точке $H_{c}$ относительно серединного перпендикуляра к AB (рис.6). Тогда дуги $AH '$ и $BH_{c}$ равны, поэтому прямые $PH '$ (медиана) и $PH_{c}$ симметричны относительно биссектрисы угла APB. Лемма доказана.

Упражнение 3 (Ю.Блинков, Турнир математических боев имени А.П.Савина, 2011). Докажите, что окружности, описанные около треугольников $AMA_{1}$ и $BMB_{1}$, проходят через точки X и $Y соответственно.^{6}$

Далее мы неоднократно встретим треугольники с соответственно параллельными сторонами. Два таких треугольника гомотетичны (т.е. существует центр гомотетии, переводящей один из треугольников в другой), или же существует параллельный перенос, переводящий один из треугольников в другой. Прямые, соединяющие соответствующие вершины двух гомотетичных треугольников, пересекаются в центре гомотетии. Более того, верно следующее: Утверждение 5. Прямые, соединяющие соответствующие точки (например, точки пересечения высот, биссектрис, медиан и т.д.) двух гомотетичных треугольников, пересекаются в центре гомотетии.

6 Можно вначале, используя счет углов, решить упражнение 3 и вывести из него лемму 1.

Рис. 6

НАШИ ОБЛОЖКИ

Зимние причуды солнечных лучей

(Начало см. на 4-й странице обложки)

…Известно, что радуга – это следствие преломления и внутреннего отражения солнечных лучей в мельчайших капельках воды, парящих в воздухе после дождя. Холодной зимой в воздухе вместо капелек появляются кристаллики льда, которых становится особенно много сразу после резкого похолодания. Эти кристалики имеют, как правило, форму гексагональных плоских пластинок или призм. Все знают, как падает лист бумаги. Его падение – это чередующиеся парения и соскальзывания вниз (рис.1), но

пути становится небольшой. Почти всегда разглядеть гало и одновременно сделать снимок, направляя фотокамеру на Солнце, представляется невозможным. Тогда можно закрыть Солнце каким-нибудь предметом, например рукой. В ветреную погоду ориентация плоскости кристалликов беспорядочная. Это приводит к тому, что яркость всех участков гало становится одинаковой. В тихую же погоду кристаллики льда парят над землей так, что их плоскости составляют с горизонталью очень малые уголы. Поэтому участки гало на горизонтальной прямой, проходящей через Солнце, становятся очень яркими. Народы Арктики, где эти две боковые вспышки гало особенно часто можно было наблюдать, назвали их солнечными собаками – за длинные хвосты, идущие в стороны (рис.3).

Рис. 1

бульшую часть времени плоскость листа ориентируется горизонтально. Все плоские легкие предметы ведут себя аналогичным образом, и шестиугольные кристаллики льда тоже – они медленно падают, минимизируя угол между своей плоскостью и горизонталью. Когда свет от Солнца на пути к нам проходит через пространство, заполненное кристалликами льда, можно наблюдать красивое оптическое явление, называемое солнечным гало (рис.2). Бульшая часть солнечных лучей, пре-

Рис. 3

Отражение от парящих кристалликов, плоскость которых составляет с горизонталью слегка различные углы, приводит к тому, что мы видим солнечный столб (рис.4). По механизму возникновения это явление очень похоже на солнечную дорожку на слегка волнующейся поверхности моря.

Рис. 2

Рис. 4

ломляясь в призмах ледяных кристалликов, отклоняется на угол около $22^\circ$. Поэтому, смотря на Солнце, мы видим его окруженным белым кольцом с угловым диаметром $44 ^\circ$. Легче всего разглядеть гало на рассвете, когда высота Солнца невелика. В этом случае солнечные лучи проходят значительную часть своего пути через облако кристалликов льда. При высоком положении Солнца длина этого

Почему кристаллы льда отклоняют солнечные лучи на $22^\circ$? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим ход солнечного луча через кристалл (рис.5). Очевидно, что отклоняться от первоначального направления будут только лучи, попавшие после преломления на грань LM. Поэтому для простоты вычислений можно заменить шестиугольную призму кристаллика льда треугольной призмой с отклоняю-