А что изменится, если...?

Квант 2016, №1 с. 40-41 Тег Z6R3

ШКОЛА В «КВАНТЕ»

А что изменится, если…?

Е.СОКОЛОВ

ОДНАЖДЫ МЕНЯ ПОПРОСИЛИ ПРИДУМАТЬ ЗАДАЧУ ДЛЯ восьмиклассников на тему «Фотометрия». Через некоторое время задача была готова.

Задача про Буратино

Буратино заметил, что если вместе с лампой $Л_{1}$ включить лампу $Л_{2}$ (лампы одинаковые), то освещенность точки O (рис. 1) увеличится на 80%.

Рис. 1

– Интересно, – подумал Буратино, – на сколько бы увеличилась после этого освещенность в точке O, если бы черная школьная доска $D_{1} D_{2}$ превратилась в зеркало? По дороге из школы домой Буратино встретил своих старых знакомых лису Алису и кота Базилио.

Рис. 2

Рис. 3

– Здравствуй, наш умненький и благоразумненький Буратино! Что нового ты сегодня придумал на уроках? – Я придумал задачу про лампочки и превращение классной доски в зеркало, – гордо сказал Буратино и быстро нарисовал на песке рисунок (см. рис. 1). – Умненький и благоразумненький Буратино, а знаешь ли ты правильный ответ? – Еще не знаю, но думаю, скоро узнаю. – Конечно, ты скоро узнаешь правильный ответ, ведь с тобой твои самые лучшие друзья! И стоить это будет тебе совсем недорого – только те два сольдо, что у тебя в кармане. – Смотри, – продолжала, не останавливаясь, тараторить лиса Алиса. – Пусть первая лампочка создает в точке O освещенность $E_{1} = E_{0}$ . Тогда, по условию задачи, вторая лампочка дает в этой точке освещенность $E_{2} = 0,8 E_{0}$ . Когда доска превращается в зеркало, она отражает все падающие на нее лучи: и от первой лампы, и от второй лампы. Так вот, если зеркало отражает все падающие на него лучи, то света в точке O станет ровно в два раза больше, т.е. $E_{кон} = 2 ( E_{1} + E_{2} ) = 3,6 E_{0}$ . А это значит, что освещенность увеличилась в два раза, т.е. на 100%, и твои денежки стали моими! А ну давай сюда мои два сольдо! – А вот и нет! А вот и нет!– вдруг закричал кот Базилио, который успел к этому времени нарисовать на песке рисунок 2. – Отражаются от зеркала, конечно, все падающие на него лучи, но вот попадают после этого в точку O только лучи, идущие от лампы $Л_{1}$ . Поэтому освещенность в точке O станет равной $E_{кон} = ( E_{1} + E_{2} ) + E_{1} = 2,8 E_{0}$ вместо начального значения $E_{нач} = E_{1} + E_{2} = 1,8 E_{0}$ . А это значит, что освещенность увеличится в $E_{кон} E_{нач} = 2,8 E_{0} 1,8 E_{0} = 1,56$ раза, т.е. на 56%. Так что два сольдо становятся моими! Моими! Моими! – Ах, так! Получи, умник, – и лиса Алиса вцепилась в кота Базилио. В поисках истины друзья покатились по земле… Читатель, несомненно, знает, что диспуты этих уважаемых знатоков отличаются крайней темпераментностью и длительность. Поэтому наш Буратино оставил лису и кота и поспешил домой, чтобы, наконец, узнать правильный ответ. Вы, конечно, знаете, что уже в силу своего сложившегося реноме лиса Алиса и кот Базилио всегда просто вынуждены давать неправильные ответы. Какие именно ошибки сделали эти персонажи теперь? Напомним основные положения, которые лежат в основе геометрической оптики (рис.3). Свет – это поток лучей. Их излучают светящиеся тела (источники света) в бесконечном количестве и во все стороны. А несветящаяся поверхность становится освещенной, когда на нее падают световые лучи. Мы видим предметы, когда световые лучи, приходящие от них, попадают нам в глаз. Так говорит теория №1. Но есть в геометрической оптике и теория №2, она говорит все

КВАНТ 2016/№1

то же самое, кроме одного. Она считает, что световые лучи выходят из наших глаз и ощупывают все вокруг. Однако знайте, насколько бы сильно не отличались эти теории с житейской точки зрения, при решении задач они полностью эквивалентны. Поэтому выбирайте ту из них, которая позволит вам быстрее построить нужный луч.

