Задачи М2406—М2413; Ф2413—Ф2419

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач из этого номера следует отправлять по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присылайте в разных конвертах. На конверте в графе «Кому» напишите: «Задачник «Кванта» №1–2016» и номера задач, решения которых Вы посылаете, например «М2406» или «Ф2413». В графе «От кого» фамилию и имя просим писать разборчиво. В письмо вложите конверт с написанным на нем Вашим адресом и необходимый набор марок (в этом конверте Вы получите результаты проверки решений). Решения задач по математике и физике можно присылать также по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно. Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с Вашим решением этой задачи (на конверте пометьте: «Задачник «Кванта», новая задача по физике» или «Задачник «Кванта», новая задача по математике»). В начале каждого письма просим указывать номер школы и класс, в котором Вы учитесь. Задачи М2406–М2411, М2413 предлагались на XXXVII Турнире городов.

Задачи М2406–М2413, Ф2413–Ф2419

M2406. Из целых чисел от 1 до 100 удалили k чисел. Обязательно ли среди оставшихся чисел можно выбрать k различных чисел с суммой 100, если: а) k = 9; б) k = 8? А.Шаповалов

M2407. Все коэффициенты некоторого многочлена целые и по модулю не превосходят 2015. Докажите, что любой положительный корень этого многочлена больше чем 1/2016. А.Храбров

M2408. В треугольнике ABC медианы $AA_{0}, BB_{0}, CC_{0}$ пересекаются в точке M. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников $MA_{0} B_{0}, MCB_{0}, MA_{0} C_{0}, MBC_{0}$ и точка M лежат на одной окружности. П.Кожевников

M2409. Из спичек сложен клетчатый квадрат 9 ¥ 9, сторона каждой клетки – одна спичка. Петя и Вася по очереди убирают по спичке, начинает Петя. Выиграет тот, после чьего хода не останется целых квадратиков 1 ¥ 1. Кто может действовать так, чтобы обеспечить себе победу, как бы ни играл его соперник? А.Шаповалов

M2410. Дан вписанный четырехугольник АВСD. Продолжения его противоположных сторон пересекаются в точках P и Q. Пусть K и N – середины диагоналей. Докажите, что сумма углов PKQ и PNQ равна $180\infty$. М.Дидин

M2411. Петя увидел на доске несколько различных чисел и решил составить выражение, среди значений которого все эти числа есть, а других нет. Составляя выражение, Петя может использовать какие угодно числа, особый знак « $\pm$ », а также обычные знаки «+», «–», « ¥ » и скобки. Значения составленного выраже-

ния он вычисляет, выбирая для каждого знака « $\pm$ » либо «+», либо «–» во всех возможных комбинациях. Например, если на доске были числа 4 и 6, подойдет выражение $5 \pm 1$, а если на доске были числа 1, 2 и 3, то подойдет выражение $( 2 \pm 0,5 ) \pm 0,5$. Возможно ли составить необходимое выражение, если на доске были написаны: а) числа 1, 2, 4; б) любые 100 различных действительных чисел? Ко Бон Гюн (Южная Корея)

M2412. Нетрудно проверить, что объем правильного октаэдра, описанного около сферы радиуса 1, равен 4 3. Выясните, верно ли следующее утверждение: «объем любого восьмигранника, описанного около сферы радиуса 1, не меньше 4 3 ». А.Меркулова

$M2413^{*}$. Шеренга состоит из N ребят попарно различного роста. Ее разбили на наименьшее возможное количество групп стоящих подряд ребят, в каждой из которых ребята стоят по возрастанию роста слева направо (возможны группы из одного человека). Потом в каждой группе переставили ребят по убыванию роста слева направо. Докажите, что после N – 1 такой операции ребята будут стоять по убыванию роста слева направо. Н.Гладков

Ф2413. В новогоднюю ночь в безветренную погоду с аэродрома Санкт-Петербурга $( 60\infty$ северной широты) стартует самолет и летит на постоянной высоте h = 5 км с постоянной по величине скоростью v = 1000 км/ч, держа все время курс на северо-восток (по звездам). С каким ускорением относительно Земли (система Птолемея) движется самолет ровно через T = 4 ч полета? Землю можно считать шаром радиусом R = 6400 км. В.Чкалов