Решения задач М2389—М2395; Ф2395—Ф2402

22

КВАНТ 2016/№1

Ф2414. Маленький брусок массой m находится на гладкой горизонтальной поверхности на расстоянии $L_{0}$ от вертикального столба, на котором на высоте h закреплен маленький невесомый блок с неподвижной горизонтальной осью. Невесомая нерастяжимая длинная нить одним концом прикреплена к бруску, перекинута через блок и натянута с постоянной силой F > mg. Трения в оси блока нет. В начальный момент брусок скользит по поверхности и имеет скорость $v_{0}$, направленную от столба. Каким будет расстояние от столба до бруска в тот момент, когда брусок на мгновение остановится? Какой будет скорость бруска в тот момент, когда брусок перестанет давить на поверхность? А.Старов

Ф2415. Длинный, L = 1 м, прямоугольный брусок квадратного сечения a ¥ a = 10 ¥ 10 см имеет плотность $\rho = 500$ кг $м^{3}$. Брусок опустили в воду озера и удерживали его в таком неустойчивом положении равновесия, что одна из длинных граней бруска была сухой и горизонтальной, при этом половина объема бруска была погружена в воду. Брусок отпустили, и он занял устойчивое положение, повернувшись вокруг оси симметрии на угол $\alpha = 45 \infty$. На сколько уменьшилась потенциальная энергия системы «вода–брусок»? С.Дмитриев

Ф2416. Вася выдувает через длинную трубку мыльный пузырь. Надув пузырь, он выпускает трубку изо рта, при этом воздух из пузыря выходит через трубку наружу. Окончательно пузырь исчезает, так и не лопнув, через время $\tau$. За какое время сдуется надутый таким же образом мыльный пузырь вдвое большего радиуса? Считайте, что воздух по трубке движется достаточно медленно, а свойства мыльной пленки у обоих пузырей одинаковы. В.Пузырев

но возможными одинаковыми зарядами Q. Затем отключили шары от источника и длинным тонким проводом стали по очереди заземлять шары и отключать от заземления. После первого заземления шара 1 на нем был заряд $q_{1}$, после заземления шара 2 на нем был заряд $q_{2}$ и так далее. Иными словами, нечетные заземления проводились для шара 1, а четные – для шара 2. Найдите $Q, q_{1}, q_{2}, q_{3}$, … вплоть до максимального номера операции заземления, когда еще получается «разумный» ответ. «Пробивная» напряженность электрического поля в воздухе $E_{0} = 3$ ◊ $10^{6}$ В м. С.Зарядов

Ф2419. Известно, что масса Солнца равна M = 2 ◊ $10^{30}$ кг. Примерно 73% массы Солнца – это водород, 25% массы – гелий, а на остальное приходится всего-то 2% массы Солнца. Источником энергии Солнца являются ядерные реакции превращения водорода в гелий, которые идут в небольшой (в сравнении с размерами самого Солнца) области вблизи его центра. Другие реакции, в частности реакции превращения гелия в углерод и т.д., по расчетам ученых начнут происходить в Солнце только на финальной стадии эволюции. Через какое время доля водорода в массе Солнца станет равной 72%? Для справки: солнечная постоянная вблизи Земли W = 1370 Вт $м^{2}$, масса протона $m_{п} = 1,0072765$ а.е.м., протон массивнее электрона в 1836,1527 раз, масса ядра гелия-4 $m_{г} = 4,00260325415$ а.е.м. М.Солнцев

Решения задач М2389–М2395, Ф2395–Ф2402

M2389. Дано 2n + 1 чисел (n – натуральное), среди которых одно число равно 0, два числа равны 1, два числа равны 2, …, два числа равны n. Для каких n эти числа можно записать в одну строку так, чтобы для каждого натурального m от 1 до n между двумя числами, равными m, было расположено ровно m других чисел?