Упражнения

На фотографии (см. рис. 3), словно в подтверждение теории №1, отчетливо видны солнечные лучи, пробивающиеся из-за туч. Но вот вопрос: почему же мы их видим, если они идут мимо наших глаз? 2. На рисунке 3 показано, что происходит со световыми лучами, которые падают на черную, зеркальную и матовую поверхности. Сформулируйте самостоятельно правила взаимодействия световых лучей с различными поверхностями. 3. Какую из трех поверхностей – черную, зеркальную, матовую – наблюдатель сможет увидеть из любой точки, где бы он ни стоял?

Напоминание закончено. Теперь об ошибках лисы Алисы и кота Базилио. Лиса правильно сказала, что все 100% лучей, падающих на зеркало, будут отражаться от него. Это верно уже по определению зеркальной поверхности. Но Алиса не учла того, что отраженные лучи могут просто пройти мимо точки O. Кот Базилио правильно построил ход отраженных от зеркала пучков лучей (см. рис. 2). Из его построений видно, что после отражения в точку O попадут действительно только лучи первой лампы. Но это вовсе не означает, что такие лучи добавят к освещенности такой же вклад $E_{1} = E_{0}$ , какой дают лучи, идущие от первой лампы напрямую. На самом деле их вклад будет меньшим. Вот об этом кот Базилио и не подумал. Поразмышлять о том, от чего зависят вклады в освещенность, создаваемые различными источниками света, вы сможете при выполнении двух следующих заданий.

Упражнения

Обложку знаменитой поэмы «Пропала Мальвина, невеста моя» Пьеро решил украсить своей фотографией. В фотостудии (рис. 4,а) для достижения нужного эффекта фотограф по очереди включает три одинаковые лампы $Л_{1}, Л_{2}$ и $Л_{3}$ . И Буратино снова замечает, что освещенность в точке $O_{1}$ , находящейся прямо под первой лампой, увеличивается в 1,8 раза при включении второй лампы и еще в 1,26 раза при включении третьей. – Интересно, – подумал Буратино, – а как увеличивается освещенность при включении второй и третьей ламп в точке $O_{2}$ , находящейся под второй лампой? 5. Небольшая площадка на полу освещается четырьмя одинаковыми источниками света (рис. 4,б). Расставьте источники в порядке убывания освещенностей, которые они создают на этой площадке.

А как же Буратино все-таки узнает правильное решение своей задачи? Кто расскажет его ему?

Рис. 5

Рис. 4

Давайте переплетем две линии: линию Буратино и линию его старшего брата Пиноккио. Будем считать, что Буратино позвонил Пиноккио и рассказал ему о задаче. А Пиноккио все рассказал своей знакомой Фее с лазурными волосами. А вот феям точно по плечу самые сложные задачи.

Лекция, которую прочитала Фея с лазурными волосами В чем главная сложность геометрической оптики? В том, что она работает с бесконечным количеством лучей. Разумеется, рассмотреть бесконечное количество лучей никому не по силам. Поэтому искусство решения задач геометрической оптики сводится к умению выбрать нужный луч. Иногда в этом помогает так называемое правило крайнего: Если не знаешь с чего начать решение, рассмотри самые крайние элементы (самый левый, самый правый, самый большой, самый маленький и т.д.). Попробуйте самостоятельно найти «крайние» лучи в следующих заданиях.

Упражнения

Постройте область, освещенную лучами факела, отраженными от зеркала $D_{1} D_{2}$ (рис. 5,а). Освещают ли они золотой ключик, лежащий на полу? Пламя факела считайте точечным источником света S. 7. Видит ли Карабас Барабас в зеркале $D_{1} D_{2}$ золотой ключик, лежащий на полу (рис. 5,б)? Считайте, что глаза Карабаса Барабаса расположены в той же точке S, что и факел Буратино. 8. Два зеркала $D_{1} D_{2}$ и $D_{3} D_{4}$ расположены так, как показано на рисунке 5,в. Карабас Барабас смотрит в зеркало $D_{1} D_{2}$ . На какое минимальное расстояние следует сместиться Буратино и его друзьям, чтобы Карабас Барабас не увидел их в зеркале? При решении Карабаса Барабаса считайте точкой К, а Буратино и его друзей – точкой Б. Размер одной клетки 100 метров.