Ф2417. Газ фотонов, для которого внутренняя энергия U пропорциональна объему V и абсолютной температуре T в четвертой степени: $U = \alpha VT^{4}$, а давление газа р равно одной трети отношения внутренней энергии к объему: $p = \alpha T^{4} 3$, участвует в процессе, изображенном на рисунке. Каков КПД этого процесса? Каков максимально возможный КПД теплового двигателя при температурах нагревателя и холодильника, равных максимальной и минимальной температурам в рассматриваемом процессе? А.Газов

M2390. График квадратного трехчлена с целыми коэффициентами пересекает ось абсцисс в точках X, Z, а ось ординат – в точке Y (все три точки различны). Найдите наибольшее возможное значение угла XYZ.

Ф2418. Два одинаковых проводящих шара 1 и 2 с диаметрами d = 10 см каждый установлены на непроводящих подставках в воздухе так, что расстояние между их центрами L = 1 м. Сначала шары подключили к высоковольтному источнику и зарядили максималь-

Ответ: $90\infty$. Примером может служить трехчлен $x^{2} - 1$. Докажем, что тупой угол получиться не может. Пусть O — начало координат, трехчлен имеет вид $ax^{2} + bx + c$, а его корни равны r и s. Предположим, что угол XYZ

Ответ: для любых. Расположим числа так: …, 6, 4, 2, n, 0, 2, 4, 6, …, 5, 3, 1, n, 1, 3, 5, … (сначала стоят в убывающем порядке все четные положительные числа, меньшие n, потом n, 0, те же четные числа в возрастающем порядке, далее все нечетные, меньшие n, – в убывающем, n и те же нечетные в возрастающем порядке). И.Акулич

30

КВАНТ 2016/№1

том моста) является балка или ферма, лежащая на опорах моста. Самая опасная деформация балочного моста – деформация изгиба балки; для ее уменьшения пролеты нужно делать как можно короче. В случае же больших пролетов, под которые не удается установить промежуточные опоры, используют висячие мосты. Основным несущим элементом висячего моста является гибкий элемент, который называется кабелем или $цепью^{1}$, закрепленный на двух мощных опорах – пилонах, расположенных в начале и в конце моста, а проезжая часть подвешивается к цепи на вертикальных тросах. Такая конструкция устраняет наиболее опасные напряжения изгиба. Главные напряжения висячего моста – это напряжения растяжения в цепи и вертикальных тросах, которые не так опасны, как изгиб железобетонной балки, и которые современные высокопрочные стали легко выдерживают.

Крымский мост, Москва

Мост Сихоумэнь, Китай зон – первый мост с более чем километровым пролетом (длина основного пролета 1067 м, год открытия 1931, США), мост Золотые Ворота (1280 м, 1937 г., США), мост Акаси-Кайкё (1991 м, 1991 г., Япония), мост Сихоумэнь – первый мост с более чем двухкилометровым пролетом (2120 м, 2009 г., Китай) и многие другие. Висячие мосты не требуют жесткого закрепления проезжей части на опорах и потому могут без ущерба для целостности конструкции демпфировать ветровые или сейсмические нагрузки. Тем не менее, ветер представляет собой основную угрозу висячему мосту: при сильном ветре мост ведет себя, как крыло самолета – в пролете под действием подъемной силы возникают напряжения, которые могут разрушить мост. Такой случай был в практике мостостроения – висячий Такомский мост в США был разрушен при шторме 7 ноября 1940 года. К счастью, во время этого разрушения никто не погиб. Процесс разрушения Такомского моста был снят на любительскую видеокамеру. Анализ этих материалов позволил инженерам понять недостатки конструкции висячих мостов и разработать механизмы их устранения. В последующие проекты вводилась защита от ветровых нагрузок, и крупных аварий с висячими мостами более не происходило. (Впечатляющую видеозапись разрушения Такомского моста можно посмотреть в интернете на сайте http:// www.youtube.com/watch?v=Xxgobk5AFrI)

Живописный мост, Москва

В настоящее время все мосты с большими пролетами являются висячими (или, как их вариант, вантовыми). Это, например, мост Джорджа Вашингтона через Гуд-

1 Конечно, цепь у крупных висячих мостов – это совсем не

цепь в бытовом понимании этого слова, а высокопрочный стальной трос толщиной несколько десятков сантиметров, способный выдержать массу проезжей части моста.

Мост Джорджа Вашингтона, США