ШКОЛА

Рис. 6

Второй метод, с которым полезно познакомиться, заключается в том, чтобы данную нам систему «реальный источник света – зеркало» превратить в систему «мнимый источник света – стена с окном» (рис. 6). Делается это в два приема. Во-первых, строим в зеркале изображение нашего источника S, называем его мнимым источником $S '$ и считаем, что из него, как и из настоящего источника, выходят световые лучи. Вы знаете, где находится изображение предмета в зеркале? На таком же расстоянии от зеркала, что и сам предмет, только с другой стороны – в «Зазеркалье» (рис. 6,а). Во-вторых, плоскость зеркала превращаем в непрозрачную воображаемую стену, а зеркало – в окно в этой стене (рис. 6,б). В чем смысл такого построения? А в том, что теперь, проводя по линейке все лучи, которые выходят из мнимого источника и проходят через окно, мы построим все множество лучей, отраженных от Рис. 8 зеркала. И заметьте, нам не придется утруждать себя построением углов падения и отражения. Нужный нам луч выделен на рисунке 6,б, красным цветом. Для его построения мы просто провели по линейке прямую через точки $S '$ и A. Попробуйте, используя этот прием, решить задачу про Пиноккио.

Упражнение 9. Пиноккио, у которого в Стране Развлечений выросли ослиные уши, хочет рассмотреть себя в наклонно висящем зеркале $D_{1} D_{2}$ (рис. 7). Сможет ли он увидеть себя в

«КВАНТЕ»

$Л_{1} '$ точно так же (с точностью до симметрии), как она расположена по отношению к лампе $Л_{2}$ (см. рис. 8). Одинаковы и расстояние от площадки до обоих источников, и угол падения лучей. А это значит, что вклады обоих источников в освещенность этой площадки будут одинаковыми. Поэтому после превращения доски в зеркало освещенность площадки возрастет на $E_{2} = 0,8 E_{0}$ , т.е. станет равной $E_{кон} = ( E_{1} + E_{2} ) + E_{2} = 2,6 E_{0}$ вместо $E_{нач} = E_{1} + E_{2} = = 1,8E_{0}$ . Освещенность увеличится в $E_{кон} E_{нач} = = 2,6 E_{0} 1,8 E_{0} = 1,44$ раза, или на 44%. Это и есть ответ. Ну, вот, пожалуй, и все. Хотя нет, хотелось бы еще вооружить наших читателей общим методом сравнения освещенностей, чтобы им была по силам любая задача на эту тему.

Общий метод сравнения освщенностей Мы надеемся, что кто самостоятельно выполнил предложенные упражнения, тот уже укрепился во мнении, что освещенность любой площадки зависит от двух факторов: расстояния до источника света и угла падения лучей. Это правильное мнение. Подкрепим его соответствующими закономерностями. 1) Освещенность площадки обратно пропорциональна квадрату расстояния от нее до источника. Другими словами, если освещенность площадки, которая расположена на расстоянии $R_{0}$ от точечного источника, равна $E_{0}$ , то освещенность площадки, которая расположена на расстоянии R от источника, будет равна

E =

$R_{0}^{2} E_{0}. R^{2}$

Такое уменьшение освещенности связано с расходимостью световых лучей при их удалении от источника. 2) Если одна из площадок расположена перпендикулярно падающему лучу, а вторая – под углом, то освещенность второй площадки будет равна

Рис. 7

нем полностью? Пиноккио считайте отрезком АС, а его глаза – расположенными в точке В.

Ну, а теперь решение нашей задачи про Буратино становится совсем простым. Превращаем стену с зеркалом в стену с окном и добавляем две мнимые лампы $Л_{1} '$ и $Л_{2} '$ (рис.8).

Упражнение 10. Используя линейку, убедитесь еще раз, что лучи от $Л'_{1}$ попадают в точку О, а от $Л'_{2}$ – нет.

Осталось догадаться, какой вклад в освещенность точки O даст мнимая лампа $Л_{1} '$ . Догадались? Конечно, такой же, какой дает лампа $Л_{2}$ ! Смотрите, площадка на которой находится точка О, расположена по отношению к лампе

$E = E_{0}$ cos $\theta$ , где $\theta$ – угол между нормалью к площадке и лучом. Этот факт связан с увеличением при повороте площади освещаемой поверхности. Доказать оба утверждения не составит труда, если выполнить нужные рисунки и вспомнить простые факты из геометрии. Рекомендуем читателям проделать это самостоятельно.